振動(dòng)理論與應(yīng)用第8章-彈性體的一維振動(dòng)

返回總目錄制作與設(shè)計(jì)賈啟芬振動(dòng)理論與應(yīng)用TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動(dòng)第8章彈性體的一維振動(dòng)目錄返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.4梁的橫向受迫振動(dòng)8.5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形對(duì)梁振動(dòng)的影響8.6軸向力作用對(duì)梁的橫向振動(dòng)的影響

8.7梁橫向振動(dòng)的近似解法

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動(dòng)8.1桿的縱向振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.1等直桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型8.1.3主振型的正交性返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.1等直桿的縱向振動(dòng)實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)，都具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因此，稱(chēng)之為彈性體系統(tǒng)。同時(shí)符合理想彈性體的基本假設(shè)，即均勻、各向同性服從虎克定律。由于確定彈性體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此彈性體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)，它的振動(dòng)規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程，但是在物理本質(zhì)上及振動(dòng)的基本概念、分析方法上與有限多個(gè)自由度是相似的。

以桿的縱向作為x軸，在桿上x(chóng)處取微元段dx返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.1等直桿的縱向振動(dòng)均質(zhì)等截面細(xì)直桿，長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，橫截面積為A，材料的彈性模量為E,如圖所示。設(shè)桿在縱向分布力q(x,t)的作用下作縱向振動(dòng)時(shí)，其橫截面保持為平面，并且不計(jì)橫向變形。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.1等直桿的縱向振動(dòng)以桿的縱向作為x軸，在桿上x(chóng)處取微元段dx，其左端縱向位移為u(x)，而右端即桿上x(chóng)+dx處的縱向位移為應(yīng)力為N是x處軸的內(nèi)力應(yīng)變?yōu)閐x段的變形為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.1等直桿的縱向振動(dòng)微元段dx受力如圖。根據(jù)牛頓第二定律得到EA是常數(shù)，可寫(xiě)成這是桿作縱向受迫振動(dòng)方程，常稱(chēng)為波動(dòng)方程。表示彈性波沿桿的縱向傳播的速度返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型系統(tǒng)是無(wú)阻尼的，因此可象解有限多個(gè)自由度系統(tǒng)那樣，假設(shè)一個(gè)主振動(dòng)模態(tài)即設(shè)系統(tǒng)按某一主振型振動(dòng)時(shí)，其上所有質(zhì)點(diǎn)都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?？梢?jiàn)桿上所有的點(diǎn)將同時(shí)經(jīng)過(guò)平衡位置，并同時(shí)達(dá)到極限位置。

得到桿的縱向自由振動(dòng)微分方程為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型即為桿的主振動(dòng)的一般形式。

解可以用x的函數(shù)U(x)與t的諧函數(shù)的乘積表示，即返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型桿有無(wú)窮多個(gè)自由度系統(tǒng)，振型不再是折線(xiàn)而變成一條連續(xù)曲線(xiàn)。振型函數(shù)振動(dòng)規(guī)律當(dāng)U(x)具有非零解，而且符合桿端邊界條件的情況下，求解值p2及振型函數(shù)U(x)稱(chēng)為桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題。p2為特征值，U(x)又稱(chēng)為特征函數(shù)或主振型；而p是固有頻率。代入返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型解可表示為由桿的邊界條件，可以確定p2值及振型函數(shù)U(x)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型現(xiàn)在來(lái)確定各種簡(jiǎn)單邊界條件下桿的固有頻率和主振型1.桿兩端固定的情況邊界條件為即兩端固定桿的頻率方程。由此解出固有頻率為相應(yīng)的主振型為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型分別令i=1,2,3，可得系統(tǒng)的前三階固有頻率和相應(yīng)的主振型為桿的前三階主振型表示如圖所示。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型2.桿的左端固定，右端自由的情況邊界條件為即為一端固定，一端自由桿的頻率方程。解出固有頻率為相應(yīng)的主振型為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型3.桿的兩端都是自由的情況邊界條件為即為兩端自由桿的頻率方程。解出固有頻率為相應(yīng)的主振型為當(dāng)p=0時(shí)，對(duì)應(yīng)了桿的剛體振型。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型例8-1一均質(zhì)等截面細(xì)直桿，長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，橫截面積為A，材料的彈性模量為E。其一端固定，另一端連接彈簧常數(shù)為k的彈簧，試求桿的縱向振動(dòng)的固有頻率及主振型。當(dāng)桿作縱向振動(dòng)時(shí)，桿的右端的彈簧支承相當(dāng)于作用kU(l)之力。因此，邊界條件為解：桿的端部連接彈簧或帶有集中質(zhì)量時(shí)，稱(chēng)復(fù)雜邊界條件。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型頻率方程x=l處桿的抗壓剛度相應(yīng)于固有頻率pi的主振型為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型相應(yīng)的主振型為當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于固定端，有,即討論兩個(gè)極端的情況則頻率方程為若，相當(dāng)于自由端，即返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型例8-2與例8-1中所設(shè)參數(shù)相同的桿，若其一端固定，另一端附有集中質(zhì)量M如圖所示，試求桿作縱向振動(dòng)時(shí)的固有頻率和主振型。當(dāng)桿作縱向振動(dòng)時(shí)，附有集中質(zhì)量的一端相當(dāng)作用有慣性力因此桿的邊界條件為得到C=0解：此系統(tǒng)仍屬于復(fù)雜邊界條件問(wèn)題。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型得頻率方程無(wú)量綱因子質(zhì)量比相應(yīng)的主振型為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.2固有頻率和主振型對(duì)于的情況，將很小，即桿的質(zhì)量遠(yuǎn)小于集中質(zhì)量時(shí)，可以取則得到對(duì)于基頻情況，有其中是不計(jì)桿本身質(zhì)量時(shí)桿的抗壓剛度，以上結(jié)果與不計(jì)桿本身質(zhì)量而將其看成是單自由度系統(tǒng)所得的結(jié)果相同。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.3主振型的正交性因?yàn)椴簧婕爸髡裥偷木唧w形式，所以不對(duì)桿作任何設(shè)定。即桿的質(zhì)量密度、橫截面積等都可以是x的函數(shù)。因此可寫(xiě)出桿的縱向振動(dòng)微分方程式為這里只討論簡(jiǎn)單邊界條件的桿的主振型的正交性。將桿的主振動(dòng)的表達(dá)式代入取特征值問(wèn)題的兩個(gè)解代入返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.3主振型的正交性乘以乘以分別沿桿長(zhǎng)l對(duì)x積分，得再利用分部積分，可將式中左邊積分為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.3主振型的正交性桿端簡(jiǎn)單邊界條件總可以寫(xiě)成1.固定端

2.自由端等于零相減，得就是桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.3主振型的正交性上二式則是桿的主振型關(guān)于剛度的正交性。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.3主振型的正交性當(dāng)i=j時(shí)，式總能成立，令為第j階主質(zhì)量第j階主剛度

Kpj與Mpj的大小取決于第j階主振動(dòng)中常數(shù)的選擇關(guān)系返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動(dòng)8.1.3主振型的正交性與多自由度系統(tǒng)相似，可將主振型函數(shù)Uj進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。如果主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定則得到的主振型稱(chēng)為正則振型，這時(shí)相應(yīng)的第j階主剛度

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動(dòng)8.2桿的縱向受迫振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)與有限多自由度系統(tǒng)一樣，在對(duì)桿進(jìn)行的縱向自由振動(dòng)分析的基礎(chǔ)上，可以用振型疊加法求解桿對(duì)縱向任意激勵(lì)的響應(yīng)。桿的自由振動(dòng)微分方程假定在給定的邊界條件下，已經(jīng)得到各階固有頻率及相應(yīng)的正則振型。根據(jù)類(lèi)似于多自由系統(tǒng)的線(xiàn)性變換，設(shè)通解為第i階正則坐標(biāo)第i階正則振型函數(shù)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)通乘以并沿桿長(zhǎng)l積分這就是以正則坐標(biāo)表示的桿作縱向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。考慮到正交性條件及標(biāo)準(zhǔn)化條件，上式成為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)設(shè)桿的初始條件為正則坐標(biāo)變換乘以沿x桿長(zhǎng)對(duì)積分，得將正交性和歸一化條件代入返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)得到桿以正則坐標(biāo)表示下的對(duì)初始條件的響應(yīng)得到桿對(duì)初始條件的總響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)例8-3一端固定，一端自由的等直桿，長(zhǎng)為l。自由端受到軸向常拉力P的。設(shè)在t=0時(shí)突然去掉此力，求桿的縱向自由振動(dòng)。桿的初始條件為桿的固有頻率及主振型為解：根據(jù)題意，t=0時(shí)桿內(nèi)的應(yīng)變?yōu)榉祷厥醉?yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)桿的固有頻率及主振型為將主振型代入歸一化條件，得得到正則振型為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)得到正則坐標(biāo)表示的初始條件為得到桿以正則坐標(biāo)表示下的對(duì)初始條件的響應(yīng)于是桿的自由振動(dòng)為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)令x=l，其中，若將t=0代入上式，可得初始時(shí)自由端的位移。得桿的自由端的自由振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)此題也可以用直接求解方法解出。根據(jù)已解出的固有頻率及主振型函數(shù)可寫(xiě)出桿的振動(dòng)方程為常數(shù)Ai,Bi由初始條件確定。初始條件為再利用三角函數(shù)的正交性可得返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.1桿對(duì)初始條件的響應(yīng)三角函數(shù)的正交性

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)并沿桿長(zhǎng)l積分受迫振動(dòng)微分方程通乘以這就是在激勵(lì)q(x,t)作用下按正則坐標(biāo)表示的桿的受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。利用正交性及歸一化的條件返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)將形如上式的各個(gè)正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)代入,便得到桿的初始條件下對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)為寫(xiě)出第i個(gè)以正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)為。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)例8-4如圖所示兩端固定的桿，突然受到均布縱向力q(常數(shù))的作用，試求其響應(yīng)。設(shè)初始條件均為零。解：得該桿的固有頻率和主振型為將主振型代入歸一化條件，得返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)考慮到q為常量，并且初始條件均為零，得得到正則振型為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)例8-5圖示的等直桿在自由端作用有簡(jiǎn)諧激振力，其中為F0常數(shù)，求桿的縱向穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。解：由例8-3已知桿的正則振型為得第i個(gè)正則方程為在本例中由于激勵(lì)不是沿桿身作用的分布力，而是集中力。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)對(duì)于如圖所示的在處的集中力，利用函數(shù)，第i個(gè)正則方程為由上式求出正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為F(t)F(t)表示為分布力返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動(dòng)8.2.2桿對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)于是桿的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)為當(dāng)激振力頻率等于桿的任一階固有頻率pi時(shí)，都會(huì)發(fā)生共振。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動(dòng)8.3梁的橫向自由振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.1梁的橫向振動(dòng)微分方程8.3.2固有頻率和主振型返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.1梁的橫向振動(dòng)微分方程圖中的直梁在xy平面內(nèi)作橫向振動(dòng)。假設(shè)梁的各截面的中心主慣性軸在同一平面Oxy內(nèi)，外載荷也作用在該平面，且略去剪切變形的影響及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此梁的主要變形是彎曲變形，這即是通常稱(chēng)為歐拉—伯努利梁(Bernoulli—EulerBeam)的模型。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.1梁的橫向振動(dòng)微分方程在梁上x(chóng)處取長(zhǎng)為dx的微元段。在任意瞬時(shí)t，此微元段的橫向位移用y(x,t)表示；單位長(zhǎng)度梁上分布的外力用p(x,t)表示；單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩用表示m(x,t)。記梁的密度為ρ，橫截面積為A，材料彈性模量為E，截面對(duì)中性軸的慣性矩為J。根據(jù)微段dx的受力圖，寫(xiě)出微段沿y向的運(yùn)動(dòng)微分方程。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.1梁的橫向振動(dòng)微分方程再由各力對(duì)垂直于xy平面的軸的力矩平衡方程，得略去dx的二次項(xiàng)后，并簡(jiǎn)化得得代入材料力學(xué)知識(shí)歐拉—伯努利梁的橫向振動(dòng)微分方程

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.1梁的橫向振動(dòng)微分方程對(duì)于等截面梁，則E、J為常數(shù)，上式又可寫(xiě)成歐拉—伯努利梁的橫向振動(dòng)微分方程

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型得到梁的橫向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解用x的函數(shù)Y(x)與t的諧函數(shù)的乘積表示梁上各點(diǎn)按振型函數(shù)Y(x)作同步諧振動(dòng)

代入在Y(x)符合梁的邊界條件并具有非零解的條件下，由此方程求解p2和振型函數(shù)Y(x)的問(wèn)題，稱(chēng)為梁作橫向振動(dòng)的特征值問(wèn)題。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型對(duì)于等截面梁通解為或表示為根據(jù)梁的邊界條件可以確定β值及振型函數(shù)Y(x)中待定常數(shù)因子。邊界條件要考慮四個(gè)量，即撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力，梁的每個(gè)端點(diǎn)都與其中的兩個(gè)量有關(guān)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型1.固定端在梁的固定端上撓度y與轉(zhuǎn)角等于零，即常見(jiàn)的簡(jiǎn)單邊界條件有如下幾種2.簡(jiǎn)支端在梁的簡(jiǎn)支端上撓度y與彎矩等于零，即3.自由端在梁的自由端上彎矩M與剪力等于零，即返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型下面討論在兩種支承情況下，梁的固有頻率和主振型。1.兩端鉸支這時(shí)的邊界條件為代入由此式得簡(jiǎn)支梁的頻率方程返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型對(duì)應(yīng)于的固有頻率為可見(jiàn)，各固有頻率與梁長(zhǎng)的平方成反比。因此主振型函數(shù)為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型2.左端固定，右端自由因此有代入邊界條件為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型懸臂梁的頻率方程方程的前四個(gè)根為時(shí)，可以取固有頻率為基頻為則主振型函數(shù)為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型則主振型函數(shù)為前三階主振型由圖所示

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型例8-6如圖所示的懸臂梁的自由端附加一集中質(zhì)量M，將附加質(zhì)量視為質(zhì)點(diǎn)，求頻率方程和主振型函數(shù)。解：與桿的復(fù)雜邊界條件相同，梁的端點(diǎn)帶有支承彈簧或附加質(zhì)量，或者兩者都有，為復(fù)雜邊界條件。該題即為復(fù)雜邊界條件問(wèn)題。其邊界條件為

代入返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型

令上面兩式是關(guān)于C1,C2的齊次方程組，具有非零解的充分必要條件是，是其系數(shù)行列式必須為零。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動(dòng)8.3.2固有頻率和主振型

具有非零解的充分必要條件是，是其系數(shù)行列式必須為零，由此得到即頻率方程

則主振型函數(shù)為

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動(dòng)8.4梁的橫向受迫振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動(dòng)8.4.1主振型的正交性8.4.2梁橫向振動(dòng)的受迫響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動(dòng)8.4.1主振型的正交性梁作橫向振動(dòng)時(shí)，振型函數(shù)也具有正交性。這里只討論具有簡(jiǎn)單邊界條件下主振型的正交性，但梁可以是變截面的或非均質(zhì)的。

取特征值問(wèn)題的任意兩個(gè)解代入并且都沿梁的長(zhǎng)度l對(duì)x積分，得乘以乘以返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動(dòng)8.4.1主振型的正交性左邊進(jìn)行分部積分，得對(duì)前面提出的任一種簡(jiǎn)單邊界條件，以上二式已積分出來(lái)的各項(xiàng)均為零。有返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動(dòng)8.4.1主振型的正交性二式相減，得如果時(shí)，有

，則由上式必得即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。

代入代入上面兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。

當(dāng)i=j時(shí)，返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動(dòng)8.4.1主振型的正交性第j階主質(zhì)量第j階主剛度可得到它們的關(guān)系，即如果主振型Yj(x)中的常數(shù)按下列歸一化條件來(lái)確定，即這時(shí)相應(yīng)的第j階主剛度為

總能成立，令由此得到的主振型函數(shù)稱(chēng)為正則振型函數(shù)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動(dòng)8.4.2梁橫向振動(dòng)的受迫響應(yīng)梁的橫向受迫振動(dòng)微分方程與解桿的縱向受迫振動(dòng)的響應(yīng)類(lèi)似，可設(shè)通解為正則振型函數(shù)