【數(shù)學(xué) 】二項式定理課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期人教A版（2019）選擇性必修第三冊

6.3.1二項式定理一、問題引入

同學(xué)們回顧一下(a＋b)2,(a＋b)3

的展開式？追問1：展開式中每一項是如何得到的？(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2

合并同類項之前有______項，合并同類項之后有______項。43追問3：你能用計數(shù)原理的知識解釋為什么展開式合并同類項之前有4項嗎？

每一項都是

由1個(a+b)中選a，另1個(a+b)中選b得到的.由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，ab出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個(a+b)中取1個b的組合數(shù)，即ab共有2個.由2個(a+b)中都選b得到的.因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個(a+b)中取2個b的組合數(shù)，即b2只有1個.2個(a+b)都不選b得到的，因此a2出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個(a+b)中取0個b（即都取a）的組合數(shù)，即a2只有1個；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2

思考：

仿照上述過程，你能利用分步乘法計數(shù)原理解釋(a＋b)3的展開式嗎？思考：

仿照上述過程，你能利用分步乘法計數(shù)原理解釋(a＋b)3,(a＋b)4

的展開式嗎？a3a2ba2ba2bb3ab2ab2ab2合并同類項前展開式共有：

項

，項的形式

：項的形式：a4－k×bk

(k=0,1,2,3,4)合并同類項前展開式共有：

項，

歸納猜想：你能給出上述猜想的證明嗎？anan-1b…bnan-2b2合并同類項前展開式共有：

項，

項的形式：an－k×bk(n=0,1,2,…，n

)

……

概念形成上述公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù).式中

的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：在二項式定理中，若設(shè)a=1,b=x，則得到公式1.二項式系數(shù)：2.次數(shù)規(guī)律：(1)各項的次數(shù)均為n；(2)各項里a的指數(shù)由n降到0，b的指數(shù)由0升到n.3.項數(shù)規(guī)律：共有n+1個項.4.通項:二項展開式中的（二項式）系數(shù)、次數(shù)、項數(shù)以及通項的變化，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項、特定項系數(shù)、以及數(shù)、式的整除方面有廣泛應(yīng)用.定理的特征：例1求的展開式.解：根據(jù)二項式定理，可得求的展開式．變式1：解：典例分析追問：例1中第幾項是常數(shù)項？例2解：(1)由通項公式，可得第4項的二項式系數(shù)是多少？注意：二項展開式中第n項、第n項的系數(shù)以及第n項的二項式系數(shù)是不同的概念，解題時要注意區(qū)分！不是同一個概念解：由通項公式，可得課本P31追問：第3項的系數(shù)以及二項式系數(shù)各是多少？解：由通項公式，可得課本P31變式：若n=6,求展開式中的有理項。

解：由通項公式，可得課本P31解：含x4的項是由5個括號中任意4個括號各取出1個x，剩余1個括號取出常數(shù)相乘得到的，故含x4的項的系數(shù)是課本P31鞏固訓(xùn)練1已知的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是14：3，求展開式中