數(shù)學(xué)-專項(xiàng)2.12 因式分解法解一元二次方程（知識(shí)講解）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（浙教版）

專題2.12因式分解法解一元二次方程（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.正確理解因式分解法的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程；2.通過求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想．【要點(diǎn)梳理】用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特別說(shuō)明：（1）能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式；（4）解一元二次方程時(shí)如果能用因式分解法進(jìn)行解題，它是首選?！镜湫屠}】類型一、解一元二次方程??因式分解法??運(yùn)算1．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1) (2)， (3)【分析】（1）先移項(xiàng)，再把括號(hào)展開進(jìn)行因式分解，即可求解；（2）先移項(xiàng)，再提取公因式進(jìn)行因式分解，即可求解；（3）先移項(xiàng)，再用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解．（1）解：，，

，，，，．（2）解：，，，或，，．（3）解：，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．舉一反三：【變式1】用因式分解法解下列方程：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先化為一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化為一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．（1）解：，，即，

∴，解得：；（2）解：，即，，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2】解下列一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先化為一般形式，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．解：（1）解：，，即，∴，解得；（2）解：，即，∴，∴，即，解得．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．

類型二、解一元二次方程??因式分解法應(yīng)用2．由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左進(jìn)行運(yùn)算，即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：．如：分解因式：．（1）分解因式：（2）請(qǐng)用上述方法解方程：【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，即可得到答案；（2）先利用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，進(jìn)而即可求解．解：（1）故答案為：2，4（或4，2）；（2）∵，或，解得：，．【點(diǎn)撥】本題主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟練掌握“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如，一元二次方程的兩個(gè)根是，則方程是“鄰根方程”．（1）通過計(jì)算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①；②（2）已知關(guān)于的方程(是常數(shù))是“鄰根方程”，求的值．【答案】（1）①不是“鄰根方程”；②是“鄰根方程”；（2）0或?2．【分析】（1）根據(jù)解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比較兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“鄰根方程”；

（2）先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出m的方程，注意有兩種情況，故可求解．解：（1）①解方程得：（x-3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝-2，∵3≠?2＋1，∴不是“鄰根方程”；②x＝=，∴x1＝，x2＝，∵-=1，∴是“鄰根方程”；（2）解方程得：（x?m）（x＋1）＝0，∴x1＝m，x2＝?1，∵方程（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，∴m＝?1＋1或m＝?1?1，∴m＝0或?2．【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“鄰根方程”的定義，本題屬于中等題型．【變式2】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上，同時(shí)B區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去3a，且均顯示化簡(jiǎn)后的結(jié)果，已知A、B兩區(qū)初始顯示的分別是25和．如圖．

如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果：（2）從初始狀態(tài)按4次后，得A，B兩區(qū)代數(shù)式的和為1，求a的值．【答案】（1）A區(qū)顯示的結(jié)果為，B區(qū)顯示的結(jié)果為-16-6a；（2）a的值為2或1【分析】（1）根據(jù)程序規(guī)則即可得到按鍵2次后A、B兩區(qū)顯示的結(jié)果；（2）根據(jù)程序規(guī)則先得到按鍵4次后A、B兩區(qū)顯示的結(jié)果，再將兩個(gè)結(jié)果加起來(lái)等于1得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求得a值．解：（1）A區(qū)顯示的結(jié)果為，B區(qū)顯示的結(jié)果為﹣16﹣3a﹣3a=﹣16﹣6a；（2）按4次后A區(qū)顯示的結(jié)果為，B區(qū)顯示的結(jié)果為﹣16﹣12a，則，根據(jù)題意，得：，即，解得，a的值為2或1．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的加減、解一元二次方程，根據(jù)題意能正確得出結(jié)果，并會(huì)解一元二次方程是解答的關(guān)鍵．類型三、解一元二次方程??用適合的方法解一元二次方程3．按要求解下列方程：(1)；（配方法）；(2)；（因式分解法）(3)；（公式法）；(4)．（因式分解法）【答案】(1)， (2) (3)， (4)【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；

（3）把方程化為一般式，再計(jì)算根的判別式的值，然后利用公式法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程先即可．（1）解：∴，；（2）解：或x+4-5=0∴；（3）解：a=1，b=-6，c=-8∵，∴，∴，；（4）解：x-5=0或x+3=0∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用指定的方法解下列方程：

（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接開方法）（2）x2+2x﹣3=0（配方法）（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．【分析】（1）直接利用開方法進(jìn)行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法進(jìn)行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法進(jìn)行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法進(jìn)行求解即可得到答案；解：（1）∵∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+2x＝3，∴x2+2x+1＝4，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x1＝1，x2＝﹣3；（3）∵x2﹣x﹣6＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，∴x＝，∴x1＝3，x2＝﹣2；（4）∵∴（x+1）（2﹣x）＝0，∴x+1＝0或2﹣x＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法.

【變式2】解方程：(1)（公式法）；(2)（因式分解法）．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）整理成一般式后運(yùn)用公式法即可得出方程的解；（2）將（3x-4）看作整體因式分解后可得兩個(gè)一元一次方程，解之可得．解：（1）(2x+1)(x+2)=3原方程整理，得．．∴．所以，方程的解為，．（2）原方程變形為．由，得．由，得．所以，方程的解為，【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．類型三、解一元二次方程??糾錯(cuò)★★可化為一元二次方和的分式方程★★拓展4．解方程：2x－6＝3x(x－3)．小明是這樣解答的：將方程左邊分解因式，得2(x－3)＝3x(x－3)．……第一步方程兩邊同時(shí)除以(x－3)，得2＝3x.……第二步

解得x＝.……第三步(1)小明的解法從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)寫出正確的解答過程．【答案】（1）二；（2）答案見分析．【分析】首先判定小明的解法從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，再利用因式分解的方法與步驟求得方程的解即可．解：（1）小明的解法從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）2x﹣6=3x（x﹣3）2（x﹣3）=3x（x﹣3）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0（x﹣3）（2﹣3x）=0x﹣3=0，2﹣3x=0x1=3，x2=．【點(diǎn)撥】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步驟與方法是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2019春·八年級(jí)單元測(cè)試）解下列方程（1）

（2）【答案】(1)x1=1;(2)x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4.【分析】（1）方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）運(yùn)用換元法求解即可.解：（1）方程兩邊同乘以(x+2)(x-2)，得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，即x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2．檢驗(yàn)：x=1時(shí)，(x+2)(x-2)≠0，知x=1是原方程的解；x=2時(shí)，(x+2)(x-2)=0，知x=2是原方程的增根.故原方程的根是x=1．（2）設(shè)x2－2x＝y(tǒng)，

則原方程變形為（y＋2）（y＋1）＋25（y－2）（y＋1）＝24（y2－4）整理后，得y2－11y＋24＝0.解得y1＝3，y2＝8.①當(dāng)y＝3時(shí)，x2－2x＝3,解得x1＝－1，x2＝3，②當(dāng)y＝8時(shí)，x2－2x＝8.解得x3＝－2，x4＝4.經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4都是原方程的解.【點(diǎn)撥】此題主要考查了分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用分式方程的解法.【變式2】根據(jù)要求，解答下列問題：①方程的解為；②方程的解為，；③方程的解為，；…(1)根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請(qǐng)猜想：①方程的解為________；②關(guān)于的方程________的解為，．(2)請(qǐng)用配方法解方程，以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．【答案】(1)①，②，； (2)猜想正確，理由見分析【分析】（1）①根據(jù)已知方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解為1和8；②關(guān)于x的方程的解為x1=1，x2=n，則此一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，則一次項(xiàng)系數(shù)為1和n的和的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為1和n的積．（2）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判斷猜想結(jié)論的正確．(1)解：根據(jù)已知方程特征及其解的特征，得到：①方程x2﹣9x+8=0的解為x1=1，x2=8；故答案為：x1=1，x2=8；

②關(guān)于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解為x1=1，x2=n．故答案為：x1=1，x2=n．(2)解：x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正確．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．類型三、解一元二次方程??中考真題專練5．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項(xiàng)，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】?jī)晌煌瑢W(xué)的解法都錯(cuò)誤，正確過程見分析【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程解：小敏：兩邊同除以，得，小霞：移項(xiàng)，得，提取公因式，得．

則．（×）則或，解得，．（×）正確解答：移項(xiàng)，得，提取公因式，得，去括號(hào)，得，則或，解得，．【點(diǎn)撥】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2019·上?！ぶ锌颊骖}）解分式方程：．【答案】x＝－4.【分析】首先去分母，化為整式方程，然后合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化為1，最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否使原分式有意義，即可得到答案．解：去分母得2x2－8＝x2－2x，移項(xiàng)、整理得x2＋2x－8＝0，解得：x1＝2，x2＝－4．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根．∴原方程的根是x＝－4．【點(diǎn)撥】此題考查解分式方程，解分式方程的基本思路