黎曼積分概念與性質

第四局部多變量積分學CH19

黎曼積分的定義和性質§1.黎曼積分的概念§2.黎曼積分的性質3/6/20241在一元函數積分學中,我們知道定積分是某種確定形式的和的極限.極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及曲面上多元函數的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念.這種和的將函數在這些區(qū)域、曲線及曲面上的積分統(tǒng)稱為黎曼積分.3/6/202421.物體質量的計算設有一質量非均勻分布的物體，其密度是點M的函數如果函數f，怎樣求物體的質量呢？3/6/20243在定積分中，一根線密度為的細直棒AB，它的質量可通過分割、近似、求和、取極限四個步驟化為定積分3/6/20244平面薄板的質量

設它所占的平面區(qū)域為D，其密度為在D上連續(xù)，類似于對直棒的處理------“化整為零”可按如下步驟計算它的質量.3/6/20245【分割】【近似】把D任意劃分為n個子域示面積〕【求和】【取極限】〔也表3/6/20246薄板的質量細棒的質量均可由相同形式的和式極限來確定.一般地，設有一質量非均勻分布在某一幾何形體Ω上的物體(Ω可以是直線段、平面或空間區(qū)域、一片曲面或一段曲線),其質量可以按照以上四個步驟來計算：3/6/20247把Ω任意劃分為n個子域示度量〕〔也表【分割】【近似】【求和】【取極限】上質量分布近似看作均勻3/6/20248定義設Ω表示一個有界的可度量幾何形體，2.黎曼積分的概念3/6/202493/6/202410被積函數元素積分域被積式或積分微元積分號積分和(黎曼和)3/6/202411當Ω為不同的幾何形體時，對應的積分有不同的名稱和表達式：〔1〕當Ω是x軸上的閉區(qū)間[a,b],稱為定積分3/6/202412〔2〕當Ω為平面有界閉區(qū)域〔常記為D〕時，〔3〕當Ω為空間有界閉區(qū)域〔常記為V〕時，稱為二重積分稱為三重積分3/6/202413〔4〕當Ω為平面有限曲線段〔常記為L〕或空間有限曲線段（常記為）時，稱為第一類〔對弧長的〕的曲線積分稱為積分路徑，ds稱為弧長元素.3/6/202414〔5〕當Ω為空間有限曲面片〔常記為S〕時，稱為第一類〔對面積的〕曲面積分S稱為積分曲面，dS稱為曲面面積元素.3/6/202415例1討論二重積分的幾何意義.解D任意劃分為n個子域曲頂柱體3/6/202416小平頂柱體體積高×底面積小柱體體積無限累加得到以曲面為頂，區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積V.3/6/202417二重積分的幾何意義二重積分是曲頂柱體的體積的負值.當被積函數當被積函數其投影D為底曲頂柱體的體積.二重積分是曲面3/6/2024183.黎曼積分的性質多元積分的存在性與定積分類似：3/6/202419性質1〔線性性質〕3/6/202420性質2〔區(qū)域可加性〕定積分二重積分3/6/202421性質3對于二重積分來說〔積分區(qū)間的長度〕定積分3/6/202422性質4〔比較性〕二重積分：定積分3/6/202423性質5(估值性〕定積分二重積分：3/6/202424性質6〔積分中值定理〕二重積分：定積分3/6/202425

多元函數積分可看作定積分推廣為多元函數在不同幾何形體上的積分.n重積分

(多元函數在n維空間中的

有界閉區(qū)域上的積分)曲面積分〔多元函數在有限曲面片上的積分〕曲線積分〔多元函數在有限曲線段上的積分〕小結3/6/2024261.多元函數積分的定義定積分重積分3/6/202427對弧長的曲線積分：對面積的曲面積分：3/6/202428幾種幾何形體上的積分：D閉區(qū)間[a,b]L(平面有界閉區(qū)域)〔平面有限曲線段〕〔有限曲面片〕(空間有界閉區(qū)域)(空間有限曲線段)二重積分三重積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分3/6/202429二、多元函數積分的性質線性性、可加性、比較性、估值性、積分中值定理.3/6/202430若一個非均勻物體，其形狀如上述幾何形體G，其密度為G上的函數，則在G的元素dg上，其質量應是