第13講分式方程(核心講與練)-(解析版)

第13講分式方程(核心考點講與練)

聚焦考點

一.分式方程的定義

分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù).

二.分式方程的解

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于O的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，

可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于O的值，不是原分式方程的解.

三.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如下檢

驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為()，則整式方程的解是原分式方程

的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最筒公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式方程

的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

四.換元法解分式方程

1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫

換元法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題

移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處

理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代

替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).

五.分式方程的增根

(1)增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母

的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的

增根.

(2)增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方

程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)

把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如

果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根.

(3)檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最筒公分母，看最簡公分母是否

為0,如果為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根?

六.由實際問題抽象出分式方程

由實際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系.

(1)在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相

遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等.

(2)列分式方程解應(yīng)用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路.

七.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要

寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工

作量工作時間

等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學(xué)會分析題意，提高理解能力.

名嬸點晴

一.分式方程的定義(共2小題)

1.(2021春?羅湖區(qū)期末)有下列方程：①2χ4^L=I0；②x[=2；③」^-3=0；④

5X2x+l

紅4^L=0?屬于分式方程的有()

32

A.①②B.②③C.③④D.②④

【分析】根據(jù)分式方程的定義對各小題分析判斷即可得解.

【解答】解：①2Λ+工1=10是整式方程，

5

②X-工=2是分式方程，

X

③-?-3=0是分式方程，

2x+l

④2匹+zzl=()是整式方程，

32

所以，屬于分式方程的有②③.

故選：B.

【點評】本題考查了分式方程的定義，判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程

的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù).

2.（2018秋?惠民縣期末）觀察分析下列方程：①X+2=3；②X+2=5;③X+」2=7,請利用他

XXX

們所蘊含的規(guī)律，寫出這一組方程中的第"個方程是x+n（n+l）=〃+（〃+1）.

X

【分析】方程中的分式的分子變化規(guī)律為：〃（〃+1）,方程的右邊的變化規(guī)律為〃+（H+1）.

【解答】解：?.?第1個方程為X+工SZ=1+2,

X

第2個方程為x+2咨=2+3,

X

第3個方程為X+3*=3+4,

X

，第“個方程為x+生6ill="+（n+1）.

x

故答案是：―n（n+l）="+（”+］）.

X

【點評】本題考查了分式的定義.該題屬于尋找規(guī)律的題目，對于此類題型，應(yīng)觀察哪部分

沒有發(fā)生變化，哪部分發(fā)生了變化，變化的規(guī)律是什么.

二.分式方程的解（共2小題）

3.（2021秋?如皋市期末）已知關(guān)于X的方程-的解是正數(shù)，那么，”的取值范圍為

x-33-x

（）

A.-6且加≠3B.m<6C.-6且mW-3D.加<6且加W-2

【分析】先解分式方程得元=6+機，再由題意可得6+機>0,6+∕77≠3,求出機的范圍即可.

方程兩邊同時乘1-3,得X-2（X-3）=-m,

去括號得，X-2x+6=-mf

解得工=6+m，

Y方程的解是正數(shù)，

6+w>0?

Λm>-6,

V6+m≠3,

ΛAΠ≠-3,

故選：C.

【點評】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，切勿遺漏增根的情況是解題的

關(guān)鍵.

4.(2021秋?啟東市期末)若關(guān)于X的方程」-"!1=0無解，則機的值是3.

χ-44-χ

【分析】先解方程得x=m+l,再由方程無解，可得冗=4,由此可求小的值.

【解答】解：-旦=0,

χ-44-X

方程兩邊同時乘X-4,得m+I-X=0,

解得X=加+1,

：方程無解，

.?.x=4,

.^.m=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解增根與無解的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

三.解分式方程(共5小題)

5.(2021秋?通州區(qū)期末)把分式方程旦=1化為整式方程正確的是()

χ-22-χ

A.1-(1-χ)=1B.1+(1-χ)=1

C.1-(1-x)=χ-2D.1+(1-x)=Λ-2

【分析】分式方程變形后，兩邊乘以最簡公分母(x-2)化簡得到結(jié)果，即可作出判斷.

【解答】解：方程變形得：工+上3=1,

χ-2χ-2

去分母得：1+(I-X)=x-2,

故選：D.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時注意要檢驗.

6.(2021秋?高郵市期末)解分式方程：

【分析】(1)通過去分母、去括號、移項、合并同類項、X的系數(shù)化為1、檢驗解決此題.

(2)通過去分母、去括號、移項、合并同類項、X的系數(shù)化為1、檢驗解決此題.

【解答】解：(1)

x-77-x

方程兩邊同乘X-7,得X-6-1=8(X-7).

去括號，得x-7=8x-56.

移項，得X-8X=-56+7.

合并同類項，得-7x=-49.

X的系數(shù)化為1,得X=7.

檢驗：當(dāng)x=7時，X-7=0.

.?.x=7是這個分式方程的增根.

這個分式方程無解.

方程兩邊同乘(x+2)(X-I).得X(X-I)=2(X+2)+(X+2)(X-1).

去括號，得Λ2-x=2x+4+/-X+2Λ-2.

移項，得X2-X-Ix-x2+x-2x=4-2.

合并同類項，得-4x=2.

X的系數(shù)化為1，得X=

2

檢驗：當(dāng)X=-」時，(x+2)(x-l)≠0.

2

???這個分式方程的解為X=

2

【點評】本題主要考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解決本題的關(guān)鍵.

7.(2021春?灤陽市期末)解下列分式方程：

(1)-?-+-^-=1；

χ-lI-X

(2)-?-1=—?—.

χ-2χ2-4

【分析】(1)(2)首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式方

程的解要進行檢驗.

【解答】解：(1)I,

χ-ll-χ

??-?=1,

χ-lχ-l

方程兩邊同時乘(%-1),可得：1-2=χ-1,

解得X=O,X-1≠0,

???原分式方程的解為x=0?

(2)v-?-1=—^―

X^2X2-4

"~X?2―(x+2)(χ-2)'

方程兩邊同時乘(X+2)(x-2),可得：X(X+2)-(X+2)(χ-2)=8,

整理得：Ir-4=0,

解得x=2,

檢驗：當(dāng)x=2時，(X+2)(X-2)=0,

原分式方程無解.

【點評】此題主要考查了解分式方程，解答此題的關(guān)鍵是要明確解分式方程的步驟：①去分

母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

8.(2021秋?虎林市校級期末)己知關(guān)于X的方程N--.一步一

x-1(XT)(X+2)x+2

(1)已知機=4,求方程的解；

(2)若該方程無解，試求”的值.

【分析】(1)把機=4代入方程，方程兩邊都乘以(X-I)(x+2)得出2(x+2)-4Λ=X-

1,求出方程的解，再進行檢驗即可;

(2)先方程兩邊都乘以(x-1)(x+2)得出2(x+2)-mx=x-1,整理后得出(1-機)X=

-5,再求出所有情況即可.

【解答】解：(1)把m=4代入方程」一一?一步一?得：?4x

x-1(x-1)(x+2)x+2x-1(X-I)(X+2)

=1

T^2^,

方程兩邊都乘以(X-I)(x+2)得：2(x+2)-4x=x-1,

解方程得：χ=S,

3

檢驗：當(dāng)X=S時，(x-1)(x+2)≠0,

3

所以x=5是原方程的解，

3

即原方程的解是x=5；

3

(,)2mx]

χ-l(XT)(X+2)x+2

方程兩邊都乘以(x-1)(Λ-+2)得：2(X+2)-mx=χ-I0,

整理得：(l-m)x=-5②，

有三種情況：

第一種情況:當(dāng)X-I=O時,方程無解，即此時x=l,

把X=I代入①得：6-m=?-1,

解得：加=6；

第二種情況：當(dāng)x+2=0時，方程無解，即此時X=-2,

把X=-2代入①得：2m=-2-1,

解得：tn—~3；

2

第三種情況：:ɑ-AM）X=-5②,

，當(dāng)I-W=O時，方程無解，

即此時m=l；

所以根=6或-3或1.

2

【點評】本題考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的

關(guān)鍵.

9.（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）閱讀材料：一般情形下等式工+1=1不成立，但有些特殊實數(shù)可

Xy

以使它成立，例如：x=2,y=2時，L4A=I成立，我們稱（2,2）是使工4A=1成立的

22Xy

“神奇數(shù)對”.請完成下列問題：

（1）數(shù)對（4,4）,（1,1）中，使LJ=I成立的“神奇數(shù)對”是（4,4）；

3Xy3

（2）若（5-r,5+D是使LJ=I成立的“神奇數(shù)對”，求r的值；

Xy

（3）若（以，/1）是使工」-=1成立的"神奇數(shù)對"，且“=〃+，"，b=c+n,求代數(shù)式（?-

Xy

c）2-12（α-b'）Cb-c）的最小值.

【分析】（1）按照題中定義將數(shù)對（芻，4）,（b1）分別驗算即可；

3

（2）根據(jù)題意得關(guān)于f的分式方程，解方程即可；

（3）根據(jù)已知條件，先將根和〃用含a,b,C的式子表示出來，再根據(jù)題意得出關(guān)于m和〃的等

式，然后可得關(guān)于a,b,C的等式，從而可對所給的代數(shù)式配方，求得最值.

【解答】解：（1）3+工=I

A444

3

（4，4）是使工J=I成立的“神奇數(shù)對”.

3Xy

?.?A+A=2≠1

11

...（1,1）不是使L+1=I成立的“神奇數(shù)對”.

Xy

故答案為：(2，4)；

3

(2)若(5-65+t)是使工」=1成立的“神奇數(shù)對"，

Xy

則：，+」-=1

5-t5+t

Λ5+/+5-t=25-t2

經(jīng)檢驗，r=±√五是原方程的解

??」的值為±7五；

(3)a=b+m,b=c+n

*"?m—a-b,n=b-c

由題意得：A+A=ι

mn

??=?

a-bb-c

??b-c+a-b—(a-b)(b-c)

??a-c=(a-b)(?-c)

(α-c)2-12QLb)Qb-C)

=(〃-C)2-12Ca-c)

=(4-c-6)2-36

V(〃-c-6)2≥0

(α-c~6)2-362-36

，代數(shù)式([-c)2-12Ca-b)(b-c)的最小值為-36.

【點評】本題考查了分式方程在新定義習(xí)題和整式的化簡求值中的應(yīng)用，正確按照定義列

式，是解題的關(guān)鍵.

四.換元法解分式方程(共4小題)

IO.(2021春?奉化區(qū)校級期末)用換元法解分式方程一二一三生+1=O時，如果設(shè)

x2÷lXx2÷l

y,那么原方程可以變形為整式方程()

A.y2-3y-1=0B.y2+3y-1=0C.y2-y-1=0D.y2+y-1=0

【分析】根據(jù)換元法，把，—換成》然后整理即可得解.

x2+l

【解答】解：；^^=)，，

x2+l

，原方程化為y-1?+l=（）.

y

整理得：y2+y-1=0.

故選：D.

【點評】本題考查了換元法解分式方程，換元法是解分式方程常用的方法之一，它能夠把一

些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點，尋找解

題技巧.

號嗡的實數(shù)根是—學(xué)

11.（2020?浙江自主招生）方程1

x2+l

X-x2+l-

【分析】先將原方程變形為j再設(shè)^^=y,轉(zhuǎn)化成整式方程求解即

χ2+lX3χ2÷l-

可.

1x2+l10X^X2+1-1O

【解答】解：

x2+lX3

設(shè)T—=A則y+?l?=型，解得yι=3,y2=-?

x2÷ly33

當(dāng)）”=3時,——=3,無解舍去;

x2+l

當(dāng)”=工時,,?=1,X=

3x2÷l32

故答案為m±Y?.

2

【點評】用換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為

易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧

12.（2021春?玄武區(qū)校級期中）換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法,

我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元.所謂換元法，就是解題時，把某個式子看成一個整體，用

一個變量去代替它，從而使得復(fù)雜問題簡單化.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元.

1J=12

例如解方程組《1,設(shè)，W=工，H=X則原方程組可化為m+n=12

Zd=20Xy2m+n=20

Xy

11

=8,

m=87Xq

解之得，即1所以原方程組的解為，

1

n=4=4.

yr?

運用以上知識解決下列問題:

（1）求值:

11/11

-(---÷----×y?53

1317

1

19-'

6+3

3T可的解為

x=2

(2)方程組《

」-一2-=ιy=l'

x÷yχ-y

(3)分解因式：(f+4x+3)(/+4X+5)+1=(Λ-+2)4

3×2x+2-3y+1=lll,

(4)解方程組4

2x+1+2×3y=86.

ax+by=c

(5)已知關(guān)于X、），的方程組,111的解是x=9,求關(guān)于x、y的方程組

a2x+b2y=c2Y=5

\2

a?X-2a?x+b∣y=c?a1

的解.

2

a2x-a2

1

【分析】(1)設(shè)工」=a，代入原式化簡即可得出結(jié)論;

111317

(2)設(shè)一L=a,—L=b，將原方程組變形，求得a，b,進而求出原方程組的解;

x+yχ-y

(3)設(shè)f+4x+3=m,展開后因式分解，再將/M代入即可得出結(jié)論；

12×2x-3×3y=lll設(shè)2、=機，3.』〃，解關(guān)于相，〃的方程組,

(4)將原方程組變形為Ij

xy

l2×2+2×3=86

進而求得X.y的值;

2-

a1X-2a1x+b1y=cιa1

（5）將關(guān)于x、y的方程組,,變?yōu)?/p>

a（x2-2X+1）+by=c

111ax=9,可得:

,利用關(guān)于x、y的方程組,的解是

aχ+by=c

a2（x^2x+l）÷b2y=c2222y=5

2

X-2X+1=9,解這個方程組可得原方程組的解.

y=5

【解答】解：（I）設(shè)工

111317

原式=(l+α)(a+工)-(I+a+工)a=a+—+a2+—a

19191919

故答案為：?.

19

(2)設(shè)-L=a,-L=b，原方程組變?yōu)?

x÷yχ-y

(6a+3b=5

I9a-2b=f

'??

解得：a"?.

b=l

.??S=3.

1χ-y=1

解得：(x=2.

1y=l

經(jīng)檢驗，I、'是原方程組的解

Iy=l

故答案為：I'=2.

Iy=l

(3)設(shè)x2+4x+3=m,

原式=加(w+2)+l=∕n2+2w+l=(∕n+l)2=(X2+4Λ+3+1)2=[(x+2)2∣2=(X+2)4

故答案為：（x+2）上

12×2x-3×3y=lll

（4）原方程組變形為:

2×2x+2×3y=86

設(shè)2'=機，3?v=n,則(12m-3n=lll

I2m+2n=86

解得:Im=I6

In=27

.2x=16

??《■

3y=27

.(x=4

,ly=3"

f2

aX-2ax+by=cι-a

(5)將關(guān)于x、y的方程組｛12111整理得:

@2乂4_2@2*+匕2了=?2_&2

2

a?(X-2X÷1)+b1y=c1

2

a2(X^2X+1)+b2y=c2

a.3,的解是產(chǎn)9

???關(guān)于ry的方程組,

a2χ÷b2y=c2Iy=5

2

???<X-2x+l=9?

ky=5

gp：((X-I)2=9

.y=5

解這個方程組得：

y『5（y2=5

.?.原方程組的解為：

'x[=4%=-2

,

'Yl=5（y2=5

【點評】本題主要考查了換元法解分式方程和分式方程組，因式分解，解二元一次方程組，

有理數(shù)的混合運算，分式方程的解.利用換元法可使問題簡單化，恰當(dāng)?shù)膿Q元是解題的關(guān)

鍵.

五.分式方程的增根（共2小題）

13.（2021秋?萊蕪區(qū)期末）關(guān)于X的分式方程2+5=辿L有增根，則〃，的值為（）

χ-lχ-l

A.5B.4C.3D.1

【分析】根據(jù)分式方程的解法即可求出答案.

【解答】解：7x+5Cx-1）=2m-I

X=旭

6

由題意可知：X=Wt2代入Λ-1=0,

6

-1=0

6

解得：加=4

故選：B.

【點評】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題

型.

14.（2021秋?新邵縣期末）若關(guān)于X的方程‘L有增根，則加等于-2.

χ-5χ-5

【分析】方程兩邊都乘以最簡公分母（X-5）,把分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方

程有增根，則最簡公分母等于0求出X的值，再代入進行計算即可得解.

【解答】解：方程兩邊都乘以（x-5）得，

2=x-5-m,

：方程有增根，

.'.X-5=0,

解得x=5,

.*.2=5-5-/72,

解得E=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題考查了分式方程的增根問題，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為

整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

六.由實際問題抽象出分式方程（共3小題）

15.（2021秋?黃石期末）小明和小強為端午節(jié)做粽子，小強比小明每小時少做2個，已知小明做

100個粽子的時間與小強做90個所用的時間相等，小明、小強每小時各做粽子多少個？假設(shè)小

明每小時做X個，則可列方程得（）

A.迎=?B.迎賀

χ-2X+2χ-2X

cIOo=90dIoo=90

Xχ-2X+2X

【分析】假設(shè)小明每小時做X個，則小強每小時做（χ-2）個，根據(jù)題意可得：小明做100個

粽子的時間與小強做90個所用的時間相等，據(jù)此列方程.

【解答】解：假設(shè)小明每小時做X個，則小強每小時做（χ-2）個，

由題意得，迎q_.

Xχ-2

故選：C.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知

數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程.

七.分式方程的應(yīng)用（共4小題）

16.（2021秋?通州區(qū)期末）某校八年級學(xué)生去距學(xué)校的課外實踐基地活動，一部分學(xué)生騎

自行車先走，過了45,”譏后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達.已知汽車的速度是騎

車學(xué)生速度的4倍，求騎車學(xué)生的速度.

【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為xh"∕∕z,則乘車學(xué)生的速度為4Hm∕∕7,利用時間=路程÷速度，

結(jié)合乘車學(xué)生比騎車學(xué)生少用45〃而，即可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出騎

車學(xué)生的速度.

【解答】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為Xh”/小則乘車學(xué)生的速度為4xh"∕∕z,

依題意得：為互=至，

X4x60

解得：X=I5,

經(jīng)檢驗，X=15是原方程的解，且符合題意.

答：騎車學(xué)生的速度為

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

17.（2021秋?泰興市期末）甲、乙兩公司為“見義勇為基金會”各捐款30000元.乙公司比甲公

司人均多捐20元.給出如下兩個信息：

①甲公司的人數(shù)比乙公司的人數(shù)多20%；

②甲、乙兩公司的人數(shù)之比為6：5；

請從以上兩個信息中選擇一個作為條件，求甲、乙兩公司的人數(shù)各有多少人？

你選擇的條件是①（或②）（填序號），并根據(jù)你選擇的條件給出求解過程.

【分析】選擇①，設(shè)乙公司有X人，則甲公司有（1+20%）無人，根據(jù)乙公司比甲公司人均多捐

20元，即可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出乙公司的人數(shù)，再將其代入

（1+20%）X中即可求出甲公司的人數(shù)；

選擇②，設(shè)乙公司有5），人，則甲公司有6y人，根據(jù)乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出

關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出y的值，再將其分別代入5y,6y中即可求出兩公司的

人數(shù).

【解答】解：選擇①，設(shè)乙公司有X人，則甲公司有（1+20%）X人,

依題意得：?θθθθ.30000=20

X(1+20%)X一

解得：x=250,

經(jīng)檢驗，x=250是原方程的解，且符合題意,

，（1+20%）X=（1+20%）×250=300.

答：甲公司有30（）人，乙公司有250人.

選擇②，設(shè)乙公司有5），人，則甲公司有6），人，

依題意得：?ɑθθθ,-3θθθθ--20,

5y6y

解得：y=50,

經(jīng)檢驗，y=50是原方程的解，且符合題意，

Λ5y=5×50=250,6y=6×50=300.

答：甲公司有3（X）人，乙公司有25（）人.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

18.（2021秋?高郵市期末）為了給抗疫工作提供保障，某工廠每天生產(chǎn)防護服的效率比原先提

高了20%,現(xiàn)在生產(chǎn)2400套防護服所用的時間比原先生產(chǎn)2200套防護服所用的時間少1天.問

原先每天生產(chǎn)多少套防護服？

【分析】設(shè)原先每天生產(chǎn)X套防護服，由題意：某工廠每天生產(chǎn)防護服的效率比原先提高了

20%,現(xiàn)在生產(chǎn)2400套防護服所用的時間比原先生產(chǎn)2200套防護服所用的時間少1天.列出分

式方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)原先每天生產(chǎn)X套防護服，

解得：x=200,

經(jīng)檢驗：x=200是原方程的解，且符合題意，

答：原先每天生產(chǎn)200套防護服.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

19.（2021秋?蘇州期末）第十一屆江蘇書展在蘇州國際博覽中心設(shè)有400個展臺，并在全省多地

線上、線下同步舉行.本屆書展設(shè)置了“讀經(jīng)典、學(xué)四史、童心向黨和百年輝煌”等活

動.為保障書展的準(zhǔn)備工作比原計劃提前2天完成，每天準(zhǔn)備展臺的個數(shù)需比原計劃增加

25%.

（1）求原計劃每天準(zhǔn)備展臺的個數(shù)，

（2）為滿足讀者購書需求，某廠裝訂A,B兩種圖書共6000本，其中A種圖書數(shù)量不多于B種

圖書數(shù)量的2,裝訂一本A種圖書成本為10元，裝訂一本B種圖書成本為15元.設(shè)裝訂A種圖書

3

X（本），問X為何值時，兩種圖書裝訂總成本y（元）最低，最低裝訂總成本為多少元？

【分析】（1）設(shè)原計劃每天準(zhǔn)備展臺的個數(shù)為X個，由題意：設(shè)有400個展臺，為保障書展的

準(zhǔn)備工作比原計劃提前2天完成，每天準(zhǔn)備展臺的個數(shù)需比原計劃增加25%.列出分式方程，

解方程即可；

（2）設(shè)裝訂4種圖書X（本），則裝訂B種圖書（600（）-χ）（本），由題意：A種圖書數(shù)量不

多于B種圖書數(shù)量的2,列出一元一次不等式，解得：x≤2400,再設(shè)裝訂總成本為VV元，求出

3

W關(guān)于X的一次函數(shù)，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：（I）設(shè)原計劃每天準(zhǔn)備展臺的個數(shù)為X個，

解得：x=40,

經(jīng)檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意，

答：原計劃每天準(zhǔn)備展臺的個數(shù)為40個；

（2）設(shè)裝訂4種圖書X（本），則裝訂B種圖書（6000-χ）（本），

由題意得：x≤2（6000-x）,

解得：x≤2400,

設(shè)裝訂總成本為川元,

由題意得:W=Kh+15(6000-x)=-5x+9∞00,

V-5<0,

卬隨X的增大而減小,

.?.當(dāng)x=2400時,”最小=-5X2400+90000=78000（元）,

答：最低裝訂總成本為78000元.

【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題

的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列

出一元一次不等式.

I能力提升

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一.選擇題（共6小題）

1.（2021春?羅湖區(qū)期末）有下列方程：①2χ4^L=I0；②x[=2；③」--3=0；④

5X2x+l

紅一支=0.屬于分式方程的有（）

32

A.①②B.②③C.③④D.②④

【分析】根據(jù)分式方程的定義對各小題分析判斷即可得解.

【解答】解：①2x+tl=10是整式方程，

5

②X-工=2是分式方程，

X

③一1--3=0是分式方程，

2x+l

④2匹+2∑l=o是整式方程，

32

所以，屬于分式方程的有②③.

故選：B.

【點評】本題考查了分式方程的定義，判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程

的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù).

2.（2021春?鎮(zhèn)江期末）2020年初，受疫情影響，醫(yī)用防護服生產(chǎn)車間有7人不能到廠生產(chǎn).為

了應(yīng)對疫情，己復(fù)產(chǎn)的工人加班生產(chǎn)，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成

的工作量不變.原來生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)防護服800套，現(xiàn)在每天生產(chǎn)防護服650套.求原來生

產(chǎn)車間的工人有多少人？在這個問題中，設(shè)原來生產(chǎn)車間的工人有X人.則根據(jù)題意可得方程

為（）

A.≡-7J5θB.%+7段

8xIOx8xIOx

c800二650D800650

'??lθ(z-7)-8(χ-7)~=10x

【分析】設(shè)原來生產(chǎn)車間的工人有X人，則復(fù)產(chǎn)后車間的工人有(χ-7)人，利用每人每小時

完成的工作量=露天生工型"康皇丹'展,結(jié)合每人每小時完成的工作量不變，即可得

每天工作時間X工作人數(shù)

出關(guān)于X的分式方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)原來生產(chǎn)車間的工人有X人，則復(fù)產(chǎn)后車間的工人有(χ-7)人，

依題意得:800—650

-8ΓIo(X-7)

故選：C.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題

的關(guān)鍵.

3.(2021春?鹽城期末)5G網(wǎng)絡(luò)引領(lǐng)時代發(fā)展.5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在

峰值速率下傳輸IOO兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快9秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率.設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的

峰值速率為每秒傳輸X兆數(shù)據(jù)，根據(jù)題意，可列方程為()

?IOOIOOCRIOOIOOC

IOxXXIOx

「100×10IOOCIOO100×10C

。--------------=9nυ?--------------------=9

XXXX

【分析】設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸X兆數(shù)據(jù)，則5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為每秒IOx兆數(shù)據(jù)，利

用時間=需傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量÷數(shù)據(jù)傳輸速率，結(jié)合”在峰值速率下傳輸10()兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比

4G網(wǎng)絡(luò)快9秒”，即可得出關(guān)于X的分式方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸X兆數(shù)據(jù)，則5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為每秒IOx兆數(shù)

據(jù)，

依題意得：100-100=9.

XIOx

故選：B.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題

的關(guān)鍵.

4.(2021春?建鄴區(qū)校級期末)若關(guān)于X的分式方程3=」-+［有增根，則這個增根是

χ-lχ-l

()

A.x=0B.x=lC.x=2D.x=-1

【分析1由分式方程有增根，確定最簡公分母為0,從而求解.

【解答】解：?.,原分式方程有增根,

Λχ-1=0,

解得：尤=L

故選：B.

【點評】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式

方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

5.（2021春?偃師市期末）若關(guān)于X的分式方程一=的解為非負(fù)數(shù)，則"的取值范圍是

x-22-x

（）

A.機＜5B.機＜5且機W3C.3D.機W5且∕τzW3

【分析】解出分式方程，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)求出m的取值范圍，再根據(jù)x=2時分式方程的增根，

求出此時〃?的值，即可得到答案.

【解答】解：去分母得，3=χ-2+m,

解得,x=5-m,

；分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

.,.5-m20,

Λ∕n≤5,

又?.”≠2,

Λ5-m≠2,m≠3,

的取值范圍是"iz≤5且∕n≠3,

故選：D.

【點評】本題主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)判斷范圍是解題

的關(guān)鍵.

6.（2021春?修水縣期末）關(guān)于X的分式方程三也+至=4的解為正實數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍

χ-22-x

是（）

A.m＞-4B.m＜4C.機＜4且機≠1D.機＜4且

【分析】先解分式方程求得X=空軍，根據(jù)分式方程的解為正實數(shù)列出關(guān)于機的不等式（注意

3

隱含的條件x≠2）,解之可得.

【解答】解：方程兩邊都乘以X-2,得：x+m-3∕H=4（Λ*-2）,

解得X=出生，

3

：分式方程的解為正實數(shù)，

...8-2πι＞0且8-2m%

33

解得mV4且mW1,

故選：C.

【點評】本題主要考查分式方程的解，在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的

過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于O的值，不是原分式方

程的解.

二.填空題（共4小題）

7.（2021?淮安）方程_2_=1的解是X=I.

x+1

【分析】方程兩邊都乘以x+1得出2=x+l,求出方程的解，再進檢驗即可.

【解答】解：?=1,

x+1

方程兩邊都乘以x+1,得2=x+l,

解得：x=l,

檢驗：當(dāng)x=l時，x+l≠0,所以x=l是原方程的解，

即原方程的解是x=l,

故答案為：x=l.

【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵.

2

8.（2009?濱州）解方程_3一=2時,若設(shè)y—一，則方程可化為2y-2=2.

X-1Xχ2-ιy

【分析】本題考查用換元法整理分式方程的能力，關(guān)鍵是明確方程各部分與y的關(guān)系，再用y

代替即可.

【解答】解：因為3XY=3G二1）,所以原方程可變形為2y-3=2.

XXy

故答案為：2y-3=2.

y

【點評】用換元法解分式方程是常用方法之一，要注意總結(jié)能用換元法解的方程的特點.

9.（2021春?江都區(qū)月考）若關(guān)于X的分式方程-_='_+［的解為非負(fù)數(shù)，貝必的取值范圍”

x-1X-I—

【分析】先解分式方程，根據(jù)分式方程解的情況得不等式，確定字母的取值范圍即可.

【解答］解：-—=，_+1,

χ-lχ-l

方程的兩邊都乘（X-I）,得α=2+x-1,

.,.x=a-1.

：分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

：.a-l>0fiα-1≠1.

心1且。W2.

故答案為：且α≠z2.

【點評】本題考查了分式方程和一元一次不等式，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是

解決本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

10.（2021秋?贊皇縣期末）2021年4月8日世界園藝博覽會在揚州拉開了帷幕，世園會以“綠色

城市，健康生活”為主題，吸引了大批游客游覽，世園會成人一日票分為平日票和指定日

票，其中平日票比指定日票便宜30元/張.某一售票點在5月份售出平日票4萬元，指定日票2.6

萬元，且售出的平日票數(shù)量是指定日票的2倍，這一售票點售出的平日票和指定日票各多少

張？

【分析】設(shè)這一售票點售出指定日票X張，則售出平日票2x張，利用單價=總價÷數(shù)量，結(jié)合

平日票比指定日票便宜30元/張，即可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出售出指定

日票的數(shù)量，再將其代入Zr中即可求出售出平日票的數(shù)量.

【解答】解：設(shè)這一售票點售出指定日票X張，則售出平日票2x張，

依題意得：26000-40000=30,

X2x

解得：X=200,

經(jīng)檢驗，x=200是原方程的解，且符合題意，

Λ2Λ=2×200=400.

答：這一售票點售出售出平日票400張，指定日票200張.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?如皋市期末）為慶祝建黨100周年，學(xué)校組織初二學(xué)生乘車前往距學(xué)校132千米的

某革命根據(jù)地參觀學(xué)習(xí).二班因事耽擱，比一班晚半小時出發(fā)，為了趕上一班，平均車速是

一班平均車速的1.2倍，結(jié)果和一班同時到達.求一班的平均車速是多少千米/時？

【分析】設(shè)一班的平均車速是Λ千米/時，則二班的平均車速是Lzr千米/時，利用時間=路程÷

速度，結(jié)合二班比一班少用半小時，即可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出一班

的平均車速.

【解答】解：設(shè)一班的平均車速是汗米/時，則二班的平均車速是L2x千米/時，

依題意得：-132--ISL=I1

X1.2x2

解得：X=44,

經(jīng)檢驗，x=44是原方程的解，且符合題意.

答：一班的平均車速是44千米/時.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

12.（2021春?灤陽市期末）解下列分式方程：

（1）-?-+.----I;

χ-ll-χ

（2）-?-1=—?—.

χ-2X2-4

【分析】(1)(2)首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式方

程的解要進行檢驗.

【解答】解：(I)?.?'+2=

χ-ll-χ

χ-lχ-l

方程兩邊同時乘(X-1),可得：1-2=χ-1,

解得X=O,X-?≠0,

二原分式方程的解為x=().

x-2(x+2)(χ-2)

方程兩邊同時乘(x+2)(x-2),可得：X(x+2)-(x+2)(x-2)=8,

整理得：2%-4=0,

解得X=2,

檢驗：當(dāng)X=2時，(X+2)(X-2)=0,

原分式方程無解.

【點評】此題主要考查了解分式方程，解答此題的關(guān)鍵是要明確解分式方程的步驟：①去分

母：②求出整式方程的解；③檢驗：④得出結(jié)論.

13.(2001?蘇州)用換元法解方程(噎?產(chǎn)_5(金)+6=O

【分析】先設(shè)上=y,則原方程可化得『-5y+6=0,求得y的值，代入求出X的值即可.

x+2

【解答】解：設(shè)^=y,則原方程可化得y2-5v+6=0,

x+2

解這個方程得W=2,y2=3.

當(dāng)y=2時，x=9>去分母得