2023年高考和模擬題分項(xiàng)匯編數(shù)學(xué)（理）03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解析版）

專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.【2023年高考全國HI卷理數(shù)】已知曲線y=αe*+xlnx在點(diǎn)（1,4ze）處的切線方程為y=2x+6,則

A.a=e,b=-?B.a=e,b=?

C.α=e^^',Z?=lD.a-e1>b——\

【答案】D

【解析】V/=aex+ln%+l,

切線的斜率Z=VIAT=αe+1=2,.?,α=e-ι,

將(1,1)代入y=2x+8,得2+8=1,O=-L

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到含有。，6的等式，從而求解，屬

于?？碱}型.

2.【2023年高考天津理數(shù)】已知α∈R,設(shè)函數(shù)/(x)=1"~2ea+2a^"≤「若關(guān)于X的不等式/(幻之o

x-αlnx,x>l.

在R上恒成立，則。的取值范圍為

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,e]D.[l,e]

【答案】C

【解析】當(dāng)X=I時(shí)，/(1)=1-2α+2α=l>0恒成立；

*2

當(dāng)x<l時(shí)?，f(%)=X2-2ax+2a≥0<=>2α>———恒成立，

x-1

令g(x)=-?,

X-I

2

則g(χ)=__±'_(IT):=Jl→)-2(1-X)+1

l-x1-X\—X

=?1^Λ+T?^?-W1^^,T?^?0'

當(dāng)I-X=」一，即X=O時(shí)取等號，

1-X

：.2a≥g(x)mm=0,則α>0.

X

當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)=x-4zlnx>0,即α≤—恒成立,

Inx

令h(x)=?,貝(X)=丁、］,

InX(Inxy

當(dāng)x>e時(shí)，h?x)>O,函數(shù)∕z(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)O<x<e時(shí)，/(x)<0,函數(shù)力(X)單調(diào)遞減，

則x=e時(shí)，∕z(x)取得最小值〃(e)=e,

,α~(x)min=e,

綜上可知，。的取值范圍是[0,e].

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，分別利用基本不等式和求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的最值，然后

解決恒成立問題.

x,x<0

3.(2023浙江)已知α]∈R,函數(shù)/(x)=,1312八.若函數(shù)了=/(不)一?一。恰有

—X--(tz+l)x+4x,x≥0

3個(gè)零點(diǎn)，則

A.a<-?,b<0B.a<-?,b>0

C.a>-l,?<0D.a>-?,b>0

【答案】C

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(I-a)x-b=0,得X=￡,

則V=ZG)-ax-b最多有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，i232

x>0jy=jf(X)3-ax2-b=-x--(α+l)x+ax3-ax2-b=-x--(a+l)x-h,

yf=X2一(α+l)x,

當(dāng)α+lW0,即把-1時(shí)，y≥0fy=f(x)-仆-8在[0,+∞)上單調(diào)遞增，

則y=∕(χ)-αχ-6最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)α+l>O,即α>-l時(shí)，令>,0得X￡(〃+1,+oo),此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,

令yvo得x∈[o,a+i),此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn).

根據(jù)題意，函數(shù)y=/(x)-Or-b恰有3個(gè)零點(diǎn)Q函數(shù)y=/(x)-OY-6在(-8,0)上有一個(gè)零點(diǎn),

在[0,+8)上有2個(gè)零點(diǎn)，

如圖：

*'?----VI)且11J

1-"?(ɑ+1)—~(ɑ+l)(α+1)7—bVO

解得b<0,1-α>0,b>--(α+l)3,

6

貝IJ?>-1,?<0.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.當(dāng)XVo時(shí)，y=∕(x)-OX-b=χ-ax-b=(l-a)X

-6最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)XK)時(shí)，N=/(x)-ax-b=?-?(α+l)x2-?,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，從而結(jié)合題意UJ列不等式組求解.

4.【2023年高考全國I卷理數(shù)】曲線y=3(f+χ)e，在點(diǎn)(OQ)處的切線方程為

【答案】3x-y=0

【解析】y'-3(2x+l)ev+3(x2+x)ejc=3(x2+3x+l)ev,

所以切線的斜率％=y'L0=3,

則曲線y=3(/+χ)e，在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x,Bp3x-y=0.

【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ),本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟,而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.求

導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求.

4

5.【2023年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系XQy中，尸是曲線y=x+—(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直

X

線X+y=0的距離的最小值是，

【答案】4

44

【解析】由y=x+-(x>0),得y'=l--r,

Xx^^

44

設(shè)斜率為—1的直線與曲線y=X+—(X>0)切于(X。，X。+一)，

X?

由］_3=—1得Λ0=J2(XO=一夜舍去)，

?

.?.曲線y=x+d(x>O)上，點(diǎn)P(0,30)到直線x+y=O的距離最小，曷小值為悍+3&I->

X√12+12

故答案為4.

【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)

數(shù)法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

6.【2023年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系Xay中，點(diǎn)/在曲線尸InX上，且該曲線在點(diǎn)Z處的切線經(jīng)過

點(diǎn)(-e,-l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)Z的坐標(biāo)是▲.

【答案】(e,1)

【解析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值，可得切點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)A(Xo,%),則X)=InX0.

又y=L

X

,I

當(dāng)X=Xo時(shí)，>'=一,

?

1,、

則曲線y=lnx在點(diǎn)力處的切線為丁一%=—(-r-?),

?

1Xt

gpγ-lnx0=-----1,

?

將點(diǎn)(-e,T)代入，得TTnXO=

即XOlnXO=e,

考察函數(shù)"(x)=XInx,

當(dāng)x∈(0,l)時(shí),H(X)<0,當(dāng)x∈(l,+∞)時(shí)，H(x)>0,

且=InX+1,

當(dāng)x>l時(shí)，H'(x)>0,"(x)單調(diào)遞增，

注意到“(e)=e,

故x0lnXo=e存在唯一的實(shí)數(shù)根XO=e,

此時(shí)為=1，

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,l).

【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：

一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，

同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn).

7.【2023年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)/(x)=e"+恁7(“為常數(shù)).若/(x)為奇函數(shù)，貝IJa=；

若/(無)是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是.

【答案】T(9,O]

【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于。的恒等式，據(jù)此可得。的值，然后利用了'(X)≥0可得。的取

值范圍.

若函數(shù)/(X)=ev+aex為奇函數(shù)，貝U/(―x)=-/(%),即e^jt+ɑe*=—(e*+aex),

即(α+l)(ev+e-?)=O對任意的X恒成立，

則Q+1=0，得Q=—L

若函數(shù)/(x)=e*+aex是R上的增函數(shù)，則f'(x)=ev-ɑe"NO在R上恒成立，

即α≤e2x在R上恒成立，

又e2v>O>則α≤O,

即實(shí)數(shù)α的取值范圍是(一8,0］.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中，需利用轉(zhuǎn)化與

化歸思想，轉(zhuǎn)化成恒成立問題.注重重點(diǎn)知識、基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算能力的考查.

8.【2023年高考全國I卷理數(shù)】已知函數(shù)/(x)=SinX-In(I+x),/'(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

TT

(1)/'(X)在區(qū)間(一1,一)存在唯一極大值點(diǎn)；

2

(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】(1)設(shè)g(x)=/'(X),貝IJg(X)=COSX———,g'(x)=-Sin尤+——~~7.

l+x(l+x)

當(dāng)時(shí)，g'(x)單調(diào)遞減，而g'(0)>0,g'(∕)<0,可得g'(x)在1―1,；)有唯一零點(diǎn)，

設(shè)為。.

則當(dāng)九∈(-l,2)時(shí)，g'(x)>O;當(dāng)元時(shí)，g'(x)<O.

所以g(x)在(-l,α)單調(diào)遞增，在α,］單調(diào)遞減，故g(x)在巴)存在唯一極大值點(diǎn)，即尸(X)

在存在唯一極大值點(diǎn).

(2)/(x)的定義域?yàn)?—1,+8).

(i)當(dāng)XG(-1,0］時(shí)，由(1)知，/'(X)在(一1,0)單調(diào)遞增，而JXO)=0,所以當(dāng)xe(-l,0)時(shí),

∕,(x)<0,故/(x)在(-1,0)單調(diào)遞減,又/(0)=0,從而x=0是/(x)在(一1,0］的唯一零點(diǎn).

0

(ii)當(dāng)x∈時(shí)，由(I)知，尸(X)在(0,α)單調(diào)遞增,在a,單調(diào)遞減,而/'(0)=0,/'S"'

所以存在尸∈a］,使得/(￡)=0,且當(dāng)x∈(O,0時(shí)，∕,(x)>():當(dāng)XG夕,撲寸，∕,(x)<0.

故f(x)在(0,/?)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又/(O)=O，/1])=l-hl[l+5)>0,所以當(dāng)尤e(0,5時(shí),/(x)>0.從而，/(x)在(0段沒有

零點(diǎn).

(iii)當(dāng)Xwgπ時(shí)，/(X)<0,所以/(x)在(/,π)單調(diào)遞減.而//>0，/(兀)<0，所以/(x)

在(5,兀有唯一零點(diǎn).

(iv)當(dāng)x∈(π,+∞)時(shí),ln(x+l)>l.所以/(x)<0,從而f(x)在(π,+8)沒有零點(diǎn).

綜上，/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的

關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在性定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間

內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.

X+]

9.【2023年高考全國∏卷理數(shù)】已知函數(shù)/(x)=InX--------.

x-1

(1)討論,/U)的單調(diào)性，并證明yu)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)XO是7U)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線"ln?在點(diǎn)Aa0,InXo)處的切線也是曲線y=e'的切線.

【答案】(1)函數(shù)/(X)在(0,1)和(l,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；

(2)見解析.

【解析】(1)∕CO的定義域?yàn)?0,1)J(1,+8).

12

因?yàn)?'(X)=一+;~-τ>0,所以/(x)在(0,1),(1,+oo)單調(diào)遞增.

尤(X-I)

e+]p?2l2-3

因?yàn)閒(e)=l--------<0,/(e2)=2--4+=一e^>0,所以/(x)在(1,+8)有唯一零點(diǎn)XI,即

e-1e;2-1e2-l

/(χ∣)=0.又O<L1,f(-)=-?n;X+11

η+-l-r=-∕Uι)=θ,故/co在(0,D有唯一零點(diǎn)一.

百X,x1-1X1

綜上，/(X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

1

(2)因?yàn)橐?故點(diǎn)B(TnX°,--)在曲線產(chǎn)e?上.

由題設(shè)知/(?)=0,即InXO=衛(wèi)T,故直線A8的斜率Z=寺----------=?JoT=—.

?-1-ln?-?xo+1V?

Λ()

Xo-I1

,1、11

曲線y=el-在點(diǎn)β(-∣n?,-)處切線的斜率是一，曲線y=Inx在點(diǎn)A(XO,InXo)處切線的斜率也是一，

?xo?

所以曲線y=Inx在點(diǎn)A(XO,In/)處的切線也是曲線產(chǎn)e`的切線.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

10.【2023年高考全國m卷理數(shù)】已知函數(shù)/(x)=2χ3-0χ2+∕7?

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在6,使得/(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為T且最大值為1?若存在，求出4力的所有值；

若不存在，說明理由.

Q=Oα=4

【答案】(1)見解析；(2)［,或］ι.

P=-I［?=1

【解析】(1)f,(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

令/'(χ)=0?得A=O或1二?∣.

若a>0,則當(dāng)Xe(-∞,0),+8)時(shí)?，f'(χ)>O：當(dāng)x∈(0,三］時(shí)?，∕,(x)<O.故/(x)在

(-8,0)(］,+oo)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

若α=0,7(x)在(-8,+8)單調(diào)遞增；

,

若4<0,則當(dāng)x∈b8,T(0,+8)時(shí)，∕(x)>0；當(dāng)Xe(W,0)時(shí)，/'(x)<0.故/(x)在

1-8,q),(0,+oo)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

(2)滿足題設(shè)條件的”,Z>存在.

(i)當(dāng)好0時(shí)，由(1)知，/(x)在［0,1］單調(diào)遞增，所以/(x)在區(qū)間［0,I］的最小值為/(0)=b,最

大值為/(1)=2-α+b.此時(shí)“，6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)6=-1,2-α+匕=1,即α=0,b=T.

(ii)當(dāng)生3時(shí),由⑴知，/(x)在［0,1］單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為f(0尸),

最小值為了⑴=2—。+6此時(shí)α,6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2—。+匕=—1,b=?,即α=4,b=?.

(iii)當(dāng)0<?∕<3時(shí)，由⑴知，/(x)在［0,1］的最小值為/(∣?)=*+h,最大值為b或2-a+Z?.

-^-+?=-1,6=1,則a=3?V∑,與0<“<3矛盾.

27

若-E-+0=-l,2-a+b=?,則α=38或α=-36或。=0,與0<α<3矛盾.

27

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)α=0,6=-1或α=4,6=1時(shí)，/(x)在［0,1］的最小值為-1,最大值為1.

【名師點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和不等式的綜合題，題目難度比往年降低了不少，考查函數(shù)的單

調(diào)性、最大值、最小值這種基本量的計(jì)算.

11.【2023年高考北京理數(shù)】己知函數(shù)/(X)=—χ3-?√+χ.

4

(1)求曲線y=/(χ)的斜率為1的切線方程；

(H)當(dāng)XeI-2,4］時(shí)，求證：x-6≤f(x)≤x?

(III)設(shè)尸(X)=I/*)—(x+α)∣(α∈R),記-(X)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(α).當(dāng)M(α)

最小時(shí)，求”的值.

64

【答案】(I)y=x與y=x——；(II)見解析；(W)α=-3.

27

1,3

【解析】(I)由/(X)=—/-χ2+χ得y?'(χ)=二χ2-2χ+］.

44

3R

令/'(%)=1，BP-X2-2X÷1=L得X=?；騒=

又/(0)=0,/(1)=*

QQ

所以曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y-揖=X—：,

,64

BhπPγ=%'jy=x--.

(Il)令g(x)=/(X)-X,x∈［-2,4］?

13

由8(%)=—%3一％2得8，(%)=一％2一2%.

44

Q

令g'(x)=O得X=O或x=§.

g'(x),g(x)的情況如下：

88.

X-2(-2,0)O(-,4)4

畤3

g'(χ)+—+

64

g(χ)-6/O^27/O

所以g(x)的最小值為-6,最大值為0.

故-6Wg(X)≤0,即X-6≤∕(x)≤x.

(III)由(II)知，

當(dāng)a<—3時(shí)，M(a)≥F(O)Hg(0)-a?=-a>3;

當(dāng)a>—3時(shí)，M(a)>F(-2)=∣g(-2)-α∣=6+α>3;

當(dāng)a=—3時(shí)，/(a)=3.

綜上，當(dāng)M(a)最小時(shí)，a=-3.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式，分類討論的數(shù)學(xué)

思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

12.【2023年高考天津理數(shù)】設(shè)函數(shù)/(x)=e'cosx,g(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Il)當(dāng)x∈時(shí)，證明/(x)+g(x)[∕-x)≥0;

(III)設(shè)相為函數(shù)〃(X)=/(尤)一1在區(qū)間(2〃兀+;,2〃兀+])內(nèi)的零點(diǎn)，其中〃∈N,證明

2nπ

Cπe^

2nπ+--x<

llsin%-cos%

5ππ

【答案】(I)/3的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-τ,2kπ+-(丘Z)∕x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

Tl?jr

2?π+-,2^π+-(?∈Z).(∏)見解析；([∏)見解析.

44_

【解析】(I)由已知，有/'(x)=e"(cosx-Sin尢).因此，當(dāng)+&π+?)(Z∈Z)時(shí)，

有SinX>cosx,得/'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(2攵兀一自,2ZK+：)(Z∈Z)時(shí)，有

sinX<cosX,得,f'(%)>O,則/(%)單調(diào)遞增.

所以，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為2版一日,2E+((AeZ),/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為

TTSTt

2^π+-,2Jlπ+-(Z∈Z).

_44

(II)證明：記∕z(x)=/(無)+g(x)[^-x].依題意及(I),有g(shù)(x)=ejt(coSX-SinX),從而

g'(x)=—2e'sinx.當(dāng)時(shí)，g'(x)<O,故

廳(X)=/'O)+g'(χ)[^∣一x)+g(x)(-1)=g'O)]一"J<0?

上單調(diào)遞減，進(jìn)而心)≥哈[=/0=0.

因此，NX）在區(qū)間

所以，'l1X∈d時(shí),/(x)+g(x)]^∣■-X)NO.

(HI)證明：依題意，a(x")=/'(x“)-l=O,即e*"CoSX“=1.記y“=x“一2〃兀，則其右(]，，)，

evx2lbτ-2zt

且f(yn)-'"cosyn-e"~cos(Λ,,-2〃兀)=e"(n∈N).

由/(K)=e-2皿≤1=∕(為)及(I),得"≥%?由(H)知，當(dāng)寸，g'(x)<O,所

以g(x)在上為減函數(shù)，因此g(%)Vg(%)<=°?又由(II)知，

/(y“)+g(y“)(a-y,J≥θ,故

Tt_，V『Ve-2""_1：e-"n

2片—g(y,Jg(%)-g(>o)e"(sin%-cos%)SinXo-CoS%.

πe^2wπ

所以，2∏πH-----Xfl<----------------.

2Sinx0-Cosx0

【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考

查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.

13.【2023年高考浙江】已知實(shí)數(shù)α≠0,設(shè)函數(shù)/(x)=4lnx+Jx+l,x>0.

3

(1)當(dāng)Q=-一時(shí)，求函數(shù)了(元)的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)對任意x∈[4,+∞)均有/(x)≤Y*,求〃的取值范圍.

e2a

注：e=…為自然對數(shù)的底數(shù).

【答案】(1)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,3)；(2)

【解析】(1)當(dāng)。=一3時(shí)，/(%)=In%+-Jl+X,?>0.

44

、31(√i+%-2)(2√Γ+%+l)

JW=-τ-+-T==-------------T=---------，

4x2√1+X4Λ√1+X

所以，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞).

,5

(2)由/(1)≤-,得0<α≤

Ia4

當(dāng)0<α<走時(shí)，/(x)<五等價(jià)于4—竺三—2InXA0.

42aaa

令f=L,則f≥2√5.

a

設(shè)g(/)=t2?[x-2r√T+x-2?nx,t≥2Λ∕2,

(i)當(dāng)x∈J，+00)時(shí)，l÷i≤2√2,則

X

g(f)≥g(2y∣2)=8Λ∕X-4>∕2Λ∕1+X-2In%.

記P(X)=4Vx—2>∕2Λ∕1+X-InX,X≥?,則

(x-l)fl+??∕x(?χ∕2x÷2—1)]

X>∕X+1(Λ∕Λ+1)(Λ∕X+1+?∣2x)

]_

XI(l,+∞)

7

p'(x)—0+

Pg)

P(X)單調(diào)遞減極小值P(I)單調(diào)遞增

所以,MX)≥p(l)=O.

因此，g(∕)≥g(2√Σ)=2p(x)≥0.

(ii)'lIX∈-7,—]時(shí),-2Λ∕X1ΠX-(X+1)

e-7J2Vx

令g(x)=241nx+(x+l),x∈—,?Inx+21.

，則q'(x)—7^-+l>0,

e27

故在上單調(diào)遞增,

q(x)?,?所以q(x),,?

e~7

山⑴得,福卜乎時(shí)<一乎P(D=°.

所以，q(x)<0.

因此g(f)??gJi+:

由⑴(ii)知對任意XG^?,+∞j,∕∈[2√2,+∞),g(r)..0,

即對任意x∈∣^-l,+8],均有/(X),,—.

Le-)2a

(∕τ^

綜上所述，所求。的取值范圍是0,—.

I4」

【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，

對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分

相聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

14.【2023年高考江蘇】設(shè)函數(shù)f(x)=(x-α)(x-力(X-C)M也c∈R、尸(X)為。(尤)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若*b=c,且f(x)和/(X)的零點(diǎn)均在集合｛一3,1,3｝中，求/(x)的極小值;

4

(3)若α=0,0<Z?,,LC=1,且/(x)的極大值為求證:陋?dú)v.

【答案】(1)。=2；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】(1)因?yàn)棣?b=c,所以/(x)=(x-α)(X-ZO(X-C)=(X-a)，

因?yàn)?(4)=8,所以(4-α)3=8,解得α=2?

(2)因?yàn)?=c,

所以/(x)=(x-α)(x-Z>)2=%3-(α+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,

從而尸(X)=3(x-b)(X-幺(S)令/'(x)=0,得X=/?或X=笥2.

因?yàn)?。?也也都在集合｛—3,1,3｝中，且ɑ≠6,

3

所以2""=1,α=3,6=-3.

3

此時(shí)/(χ)=(χ-3)(x+3)2,f'(x)=3(X+3)(X-1).

令/(X)=0,得％=—3或X=L列表如卜:

X(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,÷∞)

/'(X)+0—0+

/(X)/極大值、極小值Z

所以f(x)的極小值為F(I)=(I-3)(1+3)2=-32.

(3)因?yàn)棣?O,c=l,所以/(x)=MX-b)(x-l)=A-(6+1)1+版,

f?x)=3x2-2(b+l)x+b.

因?yàn)镺<Z>≤1,所以∕=4(b+l)2-12b=(2b-iy+3>O,

則()有個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為

/'X2XI,Λ2(XI<Λ2)?

22

、Cz,1?+l-V?-b+lh+l+y]h-b+?

由尸(X)=0,得內(nèi)=---------------,x2=-----------------------

列表如下:

(-∞,x)(XI,"2)

X1西xι(々，+8)

尸(X)+0—0+

f(χ)Z極大值極小值/

所以/(x)的極大值Λ∕=∕(xJ?

解法一：

M=/(Xj=X：_(人+1)x；+hX]

=函-2S+1)%+切母一等)一2伍JI)%+等12

2

-2(b-b+l)(b+l)+竽+泉病-Z?+lV

27

嗎"2(?+D+余網(wǎng)口由)3

2727

?(?+l)24」“4

≤-——-+一≤一.因此M≤—.

27272727

解法二:

因?yàn)?<8≤l,所以玉∈(O,1).

當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，/(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.

☆g(x)=Mx—l)2,xe(0,l),則g，(X)=(?-l).

44

所以當(dāng)X∈(O,1)時(shí)，/(x)≤g(x)≤為，因此"≤5y.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以

及邏輯推理能力.

15.【河北省武邑中學(xué)2023屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)】函數(shù)/(%)=x2-21nx的單調(diào)減區(qū)間是

A.(0,l]B.[l,+∞)

C.(-∞,-l]U(0,1]D.[-1,0)U(0,1]

【答案】A

【解析】∕,(x)=2x-∣=^^(x>0),

令/'(x)≤0,解得：0<x≤l.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

16.【江西省南昌市2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)】已知/(無)在R上連續(xù)可導(dǎo)，/'(X)為其導(dǎo)函數(shù)，且f(x)=e`+

e-x--(I)X(ex-e-x),則/(2)+∕,(-2)--(0)/(1)=

A.4e2+4e^2B.4e2-4e^2

C.0D.4e2

【答案】C

【解析】V/(-x)=e-λ+ev-?(l)(-?)(e-?-e?)=/(x),

.?./(x)是偶函數(shù)，

兩邊對X求導(dǎo)，得一/'(一X)=/'(X),即r(—x)=-r(x),

則/'(X)是R上的奇函數(shù)，則/'(())=O,

r(一2)=-廣⑵,即Γ(2)+/(-2)=0,

則/'⑵+m(0)八1)=0.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性是解決本題的關(guān)鍵，是中

檔題.

17.【江西省新八校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)】若/。)+3/(-乃=丁+2；1+1對_^10亙成立，則曲線

y=f(χ)在點(diǎn)(1,./■(1))處的切線方程為

A.5x+2γ-5=0B.10%+4γ-5=0

C.5x÷4γ=0D.20x-4y-15=0

【答案】B

【解析】/(x)+3/(-?)=X3+2x+1……①，

.?.f(-x)+3/(x)=-X3-2x+l②，

113

聯(lián)立①②，解得/(x)=—-%+W,則r(χ)=—,χ2-1,

⑴=」_"=_2,廣⑴=一W=-J

v,244v722

,切線方程為：y+-=--(x-?),即IoX+4)，-5=0.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某一點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是能夠利用構(gòu)造方程組

的方式求得函數(shù)的解析式.

18.【云南省玉溪市第一中學(xué)2023屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)】函數(shù)/(x)=fInX的最小值為

11

A.——B.-

e

1

cD.—

?^?2e

【答案】C

【解析】由題得Xc(0,+∞),∕,(x)=2%lnx+x=x(21nx+l),

?

令21nx+l=0,解得x=e"

則當(dāng)x∈(0,e2)時(shí)，/(x)為減函數(shù)，當(dāng)xw(e2,+8)時(shí)，/(x)為增函數(shù),

-L_1]

所以x=e2處的函數(shù)值為最小值，且/(e2)=—「_.

2e

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，解此類題首先確定函數(shù)的定義域，其次判斷函數(shù)的單調(diào)性,

確定最值點(diǎn)，最后代回原函數(shù)求得最值.

19.【四川省內(nèi)江市2023屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】若函數(shù)/(x)=TaX2+χ]nχ-X存在單調(diào)遞增區(qū)間,

則ɑ的取值范圍是

B.-?÷∞

c.(-1,+8)D.

【答案】B

【解析】f,(x)=ax+Inx，

/(幻＞。在XW(θ,+oo)上成立,

即or÷InX>()在X∈(0,+∞)上成立,

即〃>一1!竺在x∈(0,+oθ)上成立.

X

?/、Inx./、I-Inx

令g(X)=------,則mg，(X)=-----------

XX

Inr

Λg(X)一把在(0,e)上單調(diào)遞減，在e,+∞)上單調(diào)遞增,

X

Jg(X)—!竺的最小值為g(e)=—，

Xe

?.?〃`>1.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用，屬中檔題.

20.【山西省太原市2023屆高三模擬試題(一)數(shù)學(xué)】已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(χ)滿足Xr(X)-f(χ)<0,

且f(2)=2,則/Xe*)-ex>0的解集是

A.(—8,1∏2)B.(In2,+8)

C.(0,e2)D.(e2,+∞)

【答案】A

【解析】令g(χ)0,g'(χ)=必9<0,

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且g(2)=等=L

故f(e*)一針>0等價(jià)為警>哈即g(H)>g(2),

e"2

故e*<2,即x<ln2,

則所求的解集為(-8,ln2)?

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，考查分析推理能力，是中檔題.

21.【河南省焦作市2023屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)】已知α=In遮，b=e-1,C=萼，則α,b,c的大小

8

關(guān)系為

A.b<c<aB.a>c>b

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

1

【解析】依題意，得α=ing=也，?=e-=->c=31n2=ln8

3e88

令"x)=f,所以/，(X)=臂.

所以函數(shù)八》)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以[/(x)]maχ=f(e)=E=b,且f(3)>/(8),即α>c,

所以b>a>c.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造出函數(shù)/(X)=T是解題的關(guān)鍵，屬

于中檔題.

22.【安徽省毛坦廠中學(xué)2023屆高三校區(qū)4月聯(lián)考數(shù)學(xué)】已知f(%)=Inx+1-oex,若關(guān)于X的不等式f(x)<

0恒成立，則實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍是

A.\。0,L)B.(→o,θ)

1D,l,∞

C.—,+∞+

e

【答案】D

［解析】由/(x)<0恒成立得a>埠?恒成立，

1,,

1.1—In%-1

設(shè)MX)=一^,則〃(尤)=>^~--.

設(shè)InX-1,則g'(x)=―-'一，<0恒成立,

XXX

■■g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又?；g(l)=0,二當(dāng)0<X<1時(shí)，g(x)>g(l)=0,即"(x)>0；

當(dāng)X>1時(shí)，g(x)<g(l)=0.即∕ι'(X)<0.

.?.MX)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

???MX)max=MI)=ɑ>；?

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，分離參數(shù)是常見的方法，屬于中

檔題.

1

3

=X

23.【遼寧省丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試】若χ=l是函數(shù)/(x)3-÷(α+I)X--(cr+a—3)x的

極值點(diǎn)，則。的值為

A.-2B.3

C.-2或3D.-3或2

【答案】B

【解析】/(Λ)=-Λ3+(α+l)%2-(a2+α-3)%=>f'(x)=x2+2(a+l)x-(^a2+(7-3),

由題意可知/'(1)=0,即1+2(。+1)-(/+4-3)=0=4=3或α=—2，

當(dāng)α=3時(shí)，∕,(x)=X2+2(α+l)x-(q2+?-3)=x2+8x-9=(x+9)(x-l),

當(dāng)x>l或x<—9時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)一9<x<l時(shí)，∕,W<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

顯然X=I是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)；

當(dāng)α=-2時(shí)，f'(x)=X2+2(?+l)x-+α-3)=f-2x+l=(x-l)2≥0,

所以函數(shù)/(X)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去.

故Q=3.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的極值，求參數(shù)的問題.本題易錯(cuò)的地方是求出。的值，沒有通過單

調(diào)性來驗(yàn)證X=I是不是函數(shù)的極值點(diǎn)，也就是說使得導(dǎo)函數(shù)為零的自變量的值，不一定是極值點(diǎn).

24.【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期第四次模擬(最后一卷)考試】已知奇函數(shù)/(x)是定義

在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),當(dāng)x>0時(shí)，有2/(力+才(力>/,則不等式

(x+2018)2∕(x+2018)+4∕(-2)<0的解集為

A.(→o,-2016)B.(-2016,-2012)

C.(-∞,-2018)D.(-2016,0)

【答案】A

【解析】設(shè)g(x)=f∕(χ),

因?yàn)?(X)為R匕的奇函數(shù)，

所以g(-X)=(-X)2/(-X)=-X2/(?)，

即g(x)為R上的奇函數(shù)

對g(x)求導(dǎo),得g<x)=x[2/(X)+才(X)],

而當(dāng)x>0時(shí)，有2∕(x)+M"(x)>X220,

故x>0時(shí)，g'(x)>O,即g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

則不等式(X+2018)2/(x+2018)+4∕(-2)<0BP(χ+2018)2/(X+2018)<-4/(-2),

即(X+2018)2∕(X+2018)<4∕(2),

即g(x