簡明工程力學(xué) 課件 第8章 梁的彎曲變形

工程力學(xué)第八章彎曲變形§8.1引言一、工程中的彎曲變形問題受彎桿件不僅要有足夠強度，還要有足夠剛度。即變形不能過大。otherwise，齒輪軸————→磨損，斷齒吊車梁————→梁振動軋輥————→厚度不均，廢品二、研究彎曲變形的目的1、剛度校核2、求解超靜定梁3、為振動計算和壓桿穩(wěn)定計算做知識準(zhǔn)備ontheotherhand，。。。forinstance，laminatedspring§8.2梁的撓度和轉(zhuǎn)角度量彎曲變形，可從軸線、橫截面兩方面來考慮。1.撓度

轉(zhuǎn)角

w撓度2.轉(zhuǎn)角

=

(x)3.撓曲線方程w=f(x)撓曲線4.撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系5.二者符號規(guī)定。。。C'B'ACwB

x§8.3撓曲線微分方程純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系

橫力彎曲時,M

和

都是x的函數(shù)，略去剪力對梁的位移的影響，則

這就是撓曲線方程。

但使用不方便。欲知M(x),w=f

(x)和

=f'(x)之間的關(guān)系。由高數(shù)知，平面曲線w=f(x)任一點的曲率為即得到撓曲線微分方程Kirchhoff所提精確，非線性求解困難，于是要。。。actually，撓曲線非常平坦，w和

都很小，so。。。正負(fù)號如何選??？在圖示坐標(biāo)系中

曲線凸時:

因此,w''與M的正負(fù)號相同

曲線凹時:OxwMMxOwMM

討論：①Fs對w和

有影響，考慮剪切效應(yīng)（翹曲）——Timoshenko②剛度條件等截面直梁積分法求§8.4

彎曲變形一次積分，得轉(zhuǎn)角方程二次積分，得撓曲線方程C1，C2由B.C.來確定，以及continuousconditions和smoothconditions，forexamplePDPABC①邊界條件：②連續(xù)條件：③光滑條件：或或例8-1求圖示等截面直梁的撓曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角，已知抗彎剛度為EI。①建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程②寫出微分方程并積分③應(yīng)用邊界條件求積分常數(shù)解：xPLwBxwAP例8-2求圖示等截面直梁的撓曲線方程、轉(zhuǎn)角方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角，已知抗彎剛度為EI。ABql

解:由對稱性可知,梁的兩個支反力為FRAFRB

此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為x

梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為

邊界條件x=0和x=l時,w=0

xABqlFRAFRB

A

B

在x=0和x=l處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值，wmax

在梁中點處有最大撓度值，例8-3求圖示等截面直梁的撓曲線方程、轉(zhuǎn)角方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角，已知抗彎剛度為EI。ABFDablFRAFRB解:梁的兩個支反力為AD和DB的彎矩方程分別為12xxAD段DB段D點的連續(xù)條件

邊界條件

代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB

在x=a處，

w1'=w2'，w1=w2在x=0處,w1=0在x=l處,w2=0AD段DB段下面求最大撓度和最大轉(zhuǎn)角首先可以判斷，最大轉(zhuǎn)角非A即B。

將x=0和x=l

分別代入轉(zhuǎn)角方程，得到左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角：

當(dāng)a>b

時,右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大。下面求最大撓度。簡支梁的最大撓度應(yīng)在w'=0處。先研究第一段梁，令w1'=0，得a>b時，說明

x1<a

最大撓度確實在第一段梁中，等于*由

式，F(xiàn)靠近B支座時，b→0，說明可用中點撓度代替最大撓度，引起的誤差很小。

結(jié)論:在簡支梁中，不論它受什么荷載作用，只要撓曲線上無拐點，其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替，其精確度能滿足工程要求。疊加法求§8.5彎曲變形

上一節(jié)可以看出積分法的優(yōu)點：使用范圍廣，求解較精確，可以求出任意截面上的w和

；缺點：當(dāng)彎矩方程分段較多時，計算非常繁瑣。于是，造表8-1。。。疊加原理

梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，梁在幾項荷載(可以是集中力，集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。當(dāng)每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿w軸方向)，其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時，則疊加就是代數(shù)和。例8-4求圖示簡支梁中點撓度wC。qFACB解：q在C點產(chǎn)生w1

F在C點產(chǎn)生w2

wC=w1+w2例8-5求圖示簡支梁中點撓度wC，

A和

B

。qACBm解：q在C點產(chǎn)生w1，

A1=-

B1

m在C點產(chǎn)生w2，

A2和

B2

wC=w1+w2

A=A1+A2

B=B1+B2例8-6求圖示懸臂梁wB和

B

。ABqCl/2l/2解：載荷分解為①+②如圖ABq①wB1

B1對①對②ABqC②l/2wc2

C2BC為直線，

B=B1+B2=。。。

wB=wB1+wB2=。。。例8-7求圖示懸臂梁wB和

B

。l/2l/2ABCP2II解：分段剛化。分段求變形，然后疊加，C處切開，先考慮CBPCBwB1

B1再看AC段PACPl/2wB2

B2引起的wB2和

B2分別為

B=B1+B2=。。。

wB=wB1+wB2=。。。wC

C例8-8求圖示外伸梁wC。PACBlaPPawC1

BwC2解：分段剛化。分段求變形，然后疊加。PCB②BA①如①如②§8.6簡單超靜定梁Q：還記得超靜定問題的解法嗎？A：以截面法為基礎(chǔ)的三條件法。用變形疊加法求解，具體步驟：1、確定超靜定次數(shù)；2、補充變形協(xié)調(diào)方程；3、聯(lián)立平衡方程求全部未知力；4、作剪力、彎矩圖。例8-9已知q，l，EI，作剪力、彎矩圖。ABqlABqlFBMAFA解：一次超靜定。解除約束（例如B處），代之以反力FB。協(xié)調(diào)方程wB=0wB=wB(q)+wB(FB)查表知聯(lián)立得作圖略思考：若解除A處轉(zhuǎn)動約束，如何？以反力偶MA代替。

A=A(MA)+

A(q)=0§8.7提高彎曲剛度的一些措施一、剛度條件1.數(shù)學(xué)表達(dá)式2.剛度條件的應(yīng)用（1）校核剛度（2）設(shè)計截面尺寸（3）求許可載荷[w]和[

]是構(gòu)件的許可撓度和許可轉(zhuǎn)角。二、提高彎曲剛度的措施矩形木梁的合理高寬