2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串講（北師大版）：全等三角形證明方法：半角模型（解析版）

專題07全等三角形證明方法—半角模型

基本模型:

(1)條件：如圖，正方形ABCD,NM4N=45°,

作法：在CD延長(zhǎng)線上截取OE,使得DE=BM,連接AE,

結(jié)論：Φ,ABM^ADE-,②，AMNWAEN；③BM+DN=MN.

E

A

B

(2)條件:如圖，_ABC為等邊三角形，二BDC是等腰三角形，BD=DC,ΛBDC=120o,ZEDF=60°,

作法：在AC延長(zhǎng)線上截取CG,使得CG=BE,連接OG,

結(jié)論：①二EBD冬_GCD；②/EDRFGD；③BE+CF=EF.

例題精講：

例1.已知：正方形ABCD中，NM4N=45°,NMAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC（或

它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)”，N.

（1）當(dāng)/肱W繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=Ew時(shí)（如圖1）,求證：BM+DN=MN；

（2）當(dāng)/MAN繞點(diǎn)、A旋轉(zhuǎn)到BWxZ）N時(shí)（如圖2）,則線段，DN和MN之間數(shù)量關(guān)系

是：

（3）當(dāng)NM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，猜想線段5M，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

并對(duì)你的猜想加以說(shuō)明.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BM+DN=MN;（3）DN-BM=MN,理由見(jiàn)解析

【詳解】（1）證明：如圖1,過(guò)A作AE_LMN于E,

???四邊形ABCz）是正方形，

ΛAB^AD,ND=ZABC=90°,ZfiAD=90°,

VZWW=45°,

.?.ZBAM+ZDAN=90°-45°=45°,

在，A3M和一AoN中

AB=AD

<NB=ND,

BM=DN

：.ABM^tADN(SAS),

：.AM=AN,/BAM=ZDAN=i×45°=22.5o,

2

?.?AE上MN,

ΛZNAE=-AMAN=22.5o,MN=2EN,

2

.??ZDAN=ZNAE,

?：AElMN,ND=90°,

：.DN=NE,

即BM=DN=NE,

：.BM+DN=MN；

(2)解：線段8W,DN和MN之間數(shù)量關(guān)系是BM+DN=MN,理由如下:

延長(zhǎng)C6至E,使得BE=DN,連接AE,

：四邊形ABC。是正方形，

ΛAB=AD,NO=ZAJBC=90°=ZABE,

在，ADN和，ABE中，

AD^AB

"：<ZD=ZABE,

DN=BE

：..ADN均ABE(SAS)，

：.ZBAE=ZDAN,AE=AN,

：.AEAN=ZBAE+ZBANZDAN+ZBAN=90°,

?.?ZWW=45°,

.?.ZEAM=AMAN,

：在.￡4〃和_%4加中

AE=AN

<ZEAM=ZNAM,

AM=AM

"EAMANAM,

IMN=ME,

*：ME=BM+BE=BM+DN,

BM+DN=MN,

故答案為：BM+DN=MN；

(3)DN-BM=MN,理由如下：

如圖3,在。C上截取Z)E=BW,連接AE,

由(1)知:ABM(SAS),

.?.ZDAE=ABAM,AE=AM,

：.NEAM=ZBAM+ABAE=ZDAE+ZBAE=90°,

??NMAN=45。,

：./EAN=/MAN.

在二M4N和一E4N中

AE=AM

<NMAN=NEAN,

AN=AN

：.MANaEAN(SAS),

：.EN=MN,

即DN-DE=MN,

：.DN-BM=MN.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題比較典型，具有一

定的代表性，且證明過(guò)程類似，同時(shí)通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和類比推理能力.

例2.探究：

(1)如圖1,在正方形ABef)中，E、F分別是BC、8上的點(diǎn)，且NE4F=45°,試判斷BE、DF與

E/三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；

(2)如圖2,若把(1)問(wèn)中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB=AD,ZB+ZJD=180o,E、F分

別是邊Be、Co上的點(diǎn)，且/EAF=JZBAD"，則。)問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證

2

明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）在（2）問(wèn)中，若將.AE尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、尸運(yùn)動(dòng)到3C、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3

所示，其它條件不變，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明.

圖1圖2圖3

【答案】（1）EF=BE+DF-.（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）EF=BE-DF,理由見(jiàn)解析

【詳解】解：（1）如圖1,將,AD/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使Ar）與AB重合，得到ABF',

VZE4F=45o,

.?.NE4F'=NE4b=45。，

在.AEF和“AEb'中，

AF=AF'

<NEAF=NEAF',

AE=AE

：.一AEF"AEF（SAS）,

：.EF=EF',

又EF'=BE+BF'=BE+DF,

：.EF=BE+DF；

（2）結(jié)論EF=BE+￡>廠仍然成立.

理由如下：如圖2,將.ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，使AD與AB重合，得到.ABF',

則,ADF^.ABF',

：.ZBAF'=ZZMF,AF'=AF,BF'=DF,ZABF'=ZD,

又?:ZEAF=-ZBAD,

2

：.ZEAFΛDAF+ZBAE=ZBAE+ZBAF',

/FAF=/FAF'.

又?.?ZABC+NO=180°,

.?.ZABF,+ZABE=ISOo,

：.F'、B、E三點(diǎn)共線，

在，AEF和CAEF中，

AF=AF'

<^EAF=ZEAF',

AE=AE

A￡WAEF(SAS),

：.EF=EF',

又EF=BE+BF',

：.EF=BE+DF-.

(3)發(fā)生變化.EF、BE、。員之間的關(guān)系是石尸=BE—

理由如下:如圖3,將ADF繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使A。與AB重合,點(diǎn)F落在BC上點(diǎn)尸處,得到.ABF',

：..ADF冬ABF,

：.ZBAF'=ZDAF,AF'=AF,BF'=DF,

又〈ZEAF=-ZBAD,且ZBAF'=ZDAF,

2

.?.AF'AE=ZBAD-(ZBAF'-ZEAD)=ZBAD-(ZDAF+ZEAD)=ZBAD-ZFAE=ZFAE,

即NFAE=NE4￡,

在，F(xiàn)'AE^,FAE中，

AF'=AF

<NF'AE=NFAE,

AE=AE

：.ME(SAS),

：.EF=EF',

又BE=BF+EF',

：.EF=BE-BF';

即防=BE-OE.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造出全

等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

例3.已知，如圖，在四邊形ABC。中，∕B+ND=180°,AB=AD,E,F分別是線段BC、CO上的

點(diǎn)、，且BE+FD=EF.求證：ZEAF=-ZBAD.

2

（詳解】證明：把ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ND4B的度數(shù)得到二ABG,AO旋轉(zhuǎn)到AB,AF旋轉(zhuǎn)到AG,

如圖，

ΛAG=AF,BG=DF,ZABG=ZD,ZBAG^ZDAF,

'：Zfi+ZD=180°,

，ZB+ZABG=180°,

點(diǎn)G、B、C共線，

TBE+FD=EF,

BE+BG=GE-EF,

在，AEG和.AE尸中，

AG^AF

<AE=AE,

EG=EF

；.一AEG空AEF,

：.ZEAGZEAF,

而∠J%G=NZMF,

.?.ZEAB+ZDAF=AEAF,

:.ZEAF=-ZBAD.

2

【點(diǎn)睛】本題考查J'旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角線段，對(duì)應(yīng)線段線段；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段

所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).

例4.【感知】如圖①，點(diǎn)M是正方形A88的邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且M4LAN,

易證.ABM四一ArW,進(jìn)而證得=ON（不要求證明）

【應(yīng)用】如圖②,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、Co上,且ZEAF=45°.求證：BE+ED=JEF.

【拓展】如圖③，在四邊形ABCO中，AB=AD^NBA￡>=90。，NABC+NAOC=180°,點(diǎn)E、/分

別在邊8C、CO上，且NW=45°，若80=3，EF=1.7，則四邊形的周長(zhǎng)為.

【答案】【應(yīng)用】見(jiàn)解析；【拓展】6.4

【詳解】【應(yīng)用】如圖②中，過(guò)點(diǎn)A作AG_LAE交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

圖②

???四邊形ABC。為正方形，

ΛAB=AD,ZB=NBAD=ZADC=90。.

.,.ZB=ZADG=90o,ZBAE+NEAD=90°.

,：AGlAE,：.ZDAG+ZEAD=90°.

.?.ZBAE=ZDAG.

在，ABE和cAOG中,

NB=/ADG

`AB-AD,

ΛBAE=AGAD

，.ABE^..ADG，

：.AE=AG,BE=DG.

'：ZE4F=45o,AGlAE,

：.ZE4F=ZG4F=45o.

在αE4F和cE4G中，

AF=AF

<ZFAE=ZFAG,

AE=AG

：...FAE^FAG,

：.EF=FG.

?；FG=DF+DG=DF+BE,

：.DF+BE=EF.

【拓展】如圖③中，過(guò)點(diǎn)A作4G_LAE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

VAB=AD,ZABC+ZADC=180。，ZADG+ZADC=ISOo,

.?.ZABE=ZADG,

；AGlAE,：.ZDAG+ZEAD=90°.

?.?ZBAE+AEAD=9Qo,

：.ZBAE=ΛDAG.

在，AftE和二ADG中，

ZABE=ZADG

<AB=AD,

ZBAE=ZGAD

...ABE^ADG,

.?.A￡=AG,BE=DG?

VZE4F=45o,AGVAE,

：.ΛEAF=ZGAF=45o.

在，E4E和―E4G中，

AFAF

<ZFAE=NFAG,

AE=AG

Λ^FAE^FAG，

：.EF=FG.

?.?FG=DF+DG=DF+BE,

：,DF+BE=EF.

四邊形BEED的周長(zhǎng)為EF+(3E+f>b)+OB=1.7+1.7+3=6.4，

故答案為6.4

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

由感知部分得到啟發(fā)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

例5.在等邊三角形ABC的兩邊A3、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,P為一ASC外一點(diǎn)，且

ZMPN=6。。,NBPC=I20°,BP=PC.探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM,

NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM=PN時(shí)，試說(shuō)明MN=3M+CN.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊A3、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN=BM+CN還成立螞?

答：.(請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立").

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)

系.

N

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）一定成立；（3）MN=NC-BM

【詳解】（1）證明：；.ABC為等邊三角形,

...ZABC=ZACB=MO,

'：ZBPC=?20o,BP=CP,

：.NPBC=NPCB=→(180o-120o)=30o,

.?./PBM=NPCN=90。,

在RjPBM和RtdPCN中，

JPB=PC

?PM=PN'

：.RtPBMQRtPCN(HL),

.?.ZBPM=/CPN=30°,

VZMPTV=60o,PM=PN,

.?.dPMN為等邊三角形，

.?.PM=PN=MN,

在R"PBM中,NBPM=30°,

/.BM=LPM,

2

同理可得，CN=LPN,

2

.?.BM+CN=MN：

（2）解：一定成立，

理由如下：如圖②，延長(zhǎng)AC至以使CH=BM,連接尸”，

由(1)可知：4PBM=NPCN=舒,

：.NPCH=90°,

：.ZPBM=ZPCH,

在，PBM和..PCH中,

BM=CH

?ZPBM=ZPCH,

PB=PC

：..PBMAPCHS網(wǎng),

：.PM=PH,ZBPM=ZCPH,

,/NBPM+NCPN=窗,

：.ZCPN+ZCPH=60°,

：.ZMPN=/HPN,

在「MPN和,HPN中,

PM=PH

</MPN=NHPN,

PN=PN

.?.MPNgHPN位網(wǎng),

：.MN=HN=BM+CN,

故答案為：一定成立；

(3)解：如圖③，在AC上截取CK=BM,連接PK,

在，PBM和二PCK中,

PB=PC

<NPBM=ZPCK=90°,

BM=CK

.?.PBM當(dāng)4PCK(SAS),

ΛPMPK,NBPM=NCPK,

?；ZBPM+ZBPN60°,

：.ZCPK+ΛBPN=60°,

：.NATW=60。，

：.NMPN=/KPN,

在」MPN和一KPN中,

PM=PK

<NMPN=ZKPN,

PN=PN

：..MPNaKPNe網(wǎng),

：.MN=KN,

?.?KN=NC-CK=NC-BM，

：.MN=NC—BM.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

專練過(guò)關(guān)：

1.(1)如圖①，在四邊形ABC。中，AB=AD,NB=No=90°,E,F分別是邊BC,8上的點(diǎn)，

且NE4F=1NBAO?請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,ED之間的數(shù)量關(guān)系：；

2

(2)如圖②，在四邊形ABcD中，AB=AD,NB+ND=180°,E,尸分別是邊BC,C。上的點(diǎn)，且

NEAF=LNBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；

2

(3)在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,尸分別是邊BC,CD所在直線上的點(diǎn)，且

NE4/='NBA。.請(qǐng)直接寫出線段所，BE,尸。之間的數(shù)量關(guān)系：

2

EF=FD—BE

【詳解】解：(1)如圖1,延長(zhǎng)EB到G,使BG=OE,連接AG.

?.?在_ABG與Ao廠中，

AB=AD

<ΛABG=ZADF=90°,

BG=DF

.?.,ABG^,ADF(SAS).

：.AG=AF,Zl=Z2,

.?.Z?+Z3=Z2+Z3=-ZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAEZEAF.

又AE=AE,

易證..AEGg,AEE.

/.EG=EF.

".,EG—BE+BG,

/.EF=BE+FD.

(2)(1)中的結(jié)論防=BE+FD仍然成立.

理由是：如圖2,延長(zhǎng)EB到G,使BG=DF,連接AG.

?.?NABC+NO=I80。，ZABG+ZABC180°,

：.ZABG=ZD,

。在二ABG與AADF中,

AB^AD

<ZABG=ND,

BG=DF

ΛABG^ADF(SAS).

：.AG=AF,N1=N2,

/.Zl+Z3=Z2+Z3=?ZBAD=ZEAF.

2

.*.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易證-AEGWA跖.

.,.EG=EF.

'：EG=BE+BG,

：.EF=BE+FD.

(3)當(dāng)E,尸分別是邊BC,Co上的點(diǎn)時(shí)，(1)中結(jié)論所=BE+FD成立,

當(dāng)E,F在直線BC,Co上時(shí)，如圖3,EF=BE-FDgF=FD-BE.

證明：在BE上截取BG,使BG=O/，連接AG.

VZfi+ZA∕)C=180o,ZADF+ZADC=180°,

：.ZB=ZADF.

Y在ABG與AoF■中，

AB=AD

<ZABG=ZADF,

BG=DF

，ABG^ADF(SAS).

ΛZBAGZDAF,AG^AF.

：.NBAG+ZEAD=ZDAF+NEAD=ZEAF=-NBAD.

2

，ZGAEZEAF.

φ.*AE=AE,

：.AEGmAEF(SAS).

.?.EG=EF.

?：EG=BE-BG,

：,EF=BE-FD.

同理可得：.?.EG=EF,

■:EG——BG—BE,

.?.EFFD-BE.

故答案為：(I)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD—BE.

圖3

E

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AF=AG是解題關(guān)鍵，再利用全等三

角形的判定與性質(zhì)得出EF=EG,本題的4個(gè)問(wèn)題運(yùn)用了類比的方法依次解決問(wèn)題.

2.如圖，在四邊形ABcr)中，AB=AT>,NB+/0=180°，點(diǎn)E，尸分別是8C，S上的

若NE4F=55°,求NBAD的度數(shù).

【答案】IlOo

【詳解】解：延長(zhǎng)尸。到G使Z)G=BE,連接4G,如圖,

VZB+Zr>=180o,ZADG+ZD=180°,

：.NB=ZADG,

在，ABE和&ADG中，

AB=AD

<NB=ZADG,

BE=DG

.?..ABE空ADG(SAS),

ΛAE^AG,/BAE=/GAD,

:EF=BE+FD,

：.EF=DG+FD=GF,

在，AE廠和cAG∕7中，

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

：..AEF^AGF(SSS),

：.ZE4F=N∕?G=55°,

?.?NBAE=NGAD,

：.ZBAD=ZEAG=2ZEAF=110°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建

ABE絲ADG.

3.已知四邊形ABC。是正方形，M、N分別是邊BC,C。上的動(dòng)點(diǎn)，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4cm.

DNCDNC

①②

(1)如圖①，。是正方形ABcD對(duì)角線的交點(diǎn)，若OM上ON,求四邊形MQVC的面積;

(2)如圖②，若NMAN=45°,求_/。'的周長(zhǎng).

【答案】(1)4cm2；(2)8cm

【詳解】(1)解：?；四邊形ABC。是正方形，

ΛOC=OB,ΛDCO=ZCBO=45°,/COB=90°,

'：OMlON,

：.ZNOM=90°,

：.ZCOB-ZCOM=ZNOM-ZCOM,

.?.NCoN=ZBoM,

；在-CON和-BOM中,

ZNCO=ZMBO

<OC=OB

ZNOC=4M0B

.?..CON沿BoM(ASA),

??SCON=SBOM,

,,

S四邊形McWC=S.CON+S.COM=SBoM+SCOM~COB~S正方形ABeD--×4×4=4CΓΠ^

故四邊形MONC的面積是4cm2.

(2)解：延長(zhǎng)CB到。，使BQ=DN,連接AQ,

：四邊形ABC。是正方形，

，AD=AB,ΛD=ZDAB=ΛABC=ZABQ=90°,

T在.45N和ABQ中，

AD^AB

<ZD=ZABQ,

DN=BQ

.?..ADN均ABQ(SAS)，

：.ZDAN=ZBAQ,AN=AQ,

VADAB90°,ZMAN=45°,

：.ΛDAN+ZBAM=45°,

，NQAB+NBAM=45°,

即ZMAN=ZMAQ,

T在，M4N和一MAQ中,

AN=AQ

<NNAM=ZMAQ,

AM=AM

二.MANRMAQ,

：.MN=MQ=DN+BM,

.?.^MCN的周長(zhǎng)是：CN+MN+CM=CN+DN+BM+CM=DC+BC=4+4^8cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是考查學(xué)生的推理能力，題目具

有一定的代表性，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度.

4.（1）閱讀理解：

如圖①，在-ABC中，若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線的取值范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：

延長(zhǎng)A0到點(diǎn)E使DE=Ar>,再連接6E,這樣就把AB,AC,24）集中在ZABE中，利用三角形三

邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AO的取值范圍是；

（2）問(wèn)題解決：

如圖②，在ABC中，。是BC邊的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,。/交AC于點(diǎn)F,連

接EE,此時(shí)：BE+CFEF（填“>”或“="或“<”）；

（3）問(wèn)題拓展：

如圖③,在四邊形ABC。中，ZB+ZT>=180°,C3=CD,ZBCz）=I40°,以C為頂點(diǎn)作NEb=70°,

邊CE,CR分別交A5,AD于E,F兩點(diǎn),連接七尸，此時(shí)：BE+DFEF（填“>”或“=”

或"V"）；

（4）若在圖③的四邊形ABCD中，ZECF=α（0o<σ<90o）,ZB+ZD=180o,CB=CD,且（3）

中的結(jié)論仍然成立，則/BCD=（用含α的代數(shù)式表示）

圖①圖②圖③

【答案】(D2<AE<8,IVACX4；(2)>；(3)=；(4)Ia

【詳解】解：(1)在4Aoe與,一瓦舊中，

CD=BD

<ZCDA=NBDE,

AD=DE

二ADC也.EOB(SAS),

二BE-AC—31

在，ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即2VAEV8,

.?.2<2AZX8,

二KAEX4,

故答案為：2VAEV8；IVADV4；

(2)如圖，延長(zhǎng)EO至點(diǎn)G,使。G=DE,連接BG,EG,

：點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

.".DB-DC,

VABDG=ACDF,DG=DF,

.?.BDGaCDF(SAS),

.?.BG=CF,

?：DE±DF,DG=DF,

：.EF=EG，

在dBEG中，BE+BOEG,

：.BE+CF>EF,

故答案為：>；

(3)BE+DF=EF,

如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)G,使BG=JDE,連接CG,

：ZABC+ND=180o,ZABC+ZCBG=180°,

NCBG=ZD,

又?：CB=CD,BG=DF,

：.,CBGWCDF(SAS),

.?.CG=CF,ZBCG=ZDCF,

?.?ZfiCQ=140。，NEcR=70。，

/DCF+NBCE=70。,

：.ZBCG+ZBCE=70°,

：.NECG=NFeE=70。，

又?：CE=CE,CG=CF,

LECGgECF(SAS),

.?.EG=EF,

'.'BE+BG=EG.

,BE+DF=EF,

故答案為：=；

(4)由(3)同理可得一CBGg二CDF,

ΛCG=CF,ABCG=ZDCF,

若BE+DF=EF,

則EG=M,

.,.一ECG-ECF（SSS,

.,./ECG=/ECF,

：.∕BCD=2∕ECF=2a,

故答案為：22?

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線

的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，正方形ABCr）中，M為BC上除點(diǎn)8、C外的任意一點(diǎn)，_AMN是等腰直角三角形，斜邊AN與

CD交于點(diǎn)、F,延長(zhǎng)AN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接M/、CN.

（1）求證：BM+DF=MF?,

（2）求NNCE的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）45°

【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)C。至G使。G=BM,

在.Ar）G與，中，

AD=AB

<ZADG=NABM,

DG=BM

-ADG-ABM（SAS）,

?,.AG=AM,

又,：AMN為等腰直角三角形，

：.ZMAN^45°,

：.NE4D+NM43=45°,

：ADAG=ABAM,

：.ZGAF=ZFAD+ZDAG=45°,

.?./GAF=/MAN,

在二AFG與，中,

AG=AM

<ZGAF=NMAN,

AF^AF

.?..AFG^AFM(SAS),

.?.MF=GF,

又,：GF=GD+DF,GD=BM,

：.BM+DF^MF-,

(2)解：過(guò)點(diǎn)N作NH上EB于點(diǎn)H,

ZAMB=180°-ZAMN-ZNMH=90o-ANMH=AMNH,

在，AHAT與MHN中,

ZABM=NMHN

<ZAMB=NMNH,

AM=MN

：.,ABM均MHN(AAS),

ΛAB=MH,BM=NH,

?：CH=MH-MC=AB-MC=BC-MC=BM=NH，

.?.一CN”是等腰直角三角形，

.?.ZNCE=ZNCG=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形，

然后確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

6.在等邊CABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、M。為二ABC外一點(diǎn)，且NMDN=60。，

NBDC=120°,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線A3、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的

數(shù)量關(guān)系及一AMN的周長(zhǎng)。與等邊一ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.

(1)如圖1,一ABC是周長(zhǎng)為9的等邊三角形，則-AMN的周長(zhǎng)Q=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且OM=Z)N時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系

是；此時(shí)—；

L

(3)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)。MoON時(shí)，猜想(2)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想

并加以證明.

【答案】(1)6；(2)NC+BM=MN,?=?；(3)仍然成立，理由見(jiàn)解析

L3

【詳解】(1)解：如圖2,延長(zhǎng)AC至E,使CE=BM,連接DE,

：.BD=CD,且NBOC=120。，

，NDBC=ZDCB=∣×(180o-120o)=30o,

又?；_ABC是等邊三角形，

.?.ZMBD=ZNCD=90。,

在.MBZ)和一ECD中，

BM=CE

<ZMBD=NECD,

BD=CD

：..MBD^ECD(SAS),

：.DM=DE,ΛBDM=ZCDE.

：.ΛEDN=ZBDC-AMDN=60°.

在.MDN和.EDN中,

DM=DE

<ZMDN=NEDN,

DN=DN

.LMDN-ErW(SAS),

：.MN=NE=NC+BM,

?；_AMN的周長(zhǎng)

Q=AM+AN+MN^AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC^2AB,

等邊ABC的周長(zhǎng)L=3A3=9,即A8=3,

則Q=6；

(2)解：如圖，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系NC+BM=NW.

此時(shí)2=2；

L3

(3)猜想：(2)中的結(jié)論仍然成立，

證明：如圖，延長(zhǎng)AC至E,使CE=BM,連接DE,

：BD=C。，且ZBoC=I20°,

/.NDBC=ZDCB=gX(180?！?20。)=30。，

又Y-ABC是等邊三角形，

.?.ΛMBD=ZNCD=90°,

在，。和qEC￡)中，

BM=CE

<ZMBD=NECD,

BD=CD

：..MBD^.ECD(SAS),

：.DM=DE,/BDM=/CDE.

：.ZEDN=/BDC-AMDN=60°.

在-MDN和一EDN中,

DM=DE

<ZMDN=NEDN,

DN=DN

.??.MDNaEDNG網(wǎng),

：.MN=NE=Ne+BM,

,:」AMN的周長(zhǎng)

Q=AM+AN+MN^AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC^2AB,

等邊-ABC的周長(zhǎng)L=3AB,

哈方

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全