6第六章微分方程

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)第六章微分方程【考試要求】1．理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解．2．控制可分離變量方程的解法．3．控制一階線性方程的解法．4．了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)．5．控制二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法．【考試內(nèi)容】一、微分方程的基本概念普通地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程，偶爾也簡(jiǎn)稱(chēng)為方程．未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為常微分方程．方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱(chēng)為該微分方程的階．倘若函數(shù)滿意一個(gè)微分方程，則稱(chēng)它是該微分方程的解．倘若微分方程的解中含有隨意常數(shù)，且隨意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同時(shí)，這樣的解叫做微分方程的通解．當(dāng)自變量取某值時(shí)，要求未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)取給定值，這種條件稱(chēng)為初始條件．滿意給定初始條件的解，稱(chēng)為微分方程滿意該初始條件的特解．二、可分離變量的微分方程普通地，倘若一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成的形式，也就是說(shuō)，能把微分方程寫(xiě)成一端只含的函數(shù)和，另一端只含的函數(shù)和，那么原方程就稱(chēng)為可分離變量的微分方程．此方程兩端同時(shí)積分，方程左端對(duì)變量積分，方程右端對(duì)變量積分，即，便可求出其通解．三、一階線性微分方程形如或的方程稱(chēng)為一階線性微分方程．“線性”是指在方程中含有未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)都是關(guān)于、的一次項(xiàng)，而稱(chēng)為自由項(xiàng)．1．一階齊次線性微分方程當(dāng)自由項(xiàng)時(shí)，稱(chēng)為一階齊次線性微分方程．它的通解為．說(shuō)明：在式中，求解時(shí)只需求出一個(gè)原函數(shù)即可．2．一階非齊次線性微分方程當(dāng)自由項(xiàng)不恒為零時(shí)，稱(chēng)為一階非齊次線性微分方程．它的通解為．說(shuō)明：求解時(shí)也只需求出一個(gè)原函數(shù)即可．四、二階常系數(shù)線性微分方程1．二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)形如的二階微分方程，因?yàn)榉匠讨形粗瘮?shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都以一次（線性）形式浮上，故稱(chēng)為二階常系數(shù)線性微分方程．其中、為常數(shù)，是自變量的函數(shù)．當(dāng)時(shí)，方程稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次線性微分方程．定理1若、是齊次線性方程的兩個(gè)解，則也是它的解，且當(dāng)與線性無(wú)關(guān)時(shí)，是其通解．定理2若為非齊次線性方程的某個(gè)特解，為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解，則為非齊次線性方程的通解．2．二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解考查特征方程，設(shè)、為其兩個(gè)特征根，則（1）若與為兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程的通解為（、為隨意常數(shù)）；（2）若與為兩個(gè)相等的實(shí)根，則方程的通解為（、為隨意常數(shù)）；（3）若與為兩個(gè)共軛復(fù)根，則方程的通解為（、為隨意常數(shù)）；其中，，．【典型例題】【例6-1】求下列微分方程的通解．1．．解：分離變量得，，兩端積分，得，從而，即原方程的通解為．2．．解：分離變量，將原式化為，兩端同時(shí)積分，得，即，于是方程的通解為．3．．解：原式可化為，分離變量得，兩邊同時(shí)積分，得，于是方程的通解為．4．．解：分離變量得，兩端積分，得．【例6-2】求下列微分方程的通解．1．．解：由題意，，，故原方程的通解為．2．．解：原方程變形為，其中，，故原方程的通解為．3．．解：原方程變形為，其中，，故原方程的通解為．4．．解：由題意，，，故原方程的通解為．【例6-3】求下列微分方程的通解．1．．解：所給微分方程的特征方程為，即，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，因此原方程的通解為．2．．解：所給微分方程的特征方程為，即，有兩個(gè)相等的實(shí)根，因此原方程的通解為．3．．解：所給微分方程的特征方程為，，有兩個(gè)共軛復(fù)根，，因此原方程的通解為．4．．解：所給微分方程的特征方程為，即，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，因此原方程的通解為．【例6-4】解微分方程．解：把原方程變形為，即，則該方程可看作關(guān)于的一階線性微分方程，其中，，故其通解為．【例6-5】求微分方程滿意初始條件的特解．解：原方程可變形為，其中，，故方程的通解為．由初始條件，時(shí)，，代入上式通解形式中得，，故所求特解為．【例6-6】求滿意初始條件，的特解．解：所給方程的特征方程為，即，有兩個(gè)相等的實(shí)根，因此原方程的通解為．將條件代入通解，得，從而，將上式對(duì)求導(dǎo)，得，再把條件代入上式，得．于是所求特解為．【例6-7】已知曲線過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的斜率為，求該曲線方程．解：由題意知，，即，初始條件為．其中，，故方程的通解為．將初始條件代入得，故所求的曲線方程為．【例6-8】設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿意，求．解：令，因?yàn)楹瘮?shù)可導(dǎo)，所以上式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得，即．此方程為一階線性微分方程，且，，故方程的通解為．在原方程中令，得，代入上式得，故所求函數(shù)為．【歷年真題】一、挑選題1．（2023年年，3分）微分方程的通解為（）（A）（B）（C）（D）解：原方程的特征方程為，有兩個(gè)相等的實(shí)根，故原方程的通解為．選項(xiàng)（C）準(zhǔn)確．2．（2023年年，2分）微分方程的通解是（）（A）（B）（C）（D）解：原方程的特征方程為，，，，故特征方程有兩個(gè)虛根，其中，，故原方程的通解為．選項(xiàng)（B）準(zhǔn)確．二、填空題1．（2023年年，2分）微分方程的通解為．解：原方程的特征方程為，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，故原方程的通解為．2．（2023年年，2分）微分方程滿意初值的特解為．解：原微分方程可變形為，兩邊積分得，故通解為．又當(dāng)時(shí)，，代入通解表達(dá)式中可得，，故原方程滿意初值的特解為．3．（2023年年，4分）微分方程的通解為．解：原方程為可分離變量的方程，分離變量可得，兩邊積分得，，故通解為．4．（2023年年，2分）方程的通解為．解：原方程可變形為，即．將看成的函數(shù)，則該方程即為關(guān)于的一階線性微分方程，，，故原方程的通解為．5．（2023年年年，3分）微分方程的通解為．解：先求齊次方程的通解．特征方程為，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，故齊次方程的通解為．由題意，設(shè)非齊次方程的特解為，則，，代入原方程，，比較系數(shù)可得，，，故，所以原非齊次方程的通解為．三、計(jì)算題1．（2023年年，5分）求微分方程的通解．解：此為一階線性微分方程，其中，，故原方程的通解為．2．（2023年年，5分）求微分方程的通解．解：此方程為可分離變量的方程，分離變量可得．方程兩邊分離積分，，