湘豫名校聯考2024年2月高三第一次模擬考試數學試題(含答案)

湘豫名校聯考2024年2月高三第一次模擬考試數學試題注意事項:1.本試卷共6頁。時間120分鐘,滿分150分。答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷指定位置,并將姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上,然后認真核對條形碼上的信息,并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。作答非選擇題時,將答案寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將試卷和答題卡一并收回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若集合,則A. B. C. D.2.已知復數滿足,復數的共軛復數為,則在復平面內對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量,若反向共線,則實數的值為A.-7 B.3 C.3或-7 D.-3或74.已知正實數滿足,則的最小值為A.8 B.9 C.10 D.115.已知等比數列的公比與等差數列的公差均為2,且,設數列滿足,則數列的前20項的和為A. B. C. D.6.黨的二十大報告提出:“深化全民閱讀活動.”今天,我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的價值、強調閱讀的作用,正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、博物館、美術館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放,開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理.現有A,B,C,D,E共5名志愿者,每名志愿者均參與本次志愿者服務工作,每個場館至少需要一名志愿者,每名志愿者到各個場館的可能性相同,則A,B兩名志愿者不在同一個場館的概率為A. B. C. D.7.已知函數的圖象過原點,且關于點對稱,若函數在上單調,則圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為A. B. C. D.8.已知角為銳角,則的最小值為A.2 B. C.1 D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列說法中,正確的是A.設有一個經驗回歸方程為,變量增加1個單位時,平均增加2個單位B.已知隨機變量,若,則C.兩組樣本數據和的方差分別為.若已知且,則D.已知一系列樣本點的經驗回歸方程為,若樣本點與的殘差相等,則10.已知函數的部分圖像如圖所示、則下列結論正確的是A.在上有兩個極值點 B.C.函數的圖象關于軸對稱 D.若,則的最小值為11.已知雙曲線上一點到其兩條漸近線的距離之積為,則下列結論正確的是A. B. C. D.12.如圖1,在直角梯形ABCD中,,,點E,F分別為邊AB,CD上的點,且.將四邊形AEFD沿EF折起,如圖2,使得平面平面EBCF,點是四邊形AEFD內的動點,且直線MB與平面AEFD所成的角和直線MC與平面AEFD所成的角相等,則下列結論正確的是A.B.點的軌跡長度為C.點到平面EBCF的最大距離為D.當點到平面EBCF的距離最大時,三棱錐外接球的表面積為三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.在的展開式中,的系數為______________.14.已知圓,點,若直線與圓相交于A,B兩點,且,則實數的值為______________.15.已知曲線與曲線關于直線對稱,則與兩曲線均相切的直線的方程為______________.16.已知直線與拋物線交于A,B兩點,且點位于第二象限,拋物線上有一動點位于曲線AB之間（不含端點），以線段AB為直徑的圓與直線AP交于異于點的另一點,則的取值范圍是______________.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)在中,角的對邊分別為且.(1)求角;(2)若的平分線交BC于點,求AD的長.18.(本小題滿分12分)已知數列,若.(1)求證:數列是等比數列;(2)若數列的前項和為,不等式對任意的正整數恒成立,求實數的取值范圍.19.(本小題滿分12分)象棋是中國棋文化之一，也是中華民族的文化瑰寶，源遠流長，雅俗共賞。某地舉辦象棋比賽,規(guī)定:每一局比賽中勝方得1分,負方得0分,沒有平局.(1)若甲、乙兩名選手進行象棋比賽冠亞軍的激烈角逐,每局比賽甲獲勝的概率是,乙獲勝的概率是,先得3分者奪冠,比賽結束.(i)求比賽結束時，恰好進行了3局的概率;(ii)若前兩局甲、乙各勝一局,記表示到比賽結束還需要進行的局數,求的分布列及數學期望;(2)統(tǒng)計發(fā)現,本賽季參賽選手總得分近似地服從正態(tài)分布,.若,則參賽選手可獲得“參賽紀念證書”;若,則參賽選手可獲得“優(yōu)秀參賽選手證書”.若共有200名選手參加本次比賽,試估計獲得“參賽紀念證書”的選手人數.(結果保留整數)附:若,則.20.(本小題滿分12分)如圖,在幾何體中,平面平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,四邊形為平行四邊形,四邊形為菱形,為棱的中點,點在棱上,平面BDF.(1)證明平面ABCD；(2)求平面AB1D與平面BDF夾角的余弦值.21、(本小題滿分12分)在橢圓(雙曲線)中,任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心,半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術平方根,則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為,該橢圓的上頂點和下頂點分別為,且,設過點的直線與橢圓交于兩點（不與兩點重合）且直線.(2)證明：AP1,BP2的交點在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.22.(本小題滿分12分)已知,不等式恒成立.(1)求的值;(2)若方程有且僅有一個實數解,求ab的值.湘豫名校聯考2024年2月高三第一次模擬考試數學參考答案一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.題號123456789101112答案DCABBDDABCACACDBCD1.D【命題意圖】本題考查集合的交集和補集的運算,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】由題意可得,因為,所以.故選D.2.C【命題意圖】本題考查復數的運算、共軛復數的定義以及復數的幾何意義,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】因為,所以,所以,所以,所以在復平面內對應的點的坐標為,位于第三象限.故選C.3.A【命題意圖】本題考查平面向量的坐標運算以及反向共線滿足的條件,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】因為,所以.因為共線,所以,解得或.又反向共線,代入驗證可知時為同向,舍去.滿足條件.所以.故選.4.B【命題意圖】本題考查利用基本不等式求最值,考查數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】由,且,可得.所以.又因為,當且僅當,即時取等號,所以.故選B.5.B【命題意圖】本題主要考查等差數列、等比數列的求和,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】因為,所以.根據題意,,所以.故選B.6.D【命題意圖】本題考查排列組合的基本運算以及古典概型的概率,考查學生數學抽象、數學運算、數學建模的核心素養(yǎng).【解析】5名志愿者分配到4個場館,共有種不同的方法,A,B兩名志愿者在同一個場館共有種不同的方法,所以A,B兩名志愿者不在同一個場館的概率為.故選.7.D【命題意圖】本題主要考查三角函數單調性、周期性和對稱性的綜合,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】因為,所以或.又,所以,所以.因為的圖象關于點對稱,所以,所以.因為,所以.又函數在上單調,所以解得.因為，所以當時，因為圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為半個周期,所以.故選D.8.A【命題意圖】本題考查利用三角函數公式進行計算,利用導數求最值等基本知識,考查數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】.令,因為為銳角,所以.令,則.所以在時是單調遞增函數.又,所以當時,單調遞減;當時,單調遞增,所以.所以當時,的最小值為2.故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.BC【命題意圖】本題考查概率統(tǒng)計的基本知識,考查數學運算、數學建模、邏輯推理、數據分析的核心素養(yǎng).【解析】若有一個經驗回歸方程,隨著的增大,會減小,錯誤;曲線關于對稱,因為,所以,所以,B正確;因為,所以,所以,同理可得:,故,C正確;經驗回歸方程為,且樣本點與的殘差相等,則,D錯誤.故選.10.AC【命題意圖】本題根據正弦型函數的性質、圖象的變換性質,結合已知圖象逐一判斷即可,考查三角函數的基本運算以及其圖象的應用,考查數學運算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】由題圖知,,所以周期.所以在上有兩個極值點,A正確.又,所以,所以.因為,所以令,即.所以.所以,B錯誤.因為函數的周期為,將圖象上的所有點沿軸向右平移個單位長度后得到的圖象,為偶函數,所以函數的圖象關于軸對稱,C正確.若,則的最小值為錯誤.故選.11.ACD【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質和基本不等式,考查數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】雙曲線的漸近線方程為.設點到兩條漸近線的距離分別為,則利用點到直線的距離公式可得.因為,所以,所以,所以,A正確;因為,所以,B錯誤;因為,當且僅當時等號成立,C正確;因為,所以,當且僅當時等號成立,D正確.故選ACD.12.BCD【命題意圖】本題主要考查空間中線面位置關系,考查直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng).【解析】如圖,連接CE,EM.因為平面平面EBCF,平面平面平面AEFD,又,所以平面EBCF.所以CE為CA在平面EBCF內的射影.易得為等邊三角形,顯然CE不垂直于BF,所以AC不可能垂直于錯誤.易知,所以平面AEFD,所以為直線MB與平面AEFD所成的角.同理為直線MC與平面AEFD所成的角.所以,所以,所以.因為,所以.在平面AEFD內,以為坐標原點,以為軸正方向,為軸正方向建立平面直角坐標系,則,設,則有,化簡得,即點在平面AEFD內的軌跡方程為,所以點在平面AEFD內的軌跡為以為圓心,2為半徑的圓.易得點在四邊形AEFD內的軌跡為該圓的一段弧,弧所對的圓心角為,所以弧長為,B正確.要使三棱錐的體積最大,只要點的縱坐標的絕對值最大即可.令0,則,又,所以,此時到平面EBCF的最大距離為,C正確.三棱錐外接球的球心在過的外接圓圓心且垂直于平面BCF的直線上.在三棱錐中,設點為等邊外接圓的圓心,設三棱錐外接球的球心為,半徑為,設,則有,解得,所以,所以三棱錐外接球的表面積.D正確.故選BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.-240【命題意圖】本題主要考查二項式定理,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,得的系數為.14.1【命題意圖】本題主要考查直線與圓的位置關系,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,易得圓的圓心為,半徑為2,點在圓上.因為,所以PB.所以線段AB為圓的一條不過點的直徑.直線與圓相交于A,B兩點,圓心在直線上,所以,解得.檢驗知符合題意.15.【命題意圖】本題主要考查兩函數圖象的公切線問題,考查邏輯推理、數學運算的核心素養(yǎng).【解析】設曲線上任一點的坐標為,則該點關于直線的對稱點為,滿足,則,化簡可得.設曲線上的切點為,曲線上的切點為,又的導函數為的導函數為,則,兩式整理得,所以1),解得,所以.所以曲線與曲線的公切線的公切點為,則切線的斜率為1,故與兩曲線均相切的直線的方程為.16.【命題意圖】本題主要考查直線與拋物線的位置關系及最值問題,考查數學運算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,聯立方程解得或又點位于第二象限,所以,.設,則.設直線AP的斜率為,則.所以直線AP的斜率的取值范圍是.因為以AB為直徑的圓與直線AP交于異于點的另一點,所以.當時,直線AP為,直線BQ為,此時,所以1,所以.當時,所以直線BQ的斜率為.易得直線AP的方程為,直線BQ的方程為,聯立解得點的橫坐標是.因為,所以.令,則,所以當且時,;當時,,所以在區(qū)間,上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,因此當時,取得最大值,且0,所以.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【命題意圖】本題考查正、余弦定理,二倍角公式等,考查數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)因為,所以,即………………….2分由正弦定理得,又由余弦定理,可得.………….4分因為,所以.……………….5分(2)在中,由等面積法得,即,即.………………….8分所以.……………10分18.【命題意圖】本題考查等比數列的通項和數列的求和,考查數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)因為,所以.………………2分又因為,所以是首項為2,公比為2的等比數列.………4分（2）由（1）易知,……………………5分所以.……………………7分所以.…………………9分欲使不等式對任意正整數恒成立,只要.………………10分由題意可得且,解得.只需,解得.綜上所述,實數的取值范圍是.……………………12分19.【命題意圖】本題考查離散型隨機變量的分布列及數學期望,考查數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)(i)比賽結束時恰好進行了3局,甲奪冠的概率為,乙奪冠的概率為,……………………2分所以比賽結束時恰好進行了3局的概率為.………………3分(ii)的可能取值為2,3.…………………4分因為,,……………………6分所以的分布列如下:23故.……………………8分(2)因為比賽成績近似地服從正態(tài)分布,所以比賽選手可獲得“參賽紀念證書”的概率:所以估計獲得“參賽紀念證書”的選手人數為164.…………………12分20.【命題意圖】本題主要考查線面位置關系以及利用空間向量求二面角,考查直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng).【解析】(1)如圖,連接DC1.因為四邊形為菱形,,所以,所以.因為,所以,所以.………………1分又,所以平面,所以.………2分因為四邊形為菱形,且,所以.……1分因為為棱的中點,所以.又,所以.因為,所以平面ABCD.……………………4分(2)以D為坐標原點,分別為軸、軸、軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.易知,所以,.所以.設,則.…………………6分因為平面BDF,所以存在唯一的,使得.所以,解得.…………………7分所以.…………………8分設平面BDF的法向量為,則所以取,則.所以平面BDF的一個法向量為.…………9分設平面的法向量為,則所以取,則.所以平面的一個法向量為.………10分設平面與平面BDF的夾角為,則故平面與平面BDF夾角的余弦值為..……………………12分21.【命題意圖】本題主要考查直線與橢圓的位置關系,考查數學抽象、數學運算的核心素養(yǎng).【解析】(1)根據題意,蒙日圓的半徑為,所以.因為,所以,所以,所以橢圓的標準方程為.……………1分因為直線過點,且易知直線的斜率存在,所以可設直線,聯立方程消去并整理可得.由根與系數的關系可得,.……………2分因為,所以直線,直線.所以分所以,即直線的交點在直線上.…………