向量的數(shù)量積

623向量的數(shù)量積復習回顧向量加法平行四邊形法則：三角形法則：向量減法相反向量三角形法則向量的數(shù)乘向量數(shù)乘意義（長度、方向）向量共線定理一、呈現(xiàn)背景提出問題前面我們學習了向量的加法、減法運算類比數(shù)的運算，出現(xiàn)了一個自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？其中是

與

的夾角一個物體在力

的作用下產(chǎn)生位移，那么所做的功功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念【1】功W是一個數(shù)量，既涉及長度又涉及角度，且只與這兩個量有關；【2】當0≤θ＜90°時，W＞0；當θ=90°時，力的方向和位移的方向互相垂直，W=0，力F不做功；當90°＜θ≤180°時，W＜0，既力F做負功已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ0≤θ≤π叫做向量a與b的夾角．特例：①當θ＝0時，向量a，b同向．②當θ＝π時，向量a，b反向．③當θ＝2π時，向量a，b垂直，記作a⊥b1．兩向量的夾角二、分析聯(lián)想尋求方法注意：（1）根據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量夾角是將兩個向量的起點移到同一點，這樣兩向量所成的角才是這兩個向量的夾角；（2）向量與之間的夾角θ的取值范圍是向量有方向；已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ2．平面向量數(shù)量積的定義二、分析聯(lián)想尋求方法特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0注：(1)兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關.三、猜想驗證得出結論例題9：已知|a|=3，|b|=4,a與b的夾角，求a?b例題10：已知|a|=12，|b|=9,，求a與b的夾角CBA3．投影向量設a，b是兩個非零向量，

＝a，

＝b，過

的起點A和終點B，分別作

所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到

，我們稱這種變換為向量a向向量b投影，

叫做向量a在向量b上的投影向量．三、猜想驗證得出結論我們可以在平面內(nèi)任取一點，作過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量探究：如圖6.2-20(2)，設與方向相同的單位向量為與的夾角為，那么與，之間有怎樣的關系？三、猜想驗證得出結論圖(1)圖(2)圖(3)三、猜想驗證得出結論圖(5)圖(4)綜上可知，對任意的都有三、猜想驗證得出結論探究：從上面的探究我們看到，兩個非零向量與相互平行或垂直時，向量在上的投影向量具有特殊性這時，他們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性呢？a·b＝|a||b|cosθ設是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.三、猜想驗證得出結論復習回顧一．兩向量的夾角二．向量的數(shù)量積三．投影向量四．向量數(shù)量積的性質一．兩向量的夾角同向反向垂直二．向量的數(shù)量積已知兩個向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的或，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθθ為a，b的夾角．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為注意：1“·”是數(shù)量積的運算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“×”；2數(shù)量積的結果為數(shù)量，不再是向量；3向量數(shù)量積的正負由兩個向量的夾角θ決定:當θ是銳角時，數(shù)量積為正；當θ是鈍角時，數(shù)量積為負；當θ是直角時，數(shù)量積等于零．非零數(shù)量積內(nèi)積0三．投影向量|a|e0－|a|e四．向量數(shù)量積的性質|a|cosθa·b＝0－|a||b||a|2|a||b|數(shù)量積的性質的應用：性質2可用于解決與兩個非零向量垂直有關的問題；性質3表明：當兩個向量相等時，這兩個向量的數(shù)量積等于向量長度的平方，因此可用于求向量的模；性質4可以解決有關“向量不等式”的問題；性質5的實質是平面向量數(shù)量積的逆用，可用于求兩向量的夾角，也稱為夾角公式．練習1、已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，則a·b為________．探究：類比數(shù)的乘法運算律，結合向量的線性運算律，你能得到數(shù)量積的哪些運算律？與向量的線性運算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究數(shù)量積運算是否滿足一些運算律1a·b＝b·a2λa·b＝λa·b＝a·λb．3a＋b·c＝a·c＋b·c①λμa＝λμa；②λ＋μa＝λa＋μa；③λa＋b＝λa＋λb；如何證明？二、分析聯(lián)想尋求方法1a·b＝b·a2λa·b＝λa·b＝a·λb．二、分析聯(lián)想尋求方法3a＋b·c＝a·c＋b·c1a·b＝b·a2λa·b＝λa·b＝a·λb3a＋b·c＝a·c＋b·c思考：a·b·c＝a·b·c成立嗎？a·b·c≠a·b·c，因為a·b，b·c是數(shù)量積，是實數(shù)，不是向量，所以a·b·c與向量c共線，a·b·c與向量a共線．因此，a·b·c＝a·b·c在一般情況下不成立．向量數(shù)量積的運算律：三、猜想驗證得出結論例題講解題型一求平面向量的數(shù)量積題型二求向量的模題型三求兩向量的夾角題型四利用向量垂直求參數(shù)題型一求平面向量的數(shù)量積例1已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為120°，試求：1a·b；2a＋b·a－b；32a－b·a＋3b．總結求向量的數(shù)量積時，需明確兩個關鍵點：模和夾角．若相關向量是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量數(shù)量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡．跟蹤訓練1題型二求向量的模例2已知平面向量a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝?？偨Y跟蹤訓練2題型三求兩向量的夾角例31已知|a|＝6，|b|＝4，a＋2b·a－3b＝－72，則a與b的夾角為_____。2已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且a－b⊥b，則a與b的夾角為______．總結跟蹤訓練3題型四利用向量垂直求參數(shù)例4已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝