2023年高考數學一輪復習講義：第十二章系列4選講

第十二章系列4選講

§12.1坐標系

【考試要求】L了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情

況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角

坐標的互化3能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.伸縮變換

[x'~λ?Xf%>0,

設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ-.,C的作用下，點

Iy=〃少，〃>0

P(x,y)對應到點P'(x',y'),稱夕為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.

2.極坐標系

(1)極坐標與極坐標系的概念

在平面內取一個定點0,自點。引一條射線Ox,再選定一個長度單位、一個角度單位(通常

取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系.點。稱為極點，射線

Ox稱為極軸.平面內任一點M的位置可以由線段OM的長度P和從射線Ox到射線OM的

角度6來刻畫(如圖所示).這兩個數組成的有序數對S，。)稱為點M的極坐標."稱為點M

的極徑,6稱為點M的圾魚」一般認為當極角6的取值范圍是[0,2昉時，平面上的點(除

去極點)就與極坐標S，O)S=。)建立對應的關系.特別地，極點。的坐標為(0,6?)((9∈R).

(2)極坐標與直角坐標的互化

設M為平面內任意一點，它的直角坐標為(x,y),極坐標為S，θ).由圖可知下面關系式成

立：

ρ2=x2÷y2,

x=pcosθ,

J=PSin?；騳這就是極坐標與直角坐標的互化公式.

tan9=2(x≠0),

3.常見曲線的極坐標方程

曲線圖形極坐標方程

圓心在極點，半徑為r的圓O=Ho</2π)

0=2rcosθ

圓心為(r,0),半徑為『的圓(生詞

^?!r

圓心為(，，野，半徑為r的圓

0=2rsinO(OW0<π)

OX

過極點，傾斜角為α的直線θ=a(f)∈R)或θ=π+a(p∈R)

I

過點Q0),與極軸垂直的直線pcose=<-2<〃<51

。∣(α,0)X

IS陰

過點(。，宮，與極軸平行的直線I

IOsine="(0v依沅)

Ot------------X

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若點P的直角坐標為(1,-√3),則點P的一個極坐標是(2,—2.(√)

(2)在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的.(√)

(3)極坐標方程e=πS>O)表示的曲線是一條直線.(X)

TT

(4)tan9=1與。=W表示同一條曲線.(×)

【教材改編題］

1.在極坐標系中，圓p=-2sin8的圓心的極坐標是()

C.(1,0)D.(1,π)

答案B

解析方法一由〃=-2sin8,

得p2=-2〃Sin0,

化成直角坐標方程為x2+∕=-2γ,

化成標準方程為f+U+l)2=l,

圓心坐標為(0,-1),

其對應的極坐標為(1,-f).

方法二由"=-2Sino=2cos(θ+?,知圓心的極坐標為(1,一；),故選B.

2.在極坐標系中，已知點'2,1),則過點P且平行于極軸的直線方程是()

A.psinθ=?B.PSine=小

C."cos。=1D.PCGSe=小

答案A

解析先將極坐標化成直角坐標表示，P(2,袁)轉化為直角坐標為x="cos9=2cos季=小，y

=PSine=2sin5=1,EP(√3,1),過點(小，1)且平行于無軸的直線為y=1,再化為極坐標為

,SinΘ=1.

3.在極坐標系中，直線〃COSe+〃sin。=4(〃>0)與圓p=2cos。相切，則。=.

答案∣+√2

"COSθ=x,

解析由VPSinθ=y,可將直線PCOS夕+psinθ=a化為x+y-a=0,

.P2=X2+/

將p=2cosθ,

即p2=2pcosθ化為Λ2+)2=2X,

整理成標準方程為1)2+)2=I.

又??,直線與圓相切，

,二圓心(1,0)到直線1+y—〃=0的距離d==1,

解得a=l±?∣29

Vtz>O,Λiz=l÷√2.

■探究核心題型

題型一極坐標與直角坐標的互化

例1(1)極坐標方程/cose—P=O轉化成直角坐標方程為()

A.x2+y2=0或),=1B.x=l

C.x2+γ2=0或X=ID.y=I

答案C

解析∕?os0-ρ=0np=y∣x2+y2=0或PCoS或=1,即JC2+)2=0或X=L

(2)點M的直角坐標是(一1,小)，則點M的極坐標為()

A(2,§B.(2,一§

C(2,引D(2,2E+縱∈Z)

答案C

解析,?>=√(-l)2+(√3)2=2,

tan6=當=一√i

又點M在第二象限，二。=專，

點M的極坐標為(2,芝).

【教師備選】

在直角坐標系xθy中，以坐標原點O為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1:

l

Psin(嗚)=乎，。2：r=3-4sin2^

⑴求曲線C∣,C2的直角坐標方程；

(2)曲線C∣,Cz的交點為M,N,求以MN為直徑的圓與)，軸的交點坐標.

解(1)由PSinb+?=乎，得

P(SinGcos今+cosOSin點)=坐，

fρsinθ=y,

將八.代入上式得x+y=l,

Ipcosθ=x

即C∣的直角坐標方程為x+)LI=0,

同理，由/=+而，可得3f—V=I,

.?.C2的直角坐標方程為3『一V=].

(2)設Ma],y↑)9Na2,”)，

[3Λ2-γ2=l,

由Jll得3/—(1—x)2=l,

[x+y=1

即x2+χ-I=0,

X]+M=-1,

X\X2=—1,

則MN的中點坐標為(一/?,

由弦長公式，可得IMM=√l+(-l)?-X2∣=√2×√l-4×(-I)=√10.

以MN為直徑的圓為1+,2+Q—=Q里>=,.

令X=0,得;+()Ll)2=最

即O《，

.?.y=0或y=3,

以MN為直徑的圓與y軸的交點坐標為

(0,0)或(0,3).

思維升華(1)直南坐標方程化為極坐標方程時，將X=PCOSo及)，=PSin。直接代入并化簡即

可.

(2)極坐標方程化為直角坐標方程時常先通過變形，構造形如PCoSapsinθ,小的形式，再進

行整體代換.其中方程的兩邊同乘(或同除以如及方程兩邊同時平方是常用的變形方法.但對

方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢臉.

跟蹤訓練1已知曲線G的方程為(χ-l)2+y2=l,C2的方程為x+y=3,C3是一條經過原點

且斜率大于0的直線.

(1)以直角坐標系原點。為極點，X軸正方向為極軸建立極坐標系，求Cl與C2的極坐標方程；

⑵若G與G的一個公共點為&異于點。)，C2與C3的一個公共點為B,當IOAl+兩=4歷

時，求C3的直角坐標方程.

解(1)曲線G的方程為(χ-l)2+)2=ι,

整理得『+)2—2x=0,轉換為極坐標方程為p=2cos6.

曲線C2的方程為x+y=3,轉換為極坐標方程為PCOSe+psin8—3=0.

(2)因為曲線C3是一條經過原點且斜率大于0的直線，

則極坐標方程為e=α(θ<α<g),

由于Cl與C3的一個公共點為4異于點O),

ρ=2cosθ,

故<所以QAl=2cosα,

9=a,

C2與C3的一個公共點為B,

IPCOSθ+psinθ=3,

所以召

[θ=a9

3

所以IOB?-1..

cos?+sina

3__

由于I。41+[0]=*\/T5>

所以2cosa÷cosa÷sina=Λ∕Tθ,

即3cosa+sina=y[??9

?eos^?sinɑ=!,

故曲線C3的直角坐標方程為y=∣x.

題型二求曲線的極坐標方程

例2(2022.梧州模擬)在極坐標系中，已知三點A(2,0),B(2,y),C小，刑

(1)若A,B,C三點共線，求P的值；

(2)求過O,A,8三點的圓的極坐標方程.(。為極點)

解以極點為坐標原點，以極軸為X軸正半軸，建立平面直角坐標系X0)，，

⑴因為A,8兩點的極坐標分別為4(2,0),B[2,y),所以其直角坐標分別為A(2,0),8(0,

-2),

即直線AB的方程為y=x-2,

因為C點的極坐標為2，

所以其直角坐標為瞎“??,

代入直線AB的方程，

可得%=多一2,

解得〃=2(√5+l).

(2)因為OALOB,

所以AB的中點(1,一1)即為圓心,

半徑r=√l2+(-1)2=√2,

所以圓的標準方程為(X-I)2+(y+l)2=2,

即/+j2-2Λ+2y=0,

因為x2+y2="2,X=PCOSay="sin仇

所以圓的極坐標方程為/—2。COS0+2psinθ=0,

即p=2cos0—2Sinθ.

【教師備選】

已知曲線Cl的直角坐標方程為f+y2-8χ-10y+16=0,以坐標原點為極點，X軸的正半軸

為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p=2sinθ.

(1)把C1的直角坐標方程化為極坐標方程；

⑵求C1與C2交點的極坐標S20,0<*2π).

X=OCOSθ,

解⑴將

j=psιnθ

代入x2+y2-8χ-10γ+16=0,

得律一8PCoSθ~IOpsin。+16=0,

所以G的極坐標方程為"一8PCoSIOpsin6?+16=0.

⑵C2的直角坐標方程為f+V—2y=0.

∫X2+√-8X-IOy+16=0,

.x2+y2-2y=0,

IX=1,IX=0,

解得I或C

ly=ιly=2,

所以CI與C2交點的極坐標分別為(6，g,0,9

思維升華求曲線的極坐標方程的步驟

(1)將已知條件轉化到直角坐標系中.

(2)根據已知條件，得到曲線的直角坐標方程.

⑶將曲線的直角坐標方程轉化為極坐標方程.

跟蹤訓練2(2019?全國II)在極坐標系中，O為極點，點MS0，仇在曲線C：

p=4sinθ上，直線/過點4(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

⑴當仇=削寸，求PO及/的極坐標方程;

⑵當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.

解(1)因為MS0,a)在C上，

當為=1時，PO=4sin5=2小.

Tr

由已知得I。Pl=IOAlCoS1=2.

設QS，?)為/上除P的任意一點，連接。Q,

在Rt△(?PQ中，PCOSb—鼻)=IoPl=2.

經檢驗，點P(2,號在曲線PCoSM-§=2上.

所以/的極坐標方程為0cos(6—§=2.

⑵設P(∕J,θ),在Rt△OAP中，IoPl=|。AlCoS6=4CoSθ,即p=4cosθ.

πTT

因為P在線段OM上，且APLOM,故。的取值范圍是∣J,2-

所以P點軌跡的極坐標方程為

Γππ^

p=4cosθ,2-

題型三極坐標方程的應用

例3(2018?全國1)在直角坐標系xθy中，曲線Cl的方程為y=?W+2.以坐標原點為極點，X

軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p2+20cos6-3=O.

(1)求C2的直角坐標方程；

⑵若G與C2有且僅有三個公共點，求Cl的方程.

解(1)由X=PCOSay=∕>sin。得C2的直角坐標方程為(x+1/+)2=4.

⑵由⑴知C2是圓心為4-1,0),半徑為2的圓.

由題設知，Cl是過點8(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記)，軸右邊的射線為A,y軸左邊的

射線為Z2.

由于點B在圓C2的外面，故G與C2有且僅有三個公共點等價于∕∣與C2只有一個公共點且

/2與C2有兩個公共點，或/2與C2只有一個公共點且Zl與C2有兩個公共點.

當∕∣與C2只有一個公共點時，點A到∕∣所在直線的距離為2,

I—?+2∣4

所以/團=2,故k=一可或k=0.

y］lc+↑?

經檢驗，當&=0時，/］與。2沒有公共點；

4.

當％=一1時，/1與。2只有一個公共點，，2與。2有兩個公共點.

當/2與。2只有一個公共點時，點A到/2所在直線的距離為2,

所以故A=O或Z=*

7%+??

經檢驗，當Z=O時，/］與C2沒有公共點；

4

當Z=W時，,2與。2沒有公共點.

4

綜上，所求G的方程為y=-∕∣+2.

【教師備選】

在直角坐標系Xo)，中，以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐

標方程為PCOS0=4.

(I)M為曲線Cl上的動點，點P在線段OM上，且滿足IOM?QP∣=16,求點P的軌跡C2的直

角坐標方程；

⑵設點A的極坐標為(2,號，點B在曲線C2上，求aOAB面積的最大值.

解(1)設點P的極坐標為S，θ)(p>O),

點M的極坐標為Si,θ)(pi>O).

4

由題意知∣0P∣=",IoM="ι=cos)

由∣0M∣?∣0P∣=16,得C2的極坐標方程為p=4cos8(p>0).

因此C2的直角坐標方程為

(X—2)2+y2=4(x≠0).

(2)設點5的極坐標為(p6,a)(pβ>O).

由題設知∣0A∣=2,pβ=4cosa,

于是AOAB的面積5=?0Λ∣?pβ?sinZA0B

=4cosajsin(α^-|

—2卜in(2a-§-坐卜2+9.

當°1=一盍時，S取得最大值2+小，

所以AOAB面積的最大值為2+√I

思維升華極坐標方程及其應用的解題策略

(1)求點到直線的距離.先將極坐標系下點的坐標、直線方程轉化為平面直角坐標系下點的坐

標、直線方程，然后利用直角坐標系中點到直線的距離公式求解.

(2)求線段的長度.先將極坐標系下的點的坐標、曲線方程轉化為平面直角坐標系下的點的坐

標、曲線方程，然后再求線段的長度.

[x=9+y∣3t

跟蹤訓練3在直角坐標系Xoy中，直線/的參數方程為<f。為參數).以坐標原

點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2=1+；：丁汨

(1)求C和/的直角坐標方程；

(2)已知P為曲線C上的一個動點，求線段OP的中點M到直線/的最大距離.

解(1)由P?=[+3sin?夕得p2+3p2sin?。=16,

則曲線。的直角坐標方程為f+4),2=16,

g?+4=1?

直線I的直角坐標方程為χ-√3>-9=0.

[JV=4COSQ,

(2)可知曲線C的參數方程為°.僅為參數),

ly=2sma

設P(4cosα,2sina),cc∈[0,2π),

則M(2cosa9sinα)到直線/：

χ一√5y—9=0的距離為

∣2COSc—[5sina-9||巾sin(J-a)-9∣

d=2=2

<9+2/2

、2'

所以線段OP的中點M到直線/的最大距離為號N

課時精練

1.在直角坐標系XOy中，以。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標

方程為夕8$。一習=1(0?興2兀)，M,N分別為曲線C與X軸、)，軸的交點.

(1)寫出C的直角坐標方程，并求歷，N的極坐標；

(2)設MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.

解(1)由∕xx>s(e-4=∣得

從而曲線C的直角坐標方程為坐y=1,

即x+yβy-2.

當J=O時,p=2,所以M(2,0).

當9=5時，0=43，

所以M呼，習.

(2)加點的直角坐標為(2,0),

N點的直角坐標為(0,韋.

所以P點的直角坐標為(1,用，

則尸點的極坐標為錚，"，

所以直線OP的極坐標方程為。弋S∈R).

2.在直角坐標系XOy中，以原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的

圓心的極坐標為(√∑半徑r=√∑點P的極坐標為(2,π),過P作直線/交圓C于A,

B兩點.

(1)求圓C的直角坐標方程；

⑵求解∣?∣PB∣的值.

解(1)；圓C的圓心的極坐標為(啦，；)，

.".y-y∕2sin1,X=也CoS^=1,

即圓心的直角坐標為(1,1),

...圓C的直角坐標方程為

(χ-l)2+(y-l)2=2.

(2)點尸的極坐標為(2,π),

化為直角坐標為P(-2,0).

當直線/與圓C相切于點D時，

則IP。|2=IPcI2一戶

=(-2-l)2+(0-l)2-(√2)2-8,

由切割線定理得照∣?∣P8∣=∣PD∣2=8.

3.(2022?洛陽模擬)在平面直角坐標系XO)，中，曲線Cl的方程為(x—2)2+。-2)2=1,直線

C2的方程為y=√5x.以坐標原點O為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

⑴求曲線Ci和直線C2的極坐標方程；

⑵若直線C2與曲線Cl交于A,8兩點，求血+蘇.

解(1)曲線Cl的方程為(尤一2)2+。-2)2=1,

整理得』+y2—4x—4y+7=0,

轉換為極坐標方程為p2-4pcos夕一4PSin0+7=0.

由于直線C2過原點，且傾斜角為去

故其極坐標方程為^=∣(p∈R).

—-4PCOS4psin8+7=0,

⑵由Lπ

得"2—(2小+2%+7=0,

設A,8對應的極徑分別為p∣,p2,

則"1+P2=2Λ∕5+2,pιp2=1,

.1,?JOA?+?OB?

"'?OA?t?OB?~?OA??OB?

p∣÷Z>22Λ∕3+2

―PlP2—7,

4.(2019?全國In)如圖，在極坐標系OX中，A(2,0),B(√L：),c(√2,朗，D(2,π),弧AB,

BC,CO所在圓的圓心分別是(1,0),(1,D，(1,π),曲線Ml是弧AB,曲線必是弧BC,

曲線誠是弧C。.

(1)分別寫出M∣,M2,例3的極坐標方程；

(2)曲線M由M∣,Mi,Mi構成，若點尸在M上，且IoPl=小，求P的極坐標.

解(1)由題設可得，AB,BC,C。所在圓的極坐標方程分別為0=2CoS&p=2sin仇0

=—2cosθ,

所以Ml的極坐標方程為夕=2COS40WoWB),M2的極坐標方程為p=2Sin冊WGW苧)，

M?的極坐標方程為P=-2COS。序≤6≤π).

(2)設PS，。)，由題設及(1)知

若0≤e<,則2COS6=√5,解得9=和

若TWeW竽，貝∣j2sinθ=y5,解得O=T或6=尊

若竽W6Wτt,則一2COSo=小，解得0=?.

綜上，P的極坐標為(小，目或(小，?或(小，引或(小，引.

5.(2022?鷹潭模擬)在平面直角坐標系xθy中，曲線Ci的方程為。+小產+。+1尸=4.以。

為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2,C3的極坐標方程分別為p=2sin0,p

=2CoS(O+5).

(1)若曲線C2,C3相交于異于極點的點。，求點。的直角坐標；

(2)若直線/：9=αSGR)與G，C2相交于異于極點的A,B兩點，求IABl的最大值.

解(1)由p=2sind,得/=ZygsinO,

將jx=ρcos6*,代入，可得C2的直角坐標方程為/+V=2y;

ly=psinθ

*=小COS9—sinθ,

得p2=y∣3ρcosθ-ρsin

222

(x+y=ρf

將卜=PcoS仇代入，

Iy=PSinΘ

可得C3的直角坐標方程為?r2+y2=√lr—y.

(x1+y2=2y,

聯(lián)立jχ2+y2=小X-?y,

?x~2'x=0,

解得<或C

?V=O,

所以點Q的直角坐標為

(2)由(x+小>+。+1)2=4,

可得W+j2+2√5x+2y=0,

χ2+y2=P2,

X=PCOS仇代入,

J=PSinΘ

可得G的極坐標方程為

p2+2√3pcos夕+2〃Sin夕=0,

貝IJ/)=—2√3cos9一2Sin0.

設ASA，。)，BSB,?)?

則PA=-2Λ∫3COS?—2sinα,〃B=2Sin?,

所以∣A6∣=∣p8-pd=∣4Sina+2?∣3cosa?

=2y∣7J宕Sinct+^cosa=2由∣sin(α+mI(Sin4=僚，COS

因為∣sin(α+為∣≤1,

所以∣A8∣=2由ISin(α+S)∣≤2√i

故H8∣的最大值為2√7.

§12.2參數方程

【考試要求】1.了解參數方程，了解參數的意義.2.能選擇適當的參數寫出直線、圓和橢圓的參

數方程.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.參數方程和普通方程的互化

(1)曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過消去參數從參數方

程得到普通方程.

(2)一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標X,y都是某個變數t的函數

?x=j[t),

并且對于，的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么

ly=g⑺，

此方程就叫做這條曲線的參數方程.

2.常見曲線的參數方程和普通方程

點的軌跡普通方程參數方程

y-yo=tanα?（χ-Xo）（α考）IX=XO+tcosa,

直線},.。為參數）

Iy=yo十fsma

jx=rcosθ,

圓f+y2=r2（。為參數）

y=rsιnθ

x=acosg

橢圓示+力=l（a>b>0）（φ為參數）

y=加Inφ

{x=2pt1,

拋物線=2PX（P>0）C。為參數）

ly=2pt

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)參數方程:中的X,y都是參數，的函數.(√)

[y=g(t)

[x=2cosθ,

⑵方程S為參數)表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.(√)

Iy=1÷ι2sinθ

fx=2cost,π

(3)已知橢圓的參數方程Q為參數)，點M在橢圓上，對應參數t=1點。為原

Q,=4sint?

點，則直線OM的斜率為√5.（X）

[x=2cosarπ^

（4）參數方程（。為參數且9∈0,5）表示的曲線為橢圓.（X）

lγ=5sinθL/」

【教材改編題1

x=2÷sin?,

1.將參數方程[θ為參數）化為普通方程為（)

,>?=sin26>

A.y-x~2

B.y—x+2

C.>?=χ-2(2≤x≤3)

D.y=x+2(0WyWl)

答案C

解析代入法，將方程化為y=χ-2,但x∈[2,3],y∈[0,l].

IX=-1+cos優(yōu)

2.曲線八（。為參數）的對稱中心（）

[γ=2+ιsιnθ

A.在直線y=2x上

B.在直線y=-2x上

C.在直線y=χ-l上

D.在直線y=x+l上

答案B

?x=—1÷cosθ,[cosθ=χ-?-1,

解析由—好?〃得.〃—?

Iy—2十SInΘISln夕一y一2.

所以（x+l）2+0—2）2=1.

曲線是以（一1,2）為圓心，1為半徑的圓，

所以對稱中心坐標為（-1,2）,在直線y=-2Λ上.

X=Zcosa,

3.已知直線/的參數方程是.Q為參數），若/與圓f+y—4χ+3=o交于A,B

y=tsιna

兩點，?AB∣=√3）則直線/的斜率為.

答案士喏

fx=zcosα,

解析由.。為參數），

Iy=ZSlna

得y=Jrtana,

設Z=tanα,得直線的方程為y=fcx,

由f+y2-4x+3=0,得（L2）2+y2=3圓心坐標為（2。），半徑為1,

.?.圓心到直線y=fcc的距離為

■探究核心題型

題型一參數方程與普通方程的互化

例1(2021.全國乙卷)在直角坐標系Xoy中，OC的圓心為C(2,l),半徑為L

(1)寫出。C的一個參數方程；

(2)過點F(4,l)作。C的兩條切線，以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，求

這兩條切線的極坐標方程.

[x=2÷cosθ,

解(1)因為。C的圓心為(2,1),半徑為1,所以。C的參數方程為(。為參數).

[γ=l+ιsιnθ

(2)當直線斜率不存在時，直線方程為x=4,此時圓心到直線距離為2>r,舍去；

當直線斜率存在時，設切線為4)+1,即日一y-4k+l=0,

故'需+"=I,即網=戶，

4?2=l+?2,解得k=Q革\

故直線方程為y=坐(x—4)+1或y=一坐(冗一4)+1.

故兩條切線的極坐標方程為

psin0=?peos0—1或

.A√34組31

PSln6——§PCOSσ÷?÷I.

即PSin(6+知)=2—半或PSin(8+襲)=2+坐.

【教師備選】

卜=一小+乎f,

在平面直角坐標系Xoy中，直線/的參數方程為〈~Q為參數)，以0為極

y=√5+^Z

點，無軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為P=

4cosθ.

(1)求曲線C的直角坐標方程及直線/的普通方程；

(2)將曲線C上的所有點的橫坐標縮短為原來的全再將所得到的曲線向左平移1個單位長度,

得到曲線C1,求曲線G上的點到直線/的距離的最小值.

解(1)曲線C的直角坐標方程為Λ2+y=4x,

即(L2)2+γ2=4.

直線/的普通方程為Λ-y+2√5≈0.

(2)將曲線C上的所有點的橫坐標縮短為原來的宏

得(2x—2)2+J2=4,

即(x—1尸+；=1,

再將所得曲線向左平移1個單位長度，

得曲線G：x2+'^=l,

X=COS仇

則曲線G的參數方程為C.八(。為參數).

y=2sιnθ

設曲線G上任一點P(CoS仇2sin9),

則點P到直線/的距離

ICOS夕一2Sin<9+2小|

d=√2

|2小一小sin(e+p)∣

=√2

其中3滿足sin8=—乎，COS9=邛

由三角函數知，

當sin(e+s)=l時，d取最小值杏

所以點P到直線/的距離的最小值為手.

思維升華消去方程中的參數一般有三種方法

(1)利用解方程的技巧求出參數的表達式，然后代入消去參數.

(2)利用三角恒等式消去參數.

(3)根據參數方程本身的結構特征，靈活地選用一些方法從整體上消去參數.

\x=a―21,

跟蹤訓練1已知直線I的參數方程為(Z為參數)，圓C的參數方程為

X=4COS6,

(6為參數).

j=4sinθ

(1)求直線/和圓C的普通方程；

(2)若直線/與圓C有公共點，求實數”的取值范圍.

解(1)直線/的普通方程為2x—y—24=0,

圓C的普通方程為Λ2+y2=∣6.

(2)因為直線/與圓C有公共點，

故圓C的圓心到直線/的距離J=?1≤4,

巾

解得一2小W4W2√5.

即實數4的取值范圍為[-2小，2√5].

題型二參數方程的應用

X=2CoS仇

例2在直角坐標系Xo)，中，曲線C的參數方程為(。為參數)，直線/的參數方

.y=4sιnθ

X=1÷∕cosa,

程為,(f為參數).

j=2+/sina

⑴求C和/的直角坐標方程；

(2)若曲線C截直線/所得線段的中點坐標為(1,2),求/的斜率.

x=2cosQy

解(1)由曲線C的參數方程US為參數)'

八χ

cosθ=y

得1

sin夕=；,

所以⑨2+e>=ι,即?+s=ι,

所以曲線C的直角坐標方程為，+泉=1.

當cosa≠0時，I的直角坐標方程為y=tanα?x÷2-tan?,

當COSa=O時，/的直角坐標方程為X=L

(2)將/的參數方程代入。的直角坐標方程，

整理得關于t的方程(1÷3cos2a)z2+4(2cosa÷sinα)L8=0.①

因為曲線C截直線/所得線段的中點(1,2)在。內，

所以①有兩個解，設為人,攵，則h+∕2=0?

4(2COSα+sinC)

又由①得t?+t=

2I+3cos2a

故2cosα+sina=0,

于是直線/的斜率?=tan。=—2.

【教師備選】

_IX=啦CoSθ,

（2022?安陽模擬）在平面直角坐標系Xoy中，曲線C的參數方程為<（6為參數）,

Iy=Sinθ

直線/過點M（l,0）且傾斜角為ɑ.

（1）求出直線/的參數方程和曲線C的普通方程；

（2）若直線/與曲線C交于A,B兩點，且/嗅慨“=尊求COSa的值.

!IMAI—∣M∏∣∣3

fx=√2cos。，V2

解⑴曲線C的參數方程V（0為參數），轉換為普通方程為?1+y2=l;

[γ=sinθ/

[x=l+rcosa,

直線/過點M（1,0）且傾斜角為。，則參數方程為Q為參數）.

[y=rsιna

x=l÷fcosa,2

（2）把直線/的參數方程.。為參數）代入與r+y2=l.

j=rsιna乙

得到（1+sin%）∕2+2∕COS?—1=0,

心”.2cosa

所以]+'2--[+sin%'

t?tι=-1+i^in2α（?和t2分別為4和B對應的參數），

tιt2<O,則小f2異號,IlMAI—IMBII=I∣H-∣t2∣l=M+t2∣,

?MA?-?MB?^√3

tl??MA?~?MB??^~3'

整理得加+初=-ι?ζ=√3k∣?ι=ι+^n2ɑ.

解得CoSα=±'g.

思維升華（1）解決直線與曲線的參數方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據直

線與曲線的位置關系來解決.

x=xo+at,

（2）對于形如,（f為參數），當q2+∕wι時，應先化為標準形式后才能利用，的幾

y=yo+bt

何意義解題.

跟蹤訓練2在平面直角坐標系XOy中，已知直線/的參數方程為1=2+/。為參數）.以

坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為"+p2sin20=2,

直線/與曲線C交于43兩點.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)已知點P的極坐標為停，；)，求解產用的值.

解(1)/的普通方程為x+y-l=0.

^.'ρ2÷∕>2siιr0=2,

.?.√+∕+y2=2,

即曲線C的直角坐標方程為，+γ2=L

(2)方法一P，在直線/上，

1

X_-

一2-

直線/的參數方程為1(r、

--

y2+-

代入曲線C的直角坐標方程得《一陰)2+2(∣+2f，卜2=0,

35

即2-=O

?+-4

設A,B兩點對應的參數分別為f'2,則

∣M∣?∣PB∣=|?,∣?∣f2∣=∣J/2∣=∣?

方法二由9fy+=2l-尸χ,2,

消去y,得3A2—4x=0,

4

解得Xl=O,X2=]?

不妨設A(O,1),B停,一§,

又給,9,

則解∣=[(θ-￡)2+(1-坐

題型三極坐標方程和參數方程的綜合應用

例3(2021.全國甲卷)在直角坐標系xθy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐

標系，曲線C的極坐標方程為p=2√5cos”

(I)WC的極坐標方程化為直角坐標方程；

(2)設點A的直角坐標為(1,0),M為C上的動點，點尸滿足崩=也病，寫出尸的軌跡Cl的

參數方程，并判斷C與G是否有公共點.

解(1)I?p-2?f2cosθ,得p2=2吸PeOs。,

即√+∕=2√2x,

整理得(χ-√i)2+y=2.

(2)設P的坐標為(x,y),

則Q=(X-1,y),因為力=也就,

所以俞=停X-乎，坐y),

所以—坐+1,坐J,

因為M為C上的動點，

所以凈-坐+1—啦)+惇y>=2,

化簡得(x+√5-3)2+y2=4,

2

即P點的軌跡C1的方程為(x+/-3)2+y=4,

化成參數方程為

fx=3÷2cost-y∣2,

?.Q為參數)，

Iy=2smt

圓心G(3-√5,0),r∣=2,

C(y∣2,0),r=y∣2,

因為|3-也一小|<2—巾，所以C與Cl沒有公共點.

【教師備選】

(2022.鄭州模擬)在直角坐標系Xo)，中，以坐標原點為極點，以X軸正半軸為極軸，建立極坐

標系，直線/的極坐標方程為PCoS[+￡)=乎，曲線C的極坐標方程為p2(l+3sin2?)=4.

(1)寫出直線/和曲線C的直角坐標方程；

(2)已知點A(l,0),若直線/與曲線C交于P,Q兩點，PQ的中點為M,求依;震」的值.

解(1)因為直線/：0CoSM+?=乎，

故PCOSθ~psinθ-1=0,

即直線/的直角坐標方程為x-y—1=0,

因為曲線C：p2(l+3sin?)=4,

則曲線C的直角坐標方程為x2+4y2=4,

即2=1.

⑵點A（1,O）在直線/上,

設直線/的參數方程為1L”為參數）,

代入曲線C的直角坐標方程得

5戶+25-6=0.

設P,。對應的參數分別為fl,打,

6,2由

則πιl用2=一5，∕∣+?=--5,

思維升華參數方程和極坐標的綜合應用

涉及參數方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程

后求解.當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.

跟蹤訓練3（2022?石嘴山模擬）在平面直角坐標系XOy中，曲線C1的參數方程為

JX=I÷cosα>

Ij=sina

（a為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點A為曲線Cl上的動

點，點B在線段OA的延長線上且滿足IOAM。用=8,點B的軌跡為C2.

⑴求曲線G,C2的極坐標方程；

（2）設點M的極坐標為（2,y）,求44面積的最小值.

{x=1÷cosa,

解（1）由曲線Cl的參數方程.（a為參數），

Iy=Sma

消去參數，可得普通方程為（X—1）2+V=1,即χ2+y2-2χ=o,

又由X=PCOSθ,.y=psinθ,

代入可得曲線G的極坐標方程為p=2cos0,

設點8的極坐標為S，。），點4點的極坐標為S0，W），

則∣OB∣=ρ,∣OA∣=po,po=2cos%,J=%,

因為IoAHoBl=8,

所以p?po=8,

Q

≡P-=2cosθ,≡P/cos6=4,

所以曲線C2的極坐標方程為0cos6=4.

(2)由題意，可得IoM=2,

則SΔΛBM=SAOBM—SΔOAM=^OM??∣Xβ-%AI=∣×2×∣4-2COS20∣=∣4-2COS20∣,

即SAABM=4—2CoS2仇

當COS2。=1時，可得S的最小值為2.

課時精練

?2_t_^2

1.(2020?全國ΠI)在直角坐標系XOy中，曲線C的參數方程為一,；?為參數且樣1),

y=2~3t+t^

C與坐標軸交于A,B兩點.

⑴求∣AB∣；

(2)以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.

解(1)令X=0,則z2+r-2=0,

解得t——2或f=1(舍去)，

則y=2+6+4=12,即A(0,12).

令y=0,則戶―3f+2=0,

解得t=2或f=1(舍去)，

則％=2—2—4=-4,

即B(—4,0).

Λ∣AB∣=√(0+4)2+(12-0)2=4√Iδ.

i12-0

(2)由l(1)可知CB=Or_町=3'

則直線AB的方程為y=3(x+4),

即3x—y+12=0