新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

烏魯木齊地區(qū)2023年高三年級(jí)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)

理科數(shù)學(xué)(問(wèn)卷)

(卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘)

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

—，，在人A=(x∣2x-4<θ}B={x∣√-3x≤θ}4r_

1.已知集合1211,['J,則A"一()

A.{x∣x≤3}B.{x∣0≤x<2}C.{x∣x≥θ}D.∣X∣2<Λ<3∣

K答案HB

K解析H

K祥解D先求出集合A3中元素范圍，再求交集即可.

K詳析DA={x∣2x-4<θ}={x∣x<2},6={x∣χ2-3x≤θ}={x∣0≤x≤3},

.,.AnB={x∣O≤X<2}.

故選：B.

2.命題"Vx∈[0,+e),√+χ≤()"的否定是()

A.Vx∈(-∞,O),√+%>0B.Vx∈(→3θ,0),χ3+%≤0

33

C.Hx0∈[θ,+∞),x0+x0>0D.3J?∈[θ,+∞),JC0+x0≤0

K答案，C

R解析H

K祥解D根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題得K答案》.

K詳析H根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題可得，

3

命題”Vx∈[0,+oo),d+χ≤o”的否定是*∈[o,+?o),xθ+χo>0.

故選：C.

γγγ

3.已知向量α=(2,3),b=(-1,2),若〃與〃一20共線(xiàn)，則一等于()

1I

A.——B.-C.-2D.2

22

K答案2A

K解析』

K祥解》先得出根+〃〃與Q-2。的坐標(biāo)，由共線(xiàn)得出14〃2=—7〃，進(jìn)而得出K答案H.

K詳析Il解：易得"切+應(yīng)？=（2〃2—力,36+2力），。-2/?=（4,—1）,

因?yàn)?以+位?與〃一2。共線(xiàn)，

所以（2加一〃）x（T）=（3m+2力）x4,

m1

即14m=一7〃，所以一二—.

n2

故選：A.

4.復(fù)數(shù)Z=縣的共物復(fù)數(shù)是（）

1-2

A.-l-2iB.l-2iC.-l+2iD.l+2i

K答案DD

K解析X

K樣解D先求出復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，再求共輸復(fù)數(shù)即可.

K詳析一5i==昌5i（i+言2）=一,

.?.z=1+2i-

故選：D.

5.已知直線(xiàn)4,b與平面α,β,γ,能使。，用的充分條件是（）

A.alia,b/∕β,a±bB.a±χ,βVγ

C.alia,a^βD.ac?β=a,ɑ?/,,buβ

K答案》c

K解析』

K祥解》根據(jù)空間線(xiàn)面位置關(guān)系依次討論各選項(xiàng)即可得K答案》.

K詳析》解：對(duì)于A選項(xiàng)，alia,b∕∕β,時(shí)，。//月也可能滿(mǎn)足，如圖1,故錯(cuò)誤;

圖1

對(duì)于B選項(xiàng)，aA.γ,∕?L/時(shí)，。//4也可能滿(mǎn)足，如圖2,故錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，alIa1α"L尸時(shí)，一定有α-L∕7,故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，ac（3=a,bu￡時(shí)，a_L￡不一定成立，如圖3,故錯(cuò)誤.

圖3

故選：C

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢(qián)，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五

文，問(wèn)乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人，所分到的錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，甲、

乙兩人共分到77文,戊、己、庚三人共分到75文，問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢(qián)？則下列說(shuō)法正確的是（）

A.乙分到37文，丁分到31文B.乙分到40文，丁分到34文

C.乙分到31文，丁分到37文D.乙分到34文，丁分到40文

K答案HA

K解析D

K祥解Il設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)分別為a—3d,a-2d,a-d,。，a+d,a+2d,

a+3d,再根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.

K詳析》依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)分別為a-3d,a-2d,a-d,4,a+d,

a+2d,a+3d,

a-3d+a-2d=77fa=31

則《，解得《，

a+d+a+2d+a+3d=r75[J=-3

所以乙分得a—2d=37(文)，丁分得a=31(文)，

故選：A.

7.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿(mǎn)足/(x+3)=-/(x),且當(dāng)Xe(O,∣?時(shí)?，/(x)=χ2-6x+8,

則/(0)+"l)+*2)+…+/(WO)=()

A.6B.3C.OD,-3

K答案HB

K解析H

R祥解D根據(jù)函數(shù)/(x)恒有/(x+3)=-∕(x),得到函數(shù)/(X)的周期是6,再由/(X)定義在R上的

奇函數(shù)，得到"0)=0,/(3)=0,然后/(0)+/(1)+/(2)+...+/(Ioo)

=Iy(O)+〃1)+〃2)+...+〃5)卜16+/(0)+/(1)+〃2)+〃3)+〃4)求解.

K詳析H因?yàn)楹瘮?shù)/(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)了，恒有/(x+3)=?√(x),

所以/(x+6)=-∕(x+3)=∕(x),

所以函數(shù)/(x)是以6為周期的周期函數(shù)，

又/(x)定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(0)=0J(3)=-40)=0,

又當(dāng)XW(0,時(shí)，/(x)=x?—6x+8,

所以/(1)=3,/(2)=/(-1+3)=-/(-1)=/(1)=3,

/(4)=/(1+3)=-/(1)=-3,/(5)=/(2+3)=-/(2)=-3,

所以"0)+"l)+42)+..?+∕(100),

=[∕(0)+∕(l)+∕(2)+...+∕(5)J×16+∕(0)+∕(l)+∕(2)+∕(3)+∕(4),

=0×16+3=3,

故選：B.

8.已知J^Sina+cosa,則COS(4一2a)=()

33

17788

-C---

A.-1-8-89D.9

K答案2c

K解析》

K祥解》由已知式求得COS(O-α)=聆，然后再由余弦的二倍角公式求值.

詳析』由GSina+cosα=?^,得2(^^Sina+^cosα)=?^，2cos(j^--α)=^-,

322333

c°s(")=M

36

cos(--2α)=2cos2(j^-α)-l=2×(^-)2-1=--.

3369

故選：C.

Kr點(diǎn)石成金』】本題考查兩角差的余弦公式的二倍角公式，解題關(guān)鍵是結(jié)合已知角和未知角的關(guān)系確定選

用什么公式.

22

9.已知6，鳥(niǎo)分別是雙曲線(xiàn)C:二一與=1(a>0,?>0)的左、右焦點(diǎn)，以大鳥(niǎo)為直徑的圓與C在

ab~

第二象限交于點(diǎn)A,且雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段A",則。的離心率為()

A.√2D.√5

B.乖IC.2

K答案2D

K解析》

?(272Q1?

K祥解』由題知Zo=-，，Z儆=—，進(jìn)而得直線(xiàn)4耳、A入的方程并聯(lián)立得A再將

。aLCC)

其代入雙曲線(xiàn)方程整理得C=百。，再求離心率即可.

K詳析》解：由題設(shè)4(一c,0),6(c,0),漸近線(xiàn)4：y=9，個(gè)丫=-9,

因?yàn)橐訤yF2為直徑的圓與C在第二象限交于點(diǎn)A，

所以_LA耳，

因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段AF2,

a

k7/=b

所以，AF2=~-^>~>

所以，直線(xiàn)A6的方程為y=—￡(x—c),直線(xiàn)AK的方程為y=3(χ+c?),

y=J(χ-c)

ci2-b22ab、

聯(lián)立方程〈

所以,得AF'

y=,(x+c)

'2?2?1\22

所以，將A--------,-----代入與一與二1整理得5/=/,即C=迅Q,

ICcJcrb2

10.已知函數(shù)/(x)=In棄三，a=Iog3,b=Iog4,c=Iog8,則()

?I?235

A./(β)<∕(c)<∕(Z?)B?/(α)</(8)</(C)

C./(c)</(?)</(/?)D./(c)<∕(h)</(α)

K答案2A

K解析H

3

K祥解H由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，借助中間量=得h<c'<α,進(jìn)而在結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

2

K詳析工解：由籍>0得(2-x)(3+x)>0,解得一3<x<2,

所以，函數(shù)/(x)=In聶的定義域?yàn)?—3,2),

因?yàn)?(x)=In拾=In不詈?=In7?-1Γ

由于函數(shù)/=U—-1在(-3,2)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=lnr在定義域上單調(diào)遞增,

X+3

所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得=InM在(-3,2)上單調(diào)遞減,

IP64Ig64

因.—”64=后，C=Iog=Iog64,Ig27>lg25>l,

5825?g25

所以人<c,

3-83

因?yàn)镃-J=Iog5870g552=Iog5--T=<Iog1=0,所以c<一,

25\/552

3-33

因?yàn)棣?∕=k)g23-k)g222=Iog2>Iog21=0,所以

所以，由函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)得〃α)<∕(c)<∕("

故選：A

11.已知函數(shù)/(x)=2sin(5+夕)(0>O,0<?9<y)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且在區(qū)間(π,2π)內(nèi)不存在

最值，則。的取值范圍是()

.?7

A.B.

4,12

12

C0?u1,?0,—U

C['66412633

K答案WD

K解析X

K祥解》先通過(guò)/(0)=1求出然后求出使/(x)取最值時(shí)的X,再根據(jù)/(X)在區(qū)間(兀,2π)內(nèi)不存在

最值列不等式求解力的取值范圍.

K詳析力函數(shù)Fa)=2sin(s+e)的圖象過(guò)點(diǎn)((U),,

/./(θ)=2sin^=l,即Sine=g,

又0<Q<2,.?φ=-

.,./(x)=2sin

S+64j

?兀兀EIrt兀kjZ—

々CDXH=FZ兀,K∈Z,即X=----1-----,/c1∈Z,

623ωω

.?.當(dāng)％=」上+如,/：€2時(shí)，函數(shù)/(%)=2$皿(〃沈+0)取最值,

3口CD

/(x)在區(qū)間(兀,2π)內(nèi)不存在最值，

兀kπ,

-----F—≤π

3Gω12k

,k∈Z,解得—+Z<69≤-+—,攵∈Z,

π+(Z+1)兀332

≥2π

.3ωω

當(dāng)攵<—1時(shí)，。不存在；

211

當(dāng)Z=-I時(shí)，一一<ω<-f又切>0,??.0<o≤-,

366

12

當(dāng)Z=O時(shí)，一≤69<-,

33

當(dāng)A>()時(shí),，①不存在;

綜合得。的取值范圍是［θ,?U?2

33

故選：D.

12.三棱錐A—BCD中，點(diǎn)A在平面BCD的射影”是ABCD的垂心，點(diǎn)。在平面A8C的射影G是AABC

的重心，4)=1，則此三棱錐體積的最大值為()

I1Cl1

A.?~B.—C.-D.一

2369

K答案?c

K解析H

K祥解》如圖，點(diǎn)。在平面ABC內(nèi)的射影G是一/3C的重心，連接AG延長(zhǎng)交8C于M,連接BG延長(zhǎng)交

AC于M利用線(xiàn)面垂直的判定定理與性質(zhì)證明A8=AC、48=BC,則ABC為等邊三角形，根據(jù)錐體體積

公式表示出VeABc,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出體積的最大值即可.

K詳析Il如圖，點(diǎn)。在平面ABC內(nèi)的射影G是一ABC的重心，

連接AG延長(zhǎng)交BC于連接BG延長(zhǎng)交AC于N,則M、N分別為BC和AC的中點(diǎn),

因?yàn)锳Hj_平面BCr>,BCU平面8CD,射影AHj_BC,

又”為48Co的垂心，則。HLBC,由A”DH=H,AH,DHu平面DAH,

所以BC工平面D4”，由A。U平面D4”，得BC上AD.

因?yàn)镺G，平面ABC,BCU平面ABC,所以O(shè)G_LBC,

又ADDG=GU平面D4G,則BC1平面ZMG,

由AGU平面D4G,得8C1AG,所以BCIAM,

因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以AB=AC,

由CH，DB,又BDU平面BC￡>,則ΛH1DB,AHCH=H,AH,CHu平面CAH,

所以Z)Bj_平面CA”，由ACU平面CA”，得。5_LAC,

由ACU平面ABC,則DG_LAcD8∩DG=DDB,OGU平面O8G,則AC_L平面。8G,

由BGU平面。8G,得AC_L3G,所以ACLBN,

因?yàn)镹為AC的中點(diǎn)，所以4B=8C,則-ABC為等邊三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為x,

則AM=等x,AG=∣AM=*光，又Az)=1,所以O(shè)G=,DA?-GG?=Jl一；1,

2

則V。-ABC=；SA/iC-DG=~yX-^-X-Jl-^X=ηyJ√(l-∣√),

446532

令f(x)=%(1-∣√)=X--X,由*4(1—gχ2)>0得0<X<百則尸(X)=4√-2X=2X(2-X),

令/,(?)>0=>0<X<V∑,令ff(x)<0=>>∣2<X<y∕3,

所以函數(shù)F(X)在((),J5)上單調(diào)遞增，在(夜,百)上單調(diào)遞減，得/(χ)maχ=∕(、巧)=4-∣=g,

所以(VD一ABC)max=*xg=：，即此三棱錐的體積的最大值為，

故選；C.

第∏卷(非選擇題共90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22~23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.在(2x-l)6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為.

K答案』60

K解析，

K祥解》直接利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解/的系數(shù).

K詳析U(2χ-的展開(kāi)式中含f的項(xiàng)為C：(2x)2(—1)4=60*2,

即在(2x-l)6的展開(kāi)式中X2的系數(shù)為6().

故R答案1為：60.

14.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)G>2=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸作X軸的垂線(xiàn)交C于點(diǎn)P,Q為X

軸正半軸上一點(diǎn)，且［0。=5,若NoPQ=45。，則C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為

K答案X%=-3

K解析》

K祥解》由題知《與，｝進(jìn)而根據(jù)Sa)O=g?∣OQ∣?∣尸四=JoPllPQkinNoPQ計(jì)算即可.

得故歸

K詳析』解：如圖，由題知將無(wú)=當(dāng)代入方程V=2pxy=±p,P,p

所以IOPI=gp2+p2=總〃，闿=,（5一9+0?，

所以S.=g?∣O0?歸目=；|。PIlPQkinZOPQ,

因?yàn)镮P=手坐+p2,整理得p2-4"12=0,解得p=6（P=-2舍）,

所以，拋物線(xiàn)Cy2=?2x,準(zhǔn)線(xiàn)方程為：%=-3

故K答案』為：x=-3

15.已知函數(shù)/(力=^+62-*+0而《％+巳)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的值為.

K答案7-2e

K解析』

R祥解』首先證明/(2-χ)=∕(χ),則/(1)=0,解得α=-2e,再代回原函數(shù)證明函數(shù)只有唯一零點(diǎn)即

可.

K詳析H/(洋=e*+e2r+αSin(FX+,),

.?.f(2-x)-e2-'+ev+?sin-(2-x)+-

=ex+e2~x+asin(—X+^-}

(36)

.?.∕(2-X)=f(x),.?./(χ)的圖象關(guān)于直線(xiàn)X=1對(duì)稱(chēng)，

若函數(shù)/(X)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即/(X)的圖象與X軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),

則只能是/(l)=0,即e+e+α=0,解得a=—2e,

此時(shí)fM=e?+e2"^v_2esinfyx+^h

2λx2x2x

e?+c^≥2√e?e^=2e，當(dāng)且僅當(dāng)e?=e",BPx=I時(shí)取等號(hào)，

，當(dāng)XWl時(shí),e"+e2-”>2e,

又?一l≤sιn∣-xH——≤1,

(36)

-2e≤2esin(—X+-I≤2e,

[36)

，當(dāng)XHl時(shí),/(x)>0,

.?.當(dāng)α=-2e時(shí)，函數(shù)/(X)有且只有一個(gè)零點(diǎn)X=I

故K答案』為：—2e.

1

16.已知數(shù)列｛α,,｝滿(mǎn)足q=—[M,,+∣=2禽,若仇=°g24-2,則beb2?”的最大值為

K答案》—

4

K解析》

K詳析』由題意可得：l0g2an+l=Iog22JZ，

BP：Iog20n+l=1Iog2a,,+1+l,整理可得：(log2%-2)=:(log24一2),

又log?4-2=-10,則數(shù)列｛勿｝是首項(xiàng)為-10,公比為g的等比數(shù)列，

a=TOxg)=-2x22-",

n(3-n)

則：S,,=4?%?也=(-5)晨22,

S>S

很明顯，〃為偶數(shù)時(shí)可能取得最大值，由｛"["2("=2Z,%∈N*)可得：〃=4，

則b「b,..b的最大值為---.

4

1點(diǎn)石成金J：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫(xiě)出這個(gè)數(shù)

列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一

個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通

項(xiàng).

三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟.

17.在.√WC中，邊。力,c所對(duì)的角分別為AB,C,α=3,￠2=/-30+9.

(1)求角C的大??；

(2)若一J=30，求一ABC的面積.

COSA

K答案X(1)C=W

3

⑵絲莎

8

K解析』

K祥解D(1)將α=3代入。2=》2一38+9中，然后再利用余弦定理求角C；

(2)利用正弦定理及=3G可求出角A,進(jìn)而可求出C,再利用SinB=Sin(A+C)求出Sin8,最

CoSA

后利用面積求解即可.

K小問(wèn)1詳析】

0=3,

由。2=/一38+9得。2=/一μ+/,即H=/+〃—￠2,

a2+b2-C2ab?

cosC=又C∈(0,7l),

IabIab2

K小問(wèn)2詳析】

由正弦定理得C="si11。==36,

sinA2sinAcosA

—————?=3√3?.?.sin2A=l,

2sinA?cosA

,2兀_.4ττ_.it

又0<A<—,.?.0<2A<—,.*.2A=—

332

即T，

.,.c=??/?cosA=3?∣3×=>

SiniA+C)=sin(")=變」+也，立=皿也,

4322224

.c_1.?_1ɑ??/e√6+√227+9√3

..S——CicsinB=—×3×----X-----------=-------------.

aAbRrc22248

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，QA_L平面ABCO,ADLCD,ADHBC,且Q4=AD=Cf>=2,

BC=3,E是Po的中點(diǎn)，點(diǎn)廠(chǎng)在PC上，且尸F(xiàn)=2FC.

(1)證明：。產(chǎn)//平面∕?8;

(2)求二面角廠(chǎng)一AE—P的正弦值.

K答案X(1)證明見(jiàn)K解析力；

⑵述

3

K解析H

K祥解H(1)在線(xiàn)段PB上取點(diǎn)M,使得PW=2例B，進(jìn)而證明。E∕∕AΛ∕即可證明結(jié)論;

(2)如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型，利用坐標(biāo)法求解即可;

K小問(wèn)1詳析』

證明：在線(xiàn)段PB上取點(diǎn)M,使得PM=2M8，

所以，在一PBC中，MF=ZBC=2,且MF//BC,

3

因?yàn)樵谒倪呅蜛BC。中，ADHBC,AT>=2,

所以，MF/1AD,MF=AD,

所以，四邊形ADRW是平行四邊形，

所以DE//AM,

因?yàn)?。?z平面"鉆，AMU平面，

所以DF//平面∕?B.

K小問(wèn)2詳析》

解：如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型，

所以，A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

因?yàn)镋是Pz)中點(diǎn)，點(diǎn)F在0C上，且PF=2FC,

2??2<442

所以E(0,l,l),AF=AP+-PC=(0,0,2)÷-(2,2,-2)=l-,-

33

f4421

所以，AE=(°」/)，AE=,設(shè)平面AET7的一個(gè)法向量為"=(χ,y,z),

?n.AE^P+z=°

所以，〈一，即〈442八，令X=I得〃=(1,-2,2),

n?AF-0—x+τ37+τz~θ

I1333

由題，易知平面QAE的一個(gè)法向量為，"=(1,0,0),

所以8S(/",a?=麗n?mJ

所以sin(拉,〃?)=JI-CoS2(幾,"2)=--

所以，二面角F—AE—P的正弦值為迪.

3

19.投資甲、乙兩種股票，每股收益的分布列如表所示:

甲種股票：

收益X(元)-102

概率0.10.30.6

乙種股票:

收益y(元)012

概率0.30.30.4

(I)如果有人向你咨詢(xún)：想投資其中一種股票，你會(huì)給出怎樣的建議呢？

(2)在實(shí)際中，可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤顿Y兩種股票，假設(shè)兩種股票的買(mǎi)入價(jià)都是每股1元，某人有IooOo

元用于投資，請(qǐng)你給出一個(gè)投資方案，并說(shuō)明理由.

K答案》(1)建議購(gòu)買(mǎi)乙種股票.

(2)投資甲種股票3485元，乙種股票6515元.

K解析，

K祥解W(I)根據(jù)期望與方差給出建議即可；

(2)設(shè)投資甲種股票。元，投資乙種股票(K)OOO-a)元，進(jìn)而計(jì)算對(duì)應(yīng)的期望與方程，使得方差最小時(shí)即

可得K答案H.

K小問(wèn)1詳析D

解：由題知：E(x)=-l×0.1+2×0.6=l.l,E(γ)=l×0.3÷2×0.4=l.l,

r>(x)=E(√)-[β(%)]2=(-l)2×0.1+22×0.6-l.l2=1.29,

D(>0=E(y2)-[￡(y)]2=l2×0.3+22×0.4-l.l2=0.69,

由題可知，兩種股票的期望相同，但乙種股票的方差較小，

所以，投資乙種股票相對(duì)于甲種股票更穩(wěn)妥.

K小問(wèn)2詳析』

解：設(shè)投資甲種股票。元，投資乙種股票(IOooo-4)元，

所以，E{ax)+E[(l0000-α))[=aE(x)+(10000-a)E{y)-??000,

ZXax)+D[(10000-a)y]=α2D(x)+(l0000-a)2D(γ)

=α2×1.29+(l0000-α)2×0.69

=1.98/-1380Oa+0.69×108

_1OQA∩

所以，當(dāng)。=一2523485時(shí),。(詞+￡>[(1()000—。)可取得最小，

所以，應(yīng)當(dāng)投資甲種股票3485元，乙種股票6515元，

20.已知橢圓C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,#，-寺,一里.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)MN是經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)尸的一條弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A),設(shè)直線(xiàn)MN與直線(xiàn)/:x=2相交于點(diǎn)。，記

AM,AN,AQ的斜率分別為匕，k2,k3,求仁?《?占的最大值.

K答案，(1)—+/=1

2

9√2

K解析》

K祥解』(1)根據(jù)題意，待定系數(shù)求解即可；

(2)設(shè)直線(xiàn)M/V的方程為yKx-I),M(xi,yi),N(x2,y2),進(jìn)而得

,也,(_n_V2卜=左(D

區(qū)網(wǎng)="上工5*%再聯(lián)立反+2_]，結(jié)合韋達(dá)定理，二次函數(shù)最值

%—1

整理求解即可.

K小問(wèn)1詳析》

解：由題，設(shè)橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+5=l(α>0>0),

因?yàn)闄E圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

所以《,解得/=2/2=1,

4.16

√+F^1

所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+丁=1

2

K小問(wèn)2詳析]

解：由(1)知F(LO),因?yàn)镸N是經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的一條弦且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

所以，直線(xiàn)MN的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=Hx-I),何(內(nèi),)[),%(工2，%)，

所以，Q(2,A),

√2-√2

所以,

K=—?-,k*∕R=k一號(hào)

XlT2

y=?(x-l)

聯(lián)立方程《X22_1得(1+2k2)X2-4k2x+2?2-2=0,Δ>0,

----Fy=]

2

4左22k2-2

所以玉+%

1+2尸"ML1+2公

Sl攵(Xl-I)一°Z(X2-?)--?

所以，kkk-_________-

鼠盧2鼠3—1

xλ-1*2-?

k2-^Lk(,+々)-2+?

2(XIΛ2-(X1÷X2)+1)2(X1X2-(XI+x2)+1)

-2

-√ljt.l±2E+_1_

2-12-1

2

1+2/'l+2k

9√2

4------

32

所以，當(dāng)Z=YZ時(shí)，匕鼠心有最大值2也

8-.32

21.已知/(x)=2InX+0x+g在X=I處的切線(xiàn)方程為y=-3x.

(1)求函數(shù)/(x)的K解析》式；

(2)/'(X)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意x∈[l,+s),都有〃x)—/'(x)+3≤meJ+J,求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍.

K答案X(1)/(x)=21nx-4x+,

X

(2)m≥2

K解析W

R祥解』(1)代入X=I得到α+匕=-3,求出/‘(X),則/'(1)=2+?！?,解出“/即可.

(2)∕,(%)=--4-4,g(x)=21nx-2x+3—2+4,求出/1H≤O,則

XX"XXX

g(x)≤g(l)=O,即/(x)-r(X)+3<4-2x+L42e"x+’,故m≥2.

XX

K小問(wèn)1詳析H

.f(l)=a+b,當(dāng)X=I時(shí)，y=-3x=-3,.?.α+b=-3,

2b

r(x)=*+α一彳，"⑴=2+α-〃，

XX

由切線(xiàn)方程為y=-3x,.?.2+α—3,

a+b=-3a=-41

,.,./(x)=21nx-4x÷-.

2+Q—b=-3b=lX

K小問(wèn)2詳析1

121

/(x)=21nx-4x+-,/.f,(x)=——4——

XXX

由已知?x∈[l,+8),f(x)-f'(%)+3≤加ei，'成立，

X

令g(x)=/(?)-?'(?)+2Λ-?-1=2InX-4x+,-2+4+3+21-'-1

XXXXX

?CC21

=2InX—2x+3----1—~

XX

,

g(x)=--2+4-4=-2d,(x+l)≤0,所以g(χ)在[I5+8)上單調(diào)遞減,

XXXX

所以g(x)<g⑴=0,即/(?)-f'(x)≤-2x+-+?,

X

設(shè)〃(X)=X+l-e',則〃'(x)=l-e",令〃'(x)=0,解得X=0,

當(dāng)x<0時(shí)，Λ,(x)>O,MX)單調(diào)遞增，當(dāng)x>0時(shí)，"(x)<0,MX)單調(diào)遞減,

故當(dāng)X=O時(shí)，Λ(%)nιaχ=Zz(O)=O,故〃(X)=X+l-e*≤0,

即x+l≤e',令1一X代換X有2-x≤e∣f,兩邊同乘2有4-2x≤2eκr,

則/（X）—/'（X）+3V4-2x+'≤2e∣r+L,當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

XX

所以加≥2時(shí)滿(mǎn)足題意，若加<2,存在x=l時(shí)，原式有T-l+l+7Sm+l,

即〃?N2與，〃<2矛盾,不滿(mǎn)足題意，

所以小≥2.

H點(diǎn)石成金』》結(jié)論『點(diǎn)石成金』：（1）e*Nx+l（x=O取等）；（2）InX<x-l（x=l取等）；

X

（3）e*≥ex（X=I取等）；（4）ln%≤-（x=e取等）.

e

選考題:共10分,請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作

答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.

K選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程』

x=l+cosθ

22.在平面直角坐標(biāo)系Xo），中，已知直線(xiàn)/：x+y=l與曲線(xiàn)C\.八（6為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為

y=sin，

極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線(xiàn)/和曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程；

（2）在極坐標(biāo)系中，已知射線(xiàn)e=α（p>O）與直線(xiàn)/和曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)分別為A,B,αe[θ,]）,

當(dāng)∣O8∣=2∣OAI時(shí),求α的值.

1

p=------7-------T

K答案X（I）直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程為后sin[e+兀），曲線(xiàn)。的極坐標(biāo)方程為夕=