知識(shí)資料第十七章數(shù)制、編碼及邏輯代數(shù)(三)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁表證實(shí)兩變量的摩根定理的真值表AB000110111000100011101110由表可見（2）關(guān)于等式的若干規(guī)矩1)代入規(guī)矩將等式兩邊浮上的同一變量都以一個(gè)相同的邏輯函數(shù)代之，則等式仍成立，這個(gè)規(guī)矩稱為代入規(guī)矩。利用代入規(guī)矩可以擴(kuò)大等式的應(yīng)用范圍，無數(shù)基本公式都可以由兩變量或三變量推廣為多變量的形式。例如，摩根定理的兩變量形式為及，利用代入法則，將前式“B”的位置以(B·C)代入，后式“B”的位置以(B＋C)代入就可得到表中三變量形式的摩根定理。從而，摩根定理得到了擴(kuò)展。2）反演規(guī)矩對(duì)于一個(gè)邏輯式Z，倘若把其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量、反變量換成原變量，那么得到的函數(shù)式就是，這個(gè)規(guī)矩叫做反演規(guī)矩。它為求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)提供了方便。在使用反演規(guī)矩時(shí)需要注重兩點(diǎn)：①必須遵守“先括號(hào)、然后乘、最后加”的順序。②不屬于單個(gè)變量上反號(hào)應(yīng)保留不變。3）對(duì)偶規(guī)矩對(duì)于任何一個(gè)邏輯式Z，倘若把其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，則得到一個(gè)新的函數(shù)式，這就是函數(shù)Z的對(duì)偶式，記作。可以證實(shí)，若兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等，這就是對(duì)偶規(guī)矩。運(yùn)用對(duì)偶規(guī)矩可以使人們要證實(shí)的公式大大減少。倘若要求證和是否相等，則只需證實(shí)其對(duì)偶式、是否相等。例如，分配律為A（B+C）=AB+AC，求這一個(gè)公式兩邊的對(duì)偶式，則有分配律A+BC=（A+B）（B+C）成立。倘若已證實(shí)前式成立，那么后式就不必再證實(shí)了，它一定成立。17.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)的意義：將邏輯函數(shù)化成最簡(jiǎn)形式便于在用電路實(shí)現(xiàn)時(shí)節(jié)約器件。（1）邏輯函數(shù)式最簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)邏輯函數(shù)式有多種形式，如與或式，或與式，與非與非式，或非或非式等等。Y=AB+A'C 與或式=((AB+A'C)')'=((AB)'(A'C)')' 與非與非式 兩次取反=((AB+A'C)')'=((A'+B')(A+C'))'=(AB'+A'C'+B'C')'=(AB'+A'C')'=(A'+B)(A+C) 或與式=(((A'+B)(A+C))')'=((A'+B)'+(A+C)')' 或非或非式 兩次取反=(AB'+A'C')' 與或非式與或式使用最多，因此我們只研究與或式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)1．包含的與項(xiàng)最少；2．在滿意1項(xiàng)的前提下，每個(gè)與項(xiàng)包含的變量個(gè)數(shù)最少。（2）化簡(jiǎn)主意我們通過一些例子說明如何應(yīng)用這些公式舉行化簡(jiǎn)1）并項(xiàng)法：A+A'=12）吸收法：A+AB=AY=AB+A(C+D)B=AB3）消因子法：A+A'B=A+BY=AC+A'D+C'D=AC+(AC)'D=AC+D4）消項(xiàng)法：AB+A'C+BC=AB+AC'Y=AC+AD'+(C+D)'=AC+AD'+C'D'=AC+C'D'5）配項(xiàng)法：A=A+A1=A+A'AB+A'C=AB+AC'+BCY1=A'BC'+A'BC+ABC=A'BC'+A'BC+A'BC+ABC=A'B+BCY2=AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C+AC'=A'B+B'C+AC'或Y2=AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C+A'C=AB'+BC'+A'C卡諾圖化簡(jiǎn)法1.卡諾圖的構(gòu)成形狀：●二變量卡諾圖有22=4個(gè)小方格；●三變量卡諾圖有23=8個(gè)小方格；●四變量卡諾圖有24=16個(gè)小方格；普通4個(gè)小方格和16個(gè)小方格的卡諾圖組成正方形；8個(gè)小方格的卡諾圖組成長(zhǎng)方形。(固然，也有五變量和六變量的卡諾圖，它們有不同的設(shè)計(jì)主意)坐標(biāo)軸：也有橫軸和縱軸。與普通代數(shù)中的平面直角坐標(biāo)軸的稱呼不太相同。下面的主意把坐標(biāo)軸和變量聯(lián)系起來記憶，可以方便學(xué)習(xí)。●二變量(A,B)卡諾圖的橫軸稱為A橫軸，縱軸稱為B縱軸；●三變量(A,B,C)卡諾圖的橫軸稱為AB橫軸，縱軸稱為C縱軸；●四變量(A,B,C,D)卡諾圖的橫軸稱為AB橫軸，縱軸稱為CD縱軸。坐標(biāo)：橫坐標(biāo)從左到右，縱坐標(biāo)從上到下都按升序。●當(dāng)坐標(biāo)軸為一個(gè)變量時(shí)，升序?yàn)?，1。如A橫軸，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，A。余類推?！癞?dāng)坐標(biāo)軸為二個(gè)變量時(shí)，升序?yàn)?0，01，11，10。(注重：這種升序是二進(jìn)制數(shù)00，01，10，11對(duì)應(yīng)的格雷碼)，如AB橫軸，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，B，AB，A。余類推?！癞?dāng)坐標(biāo)軸為三個(gè)變量時(shí)，升序?yàn)?00，001，011，010，110，111，101，100。(注重：這種升序是二進(jìn)制數(shù)000，001，010，011，100，101，110，111對(duì)應(yīng)的格雷碼)卡諾圖中小方格的內(nèi)容：每一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。宛若平面直角坐標(biāo)系一樣，平面上的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是先橫后列。例如四變量的卡諾圖中，最小項(xiàng)m5對(duì)應(yīng)的AB橫軸坐標(biāo)為01(即為B)，CD縱軸坐標(biāo)為01(即為D)，故m5=BD。2.邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示⑴若邏輯函數(shù)表達(dá)式是“最小項(xiàng)之和”的形式，如F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=m2＋m3＋m6＋m7,則在直接在三變量卡諾圖中對(duì)應(yīng)m2、m3、m6、m7的小方格內(nèi)填1，其余方格填0。●填1的方格稱為1方格，填0的方格稱為0方格。●普通不填0方格，以求圖象清淅。⑵若邏輯函數(shù)是“與－或”表達(dá)式，如F(A,B,C)=C+B+AC+BC在三變量卡諾圖中，填C時(shí)，因惟獨(dú)一個(gè)橫坐標(biāo)，故應(yīng)先在AB橫軸上找出開始為0的坐標(biāo)(這個(gè)0對(duì)應(yīng)著)：00和01的兩列，然后在C縱軸上找出坐標(biāo)為1的一列，這樣就在卡諾圖中找到了001和011的兩個(gè)1方格。相當(dāng)于C+BC=C。填B時(shí)，因惟獨(dú)橫坐標(biāo)，無縱坐標(biāo)，故在AB橫軸上找出坐標(biāo)01后，在這一列的所有兩個(gè)小方格內(nèi)填1(即兩個(gè)1方格)。相當(dāng)于BC+B=B。填BC時(shí)，因惟獨(dú)一個(gè)橫坐標(biāo)B，故應(yīng)先在AB橫軸上找出第二個(gè)坐標(biāo)為1的坐標(biāo)(這個(gè)1對(duì)應(yīng)著B)的11和01的兩列，然后在C縱軸上找出坐標(biāo)為1的一列，這樣就在卡諾圖中找到了111和011的兩個(gè)1方格。相當(dāng)于ABC+BC=BC。填A(yù)C時(shí)，因它是最小項(xiàng)，故在AB橫軸上找出坐標(biāo)10后，然后在C縱軸上找出坐標(biāo)為1的一列，就找到了101這個(gè)小方格?！褡⒅兀禾热粼谝粋€(gè)小方格內(nèi)填了兩個(gè)1，最后就以一個(gè)1代替。因1+1=1。●這個(gè)例子告訴我們，用邏輯函數(shù)“與－或”表達(dá)式填圖，不必先轉(zhuǎn)化成最小項(xiàng)表達(dá)式，可以用這種主意直接填圖，簡(jiǎn)化填圖手續(xù)。3.卡諾圖上最小項(xiàng)的合并卡諾圖的一個(gè)重要應(yīng)用就是把邏輯函數(shù)簡(jiǎn)化成最簡(jiǎn)“與－或”表達(dá)式或者“或－與”表達(dá)式。相鄰的概念：幾何相鄰，邏輯相鄰?！駜蓚€(gè)相鄰項(xiàng)(1方格)可以合并成一項(xiàng)，并且消去一個(gè)變量。●四個(gè)相鄰項(xiàng)(1方格)可以合并成一項(xiàng)，并且消去兩個(gè)變量。●八個(gè)相鄰項(xiàng)(1方格)可以合并成一項(xiàng)，并且消去三個(gè)變量。●十六個(gè)相鄰項(xiàng)(1方格)可以合并成一項(xiàng)，并且消去四個(gè)變量?！?若一個(gè)卡諾圖中所有的方格都是1方格，則合并后變量所有消去，這項(xiàng)為1。)4.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖一定能將邏輯函數(shù)化成最簡(jiǎn)的“與－或”或者“或－與”表達(dá)式。但最簡(jiǎn)的表達(dá)式不一定是唯一的?！镒詈?jiǎn)“與－或”表達(dá)式的化簡(jiǎn)步驟：第一步：將邏輯函數(shù)填圖。第二步：對(duì)卡諾圖中的１方格畫卡諾圈。⑴在滿意合并條件下，卡諾圈應(yīng)盡可能大；(一個(gè)卡諾圈對(duì)應(yīng)一個(gè)“與”項(xiàng)，圈越大，這一項(xiàng)變量的個(gè)數(shù)就越少。)●實(shí)際上，按照邏輯函數(shù)的代入規(guī)矩，一個(gè)１方格卡諾圈對(duì)應(yīng)這個(gè)邏輯函數(shù)的一個(gè)子函數(shù)。⑵在籠罩所有１方格的前提下，卡諾圈的個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能小；(一個(gè)卡諾圈對(duì)應(yīng)一個(gè)“與”項(xiàng)，圈的個(gè)數(shù)越少，邏輯函數(shù)的項(xiàng)數(shù)就越少。)⑶每個(gè)１方格可按照合并的需要被多個(gè)卡諾圈包含，但至少應(yīng)被一個(gè)卡諾圈包含；※⑷每個(gè)卡諾圈中應(yīng)至少有一個(gè)１方格只被一個(gè)卡諾圈包含。否則會(huì)多出冗余項(xiàng)。第三步：將卡諾圖上所有卡諾圈對(duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)相“或”，得到邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“與－或”表達(dá)式。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)中有關(guān)問題的考慮1．包含無關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)無關(guān)最小項(xiàng)的概念：在一個(gè)邏輯函數(shù)的所有最小項(xiàng)中，某些輸入變量的取值組合(即某些最小項(xiàng))，對(duì)應(yīng)的輸出變量(函數(shù))根本不會(huì)浮上，即沒有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。這時(shí)的函數(shù)值既可以看成1，又可以看成0，普通用d表示。●無關(guān)最小項(xiàng)又叫隨意項(xiàng)?！裨诳ㄖZ圖中畫卡諾圈時(shí)，若要得出“與－或”表達(dá)式，d方格應(yīng)圍繞１方格來圈，若要得出“或－與”表達(dá)式，d方格應(yīng)圍繞０方格來圈，多余的d方格棄之不圈。2．多輸出邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)在化簡(jiǎn)多輸出邏輯函數(shù)時(shí)，不是僅僅考慮單個(gè)函數(shù)最簡(jiǎn)，而是以多個(gè)函數(shù)整體最簡(jiǎn)為目標(biāo)?！窕?jiǎn)的關(guān)鍵是充足利用各函數(shù)間的分享部分?！窕?jiǎn)后的結(jié)果對(duì)單個(gè)函數(shù)來說可能不是最簡(jiǎn)的，但化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)是整體上項(xiàng)數(shù)最少。例題【例1】將二進(jìn)制數(shù)(1001)B轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。(1001)B=1×23+0×22+0×21+1×20=(9)D【例2】將八進(jìn)制數(shù)(257)O轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。(257)O=2×82+5×81+7×80=(175)D【例3】將十進(jìn)制數(shù)(25)D轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。225余1最低位212………余026………余023………余121………余1最高位0最后的商為0所以(25)D=(11001)B【例6】(75E)H=(?)B(75E)H=(011101011110)B【例4】(137)O=(?)B(137)O=(001011111)B【例8】(75E)H=(?)O(75E)H=(011101011110)B=（011101011110）B=（3536）O【例9】將十進(jìn)制數(shù)(13)D轉(zhuǎn)換成8421BCD碼。(13)D=(00010011)8421BCD(0001011101010000)8421BCD=(?)D(0001011101010000)8421BCD(1750)D00011110001×01×111×××101××例10：Y(A,B,C,D)=m1+m7+m8約束條件為：m3+m5+m9+m10+m12+m14+m15=0解：（用公式法）Y=(A'B'C'D+A'B'CD)+(A'BCD+A'BC'D)+(AB'C'D'+A