理論力學(xué)答案解析謝傳峰版

./靜力學(xué)1-3試畫出圖示各結(jié)構(gòu)中構(gòu)件AB的受力圖FFAxFAyFB<a><a>FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy1-4試畫出兩結(jié)構(gòu)中構(gòu)件ABCD的受力圖FAxFAxFAyFDFByFAFBxFBFAN’N’FBFDFANFAFBFD1-5試畫出圖a和b所示剛體系整體合格構(gòu)件的受力圖1-5aFFAxFAyFDxFDyWTEFCxFCyWFAxFAyFBxFByFCxFCyFDxFDyFBxFByTE1-5b1-8在四連桿機(jī)構(gòu)的ABCD的鉸鏈B和C上分別作用有力F1和F2,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。試求二力F1和F2之間的關(guān)系。解：桿AB,BC,CD為二力桿,受力方向分別沿著各桿端點(diǎn)連線的方向。解法1<解析法>假設(shè)各桿受壓,分別選取銷釘B和C為研究對象,受力如圖所示：由共點(diǎn)力系平衡方程,對B點(diǎn)有：對C點(diǎn)有：解以上二個方程可得：FF2FBCFABB45oyxFCDC60oF130oFBCxy解法2<幾何法>分別選取銷釘B和C為研究對象,根據(jù)匯交力系平衡條件,作用在B和C點(diǎn)上的力構(gòu)成封閉的力多邊形,如圖所示。FABFBCFABFBCFCD60oF130oF2FBC45o對C點(diǎn)由幾何關(guān)系可知：解以上兩式可得：2-3在圖示結(jié)構(gòu)中,二曲桿重不計(jì),曲桿AB上作用有主動力偶M。試求A和C點(diǎn)處的約束力。FBFBFAθθFFBFC其中：。對BC桿有：。A,C兩點(diǎn)約束力的方向如圖所示。2-4四連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡,已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M2＝1N·m。試求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力。各桿重量不計(jì)。FFAFOOFAFBFBFCC解：機(jī)構(gòu)中AB桿為二力桿,點(diǎn)A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下剛體的平衡條件,點(diǎn)O,C處的約束力方向也可確定,各桿的受力如圖所示。對BC桿有：對AB桿有：對OA桿有：求解以上三式可得：,,方向如圖所示。xyFRMAxyFRMAFRdxFRMAFRdy解：2-6a坐標(biāo)如圖所示,各力可表示為:, , 先將力系向A點(diǎn)簡化得〔紅色的：, 方向如左圖所示。由于,可進(jìn)一步簡化為一個不過A點(diǎn)的力<綠色的>,主矢不變,其作用線距A點(diǎn)的距離,位置如左圖所示。2-6b同理如右圖所示,可將該力系簡化為一個不過A點(diǎn)的力〔綠色的,主矢為：其作用線距A點(diǎn)的距離,位置如右圖所示。簡化中心的選取不同,是否影響最后的簡化結(jié)果？2-13圖示梁AB一端砌入墻內(nèi),在自由端裝有滑輪,用以勻速吊起重物D。設(shè)重物重為P,AB長為l,斜繩與鉛垂方向成角。試求固定端的約束力。法1解：PBPBFBxFByP選梁AB為研究對象,受力如圖,列平衡方程：MAFMAFBxFByFAxFAy求解以上五個方程,可得五個未知量分別為：〔與圖示方向相反〔與圖示方向相同〔逆時針方向MMAPFAxFAyP法2解：設(shè)滑輪半徑為R。選擇梁和滑輪為研究對象,受力如圖,列平衡方程：求解以上三個方程,可得分別為：〔與圖示方向相反〔與圖示方向相同〔逆時針方向2-18均質(zhì)桿AB重G,長l,放在寬度為a的光滑槽內(nèi),桿的B端作用著鉛垂向下的力F,如圖所示。試求桿平衡時對水平面的傾角。解：ANANANDD求解以上兩個方程即可求得兩個未知量,其中：未知量不一定是力。2-27如圖所示,已知桿AB長為l,重為P,A端用一球鉸固定于地面上,B端用繩索CB拉住正好靠在光滑的墻上。圖中平面AOB與Oyz夾角為,繩與軸Ox的平行線夾角為,已知。試求繩子的拉力及墻的約束力。解：選桿AB為研究對象,受力如下圖所示。列平衡方程：由和可求出。平衡方程可用來校核。思考題：對該剛體獨(dú)立的平衡方程數(shù)目是幾個？2-29圖示正方形平板由六根不計(jì)重量的桿支撐,連接處皆為鉸鏈。已知力作用在平面BDEH內(nèi),并與對角線BD成角,OA=AD。試求各支撐桿所受的力。解：桿1,2,3,4,5,6均為二力桿,受力方向沿兩端點(diǎn)連線方向,假設(shè)各桿均受壓。選板ABCD為研究對象,受力如圖所示,該力系為空間任意力系。采用六矩式平衡方程：<受拉><受壓><受壓><受拉>本題也可以采用空間任意力系標(biāo)準(zhǔn)式平衡方程,但求解代數(shù)方程組非常麻煩。類似本題的情況采用六矩式方程比較方便,適當(dāng)?shù)倪x擇六根軸保證一個方程求解一個未知量,避免求解聯(lián)立方程。2-31如圖所示,欲轉(zhuǎn)動一置于V形槽中的棒料,需作用一力偶,力偶矩。已知棒料重,直徑。試求棒料與V形槽之間的靜摩擦因數(shù)。解：取棒料為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程:補(bǔ)充方程：五個方程,五個未知量,可得方程：解得。當(dāng)時有：即棒料左側(cè)脫離V型槽,與題意不符,故摩擦系數(shù)。2-33均質(zhì)桿AB長40cm,其中A端靠在粗糙的鉛直墻上,并用繩子CD保持平衡,如圖所示。設(shè),平衡時角的最小值為。試求均質(zhì)桿與墻之間的靜摩擦因數(shù)。解：當(dāng)時,取桿AB為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：附加方程：四個方程,四個未知量,可求得。2-35在粗糙的斜面上放著一個均質(zhì)棱柱體,A,B為支點(diǎn),如圖所示。若,A和B于斜面間的靜摩擦因數(shù)分別為和,試求物體平衡時斜面與水平面所形成的最大傾角。解：選棱柱體為研究對象,受力如圖所示。假設(shè)棱柱邊長為a,重為P,列平衡方程如果棱柱不滑動,則滿足補(bǔ)充方程時處于極限平衡狀態(tài)。解以上五個方程,可求解五個未知量,其中： <1>當(dāng)物體不翻倒時,則： <2>即斜面傾角必須同時滿足<1>式和<2>式,棱柱才能保持平衡。3-10AB,AC和DE三桿連接如圖所示。桿DE上有一插銷H套在桿AC的導(dǎo)槽內(nèi)。試求在水平桿DE的一端有一鉛垂力作用時,桿AB所受的力。設(shè),桿重不計(jì)。FCxFCxFCyFBxFBy假設(shè)桿AB,DE長為2a。取整體為研究對象,受力如右圖所示,列平衡方程：取桿DE為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：FDxFDyFDxFDyFHy取桿AB為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：<與假設(shè)方向相反>FBxFByFDyFBxFByFDyFDxFAxFAy<與假設(shè)方向相反>3-12和四桿連接如圖所示。在水平桿AB上作用有鉛垂向下的力。接觸面和各鉸鏈均為光滑的,桿重不計(jì),試求證不論力的位置如何,桿AC總是受到大小等于的壓力。FCFCxFCyFD取整體為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：取桿AB為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：桿AB為二力桿,假設(shè)其受壓。取桿AB和AD構(gòu)成的組合體為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：解得,命題得證。FABxFExFACFBFEyFBFABy注意：銷釘A和C聯(lián)接三個物體。FABxFExFACFBFEyFBFABy3-14兩塊相同的長方板由鉸鏈C彼此相連接,且由鉸鏈A及B固定,如圖所示,在每一平板內(nèi)都作用一力偶矩為的力偶。如,忽略板重,試求鉸鏈支座A及B的約束力。FAFAFB取整體為研究對象,由于平衡條件可知該力系對任一點(diǎn)之矩為零,因此有：即必過A點(diǎn),同理可得必過B點(diǎn)。也就是和是大小相等,方向相反且共線的一對力,如圖所示。取板AC為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：FCxFCxFCy解得：<方向如圖所示>3-20如圖所示結(jié)構(gòu)由橫梁和三根支承桿組成,載荷及尺寸如圖所示。試求A處的約束力及桿1,2,3所受的力。解：FBxFByF3支撐桿1,2,3為二力桿,假設(shè)各桿均受壓。選梁BCFBxFByF3<受壓>選支撐桿銷釘D為研究對象,受力如右圖所示。列平衡方程：DF3FDF3F2F1xy<受壓><受拉>FFAxFAyF3F2MA選梁AB和BC為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：<與假設(shè)方向相反><逆時針>FAxFAyFBxFBy3-21FAxFAyFBxFBy解：選整體為研究對象,受力如右圖所示。列平衡方程： <1>FEFG由題可知桿DG為二力桿,選GEFEFG受力如圖所示,畫出力的三角形,由幾何關(guān)系可得：FEFEFGF取CEB為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：FCyFFCyFCxFEFByFBx代入公式<1>可得：PFAxFAyN1N2N1T3-24均質(zhì)桿AB可繞水平軸A轉(zhuǎn)動,并擱在半徑為的光滑圓柱上,圓柱放在光滑的水平面上,用不可伸長的繩子AC拉在銷釘PFAxFAyN1N2N1T解：取桿AB為研究對象,設(shè)桿重為P,受力如圖所示。列平衡方程：取圓柱C為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：注意：由于繩子也拴在銷釘上,因此以整體為研究對象求得的A處的約束力不是桿AB對銷釘?shù)淖饔昧Α?-27均質(zhì)桿AB和BC完全相同,A和B為鉸鏈連接,C端靠在粗糙的墻上,如圖所示。設(shè)靜摩擦因數(shù)。試求平衡時角的范圍。解：取整體為研究對象,設(shè)桿長為L,重為P,受力如圖所示。列平衡方程： <1>取桿BC為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程： <2>FFAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP補(bǔ)充方程：,將<1>式和<2>式代入有：,即。3-30如圖所示機(jī)構(gòu)中,已知兩輪半徑量,各重,桿AC和BC重量不計(jì)。輪與地面間的靜摩擦因數(shù),滾動摩擦系數(shù)。今在BC桿中點(diǎn)加一垂直力。試求：平衡時的最大值；當(dāng)時,兩輪在D和E點(diǎn)所受到的滑動摩擦力和滾動摩擦力偶矩。解：取整體為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：FNDFNEFSDFSEMEMDFBFACθ由題可知,桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動力,以及BFNDFNEFSDFSEMEMDFBFACθ取輪A為研究對象,受力如圖所示,設(shè)的作用線與水平面交于F點(diǎn),列平衡方程：FACFFACFNDFSDMDF取輪B為研究對象,受力如圖所示,設(shè)的作用線與水平面交于G點(diǎn),列平衡方程：FNEFNEFSEMEFBG,,,若結(jié)構(gòu)保持平衡,則必須同時滿足：,,,即：,因此平衡時的最大值,此時：,3-35試用簡捷的方法計(jì)算圖中所示桁架1,2,3桿的內(nèi)力。解：由圖可見桿桁架結(jié)構(gòu)中桿CF,FG,EH為零力桿。用剖面SS將該結(jié)構(gòu)分為兩部分,取上面部分為研究對象,受力如圖所示,列平衡方程：FF2F3F1SFGFHθS<受拉><受拉><受壓>3-38如圖所示桁架中,ABCDEG為正八角形的一半,各桿相交但不連接。試求桿BC的內(nèi)力。解：假設(shè)各桿均受壓。取三角形BCG為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：<受壓>FGFGFEGFCDFABθCFBCFCDFCG取節(jié)點(diǎn)C為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：其中：,解以上兩個方程可得：<受壓>3-40試求圖中所示桁架中桿1和2的內(nèi)力。解：取整體為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：AABC345FAyFAxFBSSF1F3F4F5F2用截面S-S將桁架結(jié)構(gòu)分為兩部分,假設(shè)各桿件受拉,取右邊部分為研究對象,受力如圖所示。列平衡方程：<受拉><受拉>4-1力鉛垂地作用于桿AO上,。在圖示位置上杠桿水平,桿DC與DE垂直。試求物體M所受的擠壓力的大小。解：1.選定由桿OA,O1C,DE組成的系統(tǒng)為研究對象,該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動力為。2.該系統(tǒng)的位置可通過桿OA與水平方向的夾角完全確定,有一個自由度。選參數(shù)為廣義坐標(biāo)。3.在圖示位置,不破壞約束的前提下,假定桿OA有一個微小的轉(zhuǎn)角,相應(yīng)的各點(diǎn)的虛位移如下：,,代入可得：4.由虛位移原理有：對任意有：,物體所受的擠壓力的方向豎直向下。4-4如圖所示長為l的均質(zhì)桿AB,其A端連有套筒,又可沿鉛垂桿滑動。忽略摩擦及套筒重量,試求圖示兩種情況平衡時的角度。解：4a1.選桿AB為研究對象,該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。2.該系統(tǒng)的位置可通過桿AB與z軸的夾角完全確定,有一個自由度。選參數(shù)為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知：桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為：3.在平衡位置,不破壞約束的前提下,假定桿AB逆時針旋轉(zhuǎn)一個微小的角度,則質(zhì)心C的虛位移：4.由虛位移原理有：對任意有：即桿AB平衡時：。解：4b1.選桿AB為研究對象,該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。2.該系統(tǒng)的位置可通過桿AB與z軸的夾角完全確定,有一個自由度。選參數(shù)為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知：桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為：3.在平衡位置,不破壞約束的前提下,假定桿AB順時針旋轉(zhuǎn)一個微小的角度,則質(zhì)心C的虛位移：4.由虛位移原理有：對任意有：即平衡時角滿足：。4-5被抬起的簡化臺式打字機(jī)如圖所示。打字機(jī)和擱板重P,彈簧原長為,試求系統(tǒng)在角保持平衡時的彈簧剛度系數(shù)值。解：1.選整個系統(tǒng)為研究對象,此系統(tǒng)包含彈簧。設(shè)彈簧力,且,將彈簧力視為主動力。此時作用在系統(tǒng)上的主動力有,以及重力。2.該系統(tǒng)只有一個自由度,選定為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知：3.在平衡位置,不破壞約束的前提下,假定有一個微小的虛位移,則質(zhì)心的虛位移為：彈簧的長度,在微小虛位移下：4.由虛位移原理有：其中,代入上式整理可得：由于,對任意可得平衡時彈簧剛度系數(shù)為：4-6復(fù)合梁AD的一端砌入墻內(nèi),B點(diǎn)為活動鉸鏈支座,C點(diǎn)為鉸鏈,作用于梁上的力,以及力偶矩為的力偶,如圖所示。試求固定端A處的約束力。解：解除A端的約束,代之以,并將其視為主動力,此外系統(tǒng)還受到主動力的作用。系統(tǒng)有三個自由度,選定A點(diǎn)的位移和梁AC的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。1．在不破壞約束的前提下給定一組虛位移,如圖所示。由虛位移原理有：對任意可得：2．在不破壞約束的前提下給定一組虛位移,如下圖所示。由虛位移原理有： <1>由幾何關(guān)系可得各點(diǎn)的虛位移如下：代入<1>式：對任意可得：,方向如圖所示。3．在不破壞約束的前提下給定一組虛位移,如上圖所示。由虛位移原理有： <2>有幾何關(guān)系可得各點(diǎn)的虛位移如下：代入<2>式：對任意可得：,逆時針方向。4-7圖示結(jié)構(gòu)上的載荷如下：；力；力,其方向與水平成角；以及力偶,其力偶矩為。試求支座處的約束力。解：將均布載荷簡化為作用在CD中點(diǎn)的集中載荷,大小為。1.求支座B處的約束力解除B點(diǎn)處的約束,代之以力,并將其視為主動力,系統(tǒng)還受到主動力的作用,如圖所示。在不破壞約束的前提下,桿AC不動,梁CDB只能繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動。系統(tǒng)有一個自由度,選轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。給定虛位移,由虛位移原理有： <1>各點(diǎn)的虛位移如下：代入<1>式整理可得：對任意可得：,方向如圖所示。2.求固定端A處的約束力解除A端的約束,代之以,并將其視為主動力,系統(tǒng)還受到主動力的作用。系統(tǒng)有三個自由度,選定A點(diǎn)的位移和梁AC的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。2a.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移,此時整個結(jié)構(gòu)平移,如上圖所示。由虛位移原理有： <2>各點(diǎn)的虛位移如下：代入<2>式整理可得：對任意可得：,方向如圖所示。2b.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移,此時梁AC向上平移,梁CDB繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動,如上圖所示。由虛位移原理有： <3>各點(diǎn)的虛位移如下：代入<3>式整理可得：對任意可得：,方向如圖所示。2c.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移,此時梁AC繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動,梁CDB平移,如上圖所示。由虛位移原理有： <4>各點(diǎn)的虛位移如下：代入<4>式整理可得：對任意可得：,順時針方向。4-8設(shè)桁架有水平力及鉛垂力作用其上,且,。試求桿1,2和3所受的力。解：假設(shè)各桿受拉,桿長均為a。1．求桿1受力去掉桿1,代之以力,系統(tǒng)有一個自由度,選AK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo),如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移,此時三角形ADK形狀不變,繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動,因此有,且：滑動支座B處只允許水平方向的位移,而桿BK上K點(diǎn)虛位移沿鉛垂方向,故B點(diǎn)不動。三角形BEK繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),且：對剛性桿CD和桿CE,由于,因此。由虛位移原理有：代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：對任意可得：〔受壓。2．求桿2受力去掉桿2,代之以力,系統(tǒng)有一個自由度,選BK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo),如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移,桿AK繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動,因此有,且：同理可知B點(diǎn)不動,三角形BEK繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),且：桿AD繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動,由剛性桿DE上點(diǎn)E的虛位移可確定D點(diǎn)位移方向如圖所示,且：同理可知。由虛位移原理有：代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：對任意可得：〔受壓。3．求桿3受力去掉桿3,代之以力,系統(tǒng)有一個自由度,選AK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo),如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移,三角形ADK繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動,,且：同理可知B點(diǎn)不動,,且：由虛位移原理有：代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：對任意可得：〔受拉。4-12桿長2b,重量不計(jì),其一端作用鉛垂常力,另一端在水平滑道上運(yùn)動,中點(diǎn)連接彈簧,如圖所示。彈簧剛度系數(shù)為k,當(dāng)時為原長。不計(jì)滑塊的重量和摩擦,試求平衡位置,討論此平衡位置的穩(wěn)定性。解：F大小和方向不變,常力也是有勢力。取桿和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象。該系統(tǒng)為保守系統(tǒng),有一個自由度,選為廣義坐標(biāo),如圖所示。取為零勢能位置,則系統(tǒng)在任意位置的勢能為：由平衡條件可得：有：和即：和也就是：和兩個平衡位置。為判斷平衡的穩(wěn)定性,取勢能V的二階導(dǎo)數(shù)：當(dāng)時,,即時是不穩(wěn)定平衡。當(dāng)時,由上式可知：當(dāng)且時,即是穩(wěn)定平衡位置；當(dāng)且時,即是不穩(wěn)定平衡位置。4-15半徑為的半圓住在另一半徑為的半圓柱上保持平衡,如圖所示。試討論對無滑動的滾動擾動的穩(wěn)定性。解：取半徑為r的半圓柱為研究對象,圓心為C。半圓柱作純滾動,有一個自由度,取兩個半圓心連線與y軸夾角為廣義坐標(biāo)。作用在半圓柱上的主動力為重力,系統(tǒng)為保守系統(tǒng),如圖所示,其中。由于半圓柱作純滾動,有：〔1取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢能位置,則半圓柱在任意位置的勢能為：代入〔1式有：由平衡條件可得為平衡位置。勢能V的二階導(dǎo)數(shù)：由上式可得當(dāng),是穩(wěn)定的。努力學(xué)習(xí)吧！動力學(xué)1－3解：運(yùn)動方程：,其中。將運(yùn)動方程對時間求導(dǎo)并將代入得1－6證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動,xyo xyo 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為,由圖可知:,所以:將,代入上式可得證畢 yz yzox證明：因?yàn)?所以：證畢1－10解：設(shè)初始時,繩索AB的長度為,時刻時的長度為,則有關(guān)系式：,并且將上面兩式對時間求導(dǎo)得：y,y由此解得：〔a<a>式可寫成：,將該式對時間求導(dǎo)得：<b>將<a>式代入<b>式可得：〔負(fù)號說明滑塊A的加速度向上取套筒A為研究對象,受力如圖所示,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程：其中：將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程可得：AOAOAOAOBR解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤的切點(diǎn),由于繩子相對圓盤無滑動,所以,由于繩子始終處于拉直狀態(tài),因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等,即：〔a因?yàn)椤瞓將上式代入〔a式得到A點(diǎn)速度的大小為：〔c由于,〔c式可寫成：,將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對時間求導(dǎo)可得：將上式消去后,可求得：<d>由上式可知滑塊A的加速度方向向左,其大小為AOAOBR根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程：其中：,將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程可得1－13解：動點(diǎn)：套筒A；動系：OC桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動；相對運(yùn)動：直線運(yùn)動；牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理有：,因?yàn)锳B桿平動,所以,由此可得：,OC桿的角速度為,,所以當(dāng)時,OC桿上C點(diǎn)速度的大小為：xx1－15解：動點(diǎn)：銷子M動系1：圓盤動系2：OA桿定系：機(jī)座；運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動：曲線運(yùn)動相對運(yùn)動：直線運(yùn)動牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動根據(jù)速度合成定理有,由于動點(diǎn)M的絕對速度與動系的選取無關(guān),即,由上兩式可得：<a>將〔a式在向在x軸投影,可得：由此解得：1－17解：動點(diǎn)：圓盤上的C點(diǎn)；動系：O1A定系：機(jī)座；運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；相對運(yùn)動：直線運(yùn)動〔平行于O1A牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理有〔a將〔a式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1,,,根據(jù)加速度合成定理有〔b將〔b式在垂直于O1A其中：,,由上式解得：1－19解：由于ABM彎桿平移,所以有?。簞狱c(diǎn)：滑塊M；動系：OC搖桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；相對運(yùn)動：直線運(yùn)動；牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理可求得：,,根據(jù)加速度合成定理將上式沿方向投影可得：由于,,,根據(jù)上式可得：,1-20MOMOAB運(yùn)動分析絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動；相對運(yùn)動：直線運(yùn)動；牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。由運(yùn)動分析可知點(diǎn)的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示,其中：根據(jù)速度合成定理：可以得到：,MOMOAB,根據(jù)加速度合成定理：將上式在軸上投影,可得：,由此求得：1－21Ox’y’解：求汽車B相對汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車Ox’y’?。簞狱c(diǎn)：汽車B；動系：汽車A〔Ox’y’；定系：路面。運(yùn)動分析絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；相對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動〔汽車A繞O做定軸轉(zhuǎn)動求相對速度,根據(jù)速度合成定理將上式沿絕對速度方向投影可得：y’y’因此其中：,由此可得：x’x’O求相對加速度,由于相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動,O相對速度的大小為常值,因此有：1-23質(zhì)量為銷釘M由水平槽帶動,使其在半徑為的固定圓槽內(nèi)運(yùn)動。設(shè)水平槽以勻速向上運(yùn)動,不計(jì)摩擦。求圖示瞬時,圓槽作用在銷釘M上的約束力。MMOMO解：銷釘M上作用有水平槽的約束力和圓槽的約束力〔如圖所示。由于銷釘M的運(yùn)動是給定的,所以先求銷釘?shù)募铀俣?在利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程求約束力。取銷釘為動點(diǎn),水平槽為動系。由運(yùn)動分析可知銷釘?shù)乃俣葓D如圖所示。MOMOMO根據(jù)速度合成定理有由此可求出：。再根據(jù)加速度合成定理有：由于絕對運(yùn)動是圓周運(yùn)動,牽連運(yùn)動是勻速直線平移,所以,并且上式可寫成：因?yàn)?所以根據(jù)上式可求出:。根據(jù)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程有：將該式分別在水平軸上投影：由此求出： 1-24圖示所示吊車下掛一重物M,繩索長為,初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度沿水平滑道平移。試求重物M相對吊車的速度與擺角的關(guān)系式。MM解：由于要求重物相對吊車的速度,所以取吊車為動系,重物M為動點(diǎn)。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程有將上式在切向量方向投影有因?yàn)?所以上式可寫成整理上式可得將上式積分：其中為積分常數(shù)〔由初始條件確定,因?yàn)橄鄬λ俣?上式可寫成初始時,系統(tǒng)靜止,,根據(jù)速度合成定理可知,由此確定。重物相對速度與擺角的關(guān)系式為：RRoFθORRoORRoFθORRoO解：取小球?yàn)閯狱c(diǎn),板為動系,小球在水平面的受力如圖所示〔鉛垂方向的力未畫出。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程有：將上式在上投影有因?yàn)?,,所以上式可寫成整理該式可得： 將該式積分有： 初始時,,由此確定積分常數(shù),因此得到相對速度為1-27重為P的小環(huán)M套在彎成形狀的金屬絲上,該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度轉(zhuǎn)動,如圖所示。試求小環(huán)M的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。MMMM解：取小環(huán)為動點(diǎn),金屬絲為動系,根據(jù)題意,相對平衡位置為,因?yàn)榻饘俳z為曲線,所以,因此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程有：其中：,將上式分別在軸上投影有〔a以為,,,因此〔b由〔a式可得〔c將和式〔b代入式〔c,并利用,可得：再由方程〔a中的第一式可得x2-1解：當(dāng)摩擦系數(shù)足夠大時,平臺ABx相對地面無滑動,此時摩擦力取整體為研究對象,受力如圖,系統(tǒng)的動量：將其在軸上投影可得：根據(jù)動量定理有：即：當(dāng)摩擦系數(shù)時,平臺AB的加速度為零。當(dāng)摩擦系數(shù)時,平臺AB將向左滑動,此時系統(tǒng)的動量為：將上式在軸投影有：根據(jù)動量定理有：由此解得平臺的加速度為：〔方向向左x2-2取彈簧未變形時滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn),取整體為研究對象,受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動量為：x將上式在x軸投影：根據(jù)動量定理有：系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：2－4取提起部分為研究對象,受力如圖<a>所示,提起部分的質(zhì)量為,提起部分的速度為,根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對速度為,方向向下,大小為〔如圖a所示。yy<a><b>根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程有：將上式在y軸上投影有：由于,所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對象,由于地面上的物體沒有運(yùn)動,并起與提起部分沒有相互作用力,因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力,即：x2－5將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn),取其為研究對象,x受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程有：船的質(zhì)量為：,水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應(yīng)用分離變量法可求得由初始條件確定積分常數(shù)：,并代入上式可得：圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動,板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為,質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動,其相對方板的速度大小為〔常量。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為。質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由確定。初始時,,方板的角速度為零,求方板的角速度與角的關(guān)系。ooM圖a圖b解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對象,作用在研究對象上的外力對轉(zhuǎn)軸z的力矩為零,因此系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒。下面分別計(jì)算方板和質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的動量矩。設(shè)方板對轉(zhuǎn)軸的動量矩為,其角速度為,于是有設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對轉(zhuǎn)軸的動量矩為,取方板為動系,質(zhì)點(diǎn)M為動點(diǎn),其牽連速度和相對速度分別為。相對速度沿相對軌跡的切線方向,牽連速度垂直于OM連線。質(zhì)點(diǎn)M相對慣性參考系的絕對速度。它對轉(zhuǎn)軸的動量矩為其中：系統(tǒng)對z軸的動量矩為。初始時,,此時系統(tǒng)對z軸的動量矩為當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動到圖8-12位置時,系統(tǒng)對z軸的動量矩為由于系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。所以有,因此可得：由上式可計(jì)算出方板的角速度為2－11取鏈條和圓盤為研究對象,受力如圖〔鏈條重力未畫,設(shè)圓盤的角速度為,則系統(tǒng)對O軸的動量矩為：根據(jù)動量矩定理有：PP整理上式可得：由運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知：,因此有：。上式可表示成：令,上述微分方程可表示成：,該方程的通解為：根據(jù)初始條件：可以確定積分常數(shù),于是方程的解為：系統(tǒng)的動量在x軸上的投影為：系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為：根據(jù)動量定理：由上式解得：,2－14取整體為研究對象,系統(tǒng)的動能為：其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若是AB桿上的A點(diǎn)相對楔塊C的速度,則根據(jù)復(fù)合運(yùn)動速度合成定理可知：,因此系統(tǒng)的動能可表示為：,系統(tǒng)在運(yùn)動過程中,AB桿的重力作功。根據(jù)動能定理的微分形式有：,系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示成：由上式解得：,ABAB2－17質(zhì)量為的均質(zhì)物塊上有一半徑為的半圓槽,放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動,初始時,系統(tǒng)靜止,小球在A處。求小球運(yùn)動到B處時相對物塊的速度、物塊的速度、槽對小球的約束力和地面對物塊的約束力。ABAB圖A圖B解：取小球和物塊為研究對象,受力如圖B所示,由于作用在系統(tǒng)上的主動力均為有勢力,水平方向無外力,因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,水平動量守恒。設(shè)小球?yàn)閯狱c(diǎn),物塊為動系,設(shè)小球相對物塊的速度為,物塊的速度為,則系統(tǒng)的動能為設(shè)為勢能零點(diǎn),則系統(tǒng)的勢能為根據(jù)機(jī)械能守恒定理和初始條件有,即<1>系統(tǒng)水平方向的動量為：<2>根據(jù)系統(tǒng)水平動量守恒和初始條件由<2>式有由此求出,將這個結(jié)果代入上面的機(jī)械能守恒式<1>中,且最后求得：下面求作用在小球上的約束力和地面對物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對象,受力如圖C,D所示。設(shè)小球的相對物塊的加速度為,物塊的加速度為,對于小球有動力學(xué)方程〔aABAABAB圖C圖D對于物塊,由于它是平移,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動動力學(xué)方程有〔b將方程〔a在小球相對運(yùn)動軌跡的法線方向投影,可得其中相對加速度為已知量,。將方程〔b在水平方向和鉛垂方向投影,可得令,聯(lián)立求解三個投影方程可求出2－18取小球?yàn)檠芯繉ο?兩個小球?qū)ΨQ下滑,設(shè)圓環(huán)的半徑為R。每個小球應(yīng)用動能定理有：〔a將上式對時間求導(dǎo)并簡化可得：<b>每個小球的加速度為取圓環(huán)與兩個小球?yàn)檠芯繉ο?應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理將上式在y軸上投影可得：將<a>,<b>兩式代入上式化簡后得時對應(yīng)的值就是圓環(huán)跳起的臨界值,此時上式可表示成上述方程的解為：圓環(huán)脫離地面時的值為而也是方程的解,但是時圓環(huán)已脫離地面,因此不是圓環(huán)脫離地面時的值。2－19取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉ο?。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對鉛垂軸的動量矩守恒。設(shè)小球相對圓柱的速度為,牽連速度為,由系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒,有：zz其中：,則上式可表示成：由此解得：其中：,根據(jù)動能定理積分式,有：其中：,將其代入動能定理的積分式,可得：將代入上式,可求得：則：由可求得：2－20取鏈條為研究對象,設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為應(yīng)用動量矩定理,鏈條對O軸的動量矩為：外力對O軸的矩為：因?yàn)椋?所以上式可表示成：積分上式可得：由初始條件確定積分常數(shù),最后得：3－3取套筒B為動點(diǎn),OA桿為動系根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理可得：,研究AD桿,應(yīng)用速度投影定理有：,再取套筒D為動點(diǎn),BC桿為動系,根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理將上式在x軸上投影有：,3－4AB構(gòu)件〔灰色物體作平面運(yùn)動,已知A點(diǎn)的速度CAB的速度瞬心位于C,應(yīng)用速度瞬心法有：C,設(shè)OB桿的角速度為,則有設(shè)P點(diǎn)是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點(diǎn),該點(diǎn)的速度：齒輪I的角速度為：3－6AB桿作平面運(yùn)動,取A為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有：將上式在AB連線上投影,可得因此,因?yàn)锽點(diǎn)作圓周運(yùn)動,此時速度為零,因此只有切向加速度〔方向如圖。根據(jù)加速度基點(diǎn)法公式將上式在AB連線上投影,可得,〔瞬時針3－7齒輪II作平面運(yùn)動,取A為基點(diǎn)有xy將上式在x投影有：由此求得：再將基點(diǎn)法公式在y軸上投影有：,由此求得再研究齒輪II上的圓心,取A為基點(diǎn)將上式在y軸上投影有,由此解得：再將基點(diǎn)法公式在x軸上投影有：由此解得：,又因?yàn)橛纱丝傻茫?－9卷筒作平面運(yùn)動,C為速度瞬心,其上D點(diǎn)的速度為,卷筒的角速度為：角加速度為：卷筒O點(diǎn)的速度為：O點(diǎn)作直線運(yùn)動,其加速度為：OOCB研究卷筒,取O為基點(diǎn),求B點(diǎn)的加速度。將其分別在x,y軸上投影同理,取O為基點(diǎn),求C點(diǎn)的加速度。將其分別在x,y軸上投影P3－10圖示瞬時,AB桿瞬時平移,因此有：PAB桿的角速度：圓盤作平面運(yùn)動,速度瞬心在P點(diǎn),圓盤的的角速度為：圓盤上C點(diǎn)的速度為：AB桿上的A、B兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動,取A為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有將上式在x軸上投影可得：因此：由于任意瞬時,圓盤的角速度均為：將其對時間求導(dǎo)有：,由于,所以圓盤的角加速度。BCBC圓盤作平面運(yùn)動,取B為基點(diǎn),根據(jù)基點(diǎn)法公式有：P3－13滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度P和加速度。AB桿作平面運(yùn)動,其速度瞬心為P,AB桿的角速度為：桿上C點(diǎn)的速度為：取AB桿為動系,套筒C為動點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理有：其中：,根據(jù)幾何關(guān)系可求得：AB桿作平面運(yùn)動,其A點(diǎn)加速度為零,B點(diǎn)加速度鉛垂,由加速度基點(diǎn)法公式可知由該式可求得由于A點(diǎn)的加速度為零,AB桿上各點(diǎn)加速度的分布如同定軸轉(zhuǎn)動的加速度分布,AB桿中點(diǎn)的加速度為：再取AB桿為動系,套筒C為動點(diǎn),根據(jù)復(fù)合運(yùn)動加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牽連加速度就是AB桿上C點(diǎn)的加速度,即：將上述公式在垂直于AB桿的軸上投影有：科氏加速度,由上式可求得：3-14：取圓盤中心為動點(diǎn),半圓盤為動系,動點(diǎn)的絕對運(yùn)動為直線運(yùn)動；相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動；牽連運(yùn)動為直線平移。由速度合成定理有：OAB圖A速度圖如圖A所示。由于動系平移,所以, 根據(jù)速度合成定理可求出：由于圓盤O1在半圓盤上純滾動,圓盤O1相對半圓盤的角速度為：由于半圓盤是平移,所以圓盤的角速度就是其相對半圓盤的角速度。再研究圓盤,取為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有：OOAB圖B為求B點(diǎn)的加速度,先求點(diǎn)的加速度和圓盤的角加速度。取圓盤中心為動點(diǎn),半圓盤為動系,根據(jù)加速度合成定理有圖C〔a圖C其加速度圖如圖C所示,,OO將公式〔a在和軸上投影可得： 由此求出：,圓盤的角加速度為：下面求圓盤上B點(diǎn)的加速度。取圓盤為研究對象,為基點(diǎn),應(yīng)用基點(diǎn)法公式有：〔bOOB圖D將〔b式分別在軸上投影：其中：,由此可得：3－15〔b取BC桿為動系〔瞬時平移,套筒A為動點(diǎn)〔勻速圓周運(yùn)動。根據(jù)速度合成定理有：由上式可解得：因?yàn)锽C桿瞬時平移,所以有：Pyx3－15〔d取Pyx套筒A為動點(diǎn)〔勻速圓周運(yùn)動。BC桿作平面運(yùn)動,其速度瞬心為P,設(shè)其角速度為根據(jù)速度合成定理有：根據(jù)幾何關(guān)系可求出：將速度合成定理公式在x,y軸上投影::由此解得:DC桿的速度3-16<b>BC桿作平面運(yùn)動,根據(jù)基點(diǎn)法有:由于BC桿瞬時平移,,上式可表示成:將上式在鉛垂軸上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC桿為動系〔平面運(yùn)動,套筒A為動點(diǎn)〔勻速圓周運(yùn)動。<a>y其中:為科氏加速度,因?yàn)?所以y動點(diǎn)的牽連加速度為:由于動系瞬時平移,所以,牽連加速度為,則<a>式可以表示成將上式在y軸上投影:由此求得:yx3－16<d>取BC桿為動系,套筒yx動點(diǎn)A的牽連加速度為動點(diǎn)的絕對加速度為其中為動點(diǎn)A的科氏加速度。將上式在y軸上投影有上式可寫成<a>其中：〔見3－15d為BC桿的角加速度。再取BC桿上的C點(diǎn)為動點(diǎn),套筒為動系,由加速度合成定理有yx其中,上式可表示為yx將上式在y軸投影有：該式可表示成：〔b聯(lián)立求解<a>,<b>可得POR3－17AB桿作平面運(yùn)動,其速度瞬心位于POR可以證明：任意瞬時,速度瞬心P均在以O(shè)為圓心,R為半徑的圓周上,并且A、O、P在同一直徑上。由此可得AB桿任何時刻的角速度均為桿上B點(diǎn)的速度為：ORORxyAB桿的角加速度為：取A為基點(diǎn),根據(jù)基點(diǎn)法有將上式分別在x,y軸上投影有xy3－18取DC桿上的C點(diǎn)為動點(diǎn),構(gòu)件ABxy根據(jù)幾何關(guān)系可求得：再取DC桿上的D點(diǎn)為動點(diǎn),構(gòu)件AB為動系由于BD桿相對動系平移,因此將上式分別在x,y軸上投影可得xy求加速度：研究Cxy將上式在y軸投影有由此求得再研究D點(diǎn)由于BD桿相對動系平移,因此將上式分別在x,y軸上投影有3－21由于圓盤純滾動,所以有根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理有：根據(jù)相對質(zhì)心的動量矩定理有求解上式可得：,若圓盤無滑動,摩擦力應(yīng)滿足,由此可得：當(dāng)：時,3－22研究AB桿,BD繩剪斷后,其受力如圖所示,由于水平方向沒有力的作用,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理可知AB桿質(zhì)心C的加速度鉛垂。由質(zhì)心運(yùn)動定理有：根據(jù)相對質(zhì)心的動量矩定理有：剛體AB作平面運(yùn)動,運(yùn)動初始時,角速度為零。PA點(diǎn)的加速度水平,AB桿的加速度瞬心位于P點(diǎn)。P有運(yùn)動關(guān)系式求解以上三式可求得：3－25設(shè)板和圓盤中心O的加速度分別為AR,圓盤的角加速度為,圓盤上與板AR的接觸點(diǎn)為A,則A點(diǎn)的加速度為將上式在水平方向投影有〔a取圓盤為研究對象,受力如圖,應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理有 <b>應(yīng)用相對質(zhì)心動量矩定理有 <c>再取板為研究對象,受力如圖,應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理有 <d>作用在板上的滑動摩擦力為：<e>由<a><b><c><d><e>聯(lián)立可解得：3－29解：由于系統(tǒng)在運(yùn)動過程中,只有AB桿的重力作功,因此應(yīng)用動能定理,可求出有關(guān)的速度和加速度。系統(tǒng)運(yùn)動到一般位置時,其動能為AB桿的動能與圓盤A的動能之和：P其中：因此系統(tǒng)的動能可以表示成：系統(tǒng)從位置運(yùn)動到任意角位置,AB桿的重力所作的功為：根據(jù)動能定理的積分形式初始時系統(tǒng)靜止,所以,因此有將上式對時間求導(dǎo)可得：將上式中消去可得：根據(jù)初始條件,可求得初始瞬時AB桿的角加速度：因?yàn)?所以AB桿的角加速度為順時針。初始瞬時AB桿的角速度為零,此時AB桿的加速度瞬心在點(diǎn),由此可求出AB桿上A點(diǎn)的加速度：C3－33設(shè)碰撞后滑塊的速度、AB桿的角速度如圖所示C根據(jù)沖量矩定理有：<a>其中：為AB桿質(zhì)心的速度,