數(shù)學(xué)-專項(xiàng)17.6勾股定理與弦圖問題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）-【】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題17.6勾股定理與弦圖問題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．13 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】根據(jù)小正方形的面積=大正方形的面積-4個(gè)直角三角形的面積，求得小正方形的面積，再計(jì)算其算術(shù)平方根即可．【詳解】因?yàn)樾≌叫蔚拿娣e=129?1所以小正方形的邊長(zhǎng)為81=9故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了弦圖的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)D形的面積分割法計(jì)算，會(huì)求算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·四川成都·八年級(jí)四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列三個(gè)結(jié)論：①x

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股定理解答即可．【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得：x2由圖可知，x?y=EF，即為小正方形的邊長(zhǎng)，∵正方形EFGH的面積為1∴EF=1，∴x?y=1，故②正確；由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，即4×1∴xy=12，故③正確．∵x+y2=∴x+y=7，故④不正確，∴正確結(jié)論有①②③．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及正方形和三角形的邊的關(guān)系，此圖被稱為“弦圖”，熟悉勾股定理并認(rèn)清圖中的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大的正方形，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長(zhǎng)為（

）

A．5 B．13 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)大正方形面積等于4個(gè)三角形面積與小正方形面積和即可求解．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，∴S△=12大正方形的面積為：4S△+小正方形面積=4×3＋1＝13，所以大正方形的邊長(zhǎng)為13．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股弦圖的應(yīng)用，算術(shù)平方根，掌握勾股弦圖的應(yīng)用，算術(shù)平方根是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（

）A．52 B．68 C．72 D．76【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，然后利用外圍周長(zhǎng)=4×(BD+AD)即可求解．【詳解】由題意可知CD=2AC=12∵∠BCD=90°,BC=5∴BD=C∴風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME?7)的會(huì)徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=AA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理分別計(jì)算OA2、OA3、OA4、OA5，…即可得出【詳解】解：由勾股定理得，OAOAOAOA…OA∵OA5?O∴5∴n=5或20或45或80，∴符合條件的n有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是找到規(guī)律得出OA6．（2022春·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為14，正方形IJKL的邊長(zhǎng)為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為（

）

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根據(jù)正方形面積公式，由面積的和差關(guān)系可得8個(gè)直角三角形的面積，進(jìn)一步得到1個(gè)直角三角形的面積，再由面積的和差關(guān)系可得正方形EFGH的面積，進(jìn)一步求出正方形EFGH的邊長(zhǎng)．【詳解】解：一個(gè)直角三角形的面積：（14×14?2×2）÷8＝（196?4）÷8＝192÷8＝24，正方形EFGH的面積為：24×4＋2×2＝96＋4＝100，∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為10．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，關(guān)鍵是熟練掌握正方形面積公式，以及面積的和差關(guān)系，難點(diǎn)是得到正方形EFGH的面積．7．（2022秋·江西·八年級(jí)?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則EF的長(zhǎng)為（

）

A．9 B．92 C．32【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b；接下來根據(jù)ab=8，大正方形的面積為25求出小正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b，∵每一個(gè)直角三角形的面積為：12ab=1從圖形中可得，大正方形的面積是4個(gè)直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和，∴4×1∴(a?b)2∴a-b=3，∴EF=32故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．8．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校├萌鐖D所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其中兩個(gè)全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC【答案】B【分析】利用梯形面積等于3個(gè)三角形面積之和解答即可．【詳解】解：由題意可得：S△EDA故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明依據(jù)．此類證明要轉(zhuǎn)化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．9．（2022春·浙江衢州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD，連接AC，交BE于點(diǎn)P，如圖所示，若正方形ABCD的面積為28，AE+EB=7，則S△CFPA．3 B．3.5 C．4 D．7【答案】B【分析】先證明△AEP?△CGMASA，則S△AEP=S△CGM，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設(shè)AE=x，BE=7?x，根據(jù)勾股定理得：A【詳解】∵正方形ABCD的面積為28，∴AB設(shè)AE=x，∵AE+EB=7，∴BE=7?x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE∴x2∴2x∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥∴∠EAP=∠GCM，∵“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD，∴△AEB?△CGD，∴AE=CG，

∴△AEP?△CGMASA∴S△AEP=S∴S△CFP∵S矩形則S△CFP?S故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了“趙爽弦圖”，多邊形面積，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，首先要求學(xué)生正確理解題意，然后利用勾股定理和三角形全等的性質(zhì)解題．10．（2022秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，這個(gè)直角三角形三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長(zhǎng)為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（

）A．225 B．250 C．275 D．300【答案】D【分析】根據(jù)題意分別計(jì)算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規(guī)律即可求解．

【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，∴設(shè)AC=4x，則BC=3x，根據(jù)勾股定理得，AB=A∵3x+4x+5x=12，∴x=∴AB=5，BC=3，AC=4，∴圖①中正方形面積和為：32圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：3?∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為25n+50，∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：25×10+50=300，故D正確．故答案為：25n+50．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．二、填空題11．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)校考期中）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀(jì)我國(guó)漢代的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個(gè)全等的直角三角形可以圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則a+b2【答案】49【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到a2+b2=c2，c2

2+b2和ab的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：由圖可得，a2+b∴a2∵小正方形的面積是1，∴a?b2∴a2∴ab=12，∴(a+b)2=a2=25+2×12=25+24=49；故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵是求出ab的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將圖1中的菱形紙片沿對(duì)角線剪成4個(gè)全等的直角三角形，拼成如圖2的四邊形ABCD（相鄰紙片之間不重處，無縫隙）．若四邊形ABCD的面積為13，中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，則a+b2【答案】25【分析】由菱形的性質(zhì)可得四邊形ABCD是正方形，可得AD2=13=a2+b2，中間空白處的四邊形EFGH也是正方形，可得（b-a）2=1，求出2ab=12，即可求解．【詳解】解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形EFGH是正方形，∵正方形ABCD的面積為13，

∴AD2=13=a2+b2①，∵中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，∴（b-a）2=1，∴a2-2ab+b2=1②，①-②得：2ab=12，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式等知識(shí)，掌握菱形的性質(zhì)，求出2ab=12是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┯伤膫€(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點(diǎn)D作DF的垂線交小正方形對(duì)角線EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CG．若AE＝2BE＝25cm，則線段CG＝_____cm．【答案】5【分析】過點(diǎn)G作GT⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于T，設(shè)BH交CF于M，AE交DF于N．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GT⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于T，設(shè)BH交CF于M，AE交DF于N．∵BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，

∴EN＝EM＝MF＝FN＝5，∵四邊形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝5，∴CT＝35，∴CG＝(35故答案為：52．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．【答案】21【分析】陰影部分由四個(gè)全等的三角形和一個(gè)小正方形組成，分別求三角形和小正方形面積即可．【詳解】由題意作出如下圖，陰影部分由四個(gè)與△ABD全等的三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為BD的正方形組成由題意得：AB=CD=2，BC=5，BD=BC?CD=3∴S△ABD

S∴S=4故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，根據(jù)正方形的面積公式和三角形形的面積公式得出它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·四川成都·八年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個(gè)全等的直角三角形，BD與CH、EG、AF分別交于點(diǎn)M、O、N，且滿足DN=DC，則兩個(gè)陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為___________．【答案】1?【分析】設(shè)AE=BF=a，AF=DE=b，先證明Rt△ADE≌Rt△NDEHL，得出AE=NE=a，然后根據(jù)等積法求出【詳解】解：∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個(gè)全等的直角三角形，∴AD=CD=BC=AB，∠AED=90°=∠DEN，四邊形ABCD是正方形，AE=BF=CG=DH，AF=BE，又DN=DC，∴AD=DN，又DE=DE，∴Rt△ADE≌∴AE=NE，設(shè)AE=BF=a，AF=DE=b，則NE=a，∴S△ABD在Rt△ABF中，A∴S△ABD

∴12∴a2∴a2+2ab+∴a=2?1b∴S陰影S四邊形∴兩個(gè)陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為22故答案為：1?2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)等積法求出a=216．（2022春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如圖，若拼成的大正方形為正方形ABCD，面積為9，中間的小正方形為正方形EFGH，面積為2，連結(jié)AC，交BG于點(diǎn)P，交DE于點(diǎn)M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP?S△CGP=【答案】①③④【分析】根據(jù)正方形得性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和梯形面積的計(jì)算逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵四邊形EFGH為正方形，∴∠AEM=∠HEF=∠FGH=∠CGP=90°，EM∥PF，AF∥CH，AD=BC，∴∠EAM=∠GCP，由題意得，Rt△AED?∴AE=CG，在△AEM和△CGP中，

∠AEM=∠CGPAE=CG∴△CGP≌△AEMASA，故①正確；由①得S△AEM∴S=S=1=1∵S正方形∴S△AFP用x，y表示直角三角形的兩條邊(x<y)，∵大正方形面積為9，小正方形面積為2，∴x2+y∴直角三角形的面積和為4×1于是得到(x+y)2解得x+y=4；即DH+HC=4，故③正確；∵CG=DH，HG=2∴DH+CH=2DH+HG=2DH+2∴DH=4?∴CH=CG+HG=DH+HG=2?2故④正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形得性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和梯形面積的計(jì)算，解決此題的關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)和讀懂題目意思并把圖形聯(lián)系起來．17．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ肀挥涊d于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周碑算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．

圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S【答案】2【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a>b，由題意可知：S1=(a+b)2，因?yàn)镾1(a+b)23(a所以3SS2的值是8所以正方形EFGH的邊長(zhǎng)為8=故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長(zhǎng)的變化表示面積．18．（2022春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖，如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，下列四個(gè)說法：①a2+b2=49,②a?b=4,

【答案】①③##③①【分析】分別求出小正方形及大正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)面積關(guān)系得出a與b的關(guān)系式，依次判斷所給關(guān)系式即可．【詳解】解∶由題意可得小正方形的邊長(zhǎng)=2，大正方形的邊長(zhǎng)=7，故可得a?b=2，即②錯(cuò)誤；a2+b小正方形的面積+四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積，即可得2ab+4=49，即③正確；根據(jù)③可得2ab=45，故可得(a+b)2=a綜上可得①③正確，故答案為∶①③【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及直角三角形的知識(shí)，根據(jù)所給圖形，利用面積關(guān)系判斷a與b的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022秋·北京·八年級(jí)101中學(xué)?？计谥校﹫D①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個(gè)銳角為30°，將各三角形較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，設(shè)AB＝2，則圖中陰影部分面積為__________．【答案】8+43##【詳解】解：如圖，

設(shè)AC＝x，則BC＝AD＝2+x，∵∠ADC＝30°，∴AC=∴AD=3AC∴2+x=3x∴x=3∴AC=3∵將各三角形較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，DE=AC=∴圖中陰影部分面積＝4×12AC2＝4×故答案為8+43【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)角的定義以及直角三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于用AB表示出AC的長(zhǎng)度20．（2021春·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2??????，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則【答案】122020【分析】根據(jù)題意求出面積標(biāo)記為S2的正方形邊長(zhǎng)，得到S2，同理求出S3，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴面積標(biāo)記為S2的正方形邊長(zhǎng)為22則S2=（22）2=12=面積標(biāo)記為S3的正方形邊長(zhǎng)為22×22=則S3=（12）2=14=……，

則S2021的值為：12故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、正方形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出等腰直角三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和(1)請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；(2)圖2所示的徽標(biāo)，是我國(guó)古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個(gè)Rt△ABC繞中心點(diǎn)O順時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個(gè)圖形的總面積為113cm2【答案】(1)見解析(2)52【分析】（1）從整體和部分分別表示正方形的面積即可證明；（2）設(shè)Rt△ABC的較長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，則有a?b=3，4×12【詳解】（1）證明：∵正方形的邊長(zhǎng)為c，∴正方形的面積等于c2

∵正方形的面積還可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為a?b的小正方形組成的，∴正方形的面積為：4×1∴c2（2）解：設(shè)Rt△ABC的較長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c根據(jù)題意得，a?b=3，4×1又∵c===121∴c=11cm故徽標(biāo)的外圍周長(zhǎng)為：4×11+2故答案為：52．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式等知識(shí)，運(yùn)用整體思想求出斜邊c的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．(1)弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；(2)如圖2，將四個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風(fēng)車”，已知外圍輪廊（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC=3，求該“勾股風(fēng)車”圖案的面積；(3)如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形（外圍四個(gè)和內(nèi)部四個(gè)）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S

【答案】(1)證明見詳解(2)“勾股風(fēng)車”圖案的面積為24(3)5【分析】（1）根據(jù)圖形可知S大正方形（2）已知圖形的周長(zhǎng)，可求出直角三角形的斜邊長(zhǎng)，已知OC=3，則可求出直角三角形的兩條直角邊，由此即可求出“勾股風(fēng)車”圖案的面積；（3）八個(gè)全等的直角三角形，且圖形的面積是由三角形和正方形組成，S1+2S2+【詳解】（1）證明：由圖①可知S大正方形∵S大正方形∴c2即c2（2）解：四個(gè)全等的直角三角形，外圍輪廊（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC=3，設(shè)AC=∴4AB+4AC=24，即4AB+4x=24，∴AB=6?x，在Rt△OAB中，AB2=OB∴(6?x)2=32+∴OA=3+1=4，OB=3，∴S△OAB∴“勾股風(fēng)車”圖案的面積是6×4=24．（3）解：設(shè)AE=m，AH=n，∴S1=4×12mn+∴S1∴S2【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，理解直角三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2019秋·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若圖中大正方形的面積為42，小正方形的面積為5，求(a+b)

【答案】(a+b)【分析】根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式即可求出(b?a)2=5，【詳解】解：小正方形面積=(b?a)4個(gè)小直角三角形的面積=4×12ab∴2ab=37∴(a+b)2=(b?a)2+4ab【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的性質(zhì)和完全平方公式的變形，掌握全等三角形的性質(zhì)、正方形的面積公式、三角形的面積公式和完全平方公式的變形是解決此題的關(guān)鍵．24．（2022春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，將長(zhǎng)為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個(gè)正方形．(1)用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)；(2)已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？【答案】(1)a+3(2)90【分析】（1）用直角三角形較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊即可；（2）先根據(jù)小正方形的面積求出a的值，再根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)的平方求解即可．

【詳解】（1）解：∵直角三角形較短的直角邊=1較長(zhǎng)的直角邊=2a+3，∴小正方形的邊長(zhǎng)=2a+3?a=a+3；（2）解：小正方形的面積=(a+3)∴a+3=6或a+3=?6，∴a=3，或a=?9（舍去），∴2a+3=9，∴大正方形的面積=9【點(diǎn)睛】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算，整式的加減，利用平方根的定義解方程，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．25．（2022春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【知識(shí)背景】我國(guó)古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的3個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請(qǐng)你觀察下列三組勾股數(shù)：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．當(dāng)勾為3時(shí)，股4=12×(9?1)當(dāng)勾為5時(shí)，股12=12×(25?1)當(dāng)勾為7時(shí)，股24=12×(49?1)(1)如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時(shí)，請(qǐng)用含有n的式子表示股和弦，則股＝，弦＝，則據(jù)此規(guī)律第四組勾股數(shù)是．(2)若a=m2?1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且【答案】(1)12(n2(2)見解析【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時(shí)，則股=12(n2（2）根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2

【詳解】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時(shí)，則股=12(當(dāng)n=9時(shí)，12(n∴第四組勾股數(shù)是(9,40,41)．故答案為：12(n2?1)（2）證明：∵a=m2?1,b=2m,c=m2∴(m∴a2∴以a,b,c為邊的△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理、完全平方式的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題關(guān)鍵．26．（2022春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)c(2)見解析(3)m【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形ABCD的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．

【詳解】（1）解：∵大正方形的面積=c2，大正方形的面積∴c2∴c2故答案為：c2（2）證明：如圖：連接BD，∵Rt△ABC∴∠ADE=∠BAC，∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，∴∠DAB=90°，∵S四邊形ABCD=∴12∴c2（3）解：由題意可得：CE=CD+DE，GH=AG?AH，∴m=a+b，n=b?a，∴a=m?n2，∴BD∴正方形BDFA的面積為m2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．27．（2022春·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來探究下列兩個(gè)問題：

(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b2【答案】(1)見解析(2)CD=(3)25【分析】（1）分別用兩種方法求出大正方形的面積，根據(jù)面積相等列等式，即可證明；（2）先根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)等面積法即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，可得c2=a2+【詳解】（1）∵S大正方形=c2，又∵S大正方形∴c2即c2（2）由勾股定理得：BC2+AC2∴32∴AB=5，∵S△ABC又∵S△ABC∴12∵AB=5，

∴CD=6×2（3）根據(jù)（1）有：S大正方形=c2，又∵S大正方形=c∴c2=a∴a2∴a+b2即值為25．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證，勾股定理以及完全平方公式的知識(shí)，理解并靈活運(yùn)用等面積法是解答本題的關(guān)鍵．28．（2022春·福建泉州·八年級(jí)泉州七中?？计谥校┪覀冎溃幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對(duì)的邊叫斜邊（（如圖①所示）．?dāng)?shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方，即如果一個(gè)直角三角形的內(nèi)條直角邊長(zhǎng)度分別是a和b，斜邊長(zhǎng)度是c，那么a2(1)直接填空：如圖①，若a=3，b=4，則(2)觀察圖②，其中兩個(gè)相同的直角三角形邊AE、EB在一條直線上，請(qǐng)利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系，試說明a2(3)如圖③所示，折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，利用上面的結(jié)論求【答案】(1)5(2)見解析(3)EF=5【分析】（1）直接根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)梯形面積等于三個(gè)三角形的面積和推導(dǎo)即可；

（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DE=EF,AD=AF=10,然后根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系得出BF=AF2?AB2=102?8【詳解】（1）解：∵a2∴c