靜矩法在建筑幕墻、門窗抗風(fēng)壓性能校核中的妙用

靜矩法在建筑幕墻、門窗抗風(fēng)壓性能較核中的妙用建筑門窗的抗風(fēng)性能較核，是門窗專業(yè)技術(shù)中經(jīng)常進(jìn)行的一項較為繁瑣建筑門窗的抗風(fēng)性能較核，是門窗專業(yè)技術(shù)中經(jīng)常進(jìn)行的一項較為繁瑣的工作，該項工作既關(guān)系到產(chǎn)品的百年大計，又要體現(xiàn)產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)性，容不得有半點(diǎn)馬虎；現(xiàn)代競標(biāo)過程的快速反應(yīng)，也容不得我們浪費(fèi)每一刻時間，因此，快速提供準(zhǔn)確的建筑門窗抗風(fēng)壓性能較核數(shù)據(jù)是我們每個設(shè)計者義不容辭的責(zé)任。對建筑門窗的抗風(fēng)壓性能較核，本行業(yè)中基本采用：先將門窗受力平面按45度法分配給門窗構(gòu)件，再將主受力構(gòu)件簡化為簡支梁受力狀態(tài)，用材料力學(xué)的彎矩計算方式進(jìn)行校核。本文采用實(shí)例驗(yàn)證的方法，向大家推薦一種借用靜矩法計算彎矩的新方法。一、驗(yàn)證實(shí)例圖1是某一窗型采用45度分割法將風(fēng)荷載的應(yīng)力分配給主受力構(gòu)件的平面圖。其中有豎向剖面線的F1、F2和F3的受力面積分配給橫梃；有橫向剖面線的F4和F5受力面積分配給豎梃；沒有剖面線的部分分配給相鄰的窗框再傳遞給墻體；可見：主受力構(gòu)件為橫梃和豎梃。豎梃僅承受F4和F5面積應(yīng)力傳遞到其上的分布荷載；而橫梃不單承受F1、F2和F3面積應(yīng)力傳遞到其上的分布荷載，而且承受相當(dāng)于豎梃總荷載1/2的集中荷載，現(xiàn)在以橫梃為例計算其最大彎矩。設(shè)：風(fēng)荷載為Wk=3000Pa彈性模量：E=210×109N/M主受力構(gòu)件截面慣性矩：I=3.15CM4A=1600B=1600C=600D=1000E=F=800二、用傳統(tǒng)的方法計算橫梃最大彎矩：畫應(yīng)力分配圖：見圖1計算各分配面積：F1=1.6×0.3-0.3×0.3=0.39F2=f3=0.4×0.4=0.16F4=F5=1×0.4-×0.4×0.4=0.24計算各面積分配荷載力:計算建筑幕墻、門窗受風(fēng)荷載作用時，我們通常假設(shè)這種荷載是均布、等壓、垂直的作用在玻璃平面上的，而主受力構(gòu)件“梃”承受的應(yīng)力相當(dāng)于承受一個均質(zhì)平板的壓力。依據(jù)靜力學(xué)中力的等效平移原則，將玻璃平面上的均布荷載等效疊加后平移到主受力構(gòu)件“梃”上，此梃相當(dāng)于一個承受荷載的簡支梁。Q1=F1×Wk=1170NQ2=Q3=F2×Wk=480NP=((F4+F5)×Wk)/2=720N計算支座反力：由于受力對稱，所以：Pa=Pb=（Q1+Q2+Q3+P）/2=1425計算分布荷載最大值：q1=Q1/(1.6-0.3)=900q2=q3=Q2/0.4=1200畫簡支梁受力圖：（見圖2）為便于計算，受力圖不疊加，待分部計算后疊加計算結(jié)果。計算最大彎矩處的彎矩Wmax，由于是對成圖形，最大應(yīng)力在L=A/2處。①圖2上部三角形部分對L處的彎矩（參見圖3）：M1=q1/s.t.dt(L-t)=q1/s×(L×s2/2-s3/3)=q1×s×(L/2-s/3)=900×0.3(0.8/2-0.3/3)=81②圖2上部矩形部分對L處的彎矩（參見圖4）：M2=q1.dt.(L-t)=q1×(L×s-s2/2)=q1×s×(L-s/2)=900×0.5×(0.5-0.5/2)=112.5③圖2下部三角形對L處的彎矩（參見圖5）：M3=q2/s.t.dt.(L-t)+q2/s.(s-t).dt(L-s-t)=q2/s×(L×s2/2-s3/3)+q2/s×(L×s2/2-2×s3/3)=q2/s×(L×s2-s3)=q2/s×s2×(L-s)=q2×s×(L-s)=1200×0.4（0.8-0.4）=192④支座Pa對L處的彎矩M0=-(Pa×A/2)=-1425×0.8=-1140④最大彎矩:Mmax=M0+M1+M2+M3=-1140+81+112.5+192=-754.5（負(fù)值表示彎曲方向向上↑）三、不計算各面積分配荷載力，直接積分同樣可以求得最大彎矩由于該方法不做應(yīng)力平移、疊加，將實(shí)際受力圖其簡化后，風(fēng)荷載力的方向垂直于平面簡圖中的“.”（見圖6-圖8，受力簡圖與應(yīng)力分配圖相似，實(shí)際應(yīng)用時不必重畫）。如果我們不計算各面積分配荷載力，可以等效采用下述計算步驟：1、畫應(yīng)力分配圖：見圖12、計算各分配面積：F1=1.6×0.3-0.3×0.3=0.39F2=f3=0.4×0.4=0.16F4=F5=1×0.4-×0.4×0.4=0.243、計算支座反力：Fa=Fb=Wk×(F1+F2+F3+(F4+F5)/2)/2=0.475Wk4、計算最大彎矩：①圖1上部直角三角形部分對A/2處的彎矩（參見圖6）：由于是45度分割，微面積為：t.dt，微面積上的荷載力為：Wk.t.dtM1=Wk.t.dt(L-t)=Wk×(L×s2/2-s3/3)=Wk×s2/2×(L-2×s/3)=Wk×0.32/2(0.8-0.3×2/3)=0.027×Wk②圖1上部矩形部分對L處的彎矩（參見圖7）：微面積為：s.dt，其上的荷載力為：Wk.s.dtM2=Wk.s.dt(L-t)=Wk×s×(x×L-x2/2)=Wk×s×x×(L–x/2)=Wk×0.3×0.5×(0.5-0.5/2)=0.0375×Wk③圖2下部等腰三角形對L處的彎矩（參見圖8）：由于是45度分割，微面積為：t.dt，其上的荷載力為：Wk.t.dtM3=Wk.t.dt(L-t)+t.dt(L-s-t)=Wk×(L×s2/2-s3/3)+(L×s2/2-2×s3/3)=Wk×s2×(L-s)=Wk×0.42×（0.8-0.4）=0.064×Wk.④支座Fa對A/2處的彎矩M0=-(Fa×A/2)=-0.475×Wk.×0.8=-0.38×Wk.④最大彎矩:Mmax=M0+M1+M2+M3=(-0.38+0.027+0.0375+0.064)×Wk=-0.2515×Wk=(-0.2515)×3000=-754.5計算結(jié)果與傳統(tǒng)方法完全相同。四、等效采用靜矩法計算彎矩的基本原理在上述整個計算過程中風(fēng)荷載Wk總是以比例常數(shù)出現(xiàn)，但是如果將其提出，其結(jié)果就不是彎矩，那么會變?yōu)槭裁?？在材料力學(xué)中，靜矩一般用于計算平面圖形的形心，材料力學(xué)中靜矩的定義是：從任意平面圖形中，在距坐標(biāo)（x,y）處取一微面積dF,則x.dF和y.dF分別稱為該微面積dF對于x軸的靜矩和y軸的靜矩?，F(xiàn)在我們假設(shè)這個平面圖形是一個均質(zhì)等厚材料的平板，如果設(shè)t為該截面單位面積的重量，將上述靜矩定義中的x.dF和y.dF修改為x.dF.t和y.dF.t,不難看出，變成了一個標(biāo)準(zhǔn)的彎矩定義。我們在作門窗彎矩計算過程中，分配給門窗構(gòu)件的玻璃就相當(dāng)于靜矩中定義的平面，建筑幕墻、門窗在風(fēng)荷載作用下，風(fēng)荷載Wk是均布、等壓、垂直的作用在這個平面上的，其充當(dāng)了重量t的角色，受荷載玻璃相當(dāng)于一個面積與重量成正比的均值等厚平板壓在主受力構(gòu)件上。很顯然，若第三章的計算過程中將風(fēng)荷載Wk提出，就變?yōu)榍箪o矩的過程，由此得出結(jié)論：建筑幕墻、門窗的彎矩計算可以先等效套用靜矩法計算出最大靜矩Mjmax，再換算出最大彎矩Mmax,即：Mmax=Wk×Mjmax五、靜矩計算過程常用簡化公式：設(shè)Y坐標(biāo)軸與平面呈90度，并垂足于門窗梃P點(diǎn)，其位置依據(jù)計算過程中選擇P的位置確定。顯然我們計算出的靜矩是門窗梃上分配的風(fēng)荷載面積對于門窗梃P點(diǎn)處Y坐標(biāo)軸的靜矩。需要說明的是：在靜矩理論中沒有計算支座反力的概念，但是我們的最終目的是借用靜矩法計算出彎矩，不妨在此等效模擬力矩方法，且命名為支座反面積。注意第三章中用黑體標(biāo)注的導(dǎo)出公式：①直角三角形時：M1=s2/2×(L-2×s/3)其中：s2/2為直角三角形面積；(L-2×s/3)正好是直角三角形的形心位置；②矩形時：M2=s×x×(L–x/2)其中：s×x為矩形面積；L–x/2正好是矩形的形心位置；③等腰三角形時：M3=s2×(L-s)其中：s2為等腰三角形面積；L-s正好是等腰三角形的形心位置因此我們可以定義：一個面積為F的平面，其形心到Y(jié)坐標(biāo)軸的垂直距離為X,那么該平面對Y軸的靜矩為Mj=F×X只要記你住直角三角形的形心位于距直角邊1/3處；對稱圖形的形心位于其等分處，對于上例可以按照圖1先分別計算出各分配平面的面積及到P點(diǎn)的距離，既可以采用Mj=F×X定義直接寫出Y坐標(biāo)軸位于P點(diǎn)靜矩公式：①端點(diǎn)處Y坐標(biāo)軸的支座反面積：Fa=Fb=(0.3×0.3/2+1×0.3+0.4×0.4+1×0.4-×0.4×0.4)/2=0.475②A/2點(diǎn)Y坐標(biāo)軸的靜矩：Mjmax=0.3×0.3/2×(0.8-0.3×2/3)+0.5×0.3×0.25+0.4×0.4×0.4-Fa×A/2=-0.2515③Mmax=Wk×Mjmax=3000×（-0.2515）=-754.5六、用靜矩法求主受力構(gòu)件最大彎矩由于靜矩與彎矩呈線性比例關(guān)系，因此，主受力構(gòu)件上的最大靜矩點(diǎn)即是產(chǎn)生最大彎矩的點(diǎn)。以圖9為例：計算左端點(diǎn)支座反面積Fa參照靜力學(xué)力矩平衡原理，設(shè)Fb處為靜矩平衡點(diǎn)，其靜矩平衡方程為：Fa×1.6-F1×x1-F2×x2-F3×x3-(F4+F5)/2×x4=0其中：x1、x2、x3分別是F1、F2、F3形心距Fb點(diǎn)的距離，x4是產(chǎn)生集中應(yīng)力(F4+F5)/2距Fb點(diǎn)的距離，即：Fa×1.6-(1.6×0.3-0.32)×0.8-0.32×1.3-0.52×0.5-(1×0.8-0.32-0.52)/2×1=0Fa=(0.312+0.117+0.125+0.23)/1.6=0.49②列出可能產(chǎn)生最大靜矩范圍的靜矩方程由圖9可見，由于集中荷載在構(gòu)件中心左側(cè)，最大靜矩必定產(chǎn)生在構(gòu)件中點(diǎn)至集中荷載點(diǎn)的范圍內(nèi)。以圖9橫梃左側(cè)端為坐標(biāo)原點(diǎn)，x在0.6～1.1范圍內(nèi)的面積分配圖見圖9中的藍(lán)線部分，靜矩方程為：Mj=Fa×x-(f1×x1+f2×x2+f3×x3+f4×x4+(F4+F5)×(x-0.6)/2)其中：x1、x2、x3、x4分別是F1、F2、F3、F4、形心距x點(diǎn)的距離,即：Mj=-0.49x+0.09×(x-0.2)+0.3×(x-0.3)×(x-0.3)/2+0.09/2×(x-0.4)+(x-0.6)(x-0.6)×(x-0.6)/6+0.23×(x-0.6)=x3/6-0.15x2-0.035x-0.1965③求導(dǎo)，確定極值點(diǎn)：Mj′=0.5x2-0.3x-0.035=0解得：x=0.7④求最大靜矩：Mjmax=x3/6-0.15x2-0.035x-0.1965=-0.23733⑤求最大彎矩：Mmax=Mk×Mjmax=3000×(-0.23733)=711.99Pa七、求主受力構(gòu)件最大撓度已知彎矩方程：Mmax=Mk×Mjmax=3000×(x3/6-0.15x2-0.035x-0.1965)=500x3-450x2-105x-589.5由彎矩方程可得撓度方程：EJy=(Mmax).dx.dx+Cx+D=（500x3-450x2-105x-589.5）dx.dx+Cx+D=(125x4-150x3-52.5x2-589.5x)dx+Cx+D=25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+Cx+D由邊界條件可得：當(dāng)x=0時，y=0;即：25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+Cx+D=0D=0當(dāng)x=1.6時，y=0;即：25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+Cx+D=0C=-25x4+37.5x3+17.5x2+294.75x-D=506.25將C與D值代入原式：EIy=25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+506.25x由彎矩方程可得轉(zhuǎn)角方程：EJθ=（500x3-450x2-105x-589.5）dx+C=125x4-150x3-52.5x2-589.5x+C將上面解得的C=506.25代入式中：EJθ=125x4-150x3-52.5x2-589.5x+506.25由于當(dāng)轉(zhuǎn)角θ=0時，撓度值最大，因此有：125x4-150x3-52.5x2-589.5x+506.25=0解得：x=0.765代入上面推導(dǎo)出的撓度方程；，EIy=25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+506.25x=6.55-12.84-7.83-172.5+387.28