概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題集及答案-5

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作業(yè)集及答案

第1章概率論的基本概念

§1.1隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)事件

1.(1)一枚硬幣連丟3次，觀察正面H﹑反面T出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S=；

(2)一枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是：S=；

2.(1)丟一顆骰子.A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A=；B：數(shù)點(diǎn)大于2，則B=.

(2)一枚硬幣連丟2次，A：第一次出現(xiàn)正面，則A=；

B：兩次出現(xiàn)同一面，則=；

C：至少有一次出現(xiàn)正面，則C=.

§1.2隨機(jī)事件的運(yùn)算

1.設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：

(1)A、B、C都不發(fā)生表示為：.(2)A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示為：.

(3)A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為：.(4)A、B、C中最多二個(gè)發(fā)生表示為：.

(5)A、B、C中至少二個(gè)發(fā)生表示為：.(6)A、B、C中不多于一個(gè)發(fā)生表示為：.

2.設(shè)}42:{},31:{},50:{≤（1）=?BA，（2）=AB，（3）=BA，

（4）BA?=，（5）BA=。

§1.3概率的定義和性質(zhì)

1.已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?BPAPBAP，則

(1)=)(ABP,(2)()(BAP)=,(3))(BAP?=.

2.已知,

3.0)(,7.0)(==ABPAP則)(BAP=.

§1.4古典概型

1.某班有30個(gè)同學(xué),其中8個(gè)女同學(xué),隨機(jī)地選10個(gè),求:(1)正好有2個(gè)女同學(xué)的概率,

(2)最多有2個(gè)女同學(xué)的概率,(3)至少有2個(gè)女同學(xué)的概率.

2.將3個(gè)不同的球隨機(jī)地投入到4個(gè)盒子中,求有三個(gè)盒子各一球的概率.

§1.5條件概率與乘法公式

1．丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)之和為7,則其中一顆為1的概率是。

2.已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===BAPABPAP則=?)(BAP?！?.6全概率公式

1.有10個(gè)簽，其中2個(gè)“中”，第一人隨機(jī)地抽一個(gè)簽，不放回，第二人再隨機(jī)地抽一個(gè)

簽，說(shuō)明兩人抽“中‘的概率相同。

2.第一盒中有4個(gè)紅球6個(gè)白球，第二盒中有5個(gè)紅球5個(gè)白球，隨機(jī)地取一盒，從中

隨機(jī)地取一個(gè)球，求取到紅球的概率。

§1.7貝葉斯公式

1．某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過(guò)調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求（1）

該廠產(chǎn)品能出廠的概率，（2）任取一出廠產(chǎn)品,求未經(jīng)調(diào)試的概率。

2．將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，

B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3:2，若接收站收到的信息是A，問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？

§1.8隨機(jī)事件的獨(dú)立性

1.電路如圖，其中A,B,C,D為開(kāi)關(guān)。設(shè)各開(kāi)關(guān)閉合與否相互獨(dú)立，且每一開(kāi)關(guān)閉合的概率均為p,求L與R為通路（用T表示）的概率。

AB

LR

CD

3.甲，乙,丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和0.6，是否命中，相

互獨(dú)立，求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。

第1章作業(yè)答案

§1.11：（1）},,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS=；

（2）}3,2,

1,0{=S2：（1）}6,5,4,3{}5,3,1{==BA；

（2）{=A正正，正反{},=B正正，反反{},=C正正，正反，反正}。

§1.21：(1)ABC；(2)CAB；(3)CBA；(4)CBA??；(5)BCACAB??；

(6)CBCABA??或CBACBACBACBA+++；

2：(1)}41:{（4）10:{≤≤=?xxBA或}52≤≤x；（5）}41:{§1.31：(1))(ABP=0.3,(2))(BAP=0.2,(3))(BAP?=0.7.2：)(BAP)=0.4.

§1.41：(1)103082228/CCC,(2)(103082228922181022/CCCCCC）（++,(3)1-(1030922181022/CCCC）+.

2：3344/P.

§1.51：.2/6；2：1/4。

§1.61：設(shè)A表示第一人“中”，則P(A)=2/10

設(shè)B表示第二人“中”，則P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=10

29210891102=?+?兩人抽“中‘的概率相同,與先后次序無(wú)關(guān)。

2：隨機(jī)地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為：

p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45

§1.71：（1）94%（2）70/94；2：0.993；

§1.8.1：用A,B,C,D表示開(kāi)關(guān)閉合，于是T=AB∪CD,

從而，由概率的性質(zhì)及A,B,C,D的相互獨(dú)立性

P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)

424222ppppp-=-+=

2：(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；

(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章隨機(jī)變量及其分布

§2.1隨機(jī)變量的概念，離散型隨機(jī)變量

1一盒中有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球，從中隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼.,試寫(xiě)出X的分布律.

2某射手有5發(fā)子彈，每次命中率是0.4，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用X表示射擊的次數(shù),試寫(xiě)出X的分布律。

§2.210-分布和泊松分布

1某程控交換機(jī)在一分鐘內(nèi)接到用戶的呼叫次數(shù)X是服從λ=4的泊松分布，求

(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率；

(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；

2設(shè)隨機(jī)變量X有分布律：X2

3,Y～π(X),試求：

p0.40.6

（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3)已知Y≤2,求X=2的概率。

§2.3貝努里分布

1一辦公室內(nèi)有5臺(tái)計(jì)算機(jī)，調(diào)查表明在任一時(shí)刻每臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率為0.6，計(jì)算

機(jī)是否被使用相互獨(dú)立，問(wèn)在同一時(shí)刻

(1)恰有2臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？

(2)至少有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？

(3)至多有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？

(4)至少有1臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？

2設(shè)每次射擊命中率為0.2，問(wèn)至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊，才能使至少擊中一次的概率不小于0.9？

§2.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x)=??

???≥（1）求P(X≤0)；P()10≤

2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x)=?????≤>+00

01xxxAx,求（1）常數(shù)A,(2)P()21≤

§2.5連續(xù)型隨機(jī)變量

1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：?

??（3）用二種方法計(jì)算P(-0.5

2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量0≥x的分布函數(shù)為：F(x)=??

???≥xxx11ln10

(1)求X的密度函數(shù))(xf，畫(huà)出)(xf的圖形，(2)并用二種方法計(jì)算P(X>0.5).

§2.6均勻分布和指數(shù)分布

1設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布,求方程42x+4Kx+K+2=0

有實(shí)根的概率。

2假設(shè)打一次電話所用時(shí)間（單位：分）X服從2.0=α的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進(jìn)電話亭，試求你等待：（1）超過(guò)10分鐘的概率；（2）10分鐘到20分鐘的概率。

§2.7正態(tài)分布

1隨機(jī)變量X～N(3,4),(1)求P(22),P(X>3)；

(2)確定c，使得P(X>c)=P(X

2某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布，μ=160，若要求P(120

§2.8

1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為；Y=2X–1,求隨機(jī)變量的分布律。

2設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：?

??

3.設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，1）上的均勻分布，XYln2-=，求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)。

第2章作業(yè)答案

§2.11：

2：§2.21：(2)P(X≥1)=0.981684,

(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。

2：(1)由乘法公式：

P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×(22222---++eee)=22-e

（2）由全概率公式：P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)

=0.4×52-e+0.6×32

17-e=0.27067+0.25391=0.52458（3）由貝葉斯公式：P(X=2|Y≤2)=516.052458

.027067.0)2()2,2(==≤≤=YPYXP§2.31：設(shè)X表示在同一時(shí)刻被使用的臺(tái)數(shù)，則X～B(5,0.6),

(1)P(X=2)=32254.06.0C(2)P(X≥3)=544523356.04.06.04.06.0++CC

(3)P(X≤3)=1-54456.04.06.0-C(4)P(X≥1)=1-54.0

2：至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.

§2.41：（1）P(X≤0)=0.5；P()10≤

(2)X的分布律為：2：(1)A=1,(2)P()21≤§2.51：（1）2=k，（2）??

???≥xxF；（3）P(-0.5120)(5

.0005.05.05.0=+=???--xdxdxdxxf；或=F(0,5)–F(-0.5)=4

1041=-。2：（1）?

??XP§2.61：3/52：4

22)2()1(----eee

§2.71：

；(2)c=3，2：σ≤31.25。

§2.81：2：??

???=-00021)(2/yyeyfyY；

第3章多維隨機(jī)變量

§3.1二維離散型隨機(jī)變量

1.設(shè)盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黑球，從中隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球

個(gè)數(shù)，用Y表示取到的白球個(gè)數(shù)，寫(xiě)出(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。

2.設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX

試根椐下列條件分別求a和b的值；(1)6.0)1(==XP；(2)5.0)2|1(===YXP；(3)設(shè))(xF是Y的分布函數(shù)，5.0)5.1(=F。

§3.2二維連續(xù)型隨機(jī)變量

1.)(YX、的聯(lián)合密度函數(shù)為：?

??

2．)(YX、的聯(lián)合密度函數(shù)為：?

??

§3.3邊緣密度函數(shù)

1.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求X與Y的邊緣密度函數(shù)。

+∞yxyxyxf,)1)(1(1),(222π

2.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求X與Y的邊緣密度函數(shù)。

???其0

0),(xyeyxfx

§3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性

1.(X,Y)的聯(lián)合分布律如下，

試根椐下列條件分別求a和b的值；(1)3/1)1(==YP；(2)5.0)2|1(==>YXP；（3）已知X與Y相互獨(dú)立。

2.(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論X與Y是否相互獨(dú)立？

???10,10),(2yxcxyyxf

第3§3.112：(1)a=0.1b=0.3

(2)a=0.2b=0.2

(3)a=0.3b=0.1

§3.21：(1)k=1；(2)P(X§3.31：+∞+∞+∞-yydxyxyfY)1(2)

1)(1(1)(2222ππ；2：???≤>=-000)(xxxexfx

X；???≤>=-000)(yyeyfyY；

§3.41：（1）a=1/6b=7/18；(2)a=4/9b=1/9；（3）a=1/3,b=2/9。

2：c=6,X與Y相互獨(dú)立。

第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

§4.1數(shù)學(xué)期望

1．盒中有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球的個(gè)數(shù)，則EX是：

（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.

2.設(shè)X有密度函數(shù)：??

???=083)(2xxf他其42≤≤x,求)1(),12(),(2XEXEXE-,并求X大于數(shù)學(xué)期望)(XE的概率。

3.設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX

已知65.0)(=XYE，則a和b的值是：（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。

4．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求)1(,,+XYEEYEX。

??

?020,10),(yxxyyxf

§4.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1．設(shè)X有分布律：X0123則)32(2

+-XXE是：p0.10.20.30.4

（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.

2.設(shè)),(YX有?????145),(2yxyyxf，試驗(yàn)證)()()(YEXEXYE=，但X與Y不

相互獨(dú)立。

§4.3方差

1．丟一顆均勻的骰子，用X表示點(diǎn)數(shù)，求DXEX,.

2．X有密度函數(shù)：?

??+=04/)1()(xxf他其20≤≤x，求D(X).

§4.4常見(jiàn)的幾種隨機(jī)變量的期望與方差

1．設(shè))2(~πX,)6.0,3(~BY,相互獨(dú)立，則)2(),2(YXDYXE--的值分別是：

（A）-1.6和4.88；（B）-1和4；（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.

2.設(shè))3,4(~),,(~NYbaUX，X與Y有相同的期望和方差，求ba,的值。（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.

§4.6獨(dú)立性與不相關(guān)性矩

1．下列結(jié)論不正確的是（）

（A）X與Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)；

（B）X與Y相關(guān)，則X與Y不相互獨(dú)立；

（C）)()()(YEXEXYE=，則X與Y相互獨(dú)立；

（D）)()(),(yfxfyxfYX=，則X與Y不相關(guān)；

2．若0),(=YXCOV，則不正確的是（）

（A）)()()(YEXEXYE=；（B）)()()(YEXEYXE+=+；

（C）)()()(YDXDXYD=；（D）)()()(YDXDYXD+=+；

3．（YX,）有聯(lián)合分布律如下，試分析X與Y的相關(guān)性和獨(dú)立性。

－11/81/81/8

01/801/8

11/81/81/8

4．)()()(YEXEXYE=是X與Y不相關(guān)的（）

（A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。

5.)()()(YEXEXYE=是X與Y相互獨(dú)立的（）

（A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。

6.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗(yàn)證X與Y不相關(guān)，但不獨(dú)立。

???14/21),(22yxyxyxf

第4章作業(yè)答案

§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3，4/3，17/9；§4.21：D；

§4.31：7/2,35/12；2：11/36；

§4.41：A；2：B；

§4.51：0.2，0.355；2：－1/144,－1/11；

§4.61：C；2：C；3：X與Y不相關(guān)，但X與Y不相互獨(dú)立；4：C；5：A；

第5章極限定理

*§5.1大數(shù)定理

§5.2中心極限定理

1．一批元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在用，

其余29只備用，當(dāng)使用的一只損壞時(shí)，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年（8760小時(shí)）的近似概率。

2．某一隨機(jī)試驗(yàn)，“成功”的概率為0.04，獨(dú)立重復(fù)100次，由泊松定理和中心極限定理

分別求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作業(yè)答案

§5.22：0.1788；3：0.889，0.841；

第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

§6.1數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾個(gè)概念

1．有n=10的樣本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，則樣本均值X

=，樣本均方差=S，樣本方差=2

S。

2．設(shè)總體方差為2b有樣本nXXX,,,21，樣本均值為X，則=),(1XXCov?！?.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的三個(gè)分布

1.查有關(guān)的附表，下列分位點(diǎn)的值：9.0Z=，)5(21.0χ=，)10(9.0t=。

2．設(shè)nXXX,,,21是總體)(2mχ的樣本，求)(),(XDXE。

§6.3一個(gè)正態(tài)總體的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布

1．設(shè)總體),(~2

σμN(yùn)X，樣本nXXX,,,21，樣本均值X，樣本方差2S，則~/n

Xσμ

-，~/nSXμ-，∑=-niiXX122)(1σ～，∑=-niiX122)(1

μσ～，

第6章作業(yè)答案

§6.11．0646.0,254.0,57.12===ssx；2.nbXXCov/),(21=；

§6.21．-1.29，9.236，-1.3722；2．nmXDmXE/2)(,

)(==；§6.31.)(),1(),1(),1,0(22nnntNχχ--；

第7章參數(shù)估計(jì)

§7.1矩估計(jì)法和順序統(tǒng)計(jì)量法

1.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：?????≤≤=-他其0

10)(1xxxfθθ，有樣本nXXX,,,21，求未

知參數(shù)θ的矩估計(jì)。

2.每分鐘通過(guò)某橋量的汽車(chē)輛數(shù))(~λπX，為估計(jì)λ的值，在實(shí)地隨機(jī)地調(diào)查了20次，每次1分鐘，結(jié)果如下：次數(shù)：23456

量數(shù)：95374

試求λ的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)。

§7.2極大似然估計(jì)

1.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：?????≤≤+=他其0

10)1()(xxxfθθ，有樣本nXXX,,,21，求

未知參數(shù)

θ的極大似然估計(jì)。

§7.3估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1.設(shè)總體X服從區(qū)間)1,(a上的均勻分布，有樣本nXXX,,,21，證明=a?12-X是a的無(wú)偏估計(jì)。

2.設(shè)總體X～)(λπ，有樣本nXXX,,,