夯基專題10等差等比數(shù)列的計算和性質(zhì)講義-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

夯基專題10等差、等比數(shù)列的計算和性質(zhì)考向考向一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算【核心知識】考點(diǎn)一：等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．強(qiáng)調(diào)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．考點(diǎn)二：等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進(jìn)行驗(yàn)證．【典例精講】例1.(2023·湖南省岳陽市期中)已知數(shù)列{an}中，a2=32，aA.109 B.1110 C.1211例2.(2023·天津市市轄區(qū)聯(lián)考)設(shè)an是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a4A.-182 B.-78 C.-148 D.-82例3.(2023·天津市市轄區(qū)月考)已知等比數(shù)列an的前3項(xiàng)和為168,a2-aA.14 B.12 C.6 D.3【拓展提升】練11.(2023·湖南省教研聯(lián)盟·模擬題)已知數(shù)列{an}和{bn}均為等差數(shù)列，且akbk為定值，若a1A.56 B.72 C.88 D.104練12.(2022·江蘇省徐州市月考)（多選）已知等比數(shù)列an中，滿足a1=1，公比q=-3，則A.數(shù)列3an+an+1是等比數(shù)列 B.數(shù)列{an+1-an}練13.(2023·浙江省寧波市·期末考試)（多選）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a考向二等差數(shù)列的性質(zhì)A.q=2 B.數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列

C.S考向二等差數(shù)列的性質(zhì)【核心知識】等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(6)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.=3\*GB3③數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．=4\*GB3④若數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則anbn=強(qiáng)調(diào)：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．【典例精講】例4.(2023·湖南省衡陽市模擬)已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且SnTA.6 B.625 C.10 D.例5.(2023·湖北省名?！つM題)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，若a2+a4+aA.3 B.-3 C.【拓展提升】練21.(2023·湖北省名?！つM題)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對于任意的自然數(shù)nA.1941 B.1737 C.715練22.(2023·湖南省岳陽市·模擬題)（多選）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足a1+a102=2A.a2a9的最大值為10 B.a2+a9的最大值為2?10

考向三等比數(shù)列考向三等比數(shù)列的性質(zhì)1.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qnm(n，m∈N*)．(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.(3)2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.【典例精講】例6.(2023·湖北省黃岡市月考)已知等比數(shù)列{an}滿足：a2+a4+aA.20 B.10 C.5 D.5例7.(2021·湖北省黃岡市·模擬題)已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，12a3，2a2成等差數(shù)列，則數(shù)列{anA.1+2 B.1-2 C.【拓展提升】練31.(2022·江蘇省啟東市月考)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3=4，aA.12 B.13 C.14 D.15練32.(2023·江西省重點(diǎn)中學(xué)·聯(lián)考)若正項(xiàng)遞增等比數(shù)列an滿足：12+a2-aA.2 B.2 C.22【答案解析】例1.解：設(shè)等差數(shù)列{1an-1}的公差為d，則1a5-1=1a2-1+3d，

例2.解：{an}是公差為-2的等差數(shù)列，

因?yàn)閍1+a4+a例3.解：由題意得

a1+a2+a3=聯(lián)立得

1+q+q2因?yàn)?/p>

1+q+q2≠0

，所以

q(1-q)=14

將

q=12

代入①中得

a所以

a4=故選：B．練11.解：akbk為定值，所以a7b7因?yàn)閎n為等差數(shù)列，

所以b練12.解：等比數(shù)列{an}中，滿足a1=1，公比q=-3，an=-3n-1，

對于A，3an+an+1=3[(-3)n-1]+(-3)n=[(-1)n-1+(-1)n]練13.解：A項(xiàng)，因?yàn)閍1+a4=18，a2+a3=12，q為整數(shù)，

聯(lián)立a1+a1q3=18a1q+a1q2=12解得a1=2q=2，A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，an=a1qn-1=2n，Sn例4.解：因?yàn)閍k=a1+a2k-12，所以ak=S2k-12k-1.例5.解：a2+a4+a6=5π，∴a4練21.解：∵a3+a152(b3練22.解：因?yàn)檎?xiàng)等差數(shù)列an滿足a1+a102=2a2a9+20，

所以a2+a92=2a2a9+20，即a22+a92=20．

①a2a9?a22+a922=202=10，當(dāng)且僅當(dāng)a例6.解：已知等比數(shù)列{an}滿足：a2+a4+a6+a例7.解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0，

由a1，12a3，2a2成等差數(shù)列，可得a3=a1+2a2，

即有a1q2=練31.解：因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為