利用空間向量求空間角-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）（解析版）

考向28利用空間向量求空間

角

1.(2022年甲卷理科第18題)在四棱錐P-ABCD中，PZ)J_底面ABC￡>,CDHAB,AD=DC=CB=I,

AB=2,PD=B

(1)證明：BDA.PAi

(2)求PZ)與平面R43的所成的角的正弦值.

【答案】(1)見解析；(2)—.

5

［解析】(1),.?PD，底面ABCD,PDA.BD,

取AS中點(diǎn)E,連接∕)E,可知。E=JA8=1,

2

?/CDHAB,；.CDIJBE,四邊形BCDE為平行四邊形，ΛDE=CB=X,

VDE=-AB,二八鉆。為直角三角形，AB為斜邊，，

2

,.?PDAD^D,平面EA￡),ΛBDl.PA.

(2)由(1)知，PD,AD,8。兩兩垂直，BD=QAB2-AD?=6,

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則

￡>(0,0,0),A(l,0,0),8((),省,())，P((),0,√3),

PD=((),0,-√3),PA=(l,(),-√3),AB=(-l,g,()),

設(shè)平面Q4B的法向量為〃=(x,y,z),則

E4-?=Ox-?∕3z=0

V，艮IJV,

∕β?Λ=0[-Λ+√3γ=O

不妨設(shè)y=z=l,則〃=(?/?,l,l),

設(shè)PO與平面Q4B的所成角為。，則

PDn∣-√3∣后

sinθ=cos<PD,n>=----=—?=——U=——,

1π

叫〃√3×√55

.??PD與平面PAB的所成的角的正弦值為好.

2.（2022年乙卷理科第18題）如圖，四面體ABe。中AD_LCD,A。=Cr>,NADB=NBOC,E為AC中

點(diǎn),

（1）證明：平面JBEDj_平面ACD-,

（2）設(shè)45=8。=2,NACB=60°,點(diǎn)R在BD上，當(dāng)AAFC的面積最小時，求CF與平面ABD所

成角的正弦值.

【答案】（1）見解析；⑵洋4百

【解析】（1）AD=Cr>,ZADB=NBDC且8。為公共邊ΔADB與ABOC全等,

.*.AB=BC.

又E為AC中點(diǎn)RAD=CD,:.DE1AC,同理BE±AC.

又OECBE=E,且均含于平面BED,

.?.ACL平面BED

又ACU平面AcA平面BED，平面ACD.

(2)在AABC中，AB=2,AACB=60°,AB=BCAC=2,BE=6.

在ΔACf)中，，4。_1_。。,也=。,4。=2,石為4。中點(diǎn)，..DELAC,DE=I.

又8。=2,二。爐+3爐=3。2,即。ELBE.

.?.直線AC、直線BD、直線硝兩兩互相垂直.

由點(diǎn)尸在BD上且ΔAOB與ABOC全等，..AF=FC,

由于E為AC中點(diǎn).?.EF1AC

當(dāng)ΔΛ產(chǎn)C的面積最小時:.EFLBD

在RtADEB中,BE=?DE=I:.EF=叵,BF=>

22

如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AC、EB、EO分別為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

ɑ(-l,θ,θ)?A(1,O,O)?8(0,0,0)、Z)(0,0,1)、F(0,2^,∣)

BD=(O,-√3,1)>AD=(-1,0,1),BC=(-1,-√3,0)

CF=BF-BC=-BD-BC=H,-,-)

444

設(shè)平面ABO的法向量為機(jī)=（x,y,z）.

BD?m=0

可得《設(shè)y=l.?.m-(?/?,l,?^)

AD?m=0

設(shè)，〃與CF所成的角為α,b與平面A3。所成角的為6

m?CF4下)

.,.Sine=ICoSal=

7

4√3

所以C尸與平面ABo所成角的正弦值為名.

7

3.（2022年新高考1卷）19.（12分）

如圖，直三棱柱ABC-AMC的體積為4，4ABC的面積為2√Σ?

（1）求A到平面ABC的距離;

（2）設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AA1=AB,平面A1BC，平面488隊(duì)，求二面角A—3Z5—C的正弦值.

√3

【答案】（1）右；（2）2.

1114

,

【解析】（1）設(shè)A到平面AQC的距離為〃，^Ay-ABC=/ABC.A4=IvABe-AIBIG=§X4=§

‰C≈∣5ΔABC?A=∣×2√2?∕J,所以1X20?∕Z=;所以〃=Q,所以A到平面ABC的距離為0.

（2）取AIB的中點(diǎn)連接A￡,因?yàn)镸=AB,所以AE

因?yàn)槠矫鍭BC，平面A34A，平面ABCI平面A8B∣A=AB,

所以AE_L平面ABC，AE=JΣ，則A4l=AB=2,所以A￡_L3C,

因?yàn)橹比庵鵄BC-A4C,所以AALBC，

因?yàn)锳ECAA=A,所以BC，平面ABBm，所以3C_LA8,

由匕8C-AMG=2BC?AA=—×2×BCX2=4,所以BC=2,

以BC為X軸，m為y軸，為Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以8(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A(0,2,2),E(0,l,l),O(IJl)

平面BZ)C的法向量設(shè)為%=A石=((),7,1),平面BDA的法向量設(shè)為%=(x,y,z),

5A=(0,2,0),BD=(1,1,1),

B皿A?n一2=0。'所以?A2y+=y0+z=。

所以y=。，

設(shè)X=1,則Z=—1,所以n=(1,0,-1),所以cos<%>=^—~~-=-—,

7I4H〃212

設(shè)二面角A-5f)-C的平面角為α,則Sina=JI-CoS?α=走,

2

所以二面角A-應(yīng)>-C的正弦值為史.

2

4.(2022年新高考2卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB，ΛB±AC.E是PB的中點(diǎn)，

(1)求證：OE〃平面PAC；

(2)若/4BO=NC60=30。，PO=3,氏=5,求二面角C—AE—B的正弦值.

C??

【答案】（1）見解析；（2）—.

13

【解析】（1）法一：連接。4、OB,

因?yàn)槭?。是三棱錐P-ΛBC的高，所以P。，平面ABC,所以PO_LOA,POlOB,

所以NPOA=N尸OB=90:又PA=PB,Po=P0,所以<iPO4三..POB,所以04=03,

作AB中點(diǎn)￡）,連接O。、DE,則有ODLAB,又ABLAC,所以O(shè)D〃AC,

又因?yàn)?0平面B4C,ACU平面A4C,所以O(shè)Z）〃平面E4C,

又。、E分別為AB、PB的中點(diǎn)，所以，在8P4中，DE//PA

又因?yàn)镈Ea平面Λ4C,R4u平面Λ4C,所以O(shè)E〃平面Λ4C,

又OD、DEU平面ODE,ODcDE=D,所以平面ON）E〃平面Λ4C,

又OEU平面?！?gt;E,所以O(shè)E〃平面∕?C;

法二：（1）連接。4、OB,

因?yàn)镻o是三棱錐尸—ABC的高，所以POL平面ABC,所以POLOA,POLOB,

所以NPoA=NPoB=96,又PA=PB,PO=PO,所以-PoAMPOB,

所以。4=。8,又AfiLAC,在MABF中，。為班'中點(diǎn)，

延長B。，交AC于尸，連接PE

所以在ZPBE中，0、E分別為8尸、PB的中點(diǎn)，所以EO〃PF,

因?yàn)镋Oa平面R4C,PFU平面F4C,所以￡0〃平面RAC；

（2）法一：過點(diǎn)。作/加〃OP,以。8為X軸，。。為N軸，￡中為Z軸.建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.

?Z

y

因?yàn)镻O=3,Λ4=5,由(1)OA=OB=4f

又ZA5O=NC3O=30。，所以O(shè)D=2,DB=，所以尸(。，2,3),8(26,0,0),

3

A(-2√3,0,0),f(√3,l,-),設(shè)AC=α,則C(-2√5,4,0)，

平面AEB的法向量設(shè)為n1=(x,y,z),直線ΛB的方向向量可設(shè)為α=(1,0,0),

直線OPU平面ΛE8,直線。P的方向向量為b=（0,2,3）

。叭=Ofx=O

,所以。?

??MI=O[2y+3z=0

所以X=0,設(shè)y=3,則z=-2,

所以4=(0,3,-2);

平面AEC的法向量設(shè)為%=(x，y,z)，AC=(0,<z,0),AE=(3>∕5,1,?∣)

\AC.ru=Q設(shè)=。L

-,所以L/3八，所以y=0,設(shè)X=G,則z=-6,

AE.n2=03√3x+y+-z=0

所以∕=(√3,0,-6)；

%?n_12_12_4百

所以cos<n,n>=2

l2--

∣n1∣-∣∕i2?！?3×√3913√313

二面角C-AE-B的平面角為。，則Sine=JI-COS2夕=",

所以二面角C-A￡-B的正弦值為工

法二：（2）過點(diǎn)A作4尸OP,以Λ5為X軸，AC為）軸，AF為Z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镻o=3,84=5,由⑴OA=OB=4,

又ZABO=NCBO=30P,所以，48=46，所以？(2月,2,3),8(46,0,0),

4(0,0,0),E(3g,l,∣),設(shè)AC=a,則C(OM,0),

3

平面的法向量設(shè)為%=(x,y,z),AB=(4√3,0,0)，AE=(3√^,1,∣)

4√3x=0

AB.n,=O

，所以r3，所以X=0，設(shè)z=-2,則y=3,

AE?nl=O3√3x+y÷-^?z=O

所以％=(0,3,-2)；

平面AEC的法向量設(shè)為n2=(x,y,z),AC=(O,α,0),AE=(3√3,1,-)

Qy=O

AC?n,=0

2,所以3信+>+卜。'所以‘'=°,設(shè)XS則z=6

AE.∏>=0

所以丐=(百,0,-6)；

12_12_46

所以

cos<rivn1>=-

∣n,∣?∣n2Γ√13×√39^13√313

二面角C-AE-8的平面角為0,則Sine=Jl—cos?夕=—,

所以二面角C-A￡-8的正弦值為工。

1.利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是:

(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系：

(2)求出兩直線的方向向量0,02；

(3)代入公式ICOS<vι,v2)I=目求解.

2.利用向量法求線面角的方法：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就

是斜線和平面所成的角.

3.利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法：

(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二

面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量，則這

兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

L線面角θ的正弦值等于直線的方向向量。與平面的法向量“所成角的余弦值的絕對值，即Sin6=|CoS<α,

n}不要誤記為COSJ=ICoS(a,n)∣.

2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩半平面α,夕的法向量m,”2時,

要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量〃””2的夾角是相等，還是互補(bǔ).

一、單選題

?.如圖，PAmABCD,48C。為正方形，且P4=AD,E,尸分別是線段7?,C。的中點(diǎn)，則異面直

線EF與BD所成角的余弦值為()

P

A.J√3

cd

6?T-T

【答案】C

【解析】由題可知，分別以A5,AD,A尸所在直線為X軸,），軸，Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-DZ.

X

1-2+41G

設(shè)4。=2.則BD=(-2,2,0),EF=(l,2,-I),cos<BD,EF)=μ.

√8×√66

故異面直線EF與所成角的余弦值為YL

6

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水

平.

2.如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形A3CO,將平行四邊形ABCO沿對角線BO折起,

使平面Aβr>"L平面BCD,則直線AC與8。所成角余弦值為（）

Aj

DJ

A.2√∑b,√6c?且D.?

3333

【答案】C

【解析】由平面平面BC￡),ABA.BD

平面ABDc平面BCD=80,ABI平面ABD

所以A3_L平面BC。，又DCU平面BCD,所以ABLDC,又DBLDC

所以作Z軸//AB鍵立空間直角坐標(biāo)系3-型，如圖

A

設(shè)AB=I,所以BO=I,OC=I,BC=&

則A(0,l,l),B(0,l,0),C(l,0,0),D(0,0,0)

所以AC=(I,T,T),M(0,To)

建…NACBD1√3

所以cos(AC,BD)=----∩----r=-f==——

，"以、'?AC??BD?√33

故選：C

3.如圖，在正方體ABS-AAG。中，點(diǎn)E是上底面ABClR的中心，則異面直線AE與8。所成角的余

?√2r√2e√iθn√6

4343

【答案】B

【解析】以。為原點(diǎn)，D4,DCO〃為χ,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2,

A(2,0,0),E(l,1,2),〃((),(),2),3(2,2,0)

所以AE=(T,l,2),Q8=(2,2,-2),

UtHUUirr-

AE-DB-4√2

pp∣?i[=^√i2=τ

所以異面直線AE與BR所成角的余弦值為變.

3

故選：B

4.在正方體ABCQ-AgCQ中。為面AA3f的中心，01為面HgCQ的中心.若E為Co中點(diǎn)，則異面直

線AE與00∣所成角的余弦值為()

A.空B.巫C.且D.亞

55IO5

【答案】B

【解析】設(shè)正方體的邊長為2,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

Λ(2,0,0),E(0,l,0),0(2,1,1),O1(1,1,2),W=(-2,1,0),Oq=(TO,1),

八AEOO.2

設(shè)異面直線AE與Oa所成角為，,則。。El阿詞=Fr

故選：B

5.在三棱錐P-ABC中，24,平面ABC,PA=AB,AfiC是正三角形，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),

則直線MN,PB所成角的余弦值為()

A.正B.立C.也D.-

3424

【答案】D

【解析】如圖，以AC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)《4=4

則N(0,0,2),Λf(石,T,0),P(0,-2,4),B(2』,0,0)

NM=(√3,-1,-2),PB=(2√3,2,-4)

CoS(MMP8)=而由=a，則直線MMPB所成角的余弦值為"

故選：D.

Nr

'\、C

??/

B,

t?

6.在正方體ABCO-AgCQi中，/,,。分別為gG,8C的中點(diǎn)，則異面直線AQ與BP所成角的余弦值是

()

A.?B.2C.-D.更

55105

【答案】A

【解析】如圖，以A8、AD.AA∣分別為小y、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,則

A(0,0,0),8(2,0,0),P(2,l,2),β(2,l,0)

則A。=(2,1,0),8P=(0,1,2)

,“八HAQ-BP??

因?yàn)?*0，牝〉=阿網(wǎng)=芯芯=)

所以異面直線AQ與BP所成角的余弦值為

故選:A

二、填空題

7.已知長方體ABCn-ABCq的棱AB=BC=3,CG=4,則異面直線ABl與CA所成角的余弦值是

【答案】7

25

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

AB=BC^3,CC1=4,

.?.A(3,0,0),4(3,3,4),C(0,3,0),D1(0,0,4),

.?.ABl=(0,3,4).CD1=(0,-3,4),

,A。an、AB「80-9+16_7

COS<A4,Q>=μβl∣×∣CDll=√O+9+16×√θT9T16=25'

，異面直線ABl與C"所成角的預(yù)下載是7.

25

8.在正方體ABCQ-A4GA中，點(diǎn)E、F分別為棱BC、CC,的中點(diǎn)，則異面直線AF與AE所成角的余

弦值為.

【答案】I4

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為2,

A(2,0,2),D1(0,0,2),F(0,2,1),E(l,2,0),A1F=(-2,2,-1),QE=(1,2,-2)，

異面直線A尸與D1E所成角的余弦值：

AaDlE-2χl+2x2+(-l)x(-2)_4

222222

IAFl-?DtE?~√(-2)+2+(-I)×√1+2+(-2)^9

4

故答案為：—

9

9.如圖，已知正三棱柱ABC-AqG的側(cè)棱長為底面邊長的2倍，M是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，則異面直線4片和

【答案】亞

20

【解析】設(shè)底面邊長為1,則測棱長為2,如下圖建立空間直角坐標(biāo)系,

A(θ,θ,θ)、B-?-,?,θ、B1-^-,—,2、M(0,1,1)

所以ABl=Pl,g,2],BΛ∕=f-^,∣,1

3IC

4+4+?v?θ

所以COS(A4?8M?BM

=IABmM√5×√2

故答案為：亞

20

心

10.已知正四面體ABCZ)和平面α,BCUa,正四面體ABeD繞邊BC旋轉(zhuǎn),當(dāng)AB與平面α所成角最大時,

CO與平面α所成角的正弦值為______

【答案】B

6

【解析】由題意可得：當(dāng)AB與平面α所成角最大時即平面ASC_La,

以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-??yz(如圖)，

A____

過。作DEL平面ABC,垂足為E,設(shè)BC=2,

則c(ι,o,o),o[o,李亭，即Co=T，半書,

設(shè)CO與平面α所成角為，，平面ɑ的法向量為"=(OQl),

則Sine=COS3〃)=苣而邛

即。。與平面a所成角的正弦值為正

6

故答案為：B

6

三、解答題

11.如圖，在五面體ABa)E中，平面ABCJ_平面38E,8C_LCDBE〃C。，AC=BCBE^l,CD=AE=2.

（2）求AB與平面APE所成角的正弦值.

【答案】（1）有；Q）叵

31

【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭BC,平面BCOE,平面ABC1平面BSE=BC,

BClCD,所以Cz），平面ABC.又BECD,可得班1平面ABC,得BE_LAB,

在直角三角形Z?A3E中，BE=?,AE=2,得AB=5

（2）在平面ABC內(nèi)作CF_LAC交AB于F,則CDIeR,

分別以CA,CF,CD為％V,z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

因?yàn)閏osZACB=1+1-3ZACB=-,ZBCF=-.

2×1×1236

可求各點(diǎn)坐標(biāo)

C(0,0,0),A(l,0,0),D(0,0,2),B一;,冬O,E-??,l

\/\/

A8=[1,*,θ],AO=(-l,0,2),AE=1-；,斗

k22)V22J

設(shè)平面ADE的法向量,7=（X,y,Z）,

-x+2z=O

m?AD-O

則3√3

m`AE=O——x+——z=0

22.

4

√3

∣AB∣=>A,∣w∣=J-yMβ?0=T,cos(AB,m)=一4^,

設(shè)AB與平面ADE所成角為，，

則sin，=∣cos^AB,∕n^∣=,

因此直線A3與平面Az)E所成角的正弦值等于縣.

31

12.如圖，在正三棱柱ABC-ABc中，底面邊長為2,BBl=3,。為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱B與上，且8∣E=1,

(2)若直線CQ與PE所成角的余弦值為晅,求平面DCtE和平面ClEP的夾角的余弦值.

6

【答案】(1)證明見解析；

【解析】⑴在矩形BCG瓦中，8C=2,網(wǎng)=3,AE=I,。為BC的中點(diǎn),

所以GE=OE=石,c∣r>=√iδ,所以GEiOE,

因?yàn)锳BC是正三角形，。為BC的中點(diǎn)，

所以AD_L8C,又因?yàn)锳BC-4冉0是正三棱柱，所以CGJ?平面ABC,

而ADU平面ABC,所以CG?LAO,而CG∩BC=C,Cq,BCu平面BCe4,

所以4)平面BCC內(nèi)，因?yàn)镚EU平面BCC聲，所以ADJ.C∣E,

因?yàn)锳。OE=EEU平面4)E,點(diǎn)P為線段A。上，

所以GEL平面尸￡見，而PEU平面POE,所以GELPE；

(2)如圖以4G的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系0-Dz,如圖,

則C,(l,0,0),D(0,0,3),E(-l,0,l),設(shè)P((U3)(0≤r≤√3),

則PE=(-1,-t,-2),C1D=(-1,0,3),

所以卜OS〈尸比6?！祙=，叵，即,=容解得f=l,

1'16√10√5776

所以GP=(T,1,3),C∣E=(-2,0,1),

-x÷y÷3z=0,

設(shè)“=(x,y,z)為平面PGE的法向量，則

-2x+z=0,

令x=1,則y=-5,z=2,所以"=(1,-5,2),

5√30

取用=(OJO)為平面OGE的法向量，所以ICoS〈血h)?=l-∣

√l2+(-5)2+22×1~6~

所以平面DCxE與平面CIEP的夾角的余弦值為我.

6

DP

13.如圖1,在等邊ABC中，點(diǎn)。，E分別為邊48,AC上的動點(diǎn)且滿足。匹〃BC,記F=；L將AAOE

沿OE翻折到E的位置并使得平面MoEJ_平面。EC8,連接MB,MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).

(1)當(dāng)EN〃平面MB。時，求2的值；

(2)試探究：隨著義值的變化，二面角B-MD-E的大小是否改變？如果改變，請說明理由；如果不改變，請

求出二面角B-MD-E的正弦值大小.

【答案】⑴2=g;⑵不改變，竽

【解析】(1)取的中點(diǎn)為尸，連接。P,PN,

因?yàn)镸N=CN,MP=BP,所以NP〃BC,

又DE//BC,所以NP〃OE,即ME,D,尸四點(diǎn)共面,

又￡7V〃平面BM。，ENU平面NEDP,

平面NEZ)Pn平面MBD=DP,

所以EN〃尸￡>,即NEDP為平行四邊形，

所以NP=DE,則。E=3BC,即4=g.

(2)

取OE的中點(diǎn)。，連接M0,則Moj_OE,因?yàn)槠矫鍹Z)Ej_平面OECB,

平面MQEn平面OECB=OE,且MO_L￡>E,所以M0_L平面。EeB,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)BC=2,則M(0,0,&),D(Λ,0,0),B(l,√3(l-Λ),θ),

所以M力=(40,-&),DB=(l-Λ√3(l-2),θ),

設(shè)平面比0￡)的法向量為m=(x,y,z),則

MD?m=λx-y∣3λz=0

S

DBm=(↑-λ)x+y[3(]-λ)y=0

令x=√j,即"=(6,一覃).

又平面。的法向量”=(0,1,0),

即隨著/1值的變化，二面角8-MD-E的大小不變.

所以二面角8-MD-E的正弦值為孚.

14.圖1是由矩形ABG/,Rt△4￡)E和菱形ABCD組成的一個平面圖形，其中AB=2,AE=AF=I,

Zβ4D=60o.將該圖形沿AB,A。折起使得AE與AF重合，連接CG,如圖2.

(1)證明：圖2中C,D,E,G四點(diǎn)共面;

(2)求圖2中二面角A-CK-O的平面角的余弦值.

2

【答案】（1）證明見解析；（2）4

【解析】（1）證明：Y四邊形ABb和A5CD分別是矩形和菱形，

ΛABHGE,AB//CD,：.GEHCD,：.C,D,E,G四點(diǎn)共面.

（2）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)A作AM以A為原點(diǎn)，AM,AD,AE所在直線分別為x,八Z軸,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),C(G,3,0),O(0,2,0),E(0,0,l).

ΛAC=(√3,3,θ),AE=(O,O,1),DE=(0,-2,l),DC=(√3,l,θ).

設(shè)平面AEC的一個法向量為M=(X,y,z),則即[6?3y=0.

AE?n=0[z=0

X=也

令y=τ,貝小y=τ.ΛH=(73,-i,o).

z=0

m?DC=?∣3a+?=0

設(shè)平面CDE的一個法向量為機(jī)=（α,b,c）.則令α=JL可得”=(75,-3,-6).

m`DE=-2h+c=0

.?m?n√3

...CoS〈風(fēng)n）==-,顯然二面角A-CE-O為銳角.

πHHπ

.?.二面角A-CE-。的平面角的余弦值為立.

4

一、單選題

L（2022湖北?鄂南高中模擬預(yù)測）已知正方體ABCD-A8CQ的棱長為2√L以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4為X

軸正半軸，Z)C為y軸正半軸，OR為Z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，動點(diǎn)M(4,A,0)滿足直線MA與AA

所成夾角為J,必的最大值為()

O

A.-B.?C.1D.2

42

【答案】D

【解析】正方體ABCQ-ABCa的棱長為2石河得〃(()，0,26),AA=Z)R=(O,O,2√5),

點(diǎn)M(q,6,()),則MDl=(-a,-?,2√3),由動點(diǎn)M(4,"θ)滿足直線MD1與AA所成夾角為親可得

cosMD,AA=---/1：,=J,整理得〃+從=4,由/+從=422",可得t?≤2,當(dāng)〃

ii=?=√2

2√3×√α2+?2+122

時取等號，即最大值為2,

故選：D

2.(2022?吉林長春?模擬預(yù)測(理))在矩形ABCz)中，。為2。中點(diǎn)且45=243,將平面ABO沿對角線8。

翻折至二面角A-BD-C為90。，則直線A。與8所成角余弦值為()

A.gB.1

54

「3√5D.晅

2525

【答案】C

【解析】在平面4?中過A作ΛELBO,垂足為E;

在平面C8。中過C作CF_L8D,垂足為F.

由于平面A8Z），平面BC￡）,且交線為8￡）,

所以AE-L平面BeD,CFI平面ABD,

設(shè)A3=1,AD=2,

11?.________Q

22

-×BD×AE=-×AB×AD^AE=-i=,OE=yjOA-AE=-i=,

22√52√5

23

同理可得CF=耳,。F=而,

以。為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則A（?G）41品WFFa4叫喑「泉?！?/p>

3

OACD20??/?

設(shè)。與所成角為巴貝IJcosθ=

ACD√51^25,

X

MM22

故選：C

3.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））平行六面體ABCD-ARCA中，

TT

ΛAyAB=ZA,AD=ZBAD=-,AB=AD=AAi,則BR與底面ABCo所成的線面角的正弦值是（）

A.3B.正C.?-D.3

3322

【答案】A

【解析】如圖所示，連接AC,BD相交于點(diǎn)。，連接4。.

TT

;平行六面體48COGA中幺A3=ZΛ1AO=N3AT>=5,且AB=AQ=A?,

不妨令A(yù)B=AD=AAI=2

AAiB,?ΛΛ1D,Z?A3Z）都是等邊二角形.

.?.AB。是等邊三角形.

.?.ACLBD,Ay01BD,AO]4C=0,AO,ACu平面AAGC

.?.8DJ-平面AAGc，如U平面ABer>,

.?.平面AAGC，平面ABC￡),

NAAC是AA與底面ABCz)所成角.

5√3

因?yàn)锳A=2,40=6=40,所以CoSNAAo=K=?-.

I√3?

y

忤。,明

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(√IO,O),B(OJO),D(0,-1,0),A

其中A的坐標(biāo)計(jì)算如下，過A作AE?LAC交AC于點(diǎn)E,

因?yàn)镃oSNAAO=X^?,CoSZAA。=受，所以AE=AACOSNAAo=

>>3M^1I3

22

所以O(shè)E=OA-AE=鳳竽=冬A,E=AAi-AE=^-????

顯然平面ABa)的法向量為"=(0,0,1),

II2√6

設(shè)BDt與底面ABCD所成的角為θ,則sinθ=呼叫=?=正

∣BDl∣?∣tt∣2√23

4.(2022?浙江?效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測)已知圓錐S。的高50=LAB是底面上圓。的直徑，AB=2,M是圓。上

的動點(diǎn)，N是SM的中點(diǎn)，則直線4V與平面SaW所成角的正弦值的最大值為()

333

【答案】C

【解析】做OE?LAS交圓上一點(diǎn)E,

以。為原點(diǎn)，OE.OB.(M所在的直線為X、V、V軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),A(0,-l,0),B(0,l,0),5(0,0,1),

設(shè)Mmb,0),則陪於，；)，且"+6=1,

當(dāng)a=0S=l時，M(0,1,0)與8(0,1,0)重合，此時SA例構(gòu)不成平面，

當(dāng)α=0*=-l時，M(0,T,0)與A(0,T,0)重合，此時MWB構(gòu)不成平面，

即。r±1,a≠Q(mào)9

所以SM=Mb,-1),SB=(O,1,-1),AN=e，g+L；)

設(shè)平面AMB的一個法向量為〃=(X,y,z),

SM?n=0ax+hy-z=QI_A

所以,即y-z=O'令k∣'則X=H=,

SBF=G

所以〃=,1,1,設(shè)直線AN與平面SBM所成的角為巴

_________2_________2

卜廿-22+322+3∣-2?3-7?3+9,

、I-從XFd2（1-，）

令〃力=號二才9(Xe(TI)),r(χ)=熱(XW(TI))

當(dāng)0<x<l時，∕,(Λ)>O,"X)單調(diào)遞增，

Q

當(dāng)一1<X<O時，Γ(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，所以/(x)≥"0)mM=}

2,22√2

(-2b3-7?3+9-3√23,

V2(l-?*2)?

直線AN與平面SBM所成角的正弦值的最大值為空.

3

故選：C.

5.(2022?福建龍巖?模擬預(yù)測)已知直三棱柱A8C-A冉G的所有棱長都相等，M為AG的中點(diǎn)，則AM與

BG所成角的正弦值為()

,√15D.平

?.-----bc.如

3?T4

【答案】C

【解析】取線段AC的中點(diǎn)0,則BOLAC,設(shè)直三棱柱ABC-ABlG的棱長為2,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OB、OC、AA的方向分別為X、）'、Z的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,-l,0)、M(0,0,2)、β(√3,θ,θ)?C1(0,1,2),

AM?8C∣5√Γ5

ΛCOS

所以,AM=(0,1,2),BC1=(-Λ,1,2),<AM,BC1>=-,

∣AM∣?∣BCl∣√5×2√2^4

sin<AM,BC、>=?/?-eos2<AM,BC>=乎

所以,l

故選：C.

6.（2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體ABCD-ASG。中，E為棱BC上的動點(diǎn)，F(xiàn)

為棱BlB的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線Aq與直線跳■相交

B.當(dāng)E為棱8C上的中點(diǎn)時，則點(diǎn)E在平面4。尸的射影是點(diǎn)產(chǎn)

C.存在點(diǎn)E,使得直線AR與直線E尸所成角為30

D.三棱錐E-4)尸的體積為定值

【答案】D

【解析】A：由題意知，A,Dl/∕Blc,,BcU平面AGCB,AAU平面BCCB

所以AR〃平面ACC8,

又EFU平面BCCB,所以Aa與E尸不相交，故A錯誤；

B：連接AZ)|、DlF.AF.AE.CB1,如圖，

當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時，EF//CB1,又ADlCBI,所以E尸，AR,

若點(diǎn)E在平面AR尸的射影為尸，則所，平面4。尸，垂足為尸，

所以￡F_LAF，設(shè)正方體的棱長為2,則AE=AF=石，EF=√2,

在-AE尸中，AF2+EF1≠AE2<所以NAFE≠90°,

即EFj_AF不成立，故B錯誤：

C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-WZ,連接8G，則ADJ/BG，

所以異面直線EF與ADl所成角為直線EF與BC1所成角，

設(shè)正方體的棱長為2,若存在點(diǎn)‰2,0)(0≤α≤2)使得EF與BG所成角為300,

則8(2,2,0),F[2,2,l),C1(0,2,2),所以￡F=(2—4,0,l),5C∣=(—2,0,2),

所以上陽=為-2,又冏?BGI=附IBGICoS300,

W∣2β-2∣=2√2×√(2-a)2+l×y?,解得”=4±6

不符合題意，故不存在點(diǎn)E使得EF與AR所成角為30',故C錯誤;

D：如圖，

由等體積法可知Vκ-ΛΠF=vFADE.

又yF-ADE=\sade-BF=1×1×ΛD×AB×BF,

AD,AB,BF為定值，所以匕內(nèi)光為定值，

所以三棱錐￡-4?的體積為定