高二數(shù)學(xué)北師大版必修5學(xué)案第二章解三角形本章知識體系

本章知識體系專題一正、余弦定理的應(yīng)用1．正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用應(yīng)用正、余弦定理解題時(shí)，要熟練、準(zhǔn)確地進(jìn)行三角恒等變換，同時(shí)應(yīng)注意三角形的一些隱含條件．【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋eq\f(2,3)π)＋2cos2eq\f(x,2)，x∈R.(1)求f(x)的值域；(2)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝eq\r(3)，求a的值．【思路探究】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值及解斜三角形的有關(guān)知識．對于(1)先把f(x)化簡為Asin(ωx＋φ)的形式，再進(jìn)行求值，(2)問可先求出B的值再利用余弦定理解決．【解答】(1)f(x)＝cosxcoseq\f(2,3)π－sinxsineq\f(2,3)π＋cosx＋1＝－eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋cosx＋1＝eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋1＝sin(x＋eq\f(5π,6))＋1.因此f(x)的值域?yàn)閇0,2]．(2)由f(B)＝1得sin(B＋eq\f(5π,6))＋1＝1，即sin(B＋eq\f(5π,6))＝0，又因0<B<π，故B＝eq\f(π,6).由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或【例2】在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．【思路探究】(1)根據(jù)已知條件B＝2A，結(jié)合正弦定理求A的余弦值；(2)由cosA求得sinA，及sinB，cosB，從而求出sinC＝sin(A＋B)【解答】(1)因?yàn)閍＝3，b＝2eq\r(6)，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(3,sinA)＝eq\f(2\r(6),sin2A)，所以eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(2\r(6),3)，故cosA＝eq\f(\r(6),3).(2)由(1)知cosA＝eq\f(\r(6),3)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(3),3).又因?yàn)锽＝2A，所以cosB＝2cos2A－1＝eq\f(1,3).所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(2\r(2),3)，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(5\r(3),9).所以c＝eq\f(asinC,sinA)＝5.規(guī)律方法本題考查解三角形、三角恒等變換等知識；對于求三角形的元素問題，一般是利用正弦定理、余弦定理．第(2)小題，也可利用余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，利用解方程求解．2．三角形中的幾何計(jì)算三角形中的幾何計(jì)算實(shí)際體現(xiàn)了三角形的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．我們在利用正、余弦定理求解三角形問題時(shí)，是通過代數(shù)運(yùn)算去判斷三角形的邊角關(guān)系．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是通常情況下解決數(shù)學(xué)問題的途徑，如果我們能從圖形中尋找其幾何關(guān)系，并構(gòu)造相應(yīng)的三角形，則幾何圖形之間的關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為解三角形的問題解決．【例3】如圖所示，已知∠MON＝60°，Q是∠MON內(nèi)一點(diǎn)，它到兩邊的距離分別為2和11，求OQ的長．【思路探究】由Q點(diǎn)向∠MON的兩邊作垂線，則垂足與O，Q四點(diǎn)共圓，且OQ為圓的直徑，由此可得OQ的長．【解答】作QA⊥OM于A，QB⊥ON于B，連接AB，則QA＝2，QB＝11，且O，A，Q，B都在以O(shè)Q為直徑的圓上．∠AOB和∠AQB為同一弦AB所對的圓周角，且兩角互補(bǔ)．∵∠AOB＝60°，∴∠AQB＝120°.在△AQB中，由余弦定理，得AB2＝AQ2＋BQ2－2·AQ·BQ·cos∠AQB＝22＋112－2×2×11×cos120°＝147，∴AB＝7eq\r(3).在Rt△OBQ中，OQ＝eq\f(OB,sin∠OQB)＝eq\f(OB,sin∠OAB).又在△AOB中，eq\f(OB,sin∠OAB)＝eq\f(AB,sin60°)，∴OQ＝eq\f(AB,sin60°)＝14.規(guī)律方法與多邊形問題一樣，其他的幾何問題也可以轉(zhuǎn)化為三角形問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造三角形(一般可以構(gòu)造直角三角形)求解．本題的關(guān)鍵是通過過一點(diǎn)作角兩邊的垂線所圍成四邊形的對角互補(bǔ)，可知此四邊形內(nèi)接于一圓，OQ為圓的直徑．3．判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理化邊為角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角恒等變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．此時(shí)需注意一些常見的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關(guān)系，如：sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)等；二是利用正、余弦定理化角為邊(如sinA＝eq\f(a,2R)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)等)，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．【例4】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀．【思路探究】解決本題有兩種方法：一是將角化成邊，一是將邊化成角．【解答】解法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.即A＝120°－C，代入上式，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC.整理，得eq\f(\r(3),2)sinC＋eq\f(1,2)cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°，∴C＝60°，∴A＝60°.∴△ABC為正三角形．解法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°且b＝eq\f(a＋c,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝a2＋c2－2accos60°.整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC為正三角形．規(guī)律方法在邊角混合條件下判斷三角形的形狀時(shí)，可考慮將邊化角，從角的關(guān)系判斷；也可考慮將角化邊，從邊的關(guān)系判斷．4．解三角形中蘊(yùn)涵的思想方法(1)函數(shù)與方程思想函數(shù)的思想就是運(yùn)用變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，在具體問題中把變量之間的關(guān)系用函數(shù)表示出來，然后用函數(shù)的觀點(diǎn)研究問題．方程的思想在解決問題時(shí)，可以用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題中所涉及的各量間的關(guān)系，列出方程(組)，從而求出未知數(shù)及各量的值．正弦定理、余弦定理在一定條件下都可以看作方程，從而可求出所需要的量．【例5】如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條公路以100千米/小時(shí)的速度向東勻速行駛．汽車開動時(shí)，在O點(diǎn)南偏東方向距O點(diǎn)500千米且與公路距離為300千米的海上M【思路探究】此類題屬于相遇問題，一般的解法是構(gòu)造一個三角形，然后利用正、余弦定理解此三角形即可．【解答】如圖所示，設(shè)快艇從M處出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度，沿MN方向行駛，t小時(shí)后與汽車在N處相遇．在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt，MQ是M到ON的距離，即MQ＝300.設(shè)∠MON＝α，由題意知sinα＝eq\f(3,5)，則cosα＝eq\f(4,5)，由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f(4,5)，v2＝5002×eq\f(1,t2)－2×500×80×eq\f(1,t)＋1002＝(500×eq\f(1,t)－80)2＋3600，當(dāng)eq\f(1,t)＝eq\f(80,500)，即t＝eq\f(25,4)時(shí)，veq\o\al(2,min)＝3600，即vmin＝60，所以快艇必須至少以60千米/小時(shí)的速度行駛，才能把物品送到司機(jī)手中．此時(shí)MN＝60×eq\f(25,4)＝15×25.∵M(jìn)Q是M到ON的距離，且MQ＝300，設(shè)∠MNO＝β，則sinβ＝eq\f(300,15×25)＝eq\f(4,5)，則α＋β＝90°，∴MN與OM成90°角．(2)分類討論思想當(dāng)數(shù)學(xué)問題不能用統(tǒng)一形式解決時(shí)，可以把已知條件的范圍劃分為若干個子集，在各個子集內(nèi)分別討論問題的解，然后綜合各類解得到原問題的答案，這種解決問題的思想方法叫分類討論思想方法，如正弦定理的證明(對直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形逐一討論，并將銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形)，解三角形中解的個數(shù)等，通過討論，將不可能的或與題設(shè)條件不相符的逐一排除，從而得出正確結(jié)論，討論時(shí)要做到不重不漏．【例6】甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以10海里/小時(shí)的速度向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以8海里/小時(shí)的速度由A【解答】設(shè)甲、乙兩船經(jīng)過t小時(shí)后相距最近，且分別到達(dá)P，Q兩處，因乙船到達(dá)A處需2小時(shí)，(1)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖(1)．在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2－2AP·AQcos120°)＝eq\r((20－10t)2＋(8t)2－2(20－10t)8t(－\f(1,2)))＝eq\r(84t2－240t＋400)＝2eq\r(21t2－60t＋100).(2)當(dāng)t>2時(shí)，如圖(2)．在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20.∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2－2AQ·APcos60°)＝2eq\r(21t2－60t＋100).綜合(1)(2)可知PQ＝2eq\r(21t2－60t＋100)(t≥0)，∴當(dāng)t＝eq\f(30,21)＝eq\f(10,7)時(shí)，PQ最?。嗉住⒁覂纱旭俥q\f(10,7)小時(shí)后，相距最近．(3)化歸與轉(zhuǎn)化的思想在有關(guān)三角形的邊角關(guān)系式證明等問題中，經(jīng)常要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行“化邊為角”或“化角為邊”；在解決實(shí)際問題中的角度、高度問題時(shí)，也常建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解，故要掌握這兩類問題中的轉(zhuǎn)化思想．【例7】△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，試判斷△ABC的形狀．【思路探究】本題需先對已知條件進(jìn)行三角恒等變換，然后選擇定理進(jìn)行邊與角的互化，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．思維流程圖：【解答】由已知eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)＝eq\f(2cos2C,2cos2B)＝eq\f(cos2C,cos2B)＝eq\f(bcosC,ccosB)，知eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c).以下有兩種解法．解法一(利用正弦定理邊化角)：由正弦定理得eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(sinB,sinC)，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B∵B，C均為△ABC的內(nèi)角，∴2C＝2B，或2C＋2B＝∴B＝C，或B＋C＝90°，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二(利用余弦定理角化邊)：∵eq\f(b,