2023年高考數(shù)學練習壓軸題（新高考版）05 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究單調(diào)性（含參）問題）（解答題壓軸題） （解析版）

專題05一元函數(shù)的導數(shù)及其應用

(利用導函數(shù)研究單調(diào)性(含參)問題)

利用導函數(shù)研究單調(diào)性(含參)問題

①導函數(shù)有效部分為一次型(或類一次型)

②導函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型(或類二次型)

③導函數(shù)有效部分為不可因式分解的二次型

①導函數(shù)有效部分為一次型(或類一次型)

角度1：導函數(shù)有效部分為一次型

1.(2022,吉林吉林?模擬預測(文))已知函數(shù)/(x)=lnx+αr(a∈R).

判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

解/(x)=InX+αr的定義域為(0,+8),f(χ)=g+α=上詈

當.≥O時，f'(x)>0恒成立，F(xiàn)(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當“<0時，令(x)>0,0<X<—.令X)<0,X>--,

所以/(x)在(0,上單調(diào)遞增，在［-),+8)上單調(diào)遞減.

綜上,當a≥0時,f(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增;

當“<0時，“X)在(θ,上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減.

2.(2022?江蘇南通?高二期中)已知函數(shù)/(x)=?∣Tnx,g(x)=e"+sinx(α∈R)

討論函數(shù)〃X)的單調(diào)性；

解由題意知：“X)定義域為(0,+功，==

當α≥0時,/'(x)<0恒成立，???∕(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當°<0時，令r(x)=o,解得：χ=-a.

.?.當Xe(O,-α)時，∕,(χ)>0;當x∈(-α,+∞)時，∕,(x)<0;

???∕(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增，在(-α,+∞)上單調(diào)遞減；

綜上所述：當α≥0時，"x)在(0,+紇)上單調(diào)遞減；當"0時，在(0,-α)上單調(diào)遞增，在(-α,y)

上單調(diào)遞減.

3.(2022?廣東凍涌中學高二期中)已知函數(shù)/(x)=x->Hnx(其中”為參數(shù)).

求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：

解山題意得：“X)定義域為(0,+8),/(x)=l-q=?f;

當040時，r(χ)>o,則“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當”>0時，令X)=0,解得：X=a.

當x∈(0,α)時，/"(x)<0;當x∈(α,+∞)時，/'(x)>0;

/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?,+8);單調(diào)遞減區(qū)間為(OM);

綜上所述：當α≤0時，〃力的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+"),無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，的單調(diào)

遞增區(qū)間為(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(OM).

4.(2022?全國?高三專題練習(文))已知函數(shù)/(x)=Or—l-lnx(α∈R).討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

/'(%)=ɑ-??^-?,(x>0).

當“V0時，ax-KO,從而f'(x)<O,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；當”>0時，若O<x<L

a

則Or-I<0,從而/'(x)<0,若x>J則以一1>0,從而/'(x)>0,從而函數(shù)在上單調(diào)遞減,

在(一,+8)上單調(diào)遞增.

5.(2022?全國?高三專題練習(文))設函數(shù)〃X)=In?r+E討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

解：因為f(x)=lnx+E，定義域為(O,+s),

所以r(x)=+/.

①當α≤0時，/'(x)>0,故〃x)在(0,+司上單調(diào)遞增；

②當。>0時，若Xe(O,則/'(x)<0,若xe(g+8),則((χ)>0,

.?.”X)在(0,上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

???綜上，當α≤0時，"X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當α>0時，/(x)在(θ,?∣)上單調(diào)遞減，在(?,+8)上單調(diào)遞增.

角度2：導函數(shù)有效部分為類一次型

1.(2022?河南駐馬店?高二期中(理))己知函數(shù)/(x)=e"-6+α,“為常數(shù).

討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

解：因為/(x)定義域為R,f?x~)=e-a,

當α≤0時,∕,(x)>0,則在R上單調(diào)遞增,

當.>O時，由/'(X)=O解得X=Inα,

Xe(ro,Inα)時，∕,(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，

X∈(Inα,+8)時，/,(X)>0,/(x)單調(diào)遞增

綜上知：當a≤0時，/(x)在R上單調(diào)遞增，

當”>0,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,lnα),單調(diào)遞增區(qū)間為(Ina,+⑼.

2.(2022?山東?德州市教育科學研究院高二期中)設函數(shù)/(x)=e儂—x,a∈R.

討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

【解析】

/(x)的定義域為R,f'(x)=a^-?

當α≤0時，f'(x)<O,故"力在R上遞減.

當”>0時，令/'(x)>0得x>-等，令/'(x)<0得x<一等

綜上可知：“V0時，f(χ)在R上單調(diào)遞減

α>0時，f(x)在18,-等)上單調(diào)遞減，在卜等,+∞∣單調(diào)遞增

3.(2022?四川德陽三模(文))已知函數(shù)"x)=e"+αr+”,判定函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

【答案】⑴當“≥0時，函數(shù)在R匕單調(diào)遞增；當。<0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln(-a),κo),單

調(diào)遞減區(qū)間為(-8,ln(-α));

解：由題得f'(x)=e'+α,

當α≥0時，/'(X)>0,所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

當“<0時，令e*+α>O,所以x>ln(-α),令e*+α<0,所以x<ln(-α),

所以此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln(-a),+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,ln(-a)).

綜上所述，當α≥0時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當。<0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln(-α),田)，單

調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,ln(-α)).

4.(2022?湖北武漢?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=x(l-"lnx)+l(aeR).討論/(x)的單調(diào)性；

因為/(x)=x(l-olnx)+l,定義域為(0,+∞),所以」'(x)=l-α-αlnx.

①當”>0時，令r(x)=l-α-αlnx=0olnx=匕凹，解得詈

ax-e

(?-a?(?-a\

即當Xe0,e^時，/'(x)>0"(x)單調(diào)遞增：當Xee^,+∞時，/(x)<0,∕(x)單調(diào)遞減；

②當a=O時f'(x)=l>O,∕(x)在(O,+∞)單調(diào)遞增;

③當。<0時令/'(X)=I-C-“InX=O=InX=^,解得χ=e?i

I-A、

即當x∈0,e"時,/(x)<0"(x)單調(diào)遞減；當XGe^,+∞時，f(x)>O,f(x)單調(diào)遞增:

/

(Lfi

綜上：當.>0時，F(xiàn)(X)在0,e^7單調(diào)遞增，在e",+8單調(diào)遞減;

當α=O時，/(x)在(O,+∞)單調(diào)遞增;

當α<0時,/(χ)在0,eλ單調(diào)遞減，在ev,+∞單調(diào)遞增.

\7

5.(2022?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(α+l)e*+?-3,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R?討

論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

_(a+↑)e2x-a

函數(shù)“X)的定義域R，求導得：r(x)=(α+l)e-=

若a<T,由("+"e",得Am后

尸⑺=-k-

/

時，∕,(x)>0,當Xe+oo]

當尤W-co,In時，/'(x)<0,

上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減,

則/(x)在7,In

若T≤α≤0,則對任意x∈R都有f'(x)>O,則F(X)在R上單調(diào)遞增,

+°0)時'/'(x)>°'

若4>0,當Xe-∞,1∏時,r(χ)<o,當XG

上單調(diào)遞減，在，后+8)上單調(diào)遞增,

則/(x)在T30Jn

上單調(diào)遞增，在3信+8)上單調(diào)遞減;

所以，當時，/(x)在∣-∞,ln

當T≤α≤0時，/(x)在R上單調(diào)遞增;

上單調(diào)遞減，在[E信+8)上單調(diào)遞增.

當α>0時，/(x)在-∞,ln

②導函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型(或類二次型)

角度L導函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型

1.(2022?陜西?寶雞中學模擬預測(文))已知函數(shù)/(x)=gαr2-(2a+l)x+21nx(α∈R)

⑴當α=T時，求f(χ)在點(IJ(I))處的切線方程;

⑵當a>0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】⑴4x-2y-3=0(2)答案見解析

(I)W-:當α=T時，/(x)=-Jx2+x+21nx,

2

所以rα)=-χ+ι+J

X

所以「⑴=2,"l)=g,

故/(X)在點(Ij(I))處的切線方程是y-；=2(x-l),即4x—2y-3=0；

(2)解：因為〃X)=gαχ2-(2α+l)x+21nx定義域為(O,+"),

所以/'(X)=OX-(2α+l)+2=(,7)8-2),

XX

因為α>0,

當0<L<2,即當時，由/'")>0,解得0<x<,或χ>2,

a2a

■總時’rcJ/小I)Z。恒成立,

X

當1>2,即當0<α<!時，由f'(x)>O,解得OeXV2或x>L,

a2a

綜上，當.>g時，/S)的遞增區(qū)間是[θ,1),(2,+∞),

當α=g時，/U)的遞增區(qū)間是(0,+∞),

當0<〃<；時，/(X)的遞增區(qū)間是(0,2),(J+00)；

2.(2022?安徽?安慶一中高三階段練習(文))已知函數(shù)"x)=21∏Λ-(2-α)x-gα√.討論/(x)的

單調(diào)性；

【答案】函數(shù)/(x)的定義域為(0,-)?

r(x)=2-(2-α)-ατ=L[2-(2-α)x-0r2]=_■-(x-l)(ar+2).

當.??0時，若O<x<l,IjliJf?x)>0：若χ>l,則f'(x)<OJ(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，在(l,+∞)單

調(diào)遞減.

當。=一2時J'(力?.0,/⑴在(O,M)單調(diào)遞增.

222

當一2vαv0時，一,>1,若0v%vl或x>—,,貝IJr(X)>0；若1<%<一,，則/?x)vO.

所以“χ)在區(qū)間(0,1)，(-：，+8)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,_I)單調(diào)遞減.

222

當.<-2時，O<-,<l,若O<x<-,或x>l,則用x)>0；若-,<x<l,則用X)V0.

所以“X)在(o,-?∣}(ι,+s)單調(diào)遞增，在,*1)單調(diào)遞減.

綜上所述，α.0時，“X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(l,+∞)單調(diào)遞減.α=-2時，/(x)在(0,+∞)單調(diào)遞

增.

—2<a<0時，“X)在單調(diào)遞增，在(l,f單調(diào)遞減.“<-2時，f(x)在(θ,-?∣),

(1,4W)單調(diào)遞增，在卜?∣,11單調(diào)遞減.

3.(2022?黑龍江?海倫市第一中學高二期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+]χ2-(α+i)χ(αwR),

g(x)=/(x)-IX2+(α+l)χ.討論/(X)的單調(diào)性.

■依一■〃,/、1/?、(ΛX-1)(X-1)八、

【答案】/(X)=—+奴-3+1)=----------------(Z?>0).

XX

當“V0時，ax-KO,令f'(x)>O,得OcXC1；令f'(x)<O,得x>l.

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+∞)上單調(diào)遞減.

當0<1<l,即α>l時，令ιf(x)>(),得O<x<L或χ>l:令((x)<0,得L<x<l.

aaa

所以/(X)在(0，)，。,+8)上單調(diào)遞增，在(Jl)上單調(diào)遞減.

當4=1,即α=l時，F(xiàn)'(x)20恒成立，所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

a

當L>l,即()<“<l時，令/'(x)>0,得0<x<l或x>,:令/'(X)<O,得l<x<L.

aaa

所以/(X)在(0,D,1),+∞)上單調(diào)遞增，在[1,￡|上單調(diào)遞減.

綜上所述，

當“MO時，/(X)在(Oj)上單調(diào)遞增，在(l,+∞)上單調(diào)遞減：

當0<“<l時，/(x)在(0,1),匕單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當。=1時，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當α>l時，/(x)在(o,：),(l,+∞)上單調(diào)遞增，在(：/)上單調(diào)遞減；

4.(2022?江蘇省蘇州實驗中學高二期中)已知函數(shù)〃x)=g-/+(2-l]x,其中MeR.討論函

m?m)

數(shù)yw的單調(diào)性；

【答案】

/㈤的定義域為(O,+8),依題意可知，"2≠0,

、Ir2-2∕HY2+(2-∕n)x÷l(2x+l)(-/m;+l)

f(X)=---2x+11=-----------------=---------------,

!wemJWCmx

當機＞o時，由r(x)＞。，^o＜χ＜-f由rɑ)vo,得工＞,，

mm

所以，(X)在(0」)上單調(diào)遞增，在(工,+8)上單調(diào)遞減.

mm

當機＜0時，由f'(χ)＜O恒成立，所以F(X)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞減,

綜上所述：當機＞0時，/(χ)在((),)上單調(diào)遞增，在(工,+8)上單調(diào)遞減；當機＜0時，f(χ)在定義

mm

域(0,+8)上單調(diào)遞減.

5.(2022?河北?滄縣中學高二階段練習)已知函數(shù)/(x)=lnx-2x,a∈R.

⑴求"x)在x=l處的切線方程；

(2)設g(x)=f(x)-0χ2+αx,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

【答案】(i)y=-χ-i:(2)答案見解析.

(1)因為f(x)=lnx-2x,則/(1)=一2,

所以尸(X)=I-2,在χ=l處==

在X=I處切線方程：y+2=-(x-l),E!∣J>'=-x-l.

(2)因為g(x)=∕(x)-辦2+ax=?nx-ax2+(Λ-2)X,

所以g，(X)=_3+122x7)(X>0),

①若.≥0,則當Xe(0,J時，g<x)>0,g(x)在(。，￡|上單調(diào)遞增;

當xe(；，+8)時，g?x)＜0,g(x)在，,+8)上單調(diào)遞減.

”(XH—∣(2x—1)

②若"0

g，(X)=------(x>o)

當α<-2時，在(0,-：)和(；,+8)」二g4x)>0,在上g&x)<0,

所以g(x)在(θ,-J和上單調(diào)遞增，在1%上單調(diào)遞減:

當α=-2時，ggx)3()恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

當-2</<0時,在(0,；)和(-5+∞)上g?x)>O,在上g")<0,

所以g(x)在(0,；)和(-：,+Q)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，a≥0,8(力在(。,；)上單調(diào)遞增，在(；，+8)上單調(diào)遞減；

-2<a<0,g(x)在和(-5+∞]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

a=-2,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

α<-2,g(x)在(θ,-j和(g,+8)上單調(diào)遞增，在1]j上單調(diào)遞減.

6.(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模(理))已知函數(shù)f(x)=S+l)lnx+W^+x

討論/(x)的單調(diào)性；

解：由題意可得“X)的定義域為(0,—)

f'(x\=￡11_4+2+1=?+("+∣)x-(α+2)=[x-(-α-2)](X-I)

xX2X2X2

①當—a—2=1時，即α=-3,/(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

②當-。-2>1時，即av-3,

xe(0,l)時，∕,(x)>0,/(X)單調(diào)遞增：

x∈(l,-α-2)時，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

x∈(-α-2,-κo)?,Γ(x)>O,/(x)單調(diào)遞增；

③當0<—。一2<1時，βP-3<o<-2,

Xe(O,-“一2)時，∕,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

X∈(F-2,1)時,f(x)<0,“X)單調(diào)遞減,

xe(l,+∞)時，∕,(x)>0,F(X)單調(diào)遞增,

④當一"-2≤0時，即4≥-2,

Xe((U)時，f'(x)<O,f(x)單調(diào)遞減,

x∈(l,+∞)時，f,(x)>O,/(x)單調(diào)遞增；

綜上可得：

當α<-3時，〃力在(0,1)和(一。一2,M)上單調(diào)遞增，在(1,—a—2)上單調(diào)遞減;

當a=-3時，〃x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當一3<a<-2時，"x)在(0,-a-2)和(l,+∞)上單調(diào)遞增，在(-a-2,l)上單調(diào)遞減;

當“≥-2時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,欣)上單調(diào)遞增;

角度2：導函數(shù)有效部分為可因式分解的類二次型

1.(2022?湖北?新春縣第一高級中學模擬預測)已知函數(shù)/")=6*+￡-(“-1)》-2(^^1t)求函數(shù)

/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】由題意，得/，(x)=ejm_(q-I)=(e'+1(eJα),XeR

當α≤0時，/'(x)>0恒成立，所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

當4>0時，由/'(x)>0,得x>lnα,由∕^'(x)<0,得x<lnα,

所以/(x)在(T?,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,÷oo)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當α≤0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間，

當α>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,lnn),單調(diào)遞增區(qū)間為(ln",+s)；

2.(2022?遼寧?高二期中)已知函數(shù)/(x)=(x-3)e*-g0√+2αx+4.

(1)當a=l時，求/(x)零點的個數(shù)；

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

【答案】⑴有3個零點；⑵答案見解析.

(1)當a=l時?，/(x)=(x-3)er-^x2+2x+4,

則r(x)=(x_2)e*_x+2=(x_2)e*_l),

由T(x)>O,得x<0或x>2,由r(x)<。,得0<x<2,

則/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(-8,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，

因為〃_2)=_二_2<0,/(0)=-3+4=l>0,/(2)=-e2+6<0,/(3)=-→10^-^>0,

e22

所以/(X)有3個零點.

(2)由題意可得尸(X)=(X-2)e*-αr+24=(x-2)(e*-α),

①當α≤0時,?∕,(x)>0,得x>2,?∕,(x)<0,得x<2,

則/(x)在(一8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

②當0<“<e。時，由/'(x)>0,得x<l次Z或犬>2,由/'(x)<0,得Ina<x<2,

則/(x)在(IM2)上單調(diào)遞減，在(-8,Ina)和(2,+8)上單調(diào)遞增，

③當〃=e?時，/'(x)≥0恒成立，則/(x)在(-8,+oo)上單調(diào)遞增，

④當心e?時，由/'(x)>。，得x<2或x>ln",由/'(x)<0,得2<x<ln",

則/(x)在(2,IM)上單調(diào)遞減，在(-8,2)和(Inα,+8)上單調(diào)遞增，

綜上，當α≤OE?,/(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

當O<α<d時，當功在(IM2)上單調(diào)遞減，在(-8,Ina)和(2,+?>)上單調(diào)遞增;

當α=e?時，/(x)在(-8,+o°)上單調(diào)遞增；

當α>e?時，f(x)在(2,Ina)上單調(diào)遞減，在(-g,2)和(Ind+°o)上單調(diào)遞增.

3.(2022?遼寧?東北育才學校高二期中)已知函數(shù)/(x)=(；e，+，e*-(a+l)x

討論/(x)的單調(diào)性；

【答案】

〃x)=(；e'+“e，-(a+l)x的定義域為R,∕,(x)=(e'-l)(e'+?+1).

i.當心1時，e'+α+l>0.令/'(x)>0,解得Xe(O,+∞);令f(x)<0,解得xe(-∞,0).

所以/(x)的單增區(qū)間為(0，+8),單減區(qū)間為(-∞,0).

ii.當α<-l時,令f(x)=O,解得：X=O或x=ln(-α-l).

(i)當In(H-I)=O,即α=-2時，r(x)=(e'-lf≥O,所以/(x)在(q,+8)單增.

(ii)當ln(-α-l)>0,即α<-2時,由/'(x)>0解得：x∈(-^,θ)u(ln(-a-l),+∞)；由f'(x)<O解得:

x∈(0,ln(-a-1)).所以F(X)的單增區(qū)間為(v,0),(ln(-a—1),E)J(X)單減區(qū)為(Ojn(-0T)).

(iii)當ln(∕-l)<0,即-2<“<-l時,由f'(x)>O解得：尤e(-∞,ln(-a-I))”0,4w)：由/'(x)<0解得：

Xe(In(-4-1),0).所以/(力的單增區(qū)間為(-00,111(-61-1)),(0,+00),/(x)的單減區(qū)間為

(ln(-a-l),θ),

4.(2022?湖北荊州?高二期中)已知函數(shù)f(x)=(x-a-l)ei-gχ2+ar(χ>o).討論八司的極值.

【答案】

因為/(x)=(x-β-l)e'^l-^x2+ar(x>0),

所以尸(X)=(X-祖e、T-I)(X>0).

令/'(x)=0,得X=?；騲=l.

①當“M0時，由f'(x)>O,得x>l,?∕,(x)<0,得OeXCL

則/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,E)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有極小值/(1)=-；,沒有極大值.

②當OVaVI時，由/'(x)>0,得0<x<a或x>l,由/'(x)<0,得avxvl?

則/(力在(〃4)上單調(diào)遞減，在(OM)和(l,+∞)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有極大值f(a)=g∕-e"τ,極小值/⑴=-g.

③當a=1時,f'(x)>O恒成立,

則/(力在(0,+8)匕單調(diào)遞增，函數(shù)無極值.

④當α>l時，由f'(x)>O,得OCXVl或x>",由f'(x)<O,得IVXV”.

則/(x)在(1,G上單調(diào)遞減，在(0,1)和(",+∞)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有極大值/(1)=-；,極小值/(α)=g∕-e"τ.

綜上，當α≤0時，函數(shù)有極小值/⑴=-g,無極大值；

當O<α<l時，函數(shù)有極大值/(α)=g∕-e"τ,極小值/⑴=-；；

當α=l時，函數(shù)無極值；

當”>1時，函數(shù)有極大值/(l)=-g,極小值-e"τ.

5.(2022?浙江?羅浮中學高二期中)己知函數(shù)/(x)=e2?t+(2-2)e-H.其中％為實數(shù).

(1)當々>0時，若f(x)兩個零點，求k的取值范圍；

(2)討論f(x)的單調(diào)性.

【答案］⑴0<(<1(2)答案不唯一,具體見解析

(1)W：因為/(x)=e2'+(攵-2)e'—依，x∈R,k>0

所以r(x)=2e2"+("2)e-Z,

令尸(X)=(2e*)(eT)=0得e*=l或e`=J(舍去)，

所以當x<0時/'(x)<0,當x>0時/'(x)>0

故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(f,O)上單調(diào)遞減，/(χ)trin=∕(o)=%τ,

/\僅—1<0

要使“X)有兩個零點，則/(XLl<°，即i,n，解得0<%<l,

［化>U

/.0<?<l.

(2)解:由(1)得f'(尤)=2e2*+(02)e'-%,

xt

令f?x)=(2e+Z)(e'_1)=0解得e'=l≡e=-∣.

當一ge(0,l)時，即Ze(—2,0)

XB,?0ln(4)N-別0(o,+∞)

/'(X)+0——0+

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為10In1到和(0,+<x>),單調(diào)遞減區(qū)間為卜十加

當-g=l時，即％=_2,r(x)≥O恒成立，所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為R.

當一］>1時，即A<—2>

(-8,0)ojnln

XO((-O(4)

∕,(-r)+O——O+

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(y,0)和「n,S，+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,In

當k≥0時，

Xx<0Ox>0

/'(X)—O+

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0).

6.(2022?浙江省杭州第二中學高二期中)已知函數(shù)/(x)=e2'-(α+2)e*+αr(a>0).

設0<α<2,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

【答案】⑴單調(diào)增區(qū)間是(-∞,In和(0收)，單調(diào)減區(qū)間是卜哆0)

山題意，函數(shù)/O)=e2'-(α+2)et+ax(a>0),則f'{x}=2e2t-(a+2)ev+a=(2e'-?)(eA-1),

當0<α<2時，P∣∣J-<1,令/”(x)>0,解得x>0或x<ln^;令f(x)<O,解得，ln?<%<O.

222

故/(x)的單調(diào)增區(qū)間是卜巴Inl)和(0,+8),單調(diào)減區(qū)間是［n}θ).

19

7.(2022?全國?模擬預測)已知函數(shù)"x)=x(InX-I)-y(InXy+

討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

【答案】

山題意得/U)的定義域為(o,+8),尸(力=1±二？吧，

令/'(X)=0,得X=I或x=",

①若O<α<l,則當Xe(OM)時，f'(x)>O,f⑺在(OM)上單調(diào)遞增;

當x∈(α,l)時,∕,(x)<0,f(x)在(a,l)上單調(diào)遞減；

當x∈(l,+α))時,∕,(x)>0,/(x)在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增.

②若。=1，則r(x)20(當且僅當X=I時取"="),"X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

③若α>l,則當Xe(0,1)時，∕,(x)>0,“X)在((U)上單調(diào)遞增；

當x∈(l,α)時，∕,(x)<0,f(x)在(La)上單調(diào)遞減;

當xe(a,+∞)時，∕,(x)>0,/(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當0<α<l時，"x)在(0,α),(1,物)上單調(diào)遞增，在(a,l)上單調(diào)遞減；

當a=l時，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當”>l時，/(x)在(0,1),(4,+∞)上單調(diào)遞增，在(La)上單調(diào)遞減.

8.(2022?安徽師范大學附屬中學模擬預測(理))已知函數(shù)〃X)=InX卜-6α(lnx-l)x,a

為常數(shù)，^^兒討論函數(shù)〃》)的單調(diào)性；

【答案】

/(X)=HΠΛ--∣L2

-6Q(1ΠX-I)X

.?.f,(x)=2(x-3a)Inx且x∈(0,+∞)

當α≤0時，在x∈(0,l)±ff(x)<0,x∈(l,+∞)?f?x)>0,

當O<α<g時，在x∈(0,30)±f,(x)>0,x∈(3α,l)±f,(x)<0,x∈(l,+∞)?f,(x)>0,

當時，?x∈(0,+∞)±∕,(x)>0,

1

當

>-時

3f?x∈(O,I)上/(x)>O,x∈(l,30)上/(x)<O,x∈(30,+∞)±f(x)>O,

綜上,α<0時/S)在(0,1)上遞減,(l,-κo)上遞增，

0<a<；時/(χ)在(0,3α)上遞增，(3a,l)上遞減，(l,+∞)上遞增，

時/(x)在(0,+∞)上遞增，

a>∣時/S)在(0,1)上遞增，(l,34)上遞減，(3。,用)上遞增

③導函數(shù)有效部分為不可因式分解的二次型

1.(2022?天津?南開中學模擬預測)已知函數(shù)f(x)=gχ2+arYaX+ι)hu(αeR),記〃x)的導函

數(shù)為g(x),討論g(x)的單調(diào)性；

【答案】解：由已知可得g(x)=x」-Hnx,故可得g，(X)=I+=-q=x2二?型.

當α?70,2]時,g,(x)>O,故g(x)在(0,+e)單調(diào)遞增；

當αe(2,y)時，山g[x)=O,解得X=”亨I,或竺必三，

記O="咚三a,&=空上三，則可知當無變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下表:

X(0忑)4(M)(4，+8)

g'(x)+0—0+

g(x)Z極大值、極小值

所以，函數(shù)g(χ)在區(qū)間0,佇竽a單調(diào)遞增，在區(qū)間竺咚三I,竺半二單調(diào)遞減，在區(qū)間

\/\/

α+'j-4,+8單調(diào)遞增.

\/

2.(2022?安徽?蚌埠二中模擬預測(理))已知函數(shù)"x)=lnx+#-ar,aeR.

討論函數(shù)”x)的單調(diào)性；

【答案】

顯然，函數(shù)“X)的定義域為(0,+紇)，Kf'(χ}=-+ax-a=aχ2~ax+1,

XX

①若a=0,顯然f(x)單調(diào)遞增.

②若α<0,令/(X)=0,有X=四&三Ξ,

2a

易知"2五三<0<"必凸，

2a2a

當χ∈Ql￡Fa.時，f(χ)>0,"x)單調(diào)遞增；

\7

當Xe'Y:%-時，r(x)<0,"x)單調(diào)遞減.

\/

③若0<α≤4,則r(x)N0,/(x)單調(diào)遞增，

④若α>4,令/'(x)=0,有χ=α±.2-4',

2a

易知0<"一

la2a

當Xe,/,(χ)>0,“力單調(diào)遞增；

\/

當χj"一干/'"F?寸'r(χ)<°'"X)單調(diào)遞減；

(Π~Λ~)

當Xe9+以二",+8時，r(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

\7

綜上所述，

若α<O,.f(X)的增區(qū)間為O,。*；,。，減區(qū)間為a*：4a,位

若0≤α≤4,/(x)的增區(qū)間為(O,y)；

Urι?,,1jm,i_?,,f?a-?^a^—4afa+?∣cι'—4a

若α>4,"x)的增區(qū)間為0,-3-----,——-----

減區(qū)間為

3.(2022?江蘇徐州?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=r-4x+αlnx,αeR,函數(shù)F(X)的導函數(shù)為f(x).討

論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

【答案】

由/(x)=χ2-4χ+αlnx得，函數(shù)的定義域為(0,+∞),

Rf'(x)=2x-4+~=2γ^-4x+a,令/(χ)>(),即2∕-4x+α>0,

XX

①當A=16-8a≤0,即α22時，2/-4x+α≥0恒成立，/“)在(。,+8)單調(diào)遞增;

②當△>(),即“<2時，令χ∣=2-手工,々=2+中工,

當0<α<2時，0<為<々，/,x)>0的解O<x<x∣或X>J?,

故/(χ)在(0,xJ,(x2,÷∞)上單調(diào)遞增，在(現(xiàn),入2)上單調(diào)遞減；

當α≤OB寸，x∣≤O<X2>同理/(x)在(。,*2)上單調(diào)遞減，在(工2，+8)卜.單調(diào)遞增.

4.(2022?河南鄭州三模(理))設函數(shù)O(X)=X2τ+αlnx(α>0).

求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

【答案】

/(x)的定義域為(O，+8),f'(χ]=2x-?+-=2χ2~x+a,令2χ2γ+α=0,

XX

當A=I-8α≤0時，即”≥,時，∕z(x)≥0,/(x)在(0,+8)上遞增，

8

當A=l-84>0時，即O<α<J時，2x2-x÷α=0.

1+z

解得&=上孚2,χ2=^^,

當/,a)〉。時解得，o<x<上二叵或x>土叵，所以函數(shù)在[o,ι-qz赤

44<7

,+8上單調(diào)遞增,

當r(χ)<o時解得，上正死生叵，所以函數(shù)“可在(上要,呼電)上單調(diào)遞

減.

綜上，當“≥J時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0，+8)；當0<〃<：時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

OO

fnfl+√l-8t/]fl-√l-8al+√l+8α^

0,-------——，------——,+8,單倜避減區(qū)同為----;---------;——,

I4Jl4)I44

5.(2022?河南新鄉(xiāng)?高二期中(理))已知函數(shù)g(x)=e"(x)+e?.若函數(shù)/(x)=x2-4x+α,討論

g(x)的單調(diào)性.

【答案】若/(x)=χ2-4x+4,則g(x)=(f-4x+a)e"+e2,x∈R,

^,(JC)=(X2-2x+a-4^ex=^(x-l)2+a-5Jet.

當α≥5時,g")30,g(x)在定義域R上單調(diào)遞增.

當α<5時，令g<x)=0.解得,=]_j5_a,x2-l+?∣5-a.

若x<I-?sΛ=或x>l+JΓ^,g'(x)>O,貝IJg(X)在(-∞,1-后工)和(l+√^二￡+8)上單調(diào)遞增;

若1-?∣5-a<x<ι+√5^Σ,g'(χ)<o,則g(χ)在(1-7^工/+7^二同上單調(diào)遞減；

6.(2022?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(X)=芯+x2-x?當“<0時，討論函數(shù)〃%)的單調(diào)性.

【答案】由〃X)=Or3+f7,∕,(χ)=3Οr2+2x-l.

r2

令∕(x)=3dx+2x-l=0τ

當α≤-g時，A=4+12α≤0,因此/'(x)=36+2x-l≤0,所以函數(shù)/(%)在(YO,÷∞)上單調(diào)遞減;

當一;VaVo時，Δ=4+12{7>0>解得X=-l±√3a+l

3a

-1+√3Λ+1-l+?>∕3^+l-I-J3〃+1

所以函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在

-0°,3a3a3a

-l-√3a+l

,+OO上單調(diào)遞減.

3a

綜上所述，當α≤-g時，函數(shù)/(x)在(f,W)上單調(diào)遞減；當-g<"0時，函數(shù)f(x)在

-l+√3w+l—1+J3α+1-]—[3。+11?,,f-1-?s∣3cι+1]

一7-------，一?------上單v調(diào)ra遞aaj增ja，在一7-