2023-2024學(xué)年泰安市寧陽一中高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2024學(xué)年泰安市寧陽一中高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．下列說法正確的個數(shù)是（

）（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；（2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)；（4）非零向量的單位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2D．32．（

）A．B．C．D．3．如圖，在中，，點是的中點．設(shè)，，則（

）

A． B． C． D．4．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知在四邊形ABCD中，則四邊形ABCD一定是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形6．設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（

）A． B． C． D．7．在△ABC中，∠C=90°，，則與的夾角是()A．30° B．60° C．120° D．150°8．若O為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．下列命題中錯誤的有（

）A．起點相同的單位向量，終點必相同；B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；C．若，則；D．若，則10．下列各組向量中，一定能推出的是（

）A．，B．，C．，D．，11．下列說法正確的是（

）A．向量在向量上的投影向量可表示為B．若，則與的夾角的范圍是C．若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，的夾角為D．若，則12．已知向量，滿足，且，則（

）A． B． C． D．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．設(shè)，為單位向量，則的最大值為．14．已知，且，則向量在向量方向上的投影向量為．15．已知在中，為的中點，是線段上的動點，若，則的最小值為.16．已知在中，，，，為線段上任意一點，則的取值范圍是．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：(1)與相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)與的模相等的向量有哪些？18．設(shè)向量，滿足，且.(1)求與的夾角；(2)求的大小.19．設(shè)是不共線的兩個向量.(1)若，，，求證：A，B，C三點共線；(2)若與共線，求實數(shù)k的值.20．已知，是夾角為的兩個單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．21．已知空間三個向量??的模均為1，它們相互之間的夾角均為.(1)求證：向量垂直于向量；(2)已知，求k的取值范圍.22．如圖所示，在中，，，與交于點M．過M點的直線l與、分別交于點E，F(xiàn)．（1）試用，表示向量；（2）設(shè)，，求證：是定值．1．A【分析】根據(jù)零向量與單位向量，向量的定義對各個項逐個判斷即可求解．【詳解】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，對于（3），零向量的模可能為0，不一點是正數(shù)，故（3）錯誤，對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，故選：A．2．B【分析】根據(jù)數(shù)乘向量的運算律化簡求解即可.【詳解】根據(jù)向量運算公式可知，．故選：B.3．A【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求得答案.【詳解】由題意在中，，點是的中點，故，故選：A4．D【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及向量夾角的運算公式求解.【詳解】解：因為，所以，設(shè)與的夾角為，所以，所以.故選：D5．A【分析】根據(jù)平面向量減法法則判斷即可.【詳解】由，可得，所以四邊形一定是平行四邊形.故選：A6．D【分析】根據(jù)向量與向量共線，由求解.【詳解】因為，是兩個不共線的向量，且向量與向量共線，所以，即，所以，解得，故選：D7．C【詳解】如圖，作向量，則是與的夾角，在△ABC中，因為，，所以，所以．選C．8．A【分析】利用向量運算化簡已知條件，由此確定正確選項.【詳解】依題意，,，所以，所以三角形是等腰三角形.故選：A9．AC【分析】由單位向量的定義、向量共線和相等的條件，判斷各選項的結(jié)論.【詳解】單位向量的方向不確定，所以起點相同的，終點不一定相同，A選項錯誤；四邊形ABCD中，，則且，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項正確；當(dāng)時，滿足，但不能得到，C選項錯誤；由向量相等的條件可知，若，則，D選項正確.故選：AC10．ABC【分析】根據(jù)共線向量定理，即可判斷選項.【詳解】A.，即，故A正確；B.，即，故B正確；C.，，則，故C正確；D.，，只有當(dāng)或，此時，否則，所以向量不平行，故D錯誤.故選：ABC11．AB【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，投影向量的定義，以及向量夾角的定義，即可判斷選項.【詳解】A.根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量可表示為，故A正確；B.根據(jù)，可知，，所以與的夾角的范圍是，故B正確；C.由向量夾角的定義可知，，的夾角為，故C錯誤；D.若，則或或，其中零向量與其它向量不一定垂直，故D錯誤.故選：AB12．ABC【分析】由，得，又且，得，，可得，，有，，可判斷各選項.【詳解】因為，所以，即，整理可得，再由，且，可得，所以，，A選項正確，D選項錯誤；，即向量，的夾角，故向量，共線且方向相反，所以，B選項正確；，C選項正確.故選：ABC13．3【分析】根據(jù)數(shù)量積的公式求模，再根據(jù)夾角的范圍，求模的最大值.【詳解】，當(dāng)向量同向時，的最大值為3.故答案為：314．【分析】求出和即得解.【詳解】解：∵又，∴，又，所以向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：15．8【分析】根據(jù)三點共線可得，利用“1”的技巧及均值不等式求解.【詳解】如圖，

因為，為的中點，所以，因為三點共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為8.故答案為：816．【分析】設(shè)，，得到，求出取值范圍.【詳解】設(shè)，，則，故，因為，所以，故，.故答案為：17．(1)(2)(3)【分析】根據(jù)相等向量、相反向量、向量模長的概念，結(jié)合圖形進(jìn)行分析求解即可.【詳解】（1）由相等向量定義知：與相等的向量有.（2）由相反向量定義知：的相反向量有.（3）由向量模長定義知：與的模相等的向量有.18．(1)(2)【分析】（1）平方計算得到，得到答案.（2）確定，計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)與的夾角為，，則，將代入得，，故；（2）將代入得，故.19．(1)證明見解析；(2)±4.【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.【詳解】（1）由，，，得，，因此，且有公共點B，所以A，B，C三點共線.（2）由于與共線，則存在實數(shù)，使得，即，而是不共線，因此，解得或，所以實數(shù)k的值是.20．．【分析】由數(shù)量積的定義，轉(zhuǎn)化為，且，不共線，再結(jié)合數(shù)量積的定義以及共線向量的定理，即可列式求解.【詳解】因為，的夾角為銳角，所以，且，不共線，當(dāng)時，，得，當(dāng)，共線時，存在唯一的實數(shù)，使，即，所以，解得，所以當(dāng)時，，不共線，綜上，的取值范圍為且，即．21．(1)證明見解析(2)或【分析】（1）證明，由垂直關(guān)系的向量表示即可得證；（2）利用數(shù)量積的運算律，結(jié)合，即可得到關(guān)于k的不等式，求解即可【詳解】（1）證明：因為，且??之間的夾角均為，所以，所以向量垂直于向量；（2），所以.因為，所以，解得或.22．（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由向量共線定理即可求出；（2）由E，M，F(xiàn)三點共線，可設(shè)（），由，，可得，最后結(jié)合（1）的結(jié)論可得，問題得以證明．【詳解】（1）由A，M，D三點共線可得存