江蘇省啟東市2021年高一下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試卷

南通市啟東市2021年高一下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試卷一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i2．函數(shù)f（x）＝cos2x的最小正周期為（）A．2 B．4 C．2π D．4π3．設(shè)向量＝（1，﹣1），＝（m，2m﹣3），若⊥（+），則m＝（）A． B．1 C．3 D．54．某海域有A，B，C三座小島，經(jīng)測量，B島在A島的正東方向，且距離A島10海里處，C島在A島的北偏西30°方向，且距離A島20海里處，則B，C兩座小島間的距離為（）A．10海里 B．10海里 C．10海里 D．10海里5．在△ABC中，若cos（2B+C）+cosC＞0，則△ABC的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上皆有可能6．瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉于1748年提出了著名的公式：eix＝cosx+isinx，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式，|e2i﹣1|＝（）A．cos2 B．sin2 C．2sin1 D．2cos17．設(shè)a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b8．設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），O為坐標(biāo)原點，向量繞著O點順時針方向旋轉(zhuǎn)θ后得到，則A′的坐標(biāo)為（）A．（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ） B．（acosθ+bsinθ，bcosθ﹣asinθ） C．（asinθ+bcosθ，acosθ﹣bsinθ） D．（bcosθ﹣asinθ，bsinθ+acosθ）二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足z2≠0，且|z1|＝2|z2|，則z1可以是（）A． B．4i C． D．2﹣2i10．已知函數(shù)f（x）＝cosx﹣sinx，則（）A．函數(shù)f（x）的最大值為2 B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱 D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（）上單調(diào)遞增11．已知P為△ABC所在平面內(nèi)的點，則下列說法正確的是（）A．若2＝﹣，則P為AB的中點 B．若++＝，則P為△ABC的重心 C．若＝，則P為△ABC的垂心 D．若+2+3＝，則P在△ABC的中位線上12．由倍角公式cos2x＝2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．一般地，存在一個n（n∈N*）次多項式Pn（t）＝a0tn+a1tn﹣1+a2tn﹣2+…+an（a0，a1，a2…an∈R），使得cosnx＝Pn（cosx），這些多項式Pn（t）稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（）A．P3（t）＝﹣4t3+3t B．P4（t）＝8t4﹣8t2+1 C．sin18 D．cos18°＝三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝，cosA＝，則sinC＝．14．已知方程x2﹣4x+b＝0在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)的一個虛根為2+i，則實數(shù)b＝．15．已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF所在平面內(nèi)的一點，若點P與點D重合，則＝；當(dāng)點P滿足時，＝12．（注：第二空填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）16．已知tanα，tanβ是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，有以下四個命題：甲：b：a＝5：3；乙：c：a＝7：3；丙：tan（α+β）＝﹣；?。海剑绻挥幸粋€假命題，則該命題是．四、解答題本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）若復(fù)數(shù)z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求復(fù)數(shù)z．18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知（a+c）（a﹣c）＝b（b+c）．（1）求角A的大?。唬?）在下列三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答．若b＝3，c＝4，點D是BC邊上的一點，且_____，求線段AD的長．①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中線；③AD是△ABC的角平分線．19．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，△BCD是邊長為3的等邊三角形，點E在BD邊上．設(shè)＝x+y．（1）證明：x+y＝1；（2）若x＝，求的值．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊分別作角α，β，其終邊分別與單位圓交于點A，B．（1）證明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ：（2）設(shè)α＝，cos（α﹣β）＝，求sin2β的值．21．已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sinxcosx﹣．（1）若f（）＝，且α∈（0，），求sinα的值；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若f（）＝﹣，求的取值范圍．22．已知sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝