第07章 時變電磁場(1)

第七章時變電磁場主要內(nèi)容位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，位函數(shù)，能流密度矢量，正弦電磁場，復(fù)能流密度矢量。7-1位移電流7-2麥克斯韋方程7-3時變電磁場的邊界條件7-4標量位與矢量位7-5位函數(shù)方程的求解7-6能量密度與能流密度矢量7-7唯一性定理7-8正弦電磁場7-9麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式7-10位函數(shù)的復(fù)數(shù)形式7-11能流密度與能流密度矢量的復(fù)數(shù)形式習(xí)題7-4、7-8、7-9、7-12法拉第電磁感應(yīng)定律說明：隨時間變化的磁場會激發(fā)產(chǎn)生電場。那么隨時間變化的電場是否也會激發(fā)產(chǎn)生磁場呢？麥克斯韋針對將安培環(huán)路定理直接應(yīng)用到時變電磁場時出現(xiàn)的矛盾，提出了位移電流假說，對安培環(huán)路定理進行了修正，從而揭示了隨時間變化的電場也能激發(fā)產(chǎn)生磁場。

電磁感應(yīng)定律

——揭示時變磁場產(chǎn)生電場

位移電流

——揭示時變電場產(chǎn)生磁場重要結(jié)論：

在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。在時變情況下，安培環(huán)路環(huán)路是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時間變化的磁場能產(chǎn)生電場，那么隨時間變化的電場是否會產(chǎn)生磁場？靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即這不僅是方程形式的變化，而是一個本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實，即時變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）

（時變場）

7-1位移電流1.全電流定律非時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有

解決辦法：對安培環(huán)路定理進行修正由而由發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用將修正為：矛盾解決

時變電場會激發(fā)磁場全電流定律：——微分形式——積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。2.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無傳導(dǎo)電流，但有位移電流；在理想導(dǎo)體中，無位移電流，但有傳導(dǎo)電流；在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時變電場產(chǎn)生磁場這一重要的物理概念。例1

已知海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。解：設(shè)電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故式中的k

為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。例

2

自由空間的磁場強度為

解

自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得

例

3

銅的電導(dǎo)率、相對介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30GHz～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為7-2麥克斯韋方程麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程

7.2.1

麥克斯韋方程組的積分形式7.2.2

麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場，是全電流定律麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場，是電磁感應(yīng)定律麥克斯韋第三方程表明磁場是無散場，磁力線總是閉合曲線，是磁通連續(xù)性原理麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場，是高斯定律時變電磁場是有旋有散場，在無源區(qū)則是有旋無散場。電場線和磁場線互相交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。從第一、二兩方程還看出，時變電場和磁場在空間是處處互相垂直的。7.2.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有：限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）為完整描述電磁場的特性，還必須要有反映媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系的方程和電荷及電流關(guān)系的方程在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體——電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在無源空間中，兩個旋度方程分別為可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構(gòu)成一個相互激勵又相互制約的關(guān)系。當磁場減小時，電場的漩渦源為正，電場將增大；而當電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象電磁場(EM)麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場緩變場迅變場準靜電場(EQS)準靜磁場(MQS)靜磁場(MS)靜電場(ES)恒定電場(SS)

解：(1)

導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時，間距為d的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)

證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r

處的磁場強度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流，故得

(2)

以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為

解：

是電磁場的場矢量，應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定

k

與ω

之間所滿足的關(guān)系，以及與

相應(yīng)的其它場矢量。對時間

t

積分，得

例2

在無源的電介質(zhì)中，若已知電場強度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，并求出與相應(yīng)的其它場矢量。由以上各個場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式

愛因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理學(xué)演變”一書中關(guān)于麥克斯韋方程的一段評述：“這個方程的提出是牛頓時代以來物理學(xué)上的一個重要事件，它是關(guān)于場的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。在簡單的形式下隱藏著深奧的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細的研究才能顯示出來，方程是表示場的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來，而是把此處的現(xiàn)在的場只與最鄰近的剛過去的場發(fā)生聯(lián)系。假使我們已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預(yù)測在空間稍為遠一些，在時間上稍為遲一些所發(fā)生的事件”。麥克斯韋方程除了對于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對于人類歷史的進程也起了重要作用。正如美國著名的物理學(xué)家弗曼在他所著的“弗曼物理學(xué)講義”中寫道“從人類歷史的漫長遠景來看──即使過一萬年之后回頭來看──毫無疑問，在十九世紀中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事件相比之下，同一個十年中發(fā)生的美國內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會降低為一個地區(qū)性瑣事而黯然失色”。處于信息時代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設(shè)備、從雷達到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動通信到宇宙星際通信、從室外無線局域