2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合A={O,1,2},B={-l,0,l},則AUB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】D

【分析】利用集合的并集運(yùn)算求解.

【詳解】解：因?yàn)榧螦={0,l,2},β={-l,0,l},

所以AUB={T,0,1,2},

故選：D

2.已知命題0:3x>5,2x?-x+l>0,則一1P為()

A.VΛ≤5,2X2-X+1≤0B.?x>5,2x2-x+l≤0

C.3X>5,2X2-X+1≤0D.Ξr≤5,2x2-x+1>0

【答案】B

【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，否量詞，否結(jié)論即可得解.

【詳解】命題p：3x>5,2χ2_》+1>。的否定r?為：VX>5,2χ2-x+l≤0,

故選：B.

3.已知角α為第一象限角，且sin>cosu,則Sinq的取值范圍是()

23722

A.管)B,(-?,-f)C,[θ,f)D?F

【答案】A

CfCI

【分析】先確定券的取值范圍，由此求得Si吟的取值范圍.

【詳解】由于角α為第一象限角，

TT

所以2kπ<a<2kπ+—,&∈Z,

2

CCTT

所以E<—<攵兀+一,Z∈Z,

24

由于si∏4>cos4,所以2∕π+π<4<2∕Zπ+2,/∈Z,

2224

所以-—<sin-<0?

22

故選：A

4.已知向量α=(l,x),?=(x,4).則'"=2”是“〃〃/'的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示判斷即可.

【詳解】若χ=2,貝心=(1,2),b=(2,4),.?/=2d,則

若CI〃b，則X?=4,解得X=±2,

，“x=2”是““〃方”的充分不必要條件，

故選：A.

5.已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點(diǎn)

(Jsy

P--—,/?,貝!∣sina=()

\7

A.-更B.好C.-邁D.空

5555

【答案】C

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P-乎,加)在單位圓上，且終邊在第三象限確定加唯一，根據(jù)三角函數(shù)求解.

【詳解】.P-加)在單位圓上即+m2=1Tn2=l-?=w-±

終邊在第三象限所以加<(),?”=-冬￡,所以尸

5I55J

所以Sina=山=-2小.

5

故選：C

6.已知”、b、ceR,下列命題：①若α>b,W1Jac2>bc2;②若a>b>0,貝∣j'<l;③若?^>0,

aba

則而>0；④若a>b>c,則∣a+U>∣b+c∣淇中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】利用特殊值判斷出錯(cuò)誤的命題，利用差比較法、不等式的性質(zhì)等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】①，^a>b,c=O,則％=歷，所以①錯(cuò)誤.

②，若a>b>O,=所以②正確.

③，若2>0,即凡。同號(hào)，所以必>0,所以③正確.

a

④,若a>b>c,如α=0,b=-l,c=-2,則∣α+@<∣b+c∣,所以④錯(cuò)誤.

所以正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).

故選：B

7.法國羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀（如圖所示），己知塔高21加，底寬34〃?，則塔身的

表面積（精確到0.0I/）是（）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：272=729,342=I156）

A.3674.52/w2B.2993.26M

C.1837.26，/D.I682.26TM2

【答案】C

【分析】由題意可得正四棱錐的底面邊長與高，代入棱錐表面積公式求解.

【詳解】如圖，正四棱錐尸-ABC。，Pol底面ABCr>,PO=2?m,AB=34m,

則AO=半AB=17&m，所以AP=JAO"O=TiU歷1，

作PEVAB,則PE=JAP2-（?AB）2=√730m

所以該塔身的表面積S=4x；ABXPE=68√755:≈1837.26??

故選：C.

8.設(shè)向量”,b滿足卜∣=2,W=1，若于eR,W+詞<卜+0,則向量α與/7的夾角不等于()

A.30oB.60oC.120oD.150°

【答案】C

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律將模長的平方寫為向量的平方，結(jié)合一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上

有解求解即可.

【詳解】設(shè)向量α與。的夾角為0,^∈[0,π],

由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將原問題轉(zhuǎn)化為3∕∈R.(。+th]<(α+b],

即a+2ta-b+t2b'<a+2a-b+b'<根據(jù)題意整理得『+4∕cosJ-4cose-1<0有解,

所以△=(4COSey-4(-4COSe-I)=I6cosZ0+16cos6^+4=4(2cos6^+l)2>0,

解得6*120。，

故選：C

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)Z==，則下列結(jié)論中正確的是()

1-1

A.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限B.[的虛部為2

C.∣z∣=√5D.zz=5

【答案】CD

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算、模運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義求解.

3+i(3+i)(l+i)2+4i

=l+2i

【詳解】T≡Γ-(l-i)(l+i)^2所以z=1+2i,

Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。,2)位于第一象限，A錯(cuò)誤;

z=1-2i的虛部為-2,B錯(cuò)誤;

IZl=JI+4=#,C正確；

zz=(l+2i)(l-2i)=l+4=5,D正確，

故選:CD.

γ~V<0

10.已知函數(shù)/(X=；一'則下列結(jié)論中正確的是()

[-x2,X>0,

A./(拉)=2B.若/(加)=9,則加:≠±3

C.f(x)是奇函數(shù)D.“X)在上R單調(diào)遞減

【答案】CD

【分析】根據(jù)分段函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算及性質(zhì)分別判斷.

【詳解】A選項(xiàng)：/(√2)=-(√2)2=-2,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：當(dāng)機(jī)>0時(shí)，f(m)=-m2=9,無解，當(dāng)機(jī)<0時(shí)，f(m)=m2=9,m=-3,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,f(-x)=(-Λ)2=X2=-f(%)>當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,f(-x)=-X2=-/(?)?

且〃O)=0,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：當(dāng)x≤0時(shí)?，/(H=/,在,0]上單一調(diào)遞減,且"0)=0,當(dāng)x>0時(shí)，〃力=一μ,在(0,+功

上單調(diào)遞減，且/(x)<0,所以/(x)在上R單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確；

故選：CD.

11.如圖，在正方體A88-A4GA中，E,F,G分別是棱84，B1C,,GA的中點(diǎn)，則()

A.點(diǎn)、F在平面AE。內(nèi)B.BC1//平面AEDi

C.點(diǎn)G在平面AEA內(nèi)D.點(diǎn)G在平面AEQ內(nèi)

【答案】AB

【分析】連接EF、BQ根據(jù)正方體的性質(zhì)可得AQ//BG，即可得到Ba〃平面AS，，再根據(jù)中位線

的性質(zhì)及平行公理得到EF//AA，即可得到E、F、5、A四點(diǎn)共面，從而得解；

【詳解】連接EF、BR,在正方體ABa)-ABcR中，AB∕∕CtDtg.AB=C1D1,

所以四邊形ABCA是平行四邊形，所以AA//BG,ARU平面AER,8(^0平面AEA，所以Ba〃

平面A故B正確；

又EFHBC?,所以E尸〃A%,所以E、尸、R、A四點(diǎn)共面，即點(diǎn)尸在平面AEA內(nèi)，故A正確；

再連接尸A,顯然G不在平面AE尸2,故D錯(cuò)誤；

由Be〃平面AE?,可知點(diǎn)G不在平面AE?內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

aB

故選：AB.

12.已知向量α=(l,-2),?=(2,1),記向量α,〃的夾角為仇則()

A.%>2時(shí)。為銳角B.卜2時(shí)6為鈍角

C.4=2時(shí)。為直角D.無義使6為零角

【答案】ACD

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的正負(fù)，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得答案.

［詳解］a?b=λ-2>a∕∕ba>—22=1A=——,

對(duì)A,2>2nα?b>0,。為銳角，故A正確；

對(duì)B,λ<2=>ab<0,當(dāng)∕l=-g時(shí)，。為平角，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,Λ=>2=>a??=0.。為直角，故C正確；

對(duì)D,因?yàn)??！?。-22=1=2=-；,此時(shí)α與。夾角為平角，

故不存在4,使得。為零角.故D正確;

故選：ACD

三、填空題

13.計(jì)算：log2sin?+log2cos?=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)給定條件利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算作答.

2

［詳解】log2sin?+Iog2cos?=Iog2(sin-?cos?)=log^?sin?)=log,2^=-2.

1212121226

故答案為：-2

14.已知復(fù)平面內(nèi)的向量CM,AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是-2+i,3+2i,則IoBl=.

【答案】√io

【分析】先利用向量運(yùn)算求出OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，然后求解模長可得答案.

【詳解】08=0A+AB,

，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-2+i)+(3+2i)=1+3i,

.?JOB∣=√l2+32=√10.

故答案為：＞∕Γo

15.已知三棱錐尸-4BC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，PAPaPC兩兩互相垂直，且

2PB=PA=PC=4,若球。的表面積為.

【答案】36π

【分析】把三棱錐補(bǔ)成成長方體，結(jié)合球的表面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖，將三棱錐尸-ABC補(bǔ)全成如圖的長方體，

則根據(jù)對(duì)稱性可得：三棱錐P-ABC的外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線，

設(shè)球的半徑為R,又2PB=PA=PC=4,

：.(2Λ)2=22+42+42=36,故2=9

；?球0的表面積為4兀x9=36π.

故答案為：36π

16.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是α",c,已知2sin4^inC=■+”-R,則A+siι√C

SinCa+c~-b~

的最大值為

3

【答案】∣∕1.5

【分析】由正弦定理、余弦定理化簡后求角8的值，再將si??A+siι√C化簡為三角函數(shù)求最大值即

可.

222

【詳解】由余弦定理知：a+h-C=2。力COSCM2+。2一02=2accosB

?4?,Tm,F/n2sinA—sinC?cosCSinBcosC…小?

又由正弦1定理化l簡得：————---------=---------------,A,B∈(O,π),即ElrI

SinCccosBsinCcosB

2sinΛ∞sB-sinCcosB=sinβcosC,即2sinAcosB=sin(B÷C)=sin(π-A)=sinA,又ABW(O,兀)，

1π2

化簡得cos5=j,B=^9則A+C=qττ

z.??

γ=sin2A÷sin2C=sin2A+sin2(-^-Λ)=sin2A+(-?eosA+?sinA)2

y??sin2A+—cos2A+^^sinAcosΛ

442

y=乎Sin2A--?-cos2A+l=-^sin(2Λ--^)+l

2TT7Γ71Γ7ΓTT3

又Ae(O,]π),故當(dāng)24-^=?時(shí)，si/A+sirc取最大值為

3666622

故答案為:；3

四、解答題

17.已知復(fù)數(shù)4=l+i,z2=x+yi,其中x,y為非零實(shí)數(shù).

X

(1)若Z∣?Z2是實(shí)數(shù)，求一的值；

y

_(、2022

(2)若Z2=Z],復(fù)數(shù)z=[五J+(/-根-l)-(m+l)i為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)小的值;

【答案】(1)-1；

(2)m=2；

【分析】（1）運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法及若z=4+加為實(shí)數(shù)則人=0,計(jì)算可得結(jié)果.

（2）運(yùn)用共輾復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)除法及若z=α+0i為純虛數(shù)則計(jì)算可得結(jié)果.

[。工0

【詳解】（1）?.?Z]?Z2=（l+i）（x+γi）=x-y+α+y）i為實(shí)數(shù)，

.?x÷y=0,

又?.?％,y為非零實(shí)數(shù)，

(2)?.?z2=Z]=1—i,

?Z]=ι+i(l+i)

*φzΓ^Γ^"(l-i)(I÷i)

z=—+^∕π2-∕n-l)-(∕H+l)i=^∕w2一加一2)—(m+l)i為純虛數(shù),

kZ2J

?m2-τn-2=0、

nfn=2

[-（m+?）≠0

???加的值為2.

18.已知向量〃泊滿足（2〃+。）?（α-2∕?）=2,且Ial=V∑,∣?∣=2.

⑴求〃與6的夾角。；

⑵求卜+q.

3TT

【答案】（1）6=F

4

⑵√Σ

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可求解夾角.

（2）根據(jù)模長公式即可求解.

【詳解】（1）由（24+力?（4-?）=21一3"/—?jiǎng)?=4—3'&、2￡：（?，-8=2,

得CoSe=-近，因?yàn)椤！蔥0,π],所以。=孚.

24

（2）由題意得Iα+bI=Ja-+2a?b+b^^=-4>∕2×-?+4--Jl

3

19.已知tana=-二,2是第四象限角.

(1)求COSa-Sina的值;

⑵求8$［：π+1卜11,+；）的值.

4

7

【答案】（I）M；

7√2

(2)cosl?^?+αtan(α+；?

?7

【分析】（D根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組求解Sina,cosα即可;

（2）由兩角和的余弦、正切公式化簡求解即可.

sin2α÷cos2a=I

【詳解】（1）因?yàn)镾ina3,2是第四象限角,

tana=-------=——

COSa4

也Xt也丁目=述

252510

π-2

/、tana+tan—+1

tan(a+：)=--------------—tanα+1_4

1-tana

1'1-tanertan—ι1—

4

20.已知4,b,C分別為一ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且2?=c+2αcosC.

⑴求A；

⑵若-ABC的面積為生亙，α=3,求一ABC的周長.

3

【答案】⑴A=］；

（2）8.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助和角的正弦公式求解作答.

（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積公式、余弦定理求出6+c即可作答.

【詳解】（1）在中，2b=c+2acosCt由正弦定理得：2sinB=si∏C+2sinAcosC,

而sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

-f?2sinAcosC+2cosAsinC=sinC+2sinΛcosC,即sinC=2cosAsinC,

又C為三角形內(nèi)角，有SineW0,解得CoSA=g,A∈(0,π),

所以A=1.

(2)依題意，Sabc=-bcsinA=-hc-=^^-,于是歷=2，

由余弦定理得，er-b1+c2-2?ccosΛ=(?+c)2-2bc-2bccosA,

,16

B∣J9=(?+c)--3×y,解得＞+c=5,

所以一ABC的周長為α+6+c=8.

21.已知函數(shù)F(X)=2cos2χ+√Jsin2x+α,xeθ,?.從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為

已知.

⑴求。的值；

(2)求Ax)的最小值，以及取得最小值時(shí)X的值.

條件①：/O)的最大值為6；

條件②：/&)的零點(diǎn)為T.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)若選條件①，則。=3；若選條件②，則α=0

(2)答案見解析.

【分析】(1)化簡/(x)的解析式，根據(jù)條件①或②求得“的值.

(2)利用三角函數(shù)最值的求法求得正確答案.

【詳解】(I)/(x)=2cos2x+道sin2x+a

=1+cos2x+?/?sin2x+a=2sin[2x+?^)+α+l.

若選條件①，

貝∣J2+α+1=6,α=3.

若選條件②，

則/(T)=2sin^π+^+<z+l=2×f-?^?j+<7+l=tz=0.

(2)若選條件①，由⑴得/(x)=2sin(2x+￡j+4,

則當(dāng)Xe0,|時(shí)，2Λ+^∈?y,則當(dāng)X=時(shí)，取得最小值為3.

若選條件②，由⑴得“x)=2sin(2x+或+1,

則當(dāng)TOm時(shí)，2x+“py,則當(dāng)X若時(shí)，〃x)取得最小值為0.

22.如圖所示正四棱錐S-ABa)