2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第二章第7節(jié)　函數(shù)的圖象

第7節(jié)函數(shù)的圖象

考綱要求1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析

法）表示函數(shù)；2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式

解的問題.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

L利用描點法作函數(shù)的圖象

步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周

期性、對稱性等）；（4）列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點

等），描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）平移變換

I吃）+AI

上M*X））個單位

移

M丁"叫

下

移Mfcx））個單位

I）,=/（；）-*I

（2）對稱變換

y=Λx）的圖象■天于施■對稱■?>>=二^的圖象;

v=*x）的圖象關(guān)于〉軸對稱，v=∕（-χ）的圖象:

V=心）的圖象關(guān)于原點對稱，尸一人一幻的圖象;

y=a?a>O,且吊1）的圖象關(guān)于直線產(chǎn)X對鴛=ISg是（α>0,且"Wl）的圖象.

（3）伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

y=fi,χ）--------------------------;---------->y=fi<ax）.

各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（?>0）倍

橫坐標(biāo)不變

y=fi.χ）-----------------------------------?y=A∕W?

各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁（4>0）倍

(4)翻折變換

X軸下方部分翻折到上方

y=/(尤)的圖象-------------------------^y=也)1的圖象；

X軸及上方部分不變

y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

y=Λx)的圖象-----------------------?y=K曲的圖象.

原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變

?—常用結(jié)論與微點提醒—X

?

1.記住幾個重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=∕(x)與y=7(2α-χ)的圖象關(guān)于直線x=α對稱.

(2)函數(shù)y=火x)與y=26一式2a—x)的圖象關(guān)于點(4,0中心對稱.

(3)若函數(shù)y=∕(x)對定義域內(nèi)任意自變量X滿足：y(α+x)=√(α-χ),則函數(shù)y=√(x)的圖象關(guān)于

直線X=α對稱.

2.圖象的左右平移僅僅是揖對千a而言，如果X的系數(shù)不是1，常需把系數(shù)提出來，再進(jìn)行

變換.

3.圖象的上下平移僅僅是邢對手?而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.

診斷自測

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)當(dāng)x∈(0,+8州寸，函數(shù)y=∣∕(x)∣與)，=川川)的圖象相同.()

(2)函數(shù)y=q")與y=∕(αx)(a>0且aWl)的圖象相同.()

(3)函數(shù)y=∕(x)與y=—/(X)的圖象關(guān)于原點對稱.()

(4)若函數(shù)y=∕(x)滿足y∏+x)=∕U-χ),則函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)令兀r)=一X,當(dāng)x∈(O,+8)時，y=∣∕(x)∣=x,γ=XH)=-χ,兩者圖象不同，(1)

錯誤.

(2)中兩函數(shù)當(dāng)“≠l時，y=碇x)與)，=/(Or)是由y=/(X)分別進(jìn)行橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)伸縮變換得

到，兩圖象不同，(2)錯誤.

(3)y=Λx)與y=-Λx)的圖象關(guān)于X軸對稱，(3)錯誤.

〉教材衍化

2.下列圖象是函數(shù)），=

OlJO

-14-1

D

答案C

解析其圖象是由y=/圖象中x<0的部分和y=x—1圖象中x，0的部分組成.

3.在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；

停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，能反映血液中藥物含量。隨時間f變化的圖象

是（）

答案B

解析依題意知，在2h內(nèi)血液中藥物含量。持續(xù)增加，停止注射后，Q呈指數(shù)衰減，圖象

B適合.

>考題體驗

4.（2019?全國I卷）函數(shù)於）=北：二在L兀,π］的圖象大致為（）

OπXOπX

OπX

CD

答案D

Sin(—x)—X

解析?.√(-X)=CoS(_C+(_、,)2=-∕U),且x￡[-n,兀],.?√(X)為奇函數(shù)，排除A.

當(dāng)x=π時，#兀)=_]]兀2>0,排除B,C,只有D滿足.

5.(2021?昆明質(zhì)檢)已知圖①中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=J(x),則圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為

()

?R.?b

?√∣θ;?√∣?√;

國①圖②

A.y=Λ∣x∣)B.y=Λ一國)C.y=[∕(x)∣Dj=—IAX)I

答案B

解析觀察函數(shù)圖象可得，②是由①保留)，軸左側(cè)及)，軸上的圖象，然后將y軸左側(cè)圖象翻

折到右側(cè)所得，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱變換可得變換后的函數(shù)的解析式為y=A-∣Λ?∣).

6.(2020-蘭州聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=log√√(x)的定義域是.

答案⑵8]

解析當(dāng)y(χ)>o時，函數(shù)g(χ)=k>Wx)有意義，由函數(shù)y(x)的圖象知滿足yu)>o時，x∈(2,

8]?

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一作函數(shù)的圖象師生共研

【例1】作出下列函數(shù)的圖象：

W

;

(Dy=Q)(2)y=∣log2(x+l)∣;

(3)J=X2-2∣x∣-1.

XXX

解(1)先作出y=Q)的圖象，保留)，=(；)圖象中x>0的部分，再作出)，=(；)的圖象中x>0

w

部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得y=(})的圖象，如圖①實線部分.

(2)將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移一個單位，再將X軸下方的部分沿X軸翻折上去，即可

得到函數(shù)y=∣log2(x+l)∣的圖象，如圖②.

2

（3）V-X2-2X~?,x>0,

^IX+2X-1,X<0,且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出［0,+8)上的圖象，再根據(jù)

對稱性作出(-8,0)上的圖象，得圖象如圖③.

感悟升華1.描點法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根

據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點直接作出.

2.圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖

象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

【訓(xùn)練1】分別作出下列函數(shù)的圖象：

2x—1

(Dy=Sinb|；(2)y=~^T

解(1)當(dāng)Xeo時，y=sin∣x∣與y=sinX的圖象完全相同，又y=sin∣x∣為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y

軸對稱，其圖象如圖①.

圖①圖②

9,y—I11

(2)y==r=2+士，故函數(shù)的圖象可由y=2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個

XlXl?

單位得到，如圖②所示.

考點二函數(shù)圖象的辨識自主演練

1.(2020?浙江卷)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間［―π,π］的圖象大致為()

答案A

解析因為/U)=XCoSX+sinx,貝∣J√(-x)=-xcosx—sinx=—/(X),又—兀，π],所以./U)

為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，貝UC,D錯誤.且X=兀時，y=πcosπ+sinπ=—π<0,

知B錯誤；只有A滿足.

2.(2021?成都診斷)函數(shù)兀T)=XCOS(T)的圖象大致為()

答案A

解析根據(jù)題意，?x)=XCoSG-S=XSinM定義域為R,關(guān)于原點對稱.有人-x)

=(-χ)sin(-χ)=xsinx=J(x)9即函數(shù)y=7(x)為偶函數(shù)，排除B,D.

當(dāng)X￡(0,兀)時，x>0,SinR>0,有段)>0,排除C.只有A適合.

'3”，Λ≤1,

3.已知函數(shù)/(X)=VlOgy,Ql,則函數(shù)y=∕(Lx)的大致圖象是()

、3

答案D

’3',JC≤1,

解析法一先畫出函數(shù)兀v）=<logy,x>l的草圖，令函數(shù)40的圖象關(guān)于y軸對稱，得函

、3

數(shù).大一X）的圖象，再把所得的函數(shù).大一X）的圖象，向右平移1個單位，得到函數(shù)y=∕（l-χ）

的圖象（圖略），故選D.

'3∣r,90,

法二由已知函數(shù)兀V）的解析式，得）=犬1-x）=<log］（I-X）,Λ<0,故該函數(shù)過點（0,3）,

.3

排除A；過點（1,1）,排除B；在（一8,0）上單調(diào)遞增，排除C.選D.

4.函數(shù)y（x）的部分圖象如圖所示，則y（x）的解析式可以是（）

COSX

~

A√U）=x+sinXBt∕U）=-

C√U）=?x（v-專）（1一芋）D./（x）=xcosX

答案D

解析從圖象看，y=∕U）應(yīng)為奇函數(shù)，排除C；

又/⑤=0,知段）=x+sinx不正確；

,Tcos%,0-xsinx-cosx

對于B,火工）=一［,得/（X）=--------p----------,

JT

當(dāng)0<x<2?,f（x）<O,

所以兀V）=箋?（θ,號上遞減，B不正確；

只有Xx）=XCOSX滿足圖象的特征.

感悟升華1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函

數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢：（3）從周期性，

判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題.

考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用多維探究

角度1研究函數(shù)的性質(zhì)

【例2】已知函數(shù)√U）=x同一2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A?Xx）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（O,+∞）

B√（x）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（一8,1）

C√（x）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（一1,1）

D√（x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（一8,0）

答案C

解析將函數(shù)<X）=XIXl-2x去掉絕對值得

JC2~2X,X―0,

/X)=

.—X2-1x,x<0,

畫出函數(shù)兀V）的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)段）的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)HX）為奇

函數(shù)，且在（一1,1）上是遞減的.

角度2函數(shù)圖象在不等式中的應(yīng)用

【例3】（1）若函數(shù)段）=log2（x+l）,且α>b>c>O,則今匕；—2-,UfL的大小關(guān)系是（）

/（〃）

f(a)f(c)/(?)

■>------√----■>—;—

（2）（2020?北京卷）已知函數(shù)段）=2"一不一1,則不等式40>0的解集是（）

A.(—1,1)B.(-8,-1)U(1,+∞)

D.(-8,0)U(l,+∞)

答案（I）B（2）D

解析（1）由題意可得，￡?，T-分別看作函數(shù)兀0=log2（χ+l）圖象上的點色,

∕α））,（b,加））,（C,火C））與原點連線的斜率.

j=log2(x+l)

4人BAr乙f（a）fQb）

結(jié)合圖象可知，當(dāng)υ.>∕x>c>O時l，---?一廠

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出∕z（x）=2?ι,g（x）=ι+l的圖象如圖.由圖象得交點坐標(biāo)為（0,

1)和(1,2).

又yu)>o等價于2*>x+ι,

結(jié)合圖象，可得XVO或x>l.

故火x)>0的解集為(一8,O)U(1,+8).故選D.

角度3求參數(shù)的取值范圍

[2.

【例4】(1)已知函數(shù)兀V)=JX”若關(guān)于X的方程犬X)=上有兩個不同的實根，則

,(X-1)3,χ<2.

實數(shù)k的取值范圍是.

(2)(2020?唐山月考)已知函數(shù)段)=僅一2|+1，83)=履.若方程於)=8(外有兩個不相等的實根,

則實數(shù)k的取值范圍是.

答案(I)(0,1)(2)Q,1)

解析(1)畫出分段函數(shù)?r)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出，若yu)=々有兩個不同的

實根，也即函數(shù)y=∕(x)的圖象與y=上有兩個不同的交點，G的取值范圍為(0,1).

(2)先作出函數(shù)y(x)=k-2∣+l的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)=fcc與射線AB平行時斜率為

1,當(dāng)直線g(x)=履過A點時斜率為故於)=g(x)有兩個不相等的實根時，Z的取值范圍為

感悟升華1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值

域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系.

2.利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程7(x)=g(x)的根就是函數(shù),/(X)與

g(x)圖象交點的橫坐標(biāo)；不等式火x)<g(x)的解集是函數(shù)/(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點的橫

坐標(biāo)的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

【訓(xùn)練2】(1)設(shè)函數(shù)/(x)=∣x+α∣,g(x)=x-1,對于任意的χGR,不等式y(tǒng)(x)2g(x)恒成立,

則實數(shù)4的取值范圍是.

(2)(2021.合肥調(diào)研)已知奇函數(shù)Ar)在x20時的圖象如圖所示，則不等式歡x)<0的解集為

IIgXI,x>0,

(3)已知TU)=2叫后。，則函數(shù)尸2小)一3加)+1的零點個數(shù)是

答案(1)[-1,+∞)(2)(-2,-1)U(1,2)(3)5

解析(1)如圖作出函數(shù),穴X)=IX+α∣與g(x)=x—1的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)一αWl,

即a》一1時，不等式式x)2g(x)恒成立，因此α的取值范圍是［―1,÷∞).

(2)?.?歡x)<0,.?.X和y(x)異號,

由于兀V)為奇函數(shù)，補齊函數(shù)的圖象如圖.

當(dāng)x∈(-2,-1)U(O,1)U(2,+∞)?,fi,x)>O,

當(dāng)χ∈(-8,-2)U(-1,O)U(1,2)時，危)vθ,

不等式歡x)<0的解集為(-2,-1)U(1,2).

(3)方程2∕2(x)-W+l=θ的解為TU)=5或L

作出y=∕(x)的圖象，由圖象知零點的個數(shù)為5.

核心素養(yǎng)/函數(shù)圖象的活用

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的重要手段，在數(shù)學(xué)研究的探索中，通過直

觀手段的運用以及借助直觀展開想象，從而發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的例子比比皆是，并貫穿于

數(shù)學(xué)研究過程的始終，而數(shù)形結(jié)合思想是典型的直觀想象范例.

一、根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式

[例I](2021.長沙雅禮中學(xué)檢測)己知某函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)中，與圖象最

契合的是()

A.γ=sin(ev÷e?v)B.y=sin(ex-e?v)

C.y=zcos(e'-ev)D.y=cos(ev÷e')

答案D

解析由函數(shù)圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，

；y=sin(e"—bx)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，B不正確；

又一l<√(0)<0,但sin2>0,cos0=1,故A,C不正確；

只有y=cos(e*+e'v)滿足圖象特征.故選D.

素養(yǎng)升華函數(shù)解析式與函數(shù)圖象是函數(shù)的兩種重要表示法，圖象形象直觀，解析式易于研

究函數(shù)性質(zhì)，可根據(jù)需要，相互轉(zhuǎn)化.

二、由圖象特征研究函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)

-χ2+4x,x≤4,

【例2】設(shè)函數(shù)yω=若函數(shù)y=Ax)在區(qū)間(α,α+l)上單調(diào)遞增，則實

10g2X>x>4,

數(shù)”的取值范圍是()

A.(—8,1]B.[l,4]

C.[4,+∞)D.(-∞,1]U[4,+∞)

答案D

解析作出函數(shù)兀V)的圖象如圖所示，由圖象可知，要使兀0在(a,α+l)上單調(diào)遞增,

需滿足a24或α+1≤2.

因此a≥4或6J≤1.

素養(yǎng)升華1.運用函數(shù)圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示

的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì).

2.圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解

常與圖象數(shù)形結(jié)合研究.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

4X

1.(2020?天津卷)函數(shù)y=等τ的圖象大致為(

答案A

4x—4?v

解析令人X)=M,則T(X)的定義域為R,且五一X)=E?=-Λχ),因此，函數(shù)為奇函數(shù),

4

-

排除C,2排除B.故選A.

2.(2019?全國ΠI卷)函數(shù)尸百片在[—6,6]的圖象大致為()

答案B

2χ3

解析因為y=/U)=1+2-；，x≡[-6,6],

,2(—x)32Λ^

所以7(—x)-2~x~?~2x——o^^*+2X-―/(?)?

所以7U)是奇函數(shù)，排除選項c.

2x4317Q

當(dāng)x=4時，y=河匚戶=----「6(7,8),排除A,D項，B正確.

16+?

答案D

解析當(dāng)x>0時，W∣=x,此時y=α'(0<a<l);

當(dāng)x<O時，IXl=-X,此時y=-αx(O<α<l).

γ∕rv

則函數(shù)y=瑞?(O<α<l)的大致圖象如圖所示.

4.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是()

A.y=ln(l-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析法一設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點的坐標(biāo)為(x,)，)，則其關(guān)于直線x=l的對稱點的坐標(biāo)

為(2—X,>>),由對稱性知點(2—X,y)在函數(shù)KX)=Inx的圖象上,所以y=ln(2-χ).

法二由題意知，對稱軸上的點(1,0)在函數(shù)y=lnX的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代

入選項中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗，排除A,C,D,選B.

5.(2020?豫北名校聯(lián)考)已知外)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，7(x)=3-2x,則不等式

7(x)>0的解集為()

B「，_小后，+∞

DGO)U修+8)

答案C

解析根據(jù)題意，yω是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)χ>o時，yω=3-2x,可得其圖象如圖,

且式O)=0,41M-1)=。，

則不等式1X)>O的解集為(一

OO

aχ-?-hyx<-1,

6.若函數(shù)yu)=)

D.-2

答案C

In(〃-1)=0,a=2,

解析由圖象知，C得

b—a=3,b=5.

2x÷5,x<—1,

?,?危)=In(x+2),QT故7(T)=5-6=T

7.函數(shù)y=2/in2x的圖象可能是()

AB

解析設(shè)“r)=2l?in2‰其定義域為R,又#—x)=2r?d?sin(-2x)=—/(x),所以y=<x)是奇

l^?JT

函數(shù)，故排除A,B.令/)=0,得sin2x=0,.?.2x=E(&∈Z),即X=E(k∈Z),排除C,D

正確.

8.若函數(shù)y=∕(x)的圖象的一部分如圖⑴所示，則圖(2)中的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式可以是

解析函數(shù)T(X)的圖象先整體往右平移1個單位，得到y(tǒng)=Kx—1)的圖象，再將所有點的橫

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=73-i)的圖象.

二、填空題

9.若函數(shù)y=∕(x)的圖象過點(1,1),則函數(shù)y=./(4—X)的圖象一定經(jīng)過點.

答案(3,1)

解析由于函數(shù)y=√(4—X)的圖象可以看作y=∕(x)的圖象先關(guān)于y軸對稱，再向右平移4個

單位長度得到.點(1,1)關(guān)于y軸對稱的點為(一1,1),再將此點向右平移4個單位長度為(3,

1).所以函數(shù)y=■穴4—x)的圖象過定點(3,1).

10.在平面直角坐標(biāo)系X。｝，中，若直線y=2”與函數(shù))，=僅一句一1的圖象只有一個交點，貝IJa

的值為.

答案T

解析函數(shù)y=∣x-α∣-l的大致圖象如圖所示,

，若直線y=2"與函數(shù)y=∣x—α∣-l的圖象只有一個交點,

只需2α=-1,可得/

11.使log2(—x)<x÷1成立的X的取值范圍是.

答案(一1，0)

解析在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2(—x),y=x+l的圖象，知滿足條件的x?(—1,0).

12.已知函數(shù)T(X)在R上單調(diào)且其部分圖象如圖所示，若不等式一2勺(x+∕)<4的解集為(-1,

2),則實數(shù)r的值為.

答案1

解析由圖象可知不等式一2<√α+r)<4,

即犬3)勺ɑ+t)<√(θ)?

又y=∕(χ)在R上單調(diào)遞減，

Λ0<x+∕<3,不等式解集為(一f,3~t).

依題意，得r=l.

B級能力提升

13.若直角坐標(biāo)系內(nèi)A,8兩點滿足：(1)點A,B都在y(x)的圖象上；(2)點A,8關(guān)于原點對

稱，則稱點對(A,8)是函數(shù)?r)的一個“和諧點對”，(A,8)與(B,A)可看作一個“和諧點

JC2+2X(X<0),

對”.已知函數(shù)ZU)=(2則/(X)的“和諧點對”有()

G(Q0)，

A.1個B.2個