專題01分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2個知識點(diǎn)3種題型1個易錯點(diǎn)）

專題01分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2個知識點(diǎn)3種題型1個易錯點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用知識點(diǎn)2.兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用拓展1.分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用拓展2.分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用拓展3..兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用突破1.窮舉法在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用突破2.用計數(shù)原理解決涂色問題【方法二】實(shí)例探索法題型1.分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用題型2.分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用題型3.兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【方法三】差異對比法易錯點(diǎn)：計數(shù)時出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”【方法四】成果評定法【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用一、分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．二、分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．例一、單選題1．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進(jìn)行播放，則不同的選法共有（

）A．30種 B．75種 C．10種 D．20種【答案】D【分析】由簡單計數(shù)原理求不同選法數(shù).【詳解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任選一首播放，不同的選法共有種.故選：D2．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（

）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種【答案】A【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得正確答案.【詳解】甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，由乘法原理可得甲?乙所選的課程不相同的選法有（種）.故選：A知識點(diǎn)2.兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用一、兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點(diǎn)針對的是“分類”問題不同點(diǎn)各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事例二、多選題3．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┯梅N不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用分類計數(shù)原理即可得解.【詳解】當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故A正確；當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故B錯誤；當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故C錯誤；當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故D正確.故選：AD.4．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中學(xué)校考階段練習(xí)）某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點(diǎn)處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處，則（

）A．三次骰子后所走的步數(shù)可以是12 B．三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和只可能有兩種結(jié)果C．三次股子的點(diǎn)數(shù)之和超過10的走法有6種 D．回到點(diǎn)處的所有不同走法共有27種【答案】BCD【分析】由題意，可得拋擲三次骰子后，棋子恰好又回到點(diǎn)A處，說明棋子沿正方形逆時針行走了8個單位．由此再分析三次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為8對應(yīng)基本事件的個數(shù)，討論每種對應(yīng)的個數(shù)即可.【詳解】A、B：由題意知正方形（邊長為2個單位）的周長是8，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是，故A錯誤，B正確；C、D：列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為的有，共有7種組合，前2種組合，每種情況可以排列出種結(jié)果，共有種結(jié)果；各有3種結(jié)果，共有種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和超過10的走法為，共有種，故C正確；根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果，故D正確；故選：BCD二、兩個計數(shù)原理的應(yīng)用用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．拓展1.分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用單選題（2024上·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，用組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．14 B．17 C．20 D．23【答案】C【分析】分類求解符合條件的三位數(shù)的個數(shù)即可.【詳解】集合，且，則這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”包含以下三種情況：①十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；②十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；③十位數(shù)是，則百位數(shù)只能是，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；綜上，符合條件的共有個.故選：C.拓展2.分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用2．單選題（2024·全國·高三專題練習(xí)）某游泳錦標(biāo)賽上有四名運(yùn)動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（

）A． B． C．12 D．9【答案】A【分析】由分步乘法計數(shù)原理即可得到結(jié)果.【詳解】甲、乙、丙、丁每人均有3種選擇，可以采用分步計數(shù)原理，得四人參賽方案的種類為．故選：A.拓展3..兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用3．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復(fù)的修辭手法，而數(shù)學(xué)上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有個.【答案】225【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再分別求出各位上的種數(shù)，先用乘法原理求出各類種數(shù)，再由加法原理即得.【詳解】依題意，五位正整數(shù)中“回文數(shù)”具有：萬位與個位數(shù)字相同，且不為0，千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：第一類：萬位數(shù)字為偶數(shù)且不為0有4種，千位選一個奇數(shù)有5種，百位選一個奇數(shù)有5種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)為個，第二類：萬位數(shù)字為奇數(shù)有5種，千位選一個偶數(shù)有5種，百位選一個奇數(shù)有5種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)為，由分類加法原理得，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有：個.故答案為：225突破1.窮舉法在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用1．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知，則關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為.【答案】12【分析】分是否為0判斷即可.【詳解】①當(dāng)時，取范圍內(nèi)任一實(shí)數(shù)均有實(shí)數(shù)解，此時有4對；②當(dāng)時，有解則滿足，即，當(dāng)時，可取的值有、0、2、3，當(dāng)時，可取的值有、0，當(dāng)時，可取的值有、0，共有12對.故答案為：12.突破2.用計數(shù)原理解決涂色問題2．（2023·全國·高二課堂例題）在某設(shè)計活動中，李明要用紅色和藍(lán)色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？【答案】種【分析】用表示紅色，用表示藍(lán)色，列舉出所有不同的涂色方法，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】用表示紅色，用表示藍(lán)色，用表示第一個和第三個格子涂紅色，第二個和第四個格子涂藍(lán)色．因為紅色和藍(lán)色都要用兩次，為了簡化問題，考慮涂紅色的格子是否相鄰，則填涂結(jié)果可以分為兩類：涂紅色的格子相鄰，涂紅色的格子不相鄰．涂紅色的格子相鄰的方法有：、、，共種；涂紅色的格子不相鄰的方法有：、、，共種．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，李明共有不同的涂法種．【方法二】實(shí)例探索法題型1.分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用1．（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現(xiàn)從中取出2個球．(1)至少有一個白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理求解；（2）根據(jù)分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理求解；【詳解】（1）根據(jù)題意分2類完成任務(wù)：第一類：白球紅球各一個有種，第二類：均為白球，種，所以共有種；（2）根據(jù)題意分2類完成任務(wù)：第一類：均為白球，種，第二類：均為紅球，種，所以共有種．題型2.分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用2．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）按序給出a，b兩類元素，a類中的元素排序為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b類中的元素排序為子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b兩類中各取1個元素組成1個排列，求a類中選取的元素排在首位，b類中選取的元素排在末位的排列的個數(shù)．【答案】120【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】求排列個數(shù)需要兩步：排首位有10種方法，排末位有12種方法，由分步乘法計數(shù)原理得：，所以所求排列個數(shù)為120.題型3.兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用3．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學(xué)被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種【答案】C【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類，利用分類計數(shù)原理求解.【詳解】若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法．故一共有種去法．故選：C.【方法三】差異對比法易錯點(diǎn)：計數(shù)時出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”1．（2023下·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?025年河南省實(shí)行新高考，小明需要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地

理中選擇三科作為自己的選科組合，物理和歷史不能同時選擇，則小明不同的選科情況有種．【答案】16【分析】根據(jù)題意，可分為三類：（1）若物理和歷史同時不選；（2）若選物理，不選歷史；（3）若不選物理選歷史，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選擇三科作為自己的選科組合，且物理和歷史不能同時選擇，可分為三類：（1）若物理和歷史同時不選，共有種選法；（2）若選物理，不選歷史，共有種選法；（3）若不選物理，選歷史，共有種選法；由分類計數(shù)原理，可得不同的選科情況共有種.故答案為：16.2．（2023·全國·高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節(jié)目．(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機(jī)共可以選看多少個不同的節(jié)目？(2)如果有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺電視機(jī)共可以選看多少個不同的節(jié)目？【答案】(1)68(2)66【分析】利用分類加法計數(shù)原理進(jìn)行求解【詳解】（1）當(dāng)所有頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機(jī)選看的節(jié)目可分為3類：第一類，選看中央臺頻道的節(jié)目，有12個不同的節(jié)目；第二類，選看本地臺頻道的節(jié)目，有10個不同的節(jié)目；第三類，選看其他省市頻道的節(jié)目，有46個不同的節(jié)目．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一臺電視機(jī)共可以選看個不同的節(jié)目．（2）因為有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，即這3個頻道轉(zhuǎn)播的節(jié)目只有1個，而其余頻道共有個正在播放互不相同的節(jié)目，所以一臺電視機(jī)共可以選看個不同的節(jié)目．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2003·全國·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，已知三邊所在直線的方程分別為，則內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（

）A．95 B．91 C．88 D．75【答案】B【分析】首先確定以為對角線的矩形中整點(diǎn)的個數(shù)，再確定上的整點(diǎn)數(shù)，最后根據(jù)對稱性求出△中整點(diǎn)的個數(shù).【詳解】由題設(shè)，直線分別交x、y軸于、，以高為10，寬為15的矩形內(nèi)（含邊）整數(shù)點(diǎn)有176個，其中直線上的整數(shù)點(diǎn)有、、、、、，共6個，所以，矩形對角線兩側(cè)的三角形中整點(diǎn)的個數(shù)為個，綜上，△中整點(diǎn)的個數(shù)為個.故選：B2．（2022下·廣東深圳·高二深圳市光明區(qū)高級中學(xué)?？计谥校┠呈腥嗣襻t(yī)院急診科有3名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，內(nèi)科有5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會，則所有不同的選派方案有（

）A．180種 B．56種 C．29種 D．15種【答案】A【分析】第一步，從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，第二步，從內(nèi)科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，分別求出方案數(shù)，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有種方案，從內(nèi)科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有種方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，該醫(yī)院總共有種不同的選派方案.故選：A.3．（2021上·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考開學(xué)考試）一只小蟲子欲從A點(diǎn)不重復(fù)經(jīng)過圖中的點(diǎn)或者線段，而最終到達(dá)目的地E，這只小蟲子的不同走法共有（）A．12種 B．13種C．14種 D．15種【答案】C【分析】根據(jù)題意按照一定順序，將所有的路線列舉出來即可.【詳解】由題意這只小蟲子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE,ABCDPFE,ABPDE,共14種，故選：C4．（2020·高二課時練習(xí)）張、王夫婦各帶一個小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外兩個小孩要排在一起，則這6個人的入園順序的排法種數(shù)是A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【詳解】分析：先安排首尾的兩位家長，再將兩個小孩捆綁作為一個整體，與剩下的兩位家長作為三個元素安排在中間即可得到結(jié)論．詳解：先安排首尾兩個位置的男家長，共有種方法；將兩個小孩作為一個整體，與剩下的另兩位家長安排在兩位男家長的中間，共有種方法．由分步乘法計數(shù)原理可得所有的排法為種．故選B．點(diǎn)睛：求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．”5．（2022下·安徽安慶·高二安慶一中?？计谥校┈F(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種【答案】D【分析】先看一張人民幣的取法，再看2張100元人民幣的取法，利用分步計數(shù)原理計算即可.【詳解】除100元人民幣以外的3張人民幣中，每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去5張人民幣全不取的1種情況，所以共有種．故選：D.6．（2023下·高二課時練習(xí)）甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A．65 B．73 C．70 D．60.【答案】A【分析】根據(jù)題意，先由分步計數(shù)原理計算可得四人選擇3個地方的全部情況數(shù)目，再計算漢口江灘沒人去的情況數(shù)目，分析可得漢口江灘一定要有人去的游覽方案數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，且每人只能去一個地方，則每人有3種選擇，則4人一共有種情況，若漢口江灘沒人去，即四位同學(xué)選擇了黃鶴樓?東湖，每人有2種選擇方法，則4人一共有種情況，故漢口江灘一定要有人去有種情況，故選：A．7．（2021·高二課時練習(xí)）如圖所示，在，間有四個焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不通情況有（

）種.A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】根據(jù)題意分脫落1個、2個、3個和4個，進(jìn)而列舉出所有情況得到答案.【詳解】解：按照可能脫落的個數(shù)分類討論，若脫落1個，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個，則有，，，，，共6種情況，若脫落3個，則有，，，共4種情況，若脫落4個，則有共1種情況，綜上共有種情況.故選：C.8．（2022下·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（

）A．36 B．18 C．9 D．6【答案】C【分析】利用分步計數(shù)原理及分類計數(shù)原理即得.【詳解】由題可知，中間格只有一種放法；十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有兩種放法，或每種都放兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；所以不同放法共有種.故選：C.二、多選題9．（2021下·重慶巴南·高二重慶市實(shí)驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）第三屆世界智能駕駛挑戰(zhàn)賽在天津召開，小趙、小李、小羅、小王、小劉為五名志愿者，現(xiàn)有翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項不同的工作可供安排，則下列說法正確的有（

）A．若五人每人可任選一項工作，則不同的選法有54種B．若每項工作至少安排一人，則有120種不同的方案C．若禮儀工作必須安排兩人，其余工作安排一人，則有60種不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中間，則有40種不同的站法【答案】CD【分析】對于A，由題意得每人均有4種選法，然后由分步乘法原理可得答案；對于B，將5人分成4組，其中有一組2人，其余各組1，然后將這4組人分配到4個不同的工作中去即可；對于C，先選2人到禮儀工作，剩下的3平均分配到其它3個工作，然后由分步乘法原理可得答案；對于D，按分步乘法原理求解，先選2人排前排，然后剩下3人中身高最高的站后排的最中間，剩下2人排兩端即可【詳解】解：若五人每人任選一項工作，則每人均有4種不同的選法，不同的選法有45種，故A不正確；若每項工作至少安排一人，則先將五人按分成四組，再分配到四個崗位上，故不同的方案有（種），故B不正確；若禮儀工作必須安排兩人，其余工作安排一人，則先從五人中任選兩人安排在禮儀崗位，其余三人在其余三個崗位上全排列即可，故不同的方案有（種），C正確；前排有種站法，后排3人高的站中間有種站法，所以共有種，故D正確．故選：CD．10．（2021下·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【分析】利用分步乘法計數(shù)原理判斷AC選項的正確性，利用分類加法計數(shù)原理以及組合數(shù)計算判斷B選項的正確性，利用排列數(shù)計算判斷D選項的正確性.【詳解】所有可能的方法有種，A錯誤.對于B，分三種情況：第一種：若有1名同學(xué)去工廠甲，則去工廠甲的同學(xué)情況為，另外兩名同學(xué)的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學(xué)去工廠甲，則同學(xué)選派情況有，另外一名同學(xué)的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學(xué)都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學(xué)各有4種安排，共有種安排，C正確.對于D，若三名同學(xué)所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.故答案為：BCD11．（2021上·遼寧營口·高二期末）現(xiàn)有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法【答案】ABD【分析】利用排列知識計算得到選項ABD正確；若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以選項C錯誤.【詳解】解：A.從中任選1個球，有15種不同的選法，所以該選項正確；B.若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法，所以該選項正確；C.若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以該選項錯誤；D.若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法，所以該選項正確.故選：ABD12．（2022上·高二課時練習(xí)）（多選題）已知，，則方程可表示不同的橢圓的個數(shù)用式子表示為（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用加法和乘法計數(shù)原理和方程=1表示橢圓的限制條件，即可得到方程可表示不同的橢圓的個數(shù)用式子表示的正確形式.【詳解】方法一：當(dāng)時，b有3種選擇；當(dāng)時，b有3種選擇；當(dāng)時，b有2種選擇，則方程可表示不同的橢圓的個數(shù)用式子表示為.方法二：當(dāng)a在中任取1個，b在中任取1個時，不可以表示橢圓，則方程可表示不同的橢圓的個數(shù)用式子表示為.故選：BC三、填空題13．（2021·高二課時練習(xí)）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有種.【答案】72【分析】利用分步乘法計數(shù)原理以及分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】下面分兩種情況，即C，A同色與C，A不同色來討論.（1）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種，C，A同色時，C的著色方法為1種，D的著色方法有2種.（2）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種.C與A不同色時C的著色方法有1種，D的著色方法有1種，綜上，兩類共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(種).故答案為：7214．將紅、黑、藍(lán)、黃個不同的小球放入個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數(shù)為.(用數(shù)字作答)【答案】30【分析】先計算小球放入3個不同的盒子的放法數(shù)目，再計算紅球和藍(lán)球放到同一個盒子的放法數(shù)目，兩個相減得到結(jié)果．【詳解】將4個小球放入3個不同的盒子，先在4個小球中任取2個作為1組，再將其與其它2個小球?qū)?yīng)3個盒子，共C42A33=36種情況，若紅球和藍(lán)球放到同一個盒子，則黑、黃球放進(jìn)其余的盒子里，有A33=6種情況，則紅球和藍(lán)球不放到同一個盒子的放法種數(shù)為36－6=30.故答案為30【點(diǎn)睛】本題考查排列組合及簡單的計數(shù)原理的應(yīng)用，注意用間接法，屬于基礎(chǔ)題．15．某小區(qū)一單元共有6層，每層只有一家住戶.已知任意相鄰兩層樓的住戶在同一天至多有一家收到快遞，且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少有一家收到快遞，則在同一天這6家住戶收到快遞的可能情況共有種.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】采用列舉法，分同一天2家有快遞、同一天3家有快遞兩種情況分析即得解.【詳解】分兩種情況討論：（1）同一天2家有快遞，則所有情況為：（2）同一天3家有快遞，則所有可能結(jié)果為：綜上所述：共種故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了組合的知識以及列舉法的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論的能力，屬基礎(chǔ)題.16．現(xiàn)有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學(xué)雜志，還有5本是互不相同的數(shù)學(xué)雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數(shù)為．【答案】26【詳解】分析：從選取的數(shù)學(xué)雜志的本數(shù)入手討論即可．詳解：若選取的三本書沒有數(shù)學(xué)雜志，有1種選法若選取的三本書有1本數(shù)學(xué)雜志，有種選法若選取的三本書有2本數(shù)學(xué)雜志，有種選法若選取的三本書有1本數(shù)學(xué)雜志，有種選法故不同選法的種數(shù)為26點(diǎn)睛：本題主要考查分類加法原理和組合的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題17．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個？（2）用1，2，3，4，5，6，7可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字，并且小于60000的正整數(shù)？（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)共有多少個？【答案】（1）360；（2）2899；（3）216.【分析】（1）偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法計數(shù)原理即得解；（2）根據(jù)題意，由分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計算，即可得到結(jié)果.（3）根據(jù)題意，由組合數(shù)的計算結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6，有種排法，其他位置上任意排列，有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，得，共有四位偶數(shù)（個）.（2）根據(jù)題意，可得，沒有重復(fù)數(shù)字的一位正整數(shù)，共有，沒有重復(fù)數(shù)字的兩位正整數(shù)，共有，沒有重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，共有，沒有重復(fù)數(shù)字的四位正整數(shù)，共有，沒有重復(fù)數(shù)字且小于60000的五位正整數(shù)，共有；所以，小于60000的正整數(shù)共有（個）.（3）首先個位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5，7四個中選擇一個有種，再從剩余3個奇數(shù)中選擇一個有種，從2，4，6三個偶數(shù)中選擇兩個有種，最后進(jìn)行十位，百位，千位三個位置的全排列，則共有（個）.18．（2023·全國·高二課堂例題）某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會，現(xiàn)要從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？(2)如果需要教師、男同學(xué)和女同學(xué)各一人共同主持，共有多少種不同的選法？【答案】(1)12(2)【分析】（1）利用分類加法計數(shù)原理進(jìn)行求解；（2）利用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行求解.【詳解】（1）從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出一人主持晚會，結(jié)果可分為3類：第一類，選一名教師主持，有3種選法；第二類，選一名男同