課題學習：最短路徑問題（分層作業(yè)）（解析版）-八年級數(shù)學上冊

13.4課題學習：最短路徑問題夯實基礎篇一、單選題：1．直線L是一條河，P，Q是兩個村莊．欲在L上的某處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是（）．A． B．C． D．【答案】D【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】作點P關于直線L的對稱點P′，連接QP′交直線L于M．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設的管道，則所需管道最短．故選D．【分析】利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．2．如圖，點M，N在直線l的同側，小東同學想通過作圖在直線l上確定一點Q，使MQ與QN的和最小，那么下面的操作正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】作點M關于直線l的對稱點M′，再連接M′N交l于點Q，則MQ+NQ=M′Q+NQ=M′N，由“兩點之間，線段最短”，可知點Q即為所求.故答案為：C【分析】先作點M關于l的對稱點M′，連接M′N交l于點Q，即可.3．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，點M、N分別是線段AB，AD上的動點，則MN+BN的最小值是（）A．3 B． C．4.5 D．6【答案】A【知識點】角平分線的性質；等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC的平分線，∴M′H=M′N′，∴BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH=AB=3．故答案為：A【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一，得到AD是∠BAC的平分線，由角平分線的性質可知，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得到BH是點B到直線AC的最短距離，再由三角形內角和定理得到∠BAC=30°，根據(jù)在直角三角形中，30度角所對的邊是斜邊的一半，求出MN+BN的最小值.4．如圖：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，點E在BC上，且BE=2，點P在ABC的平分線BD上運動，則PE+PC的長度最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【知識點】三角形的角平分線、中線和高；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】作點E關于BD的對稱點E'，連接E'C，如下圖：∵BD是∠ABC的平分線，∴通過作圖知，BP垂直平分EE'，∴PE'=PE∴此時PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的長度最小，∵點E、點E'關于BD的對稱，∴BE'=BE=2，又∵AB=4，∴點E'是AB中點，CE'是中線.∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45，∴CE'又是底邊AB的高，∴△BE'C也是等腰直角三角形，∴E'C=2，即：PE+PC的長度最小值為2.故選B.【分析】此題考查最短路徑問題，利用軸對稱，作點E關于BD的對稱點E'，連接E'C，可知此時PE+PC的長度最小，PE+PC=PE'+PC=E'C.再根據(jù)作圖和等腰直角三角形性質求出E'C的長即可.5．如圖，在銳角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分線交BC于點D，點M，N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是（）A．4 B． C．5 D．6【答案】C【知識點】等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：如圖，∵AD是∠BAC的平分線，AB=AC，∴點B關于AD的對稱點為點C，過點C作CN⊥AB于N交AD于M，由軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM＋MN最小的點，CN＝BM＋MN，∵AB＝10，S△ABC＝25，∴×10?CN＝25，解得CN＝5，即BM＋MN的最小值是5.故答案為：C.【分析】根據(jù)AD是∠BAC的平分線，AB=AC可得出確定出點B關于AD的對稱點為點C，根據(jù)垂線段最短，過點C作CN⊥AB于N交AD于M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM＋MN最小的點，CN＝BM＋MN，利用三角形的面積求出CN，從而得解.6．如圖，等邊中，D為AC中點，點P、Q分別為AB、AD上的點，，，在BD上有一動點E，則的最小值為（）A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【知識點】等邊三角形的判定與性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：如圖，是等邊三角形，，∵D為AC中點，∴，

∵，，，作點Q關于BD的對稱點Q'，連接PQ'交BD于E，連接QE，此時PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，，，，，，，是等邊三角形，，∴PE+QE的最小值為10.故答案為：C.【分析】作點Q關于BD的對稱點Q'，連接PQ'交BD于E，連接QE，此時PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，進而判斷△APQ'是等邊三角形，即可解決問題.7．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為3，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點.若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5【答案】D【知識點】三角形的面積；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：如圖，連接AM、AD∵EF垂直平分線段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即當A、M、D三點在一直線上且與AD重合時，CM+MD取得最小值，且最小值為線段AD的長∵△CMD的周長=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周長的最小值為AD+CD∵D為BC的中點，AB=AC∴，AD⊥BC∴∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周長的最小值為13.5故答案為：D.【分析】連接AM、AD，由線段垂直平分線的性質可得CM=AM，當A、M、D三點在一直線上且與AD重合時，CM+MD取得最小值，且最小值為線段AD的長；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得，AD⊥BC，利用△ABC的面積可求出AD的長，從而求出此時△CDM的周長即可.二、填空題：8．如圖的4×4的正方形網(wǎng)格中，有A，B，C，D四點，直線a上求一點P，使PA+PB最短，則點P應選點（C或D）.【答案】C【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：如圖，點A′是點A關于直線a的對稱點，連接A′B，則A′B與直線a的交點，即為點P，此時PA+PB最短，∵A′B與直線a交于點C，∴點P應選C點.故答案為：C.【分析】點A′是點A關于直線a的對稱點，連接A′B，則A′B與直線a的交點，即為點P，此時PA+PB最短，據(jù)此即得結論.9．如圖，在中，垂直平分，點P為直線上一動點，則周長的最小值是．【答案】7【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：∵垂直平分，∴B，C關于直線對稱．設交于點D，∴當P和D重合時，的值最小，最小值等于AC的長，∴周長的最小值是．【分析】根據(jù)題意知點B關于直線EF的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結論．10．如圖，在中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則周長的最小值是.【答案】10【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：如圖，連接PC，，的周長為，要使的周長最小，則需的值最小，垂直平分BC，，，由兩點之間線段最短可知，當點共線，即點P在AC邊上時，取得最小值，最小值為AC，即的最小值為，則周長的最小值是.故答案為：10.【分析】如圖，連接PC，先把的周長表示出來為4+PA+PB，接著根據(jù)垂直平分線性質得到PB=PC，故只需PA+PC最小△ABP周長才最小，由兩點之間線段最短得出P點在AC上時最小，此時PA+PC=AC=6，從而即可得出答案.11．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分線.若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是.【答案】9.6【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP.過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示.∵S△ABCBC?ADAC?BQ，∴BQ9.6.故答案為：9.6.【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得出AD垂直平分BC，根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得出BP＝CP，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，然后根據(jù)三角形的面積法，得出BC?AD=AC?BQ，根據(jù)等積式即可求出BQ的長.三、作圖題：12．有一個養(yǎng)魚專業(yè)戶，在如圖所示地形的兩個池塘里養(yǎng)魚，他每天早上要從住處P分別前往兩個池塘投放魚食，試問他怎樣走才能以最短距離回到住地?(請用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法)【答案】解：答圖如圖所示，該養(yǎng)魚專業(yè)戶若要以最短距離回到住地，則他所走路線是：，或.【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【分析】分別作P點關于AB，AC的對稱點，連接這兩個對稱點交AB于點M，交AC于點N，該養(yǎng)魚專業(yè)戶若要以最短距離回到住地，則他所走路線是：，或.13．如圖，P和Q為△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上求作一點M，使△PQM的周長最小?！敬鸢浮拷猓喝鐖D，

作點P關于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于點M，點M是所求的點。【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】利用軸對稱圖形的性質，作點P關于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于點M，則M是所求的點。

【分析】本題考查了軸對稱的性質，兩點之間線段最短的性質。四、解答題：14．作圖題：如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．①在圖中作出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1并寫出A1，B1，C1的坐標；②在y軸上畫出點P，使PA+PB最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）③求△ABC的面積．【答案】解：①如圖所示，△A1B1C1即為所求；A1的坐標（2，﹣3），B1的坐標（3，﹣1），C1的坐標（﹣2，1）；②如圖所示，點P即為所求；③S△ABC=S△ABD+S△BCD=×3×2+×3×2=6①如圖所示見解析，A1的坐標（2，﹣3），B1的坐標（3，﹣1），C1的坐標（﹣2，1）；②如圖所示見解析；③6．【知識點】坐標與圖形性質；坐標與圖形變化﹣對稱；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【分析】①分別找到A、B、C三點的對稱點，連線即可。

②作點A關于y軸的對稱點,連接,與y軸的交點即為點P。

③AC與y軸相交于點D，BD將△ABC分割成兩個三角形，分別求其面積即可得△ABC的面積。15．如圖，等邊的邊長為，是邊上的中線，是邊上的動點，是邊上一點，若，當取得最小值時，則的度數(shù)為多少？【答案】解：如圖，取AB的中點G，連接CG交AD于點F，∵等邊△ABC的邊長為4，AE=2，∴點E是AC的中點，所以點G和點E關于AD對稱，此時EF+FC=CG最小，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質可知：∠ECF=∠ACB=30°.【知識點】等邊三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【分析】可以取AB的中點G，連接CG交AD于點F，根據(jù)等邊△ABC的邊長為4，AE=2，可得點E是AC的中點，點G和點E關于AD對稱，此時EF+FC=CG最小，根據(jù)等邊三角形的性質即可得∠ECF的度數(shù).16．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于點M（1）若∠B=70。，求∠NMA．（2）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm，求BC的長．（3）在(2)的條件，直線MN上是否存在點P，使由P，B，C構成的△PBC的周長值最小?若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）解：∵AB=AC

∴∠B=∠C=70°

∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2×70°=40°

∵MN垂直平分AB，

∴∠ANM=90°

∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°（2）解：（2）如圖1，連接BM

∵AB=AC，AB=8cm

∴AC=8

∵MN垂直平分AB，

∴AM=BM

∵△MBC的周長是14cm

∴BM+CM+BC=14，

∴AM+CM+BC=14，

即AC+BC=14

∴BC=14-8=6（3）存在；點P與點M重合；△PBC的周長最小值為14.

解：（3）如圖1，∵MN垂直平分AB，

∴點A、B關于直線MN對稱，AC與MN交于點M，因此點M與點P重合

∴PB+PC的值最小。

∴△PBC的周長最小值為14.【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對等角求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)垂線的定義得出∠ANM=90°，然后根據(jù)∠NMA=90°-∠A，計算即可得出答案。（2）根據(jù)相等垂直平分線的性質得出AM=BM，再根據(jù)△MBC的周長是14cm，證得AC+BC=14，即可得出答案。

（3）根據(jù)軸對稱的性質及兩點之間的最短，可得出點P與點M重合，因此△PBC的周長最小值就是△MBC的周長。17．如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點P為直線上一點，，求周長的最小值．【答案】（1）解：∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）當點P與點E重合時，的周長最小，理由：∵，∴當點P與點E重合時，，此時最小值等于的長，∴的周長最小值為．【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，利用三角形內角和求出∠A=44°，在Rt△ADE中，利用∠AED=90°-∠A即可求解；

（2）當點P與點E重合時，的周長最小，求出此時△PBC的周長即可.能力提升篇一、單選題：1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點G為線段EF上一動點，則△CDG周長的最小值為（）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【知識點】三角形的面積；線段垂直平分線的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=18，解得AD=9，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CG+GD的最小值，∴△CDG的周長最短=（CG+GD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．故答案為：C.【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CG+GD的最小值，由此即可得出結論．2．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【知識點】軸對稱的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故答案為：B．【分析】由軸對稱的知識得PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；同理可得PN=CN，OP=OC=6，∠COB=∠POB；整理得OC=OP=OD=6，∠AOB=∠COD，當△PMN周長取最小值時，此時C、N、M、D四點共線，即CD=6，可判定△OCD是等邊三角形，從而求得∠AOB度數(shù)。3．如圖，四邊形中，，在、上分別找一點，使周長最小時，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值?！摺螪AB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°?120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，故答案為：C.【分析】作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值，根據(jù)三角形的內角和可得∠AA′M+∠A″=180°?120°=60°，根據(jù)軸對稱的性質及三角形外角的性質可得∠AMN=∠MA′A+∠MAA′=2∠AA′M，∠ANM=∠NAD+∠A″=2∠A″，從而求出結論.二、填空題：4．如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D是斜邊AC的中點，P是AB上一動點，則PC+PD的最小值為．【答案】12【知識點】等邊三角形的判定與性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】作C關于AB的對稱點E，連接ED，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵AC=AE，∴△ACE為等邊三角形，∴CP+PD=DP+PE為E與直線AC之間的連接線段，∴最小值為C'到AC的距離=AB=12，故答案為：12【分析】由對稱的性質得到PC+PD的最小值為ED=AB的長，由∠B=90°、∠A=30°，得到△ACE為等邊三角形，求出PC+PD的最小值.5．如圖，在中，平分點分別是上的動點.若則的最小值是.【答案】【知識點】線段垂直平分線的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】作A關于CD的對稱點H，∵CD是△ABC的角平分線，∴點H一定在BC上，過H作HF⊥AC于F，交CD于E，連接AE，則此時，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，過A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面積為12，BC長為6，∴AG＝4，∵CD垂直平分AH，∴AC＝CH，∴S△ACH＝AC?HF＝CH?AG，∴HF＝AG＝4，∴AE＋EF的最小值是4，故答案是：4.【分析】作A關于CD的對稱點H，由CD是△ABC的角平分線，可得點H一定在BC上，過H作HF⊥AC于F，交CD于E，連接AE，則此時，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，過A作AG⊥BC于G，根據(jù)S△ACH＝AC?HF＝CH?AG，求出HF的值即可.三、解答題：6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分線.（1）如圖1，若E是AC邊上的一個定點，在CD上找一點P，使PA+PE的值最小；（2）如圖2，若E是AC邊上的一個動點，在CD上找一點P，使PA+PE的值最小，并直接寫出其最小值.【答案】（1）解：如圖，過D作DF⊥BC于F，過F作EF⊥AC交CD于P，則此時，PA+PE的值最??；點P即為所求（2）解：如圖，過D作DF⊥BC于F，過F作EF⊥AC交CD于P，則此時，PA+PE的值最?。籔A+PE的最小值＝EF，∵CD是角平分線，∠BAC＝90°，∴DA＝DF，即點A與點F關于CD對稱，∴CF＝AC＝10，∵∠ACB＝30°，∴EF＝CF＝5.【知識點】含30°角的直角三角形；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【分析】（1）過D作DF⊥BC于