2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第十二章系列4選講

第十二章系列4選講

§12.1坐標(biāo)系

【考試要求】L了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情

況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角

坐標(biāo)的互化3能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.伸縮變換

[x'~λ?Xf%>0,

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ-.,C的作用下，點(diǎn)

Iy=〃少，〃>0

P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P'(x',y'),稱夕為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換.

2.極坐標(biāo)系

(1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念

在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)0,自點(diǎn)。引一條射線Ox,再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常

取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.點(diǎn)。稱為極點(diǎn)，射線

Ox稱為極軸.平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度P和從射線Ox到射線OM的

角度6來刻畫(如圖所示).這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)S，。)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)."稱為點(diǎn)M

的極徑,6稱為點(diǎn)M的圾魚」一般認(rèn)為當(dāng)極角6的取值范圍是[0,2昉時(shí)，平面上的點(diǎn)(除

去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)S，O)S=。)建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系.特別地，極點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,6?)((9∈R).

(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

設(shè)M為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為S，θ).由圖可知下面關(guān)系式成

立：

ρ2=x2÷y2,

x=pcosθ,

J=PSin?；騳這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.

tan9=2(x≠0),

3.常見曲線的極坐標(biāo)方程

曲線圖形極坐標(biāo)方程

圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓O=Ho</2π)

0=2rcosθ

圓心為(r,0),半徑為『的圓(生詞

^?!r

圓心為(，，野，半徑為r的圓

0=2rsinO(OW0<π)

OX

過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線θ=a(f)∈R)或θ=π+a(p∈R)

I

過點(diǎn)Q0),與極軸垂直的直線pcose=<-2<〃<51

。∣(α,0)X

IS陰

過點(diǎn)(。，宮，與極軸平行的直線I

IOsine="(0v依沅)

Ot------------X

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-√3),則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是(2,—2.(√)

(2)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的.(√)

(3)極坐標(biāo)方程e=πS>O)表示的曲線是一條直線.(X)

TT

(4)tan9=1與。=W表示同一條曲線.(×)

【教材改編題］

1.在極坐標(biāo)系中，圓p=-2sin8的圓心的極坐標(biāo)是()

C.(1,0)D.(1,π)

答案B

解析方法一由〃=-2sin8,

得p2=-2〃Sin0,

化成直角坐標(biāo)方程為x2+∕=-2γ,

化成標(biāo)準(zhǔn)方程為f+U+l)2=l,

圓心坐標(biāo)為(0,-1),

其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為(1,-f).

方法二由"=-2Sino=2cos(θ+?,知圓心的極坐標(biāo)為(1,一；),故選B.

2.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)'2,1),則過點(diǎn)P且平行于極軸的直線方程是()

A.psinθ=?B.PSine=小

C."cos。=1D.PCGSe=小

答案A

解析先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，P(2,袁)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為x="cos9=2cos季=小，y

=PSine=2sin5=1,EP(√3,1),過點(diǎn)(小，1)且平行于無軸的直線為y=1,再化為極坐標(biāo)為

,SinΘ=1.

3.在極坐標(biāo)系中，直線〃COSe+〃sin。=4(〃>0)與圓p=2cos。相切，則。=.

答案∣+√2

"COSθ=x,

解析由VPSinθ=y,可將直線PCOS夕+psinθ=a化為x+y-a=0,

.P2=X2+/

將p=2cosθ,

即p2=2pcosθ化為Λ2+)2=2X,

整理成標(biāo)準(zhǔn)方程為1)2+)2=I.

又??,直線與圓相切，

,二圓心(1,0)到直線1+y—〃=0的距離d==1,

解得a=l±?∣29

Vtz>O,Λiz=l÷√2.

■探究核心題型

題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

例1(1)極坐標(biāo)方程/cose—P=O轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為()

A.x2+y2=0或),=1B.x=l

C.x2+γ2=0或X=ID.y=I

答案C

解析∕?os0-ρ=0np=y∣x2+y2=0或PCoS或=1,即JC2+)2=0或X=L

(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(一1,小)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為()

A(2,§B.(2,一§

C(2,引D(2,2E+縱∈Z)

答案C

解析,?>=√(-l)2+(√3)2=2,

tan6=當(dāng)=一√i

又點(diǎn)M在第二象限，二。=專，

點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2,芝).

【教師備選】

在直角坐標(biāo)系xθy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1:

l

Psin(嗚)=乎，。2：r=3-4sin2^

⑴求曲線C∣,C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)曲線C∣,Cz的交點(diǎn)為M,N,求以MN為直徑的圓與)，軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

解(1)由PSinb+?=乎，得

P(SinGcos今+cosOSin點(diǎn))=坐，

fρsinθ=y,

將八.代入上式得x+y=l,

Ipcosθ=x

即C∣的直角坐標(biāo)方程為x+)LI=0,

同理，由/=+而，可得3f—V=I,

.?.C2的直角坐標(biāo)方程為3『一V=].

(2)設(shè)Ma],y↑)9Na2,”)，

[3Λ2-γ2=l,

由Jll得3/—(1—x)2=l,

[x+y=1

即x2+χ-I=0,

X]+M=-1,

X\X2=—1,

則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一/?,

由弦長公式，可得IMM=√l+(-l)?-X2∣=√2×√l-4×(-I)=√10.

以MN為直徑的圓為1+,2+Q—=Q里>=,.

令X=0,得;+()Ll)2=最

即O《，

.?.y=0或y=3,

以MN為直徑的圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,0)或(0,3).

思維升華(1)直南坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程時(shí)，將X=PCOSo及)，=PSin。直接代入并化簡(jiǎn)即

可.

(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常先通過變形，構(gòu)造形如PCoSapsinθ,小的形式，再進(jìn)

行整體代換.其中方程的兩邊同乘(或同除以如及方程兩邊同時(shí)平方是常用的變形方法.但對(duì)

方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過程的檢臉.

跟蹤訓(xùn)練1已知曲線G的方程為(χ-l)2+y2=l,C2的方程為x+y=3,C3是一條經(jīng)過原點(diǎn)

且斜率大于0的直線.

(1)以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，求Cl與C2的極坐標(biāo)方程；

⑵若G與G的一個(gè)公共點(diǎn)為&異于點(diǎn)。)，C2與C3的一個(gè)公共點(diǎn)為B,當(dāng)IOAl+兩=4歷

時(shí)，求C3的直角坐標(biāo)方程.

解(1)曲線G的方程為(χ-l)2+)2=ι,

整理得『+)2—2x=0,轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為p=2cos6.

曲線C2的方程為x+y=3,轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為PCOSe+psin8—3=0.

(2)因?yàn)榍€C3是一條經(jīng)過原點(diǎn)且斜率大于0的直線，

則極坐標(biāo)方程為e=α(θ<α<g),

由于Cl與C3的一個(gè)公共點(diǎn)為4異于點(diǎn)O),

ρ=2cosθ,

故<所以QAl=2cosα,

9=a,

C2與C3的一個(gè)公共點(diǎn)為B,

IPCOSθ+psinθ=3,

所以召

[θ=a9

3

所以IOB?-1..

cos?+sina

3__

由于I。41+[0]=*\/T5>

所以2cosa÷cosa÷sina=Λ∕Tθ,

即3cosa+sina=y[??9

?eos^?sinɑ=!,

故曲線C3的直角坐標(biāo)方程為y=∣x.

題型二求曲線的極坐標(biāo)方程

例2(2022.梧州模擬)在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A(2,0),B(2,y),C小，刑

(1)若A,B,C三點(diǎn)共線，求P的值；

(2)求過O,A,8三點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程.(。為極點(diǎn))

解以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為X軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系X0)，，

⑴因?yàn)锳,8兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為4(2,0),B[2,y),所以其直角坐標(biāo)分別為A(2,0),8(0,

-2),

即直線AB的方程為y=x-2,

因?yàn)镃點(diǎn)的極坐標(biāo)為2，

所以其直角坐標(biāo)為瞎“??,

代入直線AB的方程，

可得%=多一2,

解得〃=2(√5+l).

(2)因?yàn)镺ALOB,

所以AB的中點(diǎn)(1,一1)即為圓心,

半徑r=√l2+(-1)2=√2,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-I)2+(y+l)2=2,

即/+j2-2Λ+2y=0,

因?yàn)閤2+y2="2,X=PCOSay="sin仇

所以圓的極坐標(biāo)方程為/—2。COS0+2psinθ=0,

即p=2cos0—2Sinθ.

【教師備選】

已知曲線Cl的直角坐標(biāo)方程為f+y2-8χ-10y+16=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=2sinθ.

(1)把C1的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；

⑵求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)S20,0<*2π).

X=OCOSθ,

解⑴將

j=psιnθ

代入x2+y2-8χ-10γ+16=0,

得律一8PCoSθ~IOpsin。+16=0,

所以G的極坐標(biāo)方程為"一8PCoSIOpsin6?+16=0.

⑵C2的直角坐標(biāo)方程為f+V—2y=0.

∫X2+√-8X-IOy+16=0,

.x2+y2-2y=0,

IX=1,IX=0,

解得I或C

ly=ιly=2,

所以CI與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為(6，g,0,9

思維升華求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟

(1)將已知條件轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中.

(2)根據(jù)已知條件，得到曲線的直角坐標(biāo)方程.

⑶將曲線的直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

跟蹤訓(xùn)練2(2019?全國II)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)MS0，仇在曲線C：

p=4sinθ上，直線/過點(diǎn)4(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

⑴當(dāng)仇=削寸，求PO及/的極坐標(biāo)方程;

⑵當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

解(1)因?yàn)镸S0,a)在C上，

當(dāng)為=1時(shí)，PO=4sin5=2小.

Tr

由已知得I。Pl=IOAlCoS1=2.

設(shè)QS，?)為/上除P的任意一點(diǎn)，連接。Q,

在Rt△(?PQ中，PCOSb—鼻)=IoPl=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2,號(hào)在曲線PCoSM-§=2上.

所以/的極坐標(biāo)方程為0cos(6—§=2.

⑵設(shè)P(∕J,θ),在Rt△OAP中，IoPl=|。AlCoS6=4CoSθ,即p=4cosθ.

πTT

因?yàn)镻在線段OM上，且APLOM,故。的取值范圍是∣J,2-

所以P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為

Γππ^

p=4cosθ,2-

題型三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

例3(2018?全國1)在直角坐標(biāo)系xθy中，曲線Cl的方程為y=?W+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p2+20cos6-3=O.

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；

⑵若G與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求Cl的方程.

解(1)由X=PCOSay=∕>sin。得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1/+)2=4.

⑵由⑴知C2是圓心為4-1,0),半徑為2的圓.

由題設(shè)知，Cl是過點(diǎn)8(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記)，軸右邊的射線為A,y軸左邊的

射線為Z2.

由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故G與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于∕∣與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且

/2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或/2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且Zl與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)∕∣與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到∕∣所在直線的距離為2,

I—?+2∣4

所以/團(tuán)=2,故k=一可或k=0.

y］lc+↑?

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)&=0時(shí)，/］與。2沒有公共點(diǎn)；

4.

當(dāng)％=一1時(shí)，/1與。2只有一個(gè)公共點(diǎn)，，2與。2有兩個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)/2與。2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到/2所在直線的距離為2,

所以故A=O或Z=*

7%+??

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)Z=O時(shí)，/］與C2沒有公共點(diǎn)；

4

當(dāng)Z=W時(shí)，,2與。2沒有公共點(diǎn).

4

綜上，所求G的方程為y=-∕∣+2.

【教師備選】

在直角坐標(biāo)系Xo)，中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐

標(biāo)方程為PCOS0=4.

(I)M為曲線Cl上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足IOM?QP∣=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直

角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,號(hào)，點(diǎn)B在曲線C2上，求aOAB面積的最大值.

解(1)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為S，θ)(p>O),

點(diǎn)M的極坐標(biāo)為Si,θ)(pi>O).

4

由題意知∣0P∣=",IoM="ι=cos)

由∣0M∣?∣0P∣=16,得C2的極坐標(biāo)方程為p=4cos8(p>0).

因此C2的直角坐標(biāo)方程為

(X—2)2+y2=4(x≠0).

(2)設(shè)點(diǎn)5的極坐標(biāo)為(p6,a)(pβ>O).

由題設(shè)知∣0A∣=2,pβ=4cosa,

于是AOAB的面積5=?0Λ∣?pβ?sinZA0B

=4cosajsin(α^-|

—2卜in(2a-§-坐卜2+9.

當(dāng)°1=一盍?xí)r，S取得最大值2+小，

所以AOAB面積的最大值為2+√I

思維升華極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用的解題策略

(1)求點(diǎn)到直線的距離.先將極坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐

標(biāo)、直線方程，然后利用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式求解.

(2)求線段的長度.先將極坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐

標(biāo)、曲線方程，然后再求線段的長度.

[x=9+y∣3t

跟蹤訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為<f。為參數(shù)).以坐標(biāo)原

點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2=1+；：丁汨

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知P為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段OP的中點(diǎn)M到直線/的最大距離.

解(1)由P?=[+3sin?夕得p2+3p2sin?。=16,

則曲線。的直角坐標(biāo)方程為f+4),2=16,

g?+4=1?

直線I的直角坐標(biāo)方程為χ-√3>-9=0.

[JV=4COSQ,

(2)可知曲線C的參數(shù)方程為°.僅為參數(shù)),

ly=2sma

設(shè)P(4cosα,2sina),cc∈[0,2π),

則M(2cosa9sinα)到直線/：

χ一√5y—9=0的距離為

∣2COSc—[5sina-9||巾sin(J-a)-9∣

d=2=2

<9+2/2

、2'

所以線段OP的中點(diǎn)M到直線/的最大距離為號(hào)N

課時(shí)精練

1.在直角坐標(biāo)系XOy中，以。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)

方程為夕8$。一習(xí)=1(0?興2兀)，M,N分別為曲線C與X軸、)，軸的交點(diǎn).

(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求歷，N的極坐標(biāo)；

(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程.

解(1)由∕xx>s(e-4=∣得

從而曲線C的直角坐標(biāo)方程為坐y=1,

即x+yβy-2.

當(dāng)J=O時(shí),p=2,所以M(2,0).

當(dāng)9=5時(shí)，0=43，

所以M呼，習(xí).

(2)加點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0),

N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,韋.

所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,用，

則尸點(diǎn)的極坐標(biāo)為錚，"，

所以直線OP的極坐標(biāo)方程為。弋S∈R).

2.在直角坐標(biāo)系XOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的

圓心的極坐標(biāo)為(√∑半徑r=√∑點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,π),過P作直線/交圓C于A,

B兩點(diǎn).

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；

⑵求解∣?∣PB∣的值.

解(1)；圓C的圓心的極坐標(biāo)為(啦，；)，

.".y-y∕2sin1,X=也CoS^=1,

即圓心的直角坐標(biāo)為(1,1),

...圓C的直角坐標(biāo)方程為

(χ-l)2+(y-l)2=2.

(2)點(diǎn)尸的極坐標(biāo)為(2,π),

化為直角坐標(biāo)為P(-2,0).

當(dāng)直線/與圓C相切于點(diǎn)D時(shí)，

則IP。|2=IPcI2一戶

=(-2-l)2+(0-l)2-(√2)2-8,

由切割線定理得照∣?∣P8∣=∣PD∣2=8.

3.(2022?洛陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系XO)，中，曲線Cl的方程為(x—2)2+。-2)2=1,直線

C2的方程為y=√5x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

⑴求曲線Ci和直線C2的極坐標(biāo)方程；

⑵若直線C2與曲線Cl交于A,8兩點(diǎn)，求血+蘇.

解(1)曲線Cl的方程為(尤一2)2+。-2)2=1,

整理得』+y2—4x—4y+7=0,

轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為p2-4pcos夕一4PSin0+7=0.

由于直線C2過原點(diǎn)，且傾斜角為去

故其極坐標(biāo)方程為^=∣(p∈R).

—-4PCOS4psin8+7=0,

⑵由Lπ

得"2—(2小+2%+7=0,

設(shè)A,8對(duì)應(yīng)的極徑分別為p∣,p2,

則"1+P2=2Λ∕5+2,pιp2=1,

.1,?JOA?+?OB?

"'?OA?t?OB?~?OA??OB?

p∣÷Z>22Λ∕3+2

―PlP2—7,

4.(2019?全國In)如圖，在極坐標(biāo)系OX中，A(2,0),B(√L：),c(√2,朗，D(2,π),弧AB,

BC,CO所在圓的圓心分別是(1,0),(1,D，(1,π),曲線Ml是弧AB,曲線必是弧BC,

曲線誠是弧C。.

(1)分別寫出M∣,M2,例3的極坐標(biāo)方程；

(2)曲線M由M∣,Mi,Mi構(gòu)成，若點(diǎn)尸在M上，且IoPl=小，求P的極坐標(biāo).

解(1)由題設(shè)可得，AB,BC,C。所在圓的極坐標(biāo)方程分別為0=2CoS&p=2sin仇0

=—2cosθ,

所以Ml的極坐標(biāo)方程為夕=2COS40WoWB),M2的極坐標(biāo)方程為p=2Sin冊(cè)WGW苧)，

M?的極坐標(biāo)方程為P=-2COS。序≤6≤π).

(2)設(shè)PS，。)，由題設(shè)及(1)知

若0≤e<,則2COS6=√5,解得9=和

若TWeW竽，貝∣j2sinθ=y5,解得O=T或6=尊

若竽W6Wτt,則一2COSo=小，解得0=?.

綜上，P的極坐標(biāo)為(小，目或(小，?或(小，引或(小，引.

5.(2022?鷹潭模擬)在平面直角坐標(biāo)系xθy中，曲線Ci的方程為。+小產(chǎn)+。+1尸=4.以。

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2,C3的極坐標(biāo)方程分別為p=2sin0,p

=2CoS(O+5).

(1)若曲線C2,C3相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)。，求點(diǎn)。的直角坐標(biāo)；

(2)若直線/：9=αSGR)與G，C2相交于異于極點(diǎn)的A,B兩點(diǎn)，求IABl的最大值.

解(1)由p=2sind,得/=ZygsinO,

將jx=ρcos6*,代入，可得C2的直角坐標(biāo)方程為/+V=2y;

ly=psinθ

*=小COS9—sinθ,

得p2=y∣3ρcosθ-ρsin

222

(x+y=ρf

將卜=PcoS仇代入，

Iy=PSinΘ

可得C3的直角坐標(biāo)方程為?r2+y2=√lr—y.

(x1+y2=2y,

聯(lián)立jχ2+y2=小X-?y,

?x~2'x=0,

解得<或C

?V=O,

所以點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為

(2)由(x+小>+。+1)2=4,

可得W+j2+2√5x+2y=0,

χ2+y2=P2,

X=PCOS仇代入,

J=PSinΘ

可得G的極坐標(biāo)方程為

p2+2√3pcos夕+2〃Sin夕=0,

貝IJ/)=—2√3cos9一2Sin0.

設(shè)ASA，。)，BSB,?)?

則PA=-2Λ∫3COS?—2sinα,〃B=2Sin?,

所以∣A6∣=∣p8-pd=∣4Sina+2?∣3cosa?

=2y∣7J宕Sinct+^cosa=2由∣sin(α+mI(Sin4=僚，COS

因?yàn)楱Osin(α+為∣≤1,

所以∣A8∣=2由ISin(α+S)∣≤2√i

故H8∣的最大值為2√7.

§12.2參數(shù)方程

【考試要求】1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參

數(shù)方程.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.參數(shù)方程和普通方程的互化

(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方

程得到普通方程.

(2)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)X,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

?x=j[t),

并且對(duì)于，的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么

ly=g⑺，

此方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程.

2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程

點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程

y-yo=tanα?（χ-Xo）（α考）IX=XO+tcosa,

直線},.。為參數(shù)）

Iy=yo十fsma

jx=rcosθ,

圓f+y2=r2（。為參數(shù)）

y=rsιnθ

x=acosg

橢圓示+力=l（a>b>0）（φ為參數(shù)）

y=加Inφ

{x=2pt1,

拋物線=2PX（P>0）C。為參數(shù)）

ly=2pt

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)參數(shù)方程:中的X,y都是參數(shù)，的函數(shù).(√)

[y=g(t)

[x=2cosθ,

⑵方程S為參數(shù))表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.(√)

Iy=1÷ι2sinθ

fx=2cost,π

(3)已知橢圓的參數(shù)方程Q為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t=1點(diǎn)。為原

Q,=4sint?

點(diǎn)，則直線OM的斜率為√5.（X）

[x=2cosarπ^

（4）參數(shù)方程（。為參數(shù)且9∈0,5）表示的曲線為橢圓.（X）

lγ=5sinθL/」

【教材改編題1

x=2÷sin?,

1.將參數(shù)方程[θ為參數(shù)）化為普通方程為（)

,>?=sin26>

A.y-x~2

B.y—x+2

C.>?=χ-2(2≤x≤3)

D.y=x+2(0WyWl)

答案C

解析代入法，將方程化為y=χ-2,但x∈[2,3],y∈[0,l].

IX=-1+cos優(yōu)

2.曲線八（。為參數(shù)）的對(duì)稱中心（）

[γ=2+ιsιnθ

A.在直線y=2x上

B.在直線y=-2x上

C.在直線y=χ-l上

D.在直線y=x+l上

答案B

?x=—1÷cosθ,[cosθ=χ-?-1,

解析由—好?〃得.〃—?

Iy—2十SInΘISln夕一y一2.

所以（x+l）2+0—2）2=1.

曲線是以（一1,2）為圓心，1為半徑的圓，

所以對(duì)稱中心坐標(biāo)為（-1,2）,在直線y=-2Λ上.

X=Zcosa,

3.已知直線/的參數(shù)方程是.Q為參數(shù)），若/與圓f+y—4χ+3=o交于A,B

y=tsιna

兩點(diǎn)，?AB∣=√3）則直線/的斜率為.

答案士喏

fx=zcosα,

解析由.。為參數(shù)），

Iy=ZSlna

得y=Jrtana,

設(shè)Z=tanα,得直線的方程為y=fcx,

由f+y2-4x+3=0,得（L2）2+y2=3圓心坐標(biāo)為（2。），半徑為1,

.?.圓心到直線y=fcc的距離為

■探究核心題型

題型一參數(shù)方程與普通方程的互化

例1(2021.全國乙卷)在直角坐標(biāo)系Xoy中，OC的圓心為C(2,l),半徑為L

(1)寫出。C的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過點(diǎn)F(4,l)作。C的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求

這兩條切線的極坐標(biāo)方程.

[x=2÷cosθ,

解(1)因?yàn)?。C的圓心為(2,1),半徑為1,所以。C的參數(shù)方程為(。為參數(shù)).

[γ=l+ιsιnθ

(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=4,此時(shí)圓心到直線距離為2>r,舍去；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線為4)+1,即日一y-4k+l=0,

故'需+"=I,即網(wǎng)=戶，

4?2=l+?2,解得k=Q革\

故直線方程為y=坐(x—4)+1或y=一坐(冗一4)+1.

故兩條切線的極坐標(biāo)方程為

psin0=?peos0—1或

.A√34組31

PSln6——§PCOSσ÷?÷I.

即PSin(6+知)=2—半或PSin(8+襲)=2+坐.

【教師備選】

卜=一小+乎f,

在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為〈~Q為參數(shù))，以0為極

y=√5+^Z

點(diǎn)，無軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為P=

4cosθ.

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線/的普通方程；

(2)將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的全再將所得到的曲線向左平移1個(gè)單位長度,

得到曲線C1,求曲線G上的點(diǎn)到直線/的距離的最小值.

解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為Λ2+y=4x,

即(L2)2+γ2=4.

直線/的普通方程為Λ-y+2√5≈0.

(2)將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的宏

得(2x—2)2+J2=4,

即(x—1尸+；=1,

再將所得曲線向左平移1個(gè)單位長度，

得曲線G：x2+'^=l,

X=COS仇

則曲線G的參數(shù)方程為C.八(。為參數(shù)).

y=2sιnθ

設(shè)曲線G上任一點(diǎn)P(CoS仇2sin9),

則點(diǎn)P到直線/的距離

ICOS夕一2Sin<9+2小|

d=√2

|2小一小sin(e+p)∣

=√2

其中3滿足sin8=—乎，COS9=邛

由三角函數(shù)知，

當(dāng)sin(e+s)=l時(shí)，d取最小值杏

所以點(diǎn)P到直線/的距離的最小值為手.

思維升華消去方程中的參數(shù)一般有三種方法

(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù).

(2)利用三角恒等式消去參數(shù).

(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù).

\x=a―21,

跟蹤訓(xùn)練1已知直線I的參數(shù)方程為(Z為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為

X=4COS6,

(6為參數(shù)).

j=4sinθ

(1)求直線/和圓C的普通方程；

(2)若直線/與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

解(1)直線/的普通方程為2x—y—24=0,

圓C的普通方程為Λ2+y2=∣6.

(2)因?yàn)橹本€/與圓C有公共點(diǎn)，

故圓C的圓心到直線/的距離J=?1≤4,

巾

解得一2小W4W2√5.

即實(shí)數(shù)4的取值范圍為[-2小，2√5].

題型二參數(shù)方程的應(yīng)用

X=2CoS仇

例2在直角坐標(biāo)系Xo)，中，曲線C的參數(shù)方程為(。為參數(shù))，直線/的參數(shù)方

.y=4sιnθ

X=1÷∕cosa,

程為,(f為參數(shù)).

j=2+/sina

⑴求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線/所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求/的斜率.

x=2cosQy

解(1)由曲線C的參數(shù)方程US為參數(shù))'

八χ

cosθ=y

得1

sin夕=；,

所以⑨2+e>=ι,即?+s=ι,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為，+泉=1.

當(dāng)cosa≠0時(shí)，I的直角坐標(biāo)方程為y=tanα?x÷2-tan?,

當(dāng)COSa=O時(shí)，/的直角坐標(biāo)方程為X=L

(2)將/的參數(shù)方程代入。的直角坐標(biāo)方程，

整理得關(guān)于t的方程(1÷3cos2a)z2+4(2cosa÷sinα)L8=0.①

因?yàn)榍€C截直線/所得線段的中點(diǎn)(1,2)在。內(nèi)，

所以①有兩個(gè)解，設(shè)為人,攵，則h+∕2=0?

4(2COSα+sinC)

又由①得t?+t=

2I+3cos2a

故2cosα+sina=0,

于是直線/的斜率?=tan。=—2.

【教師備選】

_IX=啦CoSθ,

（2022?安陽模擬）在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為<（6為參數(shù)）,

Iy=Sinθ

直線/過點(diǎn)M（l,0）且傾斜角為ɑ.

（1）求出直線/的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；

（2）若直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，且/嗅慨“=尊求COSa的值.

!IMAI—∣M∏∣∣3

fx=√2cos。，V2

解⑴曲線C的參數(shù)方程V（0為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為?1+y2=l;

[γ=sinθ/

[x=l+rcosa,

直線/過點(diǎn)M（1,0）且傾斜角為。，則參數(shù)方程為Q為參數(shù)）.

[y=rsιna

x=l÷fcosa,2

（2）把直線/的參數(shù)方程.。為參數(shù)）代入與r+y2=l.

j=rsιna乙

得到（1+sin%）∕2+2∕COS?—1=0,

心”.2cosa

所以]+'2--[+sin%'

t?tι=-1+i^in2α（?和t2分別為4和B對(duì)應(yīng)的參數(shù)），

tιt2<O,則小f2異號(hào),IlMAI—IMBII=I∣H-∣t2∣l=M+t2∣,

?MA?-?MB?^√3

tl??MA?~?MB??^~3'

整理得加+初=-ι?ζ=√3k∣?ι=ι+^n2ɑ.

解得CoSα=±'g.

思維升華（1）解決直線與曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直

線與曲線的位置關(guān)系來解決.

x=xo+at,

（2）對(duì)于形如,（f為參數(shù)），當(dāng)q2+∕wι時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用，的幾

y=yo+bt

何意義解題.

跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知直線/的參數(shù)方程為1=2+/。為參數(shù)）.以

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為"+p2sin20=2,

直線/與曲線C交于43兩點(diǎn).

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為停，；)，求解產(chǎn)用的值.

解(1)/的普通方程為x+y-l=0.

^.'ρ2÷∕>2siιr0=2,

.?.√+∕+y2=2,

即曲線C的直角坐標(biāo)方程為，+γ2=L

(2)方法一P，在直線/上，

1

X_-

一2-

直線/的參數(shù)方程為1(r、

--

y2+-

代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得《一陰)2+2(∣+2f，卜2=0,

35

即2-=O

?+-4

設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為f'2,則

∣M∣?∣PB∣=|?,∣?∣f2∣=∣J/2∣=∣?

方法二由9fy+=2l-尸χ,2,

消去y,得3A2—4x=0,

4

解得Xl=O,X2=]?

不妨設(shè)A(O,1),B停,一§,

又給,9,

則解∣=[(θ-￡)2+(1-坐

題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

例3(2021.全國甲卷)在直角坐標(biāo)系xθy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐

標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2√5cos”

(I)WC的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足崩=也病，寫出尸的軌跡Cl的

參數(shù)方程，并判斷C與G是否有公共點(diǎn).

解(1)I?p-2?f2cosθ,得p2=2吸PeOs。,

即√+∕=2√2x,

整理得(χ-√i)2+y=2.

(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),

則Q=(X-1,y),因?yàn)榱?也就,

所以俞=停X-乎，坐y),

所以—坐+1,坐J,

因?yàn)镸為C上的動(dòng)點(diǎn)，

所以凈-坐+1—啦)+惇y>=2,

化簡(jiǎn)得(x+√5-3)2+y2=4,

2

即P點(diǎn)的軌跡C1的方程為(x+/-3)2+y=4,

化成參數(shù)方程為

fx=3÷2cost-y∣2,

?.Q為參數(shù))，

Iy=2smt

圓心G(3-√5,0),r∣=2,

C(y∣2,0),r=y∣2,

因?yàn)閨3-也一小|<2—巾，所以C與Cl沒有公共點(diǎn).

【教師備選】

(2022.鄭州模擬)在直角坐標(biāo)系Xo)，中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸，建立極坐

標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為PCoS[+￡)=乎，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2(l+3sin2?)=4.

(1)寫出直線/和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)A(l,0),若直線/與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為M,求依;震」的值.

解(1)因?yàn)橹本€/：0CoSM+?=乎，

故PCOSθ~psinθ-1=0,

即直線/的直角坐標(biāo)方程為x-y—1=0,

因?yàn)榍€C：p2(l+3sin?)=4,

則曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+4y2=4,

即2=1.

⑵點(diǎn)A（1,O）在直線/上,

設(shè)直線/的參數(shù)方程為1L”為參數(shù)）,

代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得

5戶+25-6=0.

設(shè)P,。對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為fl,打,

6,2由

則πιl用2=一5，∕∣+?=--5,

思維升華參數(shù)方程和極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用

涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程

后求解.當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.

跟蹤訓(xùn)練3（2022?石嘴山模擬）在平面直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C1的參數(shù)方程為

JX=I÷cosα>

Ij=sina

（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A為曲線Cl上的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)B在線段OA的延長線上且滿足IOAM。用=8,點(diǎn)B的軌跡為C2.

⑴求曲線G,C2的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2,y）,求44面積的最小值.

{x=1÷cosa,

解（1）由曲線Cl的參數(shù)方程.（a為參數(shù)），

Iy=Sma

消去參數(shù)，可得普通方程為（X—1）2+V=1,即χ2+y2-2χ=o,

又由X=PCOSθ,.y=psinθ,

代入可得曲線G的極坐標(biāo)方程為p=2cos0,

設(shè)點(diǎn)8的極坐標(biāo)為S，。），點(diǎn)4點(diǎn)的極坐標(biāo)為S0，W），

則∣OB∣=ρ,∣OA∣=po,po=2cos%,J=%,

因?yàn)镮oAHoBl=8,

所以p?po=8,

Q

≡P-=2cosθ,≡P/cos6=4,

所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為0cos6=4.

(2)由題意，可得IoM=2,

則SΔΛBM=SAOBM—SΔOAM=^OM??∣Xβ-%AI=∣×2×∣4-2COS20∣=∣4-2COS20∣,

即SAABM=4—2CoS2仇

當(dāng)COS2。=1時(shí)，可得S的最小值為2.

課時(shí)精練

?2_t_^2

1.(2020?全國ΠI)在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C的參數(shù)方程為一,；?為參數(shù)且樣1),

y=2~3t+t^

C與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn).

⑴求∣AB∣；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程.

解(1)令X=0,則z2+r-2=0,

解得t——2或f=1(舍去)，

則y=2+6+4=12,即A(0,12).

令y=0,則戶―3f+2=0,

解得t=2或f=1(舍去)，

則％=2—2—4=-4,

即B(—4,0).

Λ∣AB∣=√(0+4)2+(12-0)2=4√Iδ.

i12-0

(2)由l(1)可知CB=Or_町=3'

則直線AB的方程為y=3(x+4),

即3x—y+12=0