高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）專題6.10平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）

專題6.10平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）以A4,1，B1,5，C?3,2，D(0,?2)A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形【解題思路】利用向量的坐標(biāo)表示可得AB=【解答過(guò)程】∵A4,1，B1,5，C?3,2∴AB=(?3,4),∴AB=DC，即四邊形ABCD為平行四邊形，又∴AB?BC=(?4,?3)?(?3,4)=0，即AB則四邊形ABCD為矩形，又AB則四邊形ABCD為正方形.故選：D.2．（3分）（2022春·寧夏銀川·高一期中）在四邊形ABCD中，若AB+CD=A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【解題思路】依據(jù)向量相等的幾何意義和向量數(shù)量積的幾何意義去判斷四邊形的形狀.【解答過(guò)程】由AB+CD=0，可得AB=又由AC?BD=0，可得AC⊥BD故選：D.3．（3分）（2021春·山東·高一階段練習(xí)）若平面上的三個(gè)力F1,F2,F3作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知F1=1N,A．7 B．7 C．102 【解題思路】根據(jù)三力平衡得到F1+F【解答過(guò)程】根據(jù)三力平衡得F1+F兩邊同平方得F1即F即12解得F2故選：D.4．（3分）（2022春·遼寧錦州·高一期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC邊上且BD=13BC，則ADA．3 B．32 C．33 【解題思路】利用向量數(shù)量積去求AD長(zhǎng)度即可.【解答過(guò)程】△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上且BD=1則AD=又AB=1，AC=2，則AD=19×4+49故選：D.5．（3分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)E滿足CE=215CA+15CB，直線CE與直線A．1010 B．31010 C．?【解題思路】本題首先可構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出B0,0、C6,0、A3,4，然后根據(jù)A、B、D三點(diǎn)共線以及C、E、D三點(diǎn)共線得出CD=25CA【解答過(guò)程】如圖所示，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BC為x軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=AC=5，BC=6，所以B0,0，C6,0，設(shè)CD=x因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線，所以x>0，y>0，x+y=1，因?yàn)镃E=215CA+15CB，聯(lián)立215x=15yx+y=1因?yàn)镃B=?6,0，CA=?3,4，所以因?yàn)锽A=所以cos∠ADE=故選：A.6．（3分）（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三階段練習(xí)）在△ABC中，滿足AB⊥AC，M是BC的中點(diǎn)，若O是線段AM上任意一點(diǎn)，且AB=A．0 B．?32 C．?1【解題思路】由已知可得△ABC為等腰直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得向量的數(shù)量積，進(jìn)而可得最值.【解答過(guò)程】由AB⊥AC，∴△ABC為等腰直角三角形，以A為原點(diǎn)，AB，AC為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，∴A0,0，B2,0∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，M2O是線段AM上任意一點(diǎn)，∴可設(shè)Ox,x，0≤x≤∴OB=2?x,?x，∴OB∴OA故當(dāng)x=24時(shí)，OA?故選：C．7．（3分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四邊形ABCD是矩形，AB=2AD，DF=λDC，BE=μBC，λ+μ=1，AE⊥AF，則A．533 B．539 C．653【解題思路】方法一：根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2AD=2，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求解即可；解法二：用BC,AB為基底表示向量AE，AF，再根據(jù)AE⊥AF得AE?AF=0得λ=?13【解答過(guò)程】解：解法一如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2AD=2，則A0,0，B2,0，D0,1∴AB=2,0，AD=0,1，∴DF=λDC=∴AE=AB+∵AE⊥AF，∴AE?AF=0又λ+μ=1，所以λ=?13，∴EF=∴EF=∵AD=1，∴EFAD故選：C.解法二：∵AE=AF=∴AE?AF=∵AE⊥AF，∴1+3λ=0，得λ=?13.∴EF=AB∴EFAD=65故選：C.8．（3分）（2022春·北京海淀·高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60°,AB=2,AD=3,E為線段CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段ABA．BC=B．若F為線段AB的中點(diǎn)，則λ+μ=1C．FC?FDD．μ的最大值比最小值大8【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，作出輔助線，利用相似求出邊長(zhǎng)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量解決四個(gè)選項(xiàng).【解答過(guò)程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作CH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CH交HC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則△CDH～△BCM，因?yàn)锳B⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60所以∠CDH=60°，設(shè)HD=x，則CH=3x，則BM=AH=3則DHCM=CHBM，即x2?則A0,0,B2,0BC=B若F為線段AB的中點(diǎn)，則F1,0所以EF=則58=54μ設(shè)Fm,0則FC?故當(dāng)m=38時(shí)，F(xiàn)C?EF=m?3因?yàn)?≤m≤2，則m?38∈解得：μ∈?310所以μ的最大值比最小值大85故選：C.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春·廣東佛山·高一期末）一物體受到3個(gè)力的作用，其中重力G的大小為4N，水平拉力F1的大小為3N，另一力F2未知，則（A．當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)B．當(dāng)F2與F1方向相反，且FC．當(dāng)物體所受合力為F1時(shí)，D．當(dāng)F2=2【解題思路】根據(jù)向量的加法法則作圖可判斷AB；根據(jù)題意分析G與F2的合力大小可判斷C；由F2與【解答過(guò)程】A選項(xiàng)：由題知，F(xiàn)2的大小等于重力G與水平拉力F1的合力大小，由圖知B選項(xiàng)：如圖，物體所受合力應(yīng)等于向量AD與F2C選項(xiàng)；當(dāng)物體所受合力為F1時(shí)，說(shuō)明G與F2的合力為0，所以D選項(xiàng)：由上知，重力G與水平拉力F1的合力為AD，AD=5N，易知當(dāng)F2即3N故選：ACD.10．（4分）（2022秋·廣東佛山·高二期中）已知點(diǎn)A?2,1，B3,?2，C5,185A．AB//CD B．AB⊥ADC．AC=BD 【解題思路】根據(jù)點(diǎn)A?2,1，B3,?2，C5,185【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)A?2,1，B3,?2，C5,所以AB=因?yàn)?×125=因?yàn)?×3+?3×5=0，所以因?yàn)锳C=72因?yàn)?×?2+13故選：AB.11．（4分）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△ABC中，D，E分別是線段BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)（D，E兩點(diǎn)分別靠近B，C點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．ABB．若F為AE的中點(diǎn)，則BFC．若AB?AC=0，AB=1，D．若AB+AC=3【解題思路】取BC的中點(diǎn)M，則M也是DE的中點(diǎn)，根據(jù)向量的加法運(yùn)算即可判斷A；根據(jù)平面向量基本定理及線性運(yùn)算即可判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷C；根據(jù)平面向量基本定理及線性運(yùn)算結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可判斷D.【解答過(guò)程】解：對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)M，則M也是DE的中點(diǎn)，則有AM=12對(duì)于B，若F為AE的中點(diǎn)，則BF=對(duì)于C，因?yàn)镈，E分別為線段BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以AD?AE=AB+對(duì)于D，由A選項(xiàng)得，AB+由AB?AC=所以AM=32因?yàn)锳B=AC，所以AM⊥BC，AM平分∠BAC，在Rt△AMC中，tan∠ACB=AMCM所以△ABC為等邊三角形，所以∠CAB=60°，故選：D.故選：ACD.12．（4分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π2，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且CD=1，點(diǎn)E為AB?A．OE?AB的最小值為0 B．EAC．EC?ED的最大值為1 D．【解題思路】以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，得B0，1，A1，0，設(shè)∠EOA=θ，則求出EA、EB的坐標(biāo)，由EA?EB=1?2sinθ+π4，利用θ的范圍可判斷B；設(shè)Ct,0t∈0,1，可得D0,1?t2【解答過(guò)程】以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，所以B0，1設(shè)∠EOA=θ，則Ecosθ，sinAB=?1，因?yàn)棣取?,π2，所以θ?所以AB?OE∈?1,1，EA=1?cos所以EA?因?yàn)棣取?,π2，所以θ+所以1?2sinθ+EA?EB的最小值為設(shè)Ct,0t∈0,1，又CD=1，所以EC=t?cos所以EC=1?sinθ+φ，其中又t∈0,1，所以cosφ,sinφ∈0,1sinφ+θ∈0,1，?EC?故選：BCD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022春·貴州·高二期末）如圖，作用于同一點(diǎn)O的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，已知|F1|=1，|F2|=2，【解題思路】利用共點(diǎn)力的平衡條件，得到F1【解答過(guò)程】F1,F2,則|=1+2×1×故答案為：1.14．（4分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)E,F分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的中點(diǎn)，且AB=3，CD=2，∠ABC=45°，∠BCD=75°，則線段EF的長(zhǎng)為是【解題思路】作AH//CD，交BC于點(diǎn)H，可知∠BAH=60°；利用向量線性運(yùn)算可得到2EF【解答過(guò)程】作AH//CD，交BC于點(diǎn)H，則∴∠BAH=180°?∵EF=EA又EA=?ED，BF=?∴EF2=∴EF故答案為：19215．（4分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC=2BM，AC=3AN，線段AM，BN相交于點(diǎn)P，則∠MPN的余弦值為1313【解題思路】依次算出BN?AM、|AM【解答過(guò)程】由已知，AB=2，AN=2，∠BAC=60°，得BN=2，又由AM=12因?yàn)锽N=所以BN?所以cos∠MPN=故答案為：131316．（4分）（2022秋·天津·高三階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，B=π3，AB=2，點(diǎn)M滿足AM=13AC，BM?AC=43，O為BM【解題思路】本題采用建系法，設(shè)C(t,0)，利用向量共線得到Mt+23,233，再寫出BM=t+23,233，AC=(t?1,?3)，從而得到方程(t+2)(t?1)3【解答過(guò)程】以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)C(t,0)，t>0，∵AB=2,B=π設(shè)M(x,y)，∴AM=(x?1,y?3∵AM=13ACy?3=13×(?∴BM=t+2∵BM?AC=4∴M53,233，因?yàn)樵O(shè)Nn,0，0≤n≤3，∴OA=∴OA?所以當(dāng)n=0時(shí)16n?29故答案為：?29四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD中，AB→=DC→，N，M是AD，BC上的點(diǎn)，且CN→=MA→.求證：【解題思路】可得四邊形ABCD是平行四邊形，同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，即可得證.【解答過(guò)程】因?yàn)锳B→=DC→，所以|AB→|=|DC所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以|DA→|=|CB→|且DA同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以|CM→|=|NA→|，所以|MB→|=|DN→|，DN∥MB，即所以DN→=MB18．（6分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2AC2=DB2DC2，求證：AD⊥BC.【解題思路】設(shè)AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→=c→，DC→=d→，根據(jù)向量加法得a→計(jì)算a→2﹣b→2結(jié)合條件可得e→·c→=【解答過(guò)程】設(shè)AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→則a→=e→+c→，b→=所以a→2﹣b→2=(e→+c→)2(e→+d→)2=c→2+2e·c由條件知：a→2=c→2﹣d→2+所以e→·c→=e→·d→，即e即AD→所以AD⊥BC.19．（8分）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)江某地南北兩岸平行，江面的寬度d＝1km，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度v1的大小為v1=10km/h，水流速度v2的大小為v2=4km/h，設(shè)v1和v(1)當(dāng)θ=120°時(shí)，判斷游船航行到北岸時(shí)的位置是在圖中A'(2)當(dāng)cosθ多大時(shí)，游船能到達(dá)A【解題思路】(1)θ=120°時(shí)，游船水平方向的速度大小為v1(2)若游船能到A'處，則有v2=v1【解答過(guò)程】(1)θ=120°時(shí)，游船水平方向的速度大小為v1cos(180°?θ)?v2(2)若游船能到A'處，則有v則有cosθ=?此時(shí)游船垂直江岸方向的速度v=v1時(shí)間t=d20．（8分）（2022秋·廣東廣州·高三階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=3，點(diǎn)D在線段BC上，且(1)求AD的長(zhǎng)；(2)求cos∠DAC【解題思路】（1）用a、b表示AD，再根據(jù)a、b的長(zhǎng)度和夾角可求出結(jié)果；（2）根據(jù)夾角公式可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）設(shè)AB=a，則AD=AD=49×1+2×（2）因?yàn)閏os=2所以cos∠DAC=21．（8分）（2022春·浙江臺(tái)州·高一期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點(diǎn)M，且BE=λBC，DF=(1)當(dāng)AE?BC=0(2)當(dāng)λ=23時(shí)，求(3)求AF+【解題思路】(1)在直角梯形ABCD中，根據(jù)幾何關(guān)系求出∠ABC和BC長(zhǎng)度，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，求出BE長(zhǎng)度，從而可得λ=BE(2)設(shè)AM=xAE，DM=yDB，以AB,AD為基底用兩