福建卷第23題 【圖形變換與幾何綜合】（解析版）

押福盛卷第23題

圖形變換與幾何綜合

押題探究

題分2022年2021年2020年2019年2018年

號值中考中考中考中考中考

尺規(guī)+三角函

2310一概率綜合尺規(guī)+三點共線概率綜合四邊形綜合

數(shù)

解題秘籍

解題技巧

(1)考生備考時，要熟練掌握一線幾點：①圖形平移與旋轉的相關性質，②直角三角

形相關性質，③全等三角形的判定與性質，④等腰、等邊三角形的性質，⑤相似三角形的判

定與性質，⑥平行四邊形、特殊平行四邊形相關性質；需要綜合運用這些知識點是解題的關

鍵，并學會做輔助線

(2)常見的幾種旋轉模型：手拉手模型，半角模型等要熟練運用

真題回顧

【真題1](2022?福建?統(tǒng)考中考真題)已知△4BC三ACEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分/ACQ,求證：四邊形ABZ)C是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的△CCE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于∕BAC),BC,OE的延長線

相交于點凡用等式表示NACE與/EFC之間的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖3,將⑴中的△CDE繞點C順時針旋轉(旋轉角小于NABC),若NBaD=乙BCD,

求NAOB的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)?ACE+乙EFC=180°,見解析

(3)30°

【分析】(1)先證明四邊形ABr)C是平行四邊形，再根據(jù)AB=AC得出結論；(2)先證出

/.ACF=?CEF,再根據(jù)三角形內角和4CEF+4ECF+乙EFC=180°,得至IJ乙4CF+乙ECF+

NEFC=I80。，等量代換即可得到結論；(3)在AO上取一點M,使得AM=C8,連接8M,

證得△ABM三ΔCDB,得至IJNMBA=乙BDC,設NBCC=/.BAD=a,乙BDC=則〃CB=

a+β,得到a+4的關系即可.

【詳解】(1)V?ΛβC≤ΔDEC,

.?AC=DC,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,AB=DC,

平分乙48,

Λ?ACB=/.DCB,

：.?ABC=乙DCB,

：.AB??CD,

：.四邊形ABCC是平行四邊形，

XVAfi=AC,

.?.四邊形ABz)C是菱形；

(2)結論：?ACE+?EFC=180°.

證明：:4ABoDEC,

.?ΛABC=LDEC,

VAB=AC,

Λ?ABC=乙ACB,

，乙ACB=乙DEC,

ZACB÷?ACF=LDEC+Z-CEF=180°,

.??ACF=乙CEF,

■:乙CEF+乙ECF+乙EFC=180°,

Λ?ACF÷Z,ECF+?EFC=180°,

.?zλCE+ZFFC=180°；

(3)在4。上取一點M,使得AM=C8,連接8M,

△ABM=△CDB,

：.BM=BD,4MBA=乙BDC,

：.?ADB=乙BMD,

■:乙BMD=Z-BAD+KMBA,

：.?ADB=Z.BCD+乙BDC,

?zBCD=?BAD=α,乙BDC=β,則44DB=α+B,

VCA=CD,

?CAD=Z.CDA=a+2。,

乙

：.Z-BAC=?CAD一BAD=2βf

.?.Z∕1CB=∣(180o-NBAC)=90。-0,

ΛZTlCD=(90。-0)+α,

,.'/.ACD+LCAD+/.CDA=180°,

/.(90°-6)+α+2(α+2β)=180°,

.,.a+β=30°,即NAO8=30°.

【點睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質、三角形內角和定理等，靈

活運用知識，利用數(shù)形結合思想，做出輔助線是解題的關鍵.

【真題2】(2021.福建.統(tǒng)考中考真題)如圖，在RtZkABC中，?ACB=90°.線段EF是由線

段AB平移得到的，點尸在邊BC上，AEFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點O恰好在

力C的延長線上.

(1)求證：?ADE=LDFC；

(2)求證：CD=BF.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)通過兩角和等于90。，然后通過等量代換即可證明；

(2)通過平移的性質，證明三角形全等，得到對應邊相等，通過等量代換即可證明.

【詳解】證明：(1)在等腰直角三角形EZ)F中，Z.EDF=90°,

.,.?ADE+?ADF=90°.

?"?ACB=90°,

LDFC+?ADF=?ACB=90°,

.".?ADE=乙DFC.

(2)連接4E.

由平移的性質得4E〃8F,4E=BF.

.??EAD=?ACB=90°,

LDCF=180°-乙ACB=90°,

.".?EAD=乙DCF.

?.?AEDF是等腰直角三角形，

：.DE=DF.

由（1）得4WE=乙DFC,

△AED=△CDFf

：.AE=CD,：.CD=BF.

【點睛】本小題考查平移的性質、直角二角形和等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性

質，解題的關鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質和全等三角形的判定與性質.

【真題3】(2019?福建?統(tǒng)考中考真題)在用A4BC中，NABC=90。，ZBAC=30°,將MBC

繞點A順時針旋轉一定的角度α得到AAED點8、C的對應點分別是E、D.

(1)如圖1,當點E恰好在AC上時，求NCDE的度數(shù)；

(2)如圖2,若α=60。時，點f是邊AC中點，求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

CfflD

【答案】(1)15°；(2)證明見解析.

【分析】(1)如圖1,利用旋轉的性質得CA=DA,ZCAD=ZBAC≈30o,ZDEA=ZABC

=90°,再根據(jù)等腰三角形的性質求出/ADC,從而計算出NCDE的度數(shù)；

(2)如圖2,利用直角三角形斜邊上的中線性質得到BF=TAC,利用含30度的直角三角形

三功的關系得到BC=TAC,W∣JBF=BC,再根據(jù)旋轉的性質得到NBAE=NCAD=60。，AB

=AE,AC=AD,DE=BC,從而得到DE=BF,4ACD和ABAE為等邊三角形，接著由

?AFD^?CBA得至IJDF=BA,然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到結論.

【詳解】解：(1)如圖1,?；AABC繞點A順時針旋轉ɑ得到^AED,點E恰好在AC匕

ΛZCAD=ZBAC=30o,ZDEA=ZABC=90o,

VCA=DA,

.?.∕ACD=NADC=Z(180°-30°)=75。，NADE=90°-30°=60°,

2

ΛZCDE≈75o-60o=15o;

(2)證明：如圖2,

：點F是邊AC中點，

BF=^AC,

2

VZBAC=30o,

，BC=iAC,

2

ΛBF=BC,

V?ABC繞點A順時針旋轉60。得到AAED,

ΛZBAE=ZCAD=60o,AB=AE,AC=AD,DE=BC,

ΛDE=BF,ZkACD和ABAE為等邊三角形，

ΛBE=AB,

,/點F為AACD的邊AC的中點,

.?.DF1AC,

易證得AAFD絲ZkCBA,

ΛDF=BA,

，DF=BE,

而BF=DE,

.?.四邊形BEDF是平行四邊形.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線

段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了平行四邊形的判定.

押題沖關

1.(2023春?福建福州.九年級福建省羅源第一中學?？计谥?如圖，先將AABC繞點C順時

針旋轉90。得到△DEC,再將線段DE繞點。順時針旋轉90。得到DG,連接BE、BG、AD,且

AC=4.

(1)若4ABC=I35。.B、E、。三點在同一條直線上，求BG的長；

(2)若NABC=90。，4C=2CE,點P在邊48上，求線段PD的最小值.

【答案】⑴4√2

(2)2√3+2

【分析】(1)由旋轉的性質可得乙=90。=Z?BCE,AB=DE,BC=CE,AC=CD,

?ABC=?DEC=135°,由等腰三角形的性質可得NBEC=45。=4C8E,可證NBEC+

?CED=180°,通過證明四邊形4BDG是矩形，可得4。=BG,由等腰直角三角形的性質可

求解；

（2）由垂線段最短可得當PD148時，PD的長度有最小值，先證點P,點￡點。三點共線，

由勾股定理可求DE的長，由正方形的性質可得BC=PE=2,即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接4G,

??■△ABC繞點C順時針旋轉90。得到△DEC,

:AABCw>DEC,?ACD=90°=Z.BCE9

?.AB=DEtBC=CE,AC=CDf

?ABC=(DEC=135°,

???Z,BEC=45°=乙CBE,

.?.ZBFC÷ZCED=180°,

：,B、E、。三點共線；

???將線段DE繞點。順時針旋轉90。得到DG,

???DE=DG,Z,EDG=90°

???AB—DE-DG,

V?ABE=?ABC-乙CBE=90°,

??.?ABE+乙EDG=180°,

.?.∕1BHDG,

二四邊形4BDG是平行四邊形，

Xv乙BDG=90°

四邊形ABDG是矩形，

：.AD=BG,

???AC=CD=4,Z.ACD=90°,

.?.AD=√2AC=4?∣2,

BG=4√2;

⑵???點P在邊48上，

.?.當PD1AB時，PD的長度有最小值

由旋轉的性質可得：

乙ABC=乙CED=4BCE=90°,

BCHDE,

v乙ABC+LBPD=180o,

?DPHBC,

???點P,點E,點。三點共線，

?：AC=2CE9

??BC=CE=2,

又???Z.ABC=乙BPE=乙BCE=90°,

???四邊形BPEC是正方形，

.?.BC=PE=2,

■■■CD=AC=4,CE=2,NCED=90°,

.?.DE=√CD2-CE2=√16-4=2聒

■?DP=2V3+2.

???線段PD的最小值為2√3+2.

【點睛】本題是兒何變換綜合題，考查了旋轉的性質，全等三角形的性質，等腰三角形的性

質，矩形的判定和性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

2.（2023春?福建廈門?九年級廈門雙十中學?？计谥校┮阎€段4B,將ZB繞點A逆時針旋轉

a（0。<α<180。）得到4C,連接BC,在線段BC上取一點D,BD>CC連接AD,將線段繞

點A逆時針旋轉（α得到AE,連接CE.

⑴如圖1,當α=50。時,連接。E,求乙4DE度數(shù)；

（2汝U圖2,當/B=30。時，試探究線段4。與CE之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】⑴77.5。

（2）AD=CE,理由見詳解

【分析】(1)由旋轉的性質可得4。=AE,再結合題意及等腰三角形的性質即可獲得答案;

(2)過點A作4M1Be于點M,過點E作4N1Ae于點N,根據(jù)題意可得4ACB=LB=30°,

?BAC=120°,即α=120o,AD=AE,?DAE??ɑ=60°,再證明△AMD=ΔANE,AM=

AN；根據(jù)“直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得ZC=2AM,易得AC=

2AN,結合垂直平分線的性質可得4E=CE,即可證明4。=CE.

【詳解】(1)解：；線段AD繞點4逆時針旋轉Ta得到4E,α=50。，

：.AD=AE,皿IE=Za=25。，

2

：.LADE=?AED=∣(180o-乙DAE)=TX(180°-25°)=77.5°；

(2)如下圖，過點4作AM1BC于點M,過點E作ZN，AC于點N,

：將4B繞點4逆時針旋轉a(0。<α<180。)得到AC,

：.AB=AC,

又?."=30°,

.??ACB=?B=30o,/-BAC=180o-ZF-/.ACB=120°,即α=120°,

,：AM1BC,

1

.??CAM=-?BAC=60°,

2

Y線段40繞點A逆時針旋轉Ia得到4E,

.?AD=AE?DAE=-a=60°,

f2

：.Z-DAE=Z.CAM,即4Zλ4N+乙NAE=乙DAN÷KMAD,

.??MAD=4NAE,

VAM1BC9AN1AC,

.,.?AMD=(ANE=90°,

,在和AANE中，

(?AMD=乙ANE

??MAD=乙NAE,

(AD=AE

???△4MD三AANE(AAS),

：.AM=AN,

?Λ?ACB=30o,AM1BC,

：.AC=2AM,

：.AC=2AN,

：.AE=CE,

：.AD=CE.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、30度角所對的直角邊等

于斜邊的一半、垂直平分線的定義與性質等知識,熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵.

3.（2023?福建廈門.福建省廈門第六中學?？家荒＃┤鐖D1,AZBC中，?ACB=90°,44的

大小保持不變，點。在斜邊AB上，DEIAC,垂足為點E.如圖2,把A40E繞著點A順時針

旋轉，旋轉角為。（0。＜。＜90。），點E的對應點為點P.

（1）求作點。的對應點Q（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）連接PQ,CP,BQ,直線CP,BQ相交于點F,試探究在整個旋轉過程中，直線CP,BQ所

相交成的銳角是否保持不變？若不變，請證明：若有變化，說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）不變，理由見解析

【分析】（1）作∕P4Q=∕B4C,AQ=AD,則點Q即為所求；

（2）根據(jù)題意得出CEllBC,則喘=若，進而根據(jù)旋轉的性質得出ZP=4E,AQ=AC,證

ABAC

明^C4PSABAQ得出44BQ=4ACP=Z.ACF,根據(jù)三角形的外角的性質即可得出NBFC=

乙4,進而得出結論.

【詳解】（1）解：如圖所示，點Q即為所求；

（2）解：如圖所示，設CFMB交于點G,

B

o

'：DEIACf?ACB=90,

：.DE??BCf

?,?A—D=—AE,

ABAC

；把△4。E繞著點4順時針旋轉，旋轉角為屋0。＜。＜90。），點E的對應點為點P,點。的對

應點Q,

：.AP=AE1AQ=AD,

.AP_AQ

''AC~AB,

XzCΛP=乙DAQ=a,

ΔCAP—&BAQ,

J.?ABQ=Z-ACP=?ACF,

■:乙BGC=4ABF+NBFC=/.ACF+/.BAC,

BFC=?BAC,

?.2B力C的大小保持不變，

."BFC是定值.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，三角形的外角的性質，掌握以

上知識是解題的關鍵.

4.（2022秋?福建福州?九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABeo中，AC,BC是對角線，AABC是

等邊三角形.線段CD繞點C順時針旋轉60。得到線段CE,連接/E.

⑴求證：AE=BD-,

(2)若4ADC=30o,AD=4,CD=6,求的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)BD=2√13

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質，得出NDCE=60。，CD=CE,再根據(jù)等邊三角形的性質，

得出ZACB=60。，AC=BC,再根據(jù)角之間的數(shù)量關系，得出ZBCD=NACE,再根據(jù)“邊

角邊“，得出ABCD三AACE,再根據(jù)全等三角形的性質，即可得出結論；

(2)連接DE,根據(jù)旋轉的性質，得H"DCE=60。，CD=CE,再根據(jù)等邊三角形的判定，

得出ACDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質，得出NCoE=60。，DE=CD=6,

進而得出NADE=90。，再根據(jù)勾股定理，得出AE=2√Π,再根據(jù)(1)的結論，即可得出

答案.

【詳解】(1)證明：由旋轉可知NDCE=60。，CD=CE,

,?ΔABC是等邊三角形，

J./.ACB=60o,AC=BC,

：.?ACB+Z.ACD=乙DCE+乙ACD,

即48CD=ΛACE,

?ΔBCE)和△4CE中

-BC=AC

乙BCD=乙ACE,

CD=CE

Λ?FCD≡Δ/ICF(SAS),

：.AE=BD;

(2)解：如圖，連接DE,

Y線段CD繞點C順時針旋轉60。得到線段CE,

."DCE=60。，CD=CE,

???ZkCDE是等邊三角形，

.*.zCZ)E=60o,DE—CD—6?

VZ/1DC=30°,

.??ADE=4ADC+/-CDE=90°,

在RtA/。E中，

：.AE=y∕AD2+DE2=√16+36=2√13,

'：AE=BD,

：.BD=2√13.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾

股定理，熟練掌握相關知識點，并且正確作出輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵.

5.(2023秋?福建龍巖?九年級統(tǒng)考期末)將AABC繞點Z逆時針旋轉ɑ得到A40E,且點。落

在BC的延長線上，連接CE.

⑴如圖1,若α=120t),NCEC=90。，CE交4。于點尸.①求NBAC的度數(shù)；②直接寫出笑的

CF

值.

(2)如圖2,若點M,N分別為BD,CE的中點，連接MN并延長交4。于點G,求證：MGl40.

【答案】⑴①30。；②I

(2)證明見解析

【分析】（I）①根據(jù)旋轉得至IJBC三AADE,AB=AD1AC=AEf?BAD=?CAE=a=

120°,從而

?ABD…=3。。,?ACE=?AEC=-0°~z--=30°,進而

Z.ACB=?AED=120°得至此BAC=180°-4ABD-/.ACB=180°-30°-120°=30°；

②由44Cn=?BAC+?ABC=?ACE+乙DCF,得至∣JNCCF=60°-30o=30o=?ADB,

CF=DF,再根據(jù)△?!BC三A4DE,得至IksBC=ZADE=30。，根據(jù)含30。直角三角形的三

邊關系得

到E尸--DF--CF,從而有竺=?;

22CF2

(2)連接4M,4N,如圖所示，由4B=AD,M為B。的中點，根據(jù)等腰三角形性質至∣J4M1BD,

Z.BAM=?DAM,W??AMB=90°,進而∕4CE+=90。，再由4C=4E,N是CE的中

點，

根據(jù)等腰三角形性質得到ANlCE,?ANC=^AMC=90°,從而4,C,M,N四點共圓，由圓

周角定理

得NaCN=/.AMN,從而確定MG1AD.

【詳解】(1)解：①：AABC繞點4逆時針旋轉α得AADE,

：.^ABCADE,AB=AD,AC=AE,ΛBAD=ΛCAE=a=120°,

180o-?BAD180o-?CAE

Λ?ABD=Z-ADB==30o,Z.ACE=?AEC==30°,

22

.??AED=?AEC+乙CED=30°+90°=120°,

?9?ABC=?ADE,

：.?ACB=?AED=120o,

.Λ.?BAC=180o-?ABD一乙ACB=180°-30°-120°=30°；

理由如F：

uJ?ACD=?BAC+?ABC=?ACE÷乙DCF,

.u.?DCF=60°-30o=30o=?ADB,

：?CF=DF,

AABCADE,

.??ABC=?ADE=30°,

■:乙DEC=90°,

：.EF=-DF=-CF,

22

?EF1

?,1=于

(2)證明：連接AMMN,如圖所示:

9：AB=AD9M為3。的中點,

：.AM1BD,Z.BAM=?DAM,

.??AMB=90°,

to

..?ABDΛ-?BAM=90f

?"4CE+NZMM=90。，

又FC=AE,N是CE的中點,

：.AN1CE,

，乙ANC=4AMC=90。，

?M,C,M,N四點共圓，

：.Z.ACN=?AMN,

，乙4MN+NZMM=90。，

.'.?AGM=180°一乙AMN-Z.DAM=90°,

：.MG1AD.

【點睛】本題考查幾何綜合，綜合性較強，涉及旋轉性質、角度和差倍分關系、含30。直角

三角形的三邊關系、等腰三角形性質、四點共圓、圓周角定理等知識，熟練掌握相關知識點，

靈活運用幾何性質推理是解決問題的關鍵?

6.（2022秋?福建泉州?九年級?？茧A段練習）如圖，在Rt△4BC中,NC=90。,Ac=8,BC=6,

將4ABC繞點B按順時針方向旋轉得到4DBE,當點E恰好落在線段AB上時,連接4D,乙4BD

的平分線BF交/。于點F,連接EF.

(1)求EF的長；

(2)求證：C、E、尸三點共線.

【答案】(I)EF=2√5;

(2)見解析

【分析】(1)將4ABC繞點B按順時針方向旋轉得到4DBE,可得DE=AC=8,BE=BC=6,

從而可求AD,由AB=8D,BF平分NABC,可得尸是4。中點，EF=IAD即可得答案；

⑵連接CE,先證4ABC=2/1=243,再用NZBC+4BCE+NBEC=180。得243+

2乙BEC=180°,從而證明43+乙BEC+乙BED=180。即可.

【詳解】(1)VZC=90o,AC=8,BC=6,

.?.AB=yjAC2+BC2=10,

?.?W?ABe繞點B按順時針方向旋轉得到^DBE,

?AB=BD=10,DE=AC=8,BE=BC=6,乙DEB=4C=90°,

.?.NAED=90o,AE=AB-BE=4,

-.AD=y∕AE2+DE2=4√5,

?.?BF平分NABD,S.AB=BD,

.?.AF=DF,

RtAACE中，EF=^AD=2√5;

(2)連接CE,如圖：

由（1）知：BF平分N48D,且AB=BD,

.?.EF=-AD=DF,乙BFD=乙BEG=90°,

2

?z2=Z3,

V乙DGF=乙BGE,

???XDFGSABEG,

?Zl=Z2,

?zl=z3,

VB/平分乙48。，

??ABD=?ABC=2Z.1,

???Z-ABC=243,

???BC=BE9

???乙BEC=乙BCE,

???Z.ABC+乙BCE+乙BEC=180°,

???243+2乙BEC=180。，

???Z3+乙BEC=90°,

??.Z3+乙BEC+乙BED=180°,

：CE、產三點共線.

【點睛】本題考查直角三角形性質及應用，涉及勾股定理、旋轉變換、等腰三角形性質等知

識，解題的關鍵是掌握定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

7.（2023?福建?模擬預測）如圖1,在△48C中，AB=AC,?BAC=2a,點、D,E均在邊BC上

（點。在點E的左側），且zJλ4E=α.

（1）如圖1,將AABO繞點4逆時針旋轉2α得到AACF,連接EF,求證：A4DEWA4FE;

222

(2)如圖2,若NBAC=90°,求證:DE=BD+ECi

(3)如圖3,若NBAC=60o,AB=AC=5,BD=1,求線段CE的長度.

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

⑶EC=I

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質，可得：AABO三A4CF,由NB4C=2α,?DAE=a,可得

?BAD+?EAC=α,即有4C4F+4E4C=4E4F=α,?DAE=Z.EAF=a,即可證明；

(2)將AABD繞點4逆時針旋轉90。得到△ACF,連接EF,FC,先求出乙4BC=乙ACB=45°,

根據(jù)旋轉的性質有:/-ABC=?ACF=45o,BD=FC,即有NECF=?ACB+乙ACF=90°,

則在RtZkECF中，有：EF2=EC2+FC2,結合(1)的證明方法可得△4DE三△∕1FE,問

題得證；

(3)將△4Bn繞點4逆時針旋轉60。得至IJAACF,連接EF,FC,過尸點作FGIBC,交BC的

延長線于點G,易得△84C是等邊三角形，即有/B=BC=5,NBZe=ZTIBC=Z.ACB=60°；

表示出CE=BC-BD-EC=4-EC,根據(jù)(1)中的方法可證明：△ADE≤ΔAFE,即DE=

EF=4-EC,求出4FCG=60°,即有4CFG=30°,在RtΔCFG中，CG=∣FC=即EG=

EC+CG=EC+FG=y,在RtAE尸G中，IitlFF2=EG2+FG2,可得(4-EC)2=

(EC+02+俘)：解方程即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)旋轉的性質，可得：AABC三AACF,

：.AD=AF9乙BAD=?CAF,

?*?BAC=2α,?DAE=α,

?BAD+?EAC=α,

ΛzCΛF+?EAC=?EAF=α,

β

..Z-DAE=?EAF—a1

?'AD=AF,AE=AE,

?'?ΔADE=△AFE；

(2)將Z4BD繞點力逆時針旋轉90。得到ZkACG連接EF,FC,

.??ABC=?ACB=45°,

根據(jù)旋轉的性質有：/-ABC=?ACF=45o,BD=FJ

LECF=?ACB+Z.ACF=90°,

???在RtAECF中,有：FF2=EC2÷FC2,

根據(jù)(1)中的方法，同理可證明△4。EmZkAFE,

：.DE=FE,

???結合BD=Fc,WDF2=FD2+FC2;

(3)將△48。繞點4逆時針旋轉60。得到△/次,連接EF,FJ過產點作尸GLBC,交BC的

延長線于點G,如圖，

JZkBAC是等邊三角形，

乙乙

：.AB=BC=SfBAC=?ABC=ACB=60°,

VBD=1,

：.DE=BC-BD-EC=4—EC,

根據(jù)(1)中的方法可證明：△?!DE三a4FE,

：.DE=EF=4-EC,

o

根據(jù)旋轉的性質有：/-ABC=?ACF=60,BD=CF=I9

:?乙BCF=120°,

.??FCG=60°,

YFG1CG,

.??CFG=30°,

Λ?Rt?CFGψ,CG=∣FC=1,即EG=EC+CG=EC+%

.?.利用勾股定理可得：FG=爭

;在RtAEFG中，F(xiàn)E2=EG2+FG2,

.??("EC)2=(EC+∣y+g)2,

解得：EC=I.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質，全等三角

形的判定與性質，勾股定理，以及含30。角的直角三角形的性質等知識，合理作出相應的輔

助線是解答本題的關鍵.

8.(2022秋?福建泉州?九年級?？茧A段練習)【問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中，小

昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中NACB=乙DEB=90。,NB=

30o,BE=AC=3.

【問題探究】小聽同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉.

(1)如圖1,BD=.

(2)如圖2,當點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F,求BF的長.

(3)若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線BC的距離.

【答案】⑴2百

(2)2√3

⑶點。到宜線BC的距離為√δ±1

【分析】(1)在RtABDE中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求解，即可求出答案;

(2)在RtABEF中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求解，即可求出答案;

(3)分類討論，①當點E在BC上方時，如圖1過點。作DHlBC于H,根據(jù)銳角三角函數(shù)求

出BC=3√5,Z)F=√3,最后利用面積求解，即可求出答案；②當點E在BC下方時，同①

的方法，即可求出答案:

【詳解】(1)解：在RtZiBDE中，48=30。，BE=3,

BD=焉*=2/

(2)解：由題意得，48EF=NBED=90。,

PP

?.?在Rt△BEF中，Z.ABC=30o,BE=3,cos^ABC=—

BF

BF=3=2√3

?^BCC。S3。。

(3)①當點E在BC上方時,

如圖1,過點。作DHIBC,垂足為

D

E.

圖1

.?.?Δ∕4BCψ,?ACB=90o,NABC=30°,AC=3,

???ta山BC吟

,AC3

:?BnzC=----=3√3

tan?ABCtan30o

???在ABCE中，NDEB=90°,?DBE=?ABC=30°,

DP

BE=3,tan"BE=靛

??.DE=BE-tan30o=√3.

?:點C、E、。在同一直線上，H?DEB=90°,

???4CEB=180°-Z.DEB=90°.

又在ACBE中，ZTEB=90。，BC=3√3,BE=3,

.?.CE=√BC2-BF2=3√2,

.?.CD=CF+DE=3√2+√3.

???在ABCD中，SABCD=：CD?BE=抑?DH,

"H=甯=歷+1

②當點E在BC下方時，

如圖2,在ABCE中，???Z.CEB=90o,BE=3,BC=3√3,

CE=VfiC2-BE2=3√2.

：.CD=CE-DE=3a一√3.

過點。作DM_LBC,垂足為M.

??fiZ)Cφ,SABDC=TBC?DM=gCD?BE

.?.DM=√6-1.

綜上，點D到直線BC的距離為√δ±1.

【點睛】本題考查了解直角三角形，旋轉的性質，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵.

9.(2022?福建泉州?統(tǒng)考模擬預測)如圖，等腰AABC中，AB=AC=I,?BAC=45°,^?ΔABC

繞點A逆時針旋轉一定角度α(45°<α≤90°)得到△ADE,點B、C的對應點分別是￡>、E.連

接BD、CE交于點F,連接AD、CE交于點、G.

(1)用含α的代數(shù)式表示NaGC的度數(shù);

(2)當4E∣∣B。時,求CF的長.

【答案】(1)135°-E

(2)√2-1

【分析】(1)由旋轉的性質可得48=AD,AC=AE,?BAC=?DAE=45°,?CAE=a=

/.BAD,由等腰三角形的性質可求解；

(2)由等腰三角形的性質可得=由平行線的性質可求α=90°,由等腰直角

三角形的性質和平行四邊形的性質可求解.

【詳解】(1)???將AABC繞點A逆時針旋轉一定角度α(45°<α≤90°)得到AADE,

：.AB=AD,AC=AE,/.BAC=?DAE=45°,?CAE=a=/.BAD,

"：AB=AC,

??AC=AE=AB=AD,

..,,.,,180-a

..?AErCz=?ACzEr=--------

2

.?."GC="AE+=45。+(=135。/

(2)^AB=AD1?BAD=α,

180c-α

；?乙ABD

2

VAEHBDf

.??ABD+?BAE=180°,

：.a=90",

J.ΛBAD=/.CAE=90°,

：.CE=y[2AC=y∕2,?AEC=45°,

?/ΛBAE=135°,

：.^BAE+ΛAEC=180°,

.?AB??CE,

.?.四邊形ABFE是平行四邊形，

：.AB=EF=1,

：.CF=CE-EF=y[2-?.

【點睛】本題考查J'旋轉的性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，掌握旋轉

的性質是解題的關鍵.

10.(2022.福建廈門.九年級廈門一中校考階段練習)已知：在矩形48C。中，把矩形48CD繞

點C旋轉，得到矩形FECG,且點E落在AD邊上，連接BG交CE于點

圖1圖2

(1)如圖1,連接BE,求證：BE平分-EC；

(2)如圖2,連接FH,若FH平分4EFG,在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖2中

所有數(shù)量關系為2倍的兩條線段.

【答案】(1)證明見詳解；

(2)BG=2BH,BG=2GH,ED=2CH,CH=2AE.

【分析】(1)過點B作BMlCE于M,然后通過三角形的面積證明Ba=BM,根據(jù)角平分線

的判定定理得點B在乙4EC的角平分線上，從而得證；

(2)通過證明ABMH三△GCH,而得到BG=2BH,8G=2GH；通過線段的加減可得EC=

ICH-.設AE=xlCH=y,然后用x,y表示線段DE,CO,CE,再用勾股定理可得出CH=2AE,

從而求解.

【詳解】(1)證明：過點B作BMICE于M,如圖1所示，

,?,把矩形/BC。繞點C旋轉，得到矩形FECG,且點E落在4。邊上，

：?BC=EC,

-S^BEC=^BC-AB=^EC-BM,

???AB—BM,

XBA1EA,BM1EC,

.?.點B在〃EC的角平分線上，

即BE平分41EC；

(2)解：如圖1,BM=AB=CD=CG,乙BMH=乙GCH=9Q°,AMHB=乙CHG,

.?.ΔBMHGCH(AAS),

.?.BH=GH,

.?.BG=2BH,BG=2GH；

又?；AD=AE+ED=CE=2CH+EM=2CH+AE(如圖1),

.?.ED=2CH；

???FH平分Z?EFG,

乙EFH=45°,

；.△EFH為等腰直角三角形，

.?.EF=EH,

.?.EH=AB=CD,

設4E=X,CH=y,

■■DE=2y,CD=X+y,CE=X+2y,

■.(2y)2+(x+y)?=(X+2y)2,

.?.y=2x即CH=2AE；

綜上所述，圖2中所有數(shù)量關系為2倍的兩條線段為：BG=2BH,BG=2GH,ED=2CH,

CH=2AE.

【點睛】此題考查了矩形的旋轉與性質、角平分線的判定定理、三角形全等的判定與性質、

勾股定理等知識，熟練掌握圖形旋轉的性質與相關定理是解答此題的關鍵.

11.(2021秋?福建廈門?九年級廈門雙十中學思明分校?？茧A段練習)如圖，將矩形ABCD繞

著點C按順時針方向旋轉得到矩形尸ECG,使點B落在4。邊上的點E處，連接BG交CE于點H,

連接BE.

⑴求證：8E平分Z4EC；

(2)取Be中點P,連接PH,求證：PH??CG.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(I)根據(jù)平行線性質，得到NAEB=NEBC;根據(jù)等腰三角形的性質，得到NBEC=

乙EBC,等量代換得至∣Jz√lEB=4BEC即可.

(2)如圖，過點B作BMLEC,證明8M=B4=CD=CG,后證明△BMH三△GCH,得到

BH=GH,繼而得到PH是ABCG中位線得證.

【詳解】(1)???矩形ABCC繞著點C按順時針方向旋轉得到矩形尸ECG,使點B落在4。邊上的

點E處，

：.ADHBC,AB=CD=CG,CB=CE,乙BCD=乙ECG=9Q0,

：.4AEB=乙EBC,/.BEC—Z-EBC,

.,.?AEB=?BEC,

,BE平分乙4EC.

(2)如圖，過點B作BMJ.EC,

?.?8E平分N4EC,

J.BM=BA=CD=CG,

,4BHM=乙GHC

;4BMH=4GCH=90°,

BM=GC

：.ΔBMH≤ΔGCH,

ED

G

；.BH=GH,

.?.「“是4BCG中位線，

：.PHWCG.

【點睛】本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，實踐中中位線定

理，等腰三角形的性質，平行線的性質，角平分線的性質，熟練掌握矩形的性質，旋轉的性

質，三角形中位線定理是解題的關鍵.

12.(2022秋?福建福州?九年級福建省福州第十九中學?？茧A段練習)如圖，在正方形ABCD

中，點E在邊BC上(不與端點重合)，ZkADF是由AABE繞點4順時針旋轉90。得到的，連接EF

交4。于點G,過點A作4HIEF,垂足為“，連接BH.

(1)求證：AE=√2fW;

(2)求證：?AEF=?HBE?,

(3)若4G?BH=50√2,CE=2,求BE的值.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶BE=6

【分析】(1)由旋轉的性質可得4E=∕F,^EAF=90°,證明△4EF是等腰直角三角形可

得結論；

(2)通過證明點A,B,E,H四點共圓，可得NAEF=NABH=45。，可得結論；

(3)通過證明△?!BHSAGE4,由相似三角形的性質可求AE的長，由勾股定理可求解.

【詳解】(1)解：；四邊形ABCD是正方形,

LBAD=?ABC=90o,AB=BC,

,.?ΔACF是由A4BE繞點4順時針旋轉90。得至IJ的，

：.AE=AF,?EAF=90°,

.?.AAEF是等腰直角三角形，

EF=√∑4E,?AEF=?AFE=45°,

,：AH1EF,

：.EH=HF=^EF=^-AE,B∣UE=√25,W:

(2)證明："：AH?EF,

：.UHE=/.ABE=90°,

點A,B,E,，四點共圓，貝IJ乙4EF=乙4B"=45。，

"EBH=90°-乙ABH=45°,

J.?AEF=?HBE-.

(3)解：'：AH1EF,4840=90。，

J./.BAH=90°-/.GAH=Z.AGH

由⑴知乙48H=乙AEG=45°,

ΛΔABHGEA,

.AH_BH

??~~~=,

AGAE

：.AH-AE=AG-BH=50^2,

?..△4EF是等腰直角三角形，AHLEF,

：.AH=HE,則AE=√∑4H,

.?y∕2AH2=50√2,則AH=5√2,

.".AE=>∕2AH=10,

在Rt△ABE中，AB=BC=BE+CE=BE+2,

由勾股定理知：AE2=AB2+BE2,

.,.102=(BE+2)2+BE2,

解得BE=6或BE=-8(舍去).

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，旋轉的性質，等腰直角三角形的判定

和性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握相似三角形的判定

與性質和等腰直角三角形的性質是解題的關鍵.

13.(2022秋?福建廈門?九年級廈門一中?？茧A段練習)已知：在矩形48C。中，把矩形ABCO

繞點C旋轉，得到矩形FECG,且點E落在AD邊上，連接BG交CE于點H.

F

⑴如圖1，連接BE,求證：BE平分乙4EC；

（2）如圖2,連接FH,若FH平分立EFG,判斷CH與4E之間的數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】（1）見解析

（T）CH=2AE,證明見解析

【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質得到CE=BC,求得4CEB=NCBE,根據(jù)矩形的性質，得出

AD??BC,繼而得出乙4EB=NEBC,等量代換得出42EB=NBEC,即可得證；

（2）根據(jù)全等三角形的性質得到BH=GH,求得BG=2BH,BG=2GH,根據(jù)線段的和差

得到CE=2CH,根據(jù)已知條件得到AEFH是等腰直角三角形，求得EF=EH,設ZE=

X,CH=y,根據(jù)勾股定理即可得到結論.

【詳解】（1）證明：如圖，

根據(jù)四邊形48CO是矩形，

.?.AD??BC,

???/.AEB=/.EBC,

???把矩形4BCD繞點。旋轉得至IJ矩形FECG,

?CE=BC,

???乙CEB=Z-CBE,

?Z-AEB=Z-BECy

即BE平分乙4EC；

(2)解：如圖，過8作BMICE于M,連接BE,

圖2

在AABE和AMBE中，

?A=4BME

?AEB=乙BEM，

BE=BE

.?.?∕1FF≡ΔMFF(AAS),

.?.AE=EM9AB=BM,

???BM=CG,

在和AGCH中，

ZBMH=乙GCH=90°

乙BHM=乙GHC，

BM=CG

.?.?BMH≤?GCW(AAS),

???BH=GH,

?BG=2BH,BG=2GH,

???AD=AE+DE=CE=CHEH=CH+CH-]-AE=2CH+AEf

???DE=2CH,

V尸”平分4EFG,

??.?EFH=45°,

??.△EF”是等腰直角三角形，

???EF=EH,

.-.EH=AB=CDr

設4E=x,CH=y,

???DE—2y,CT)=X+y,CF=x+2y,

VDE2÷CD2=CE2,

???(2y)2+(x+y)2=(x÷2y)2,

解得：y=2x,

?CH=2AE,

【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形

的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

14.（2022秋?福建廈門?九年級?？茧A段練習）如圖1,?ABC.ACDE都是等邊三角形，邊

DE分別交BC、4C于點。、E,將△CDE繞點C順時針旋轉OO（0。<。<360。）設直線AE與直

線BD相交于點F

AA

圖1圖2

（1）如圖2,當（（Γ<α<360t5）時?，求證：BD=AE.

（2）當△CDE繞點C旋轉至3、D、E三點共線時，若AB=7,CD=3,求BD的長.