備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第五章數(shù)列第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用

第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用命題點五年考情命題分析預(yù)測等差、等比數(shù)列的綜合問題2022新高考卷ⅡT17；2022天津T18；2020浙江T20；2019全國卷ⅡT19該講的命題重點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，數(shù)列與不等式的綜合，難度中等.預(yù)計2025年高考可能會出現(xiàn)新的數(shù)列綜合題，備考時，應(yīng)關(guān)注數(shù)列與其他知識的綜合.數(shù)列與其他知識綜合2023新高考卷ⅠT7；2023全國卷乙T10；2023天津T19；2021浙江T10命題點1等差、等比數(shù)列的綜合問題例1[全國卷Ⅱ]已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.（1）證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列.（2）求{an}和{bn}的通項公式.解析（1）由題設(shè)得4（an＋1＋bn＋1）＝2（an＋bn），即an＋1＋bn＋1＝12（an＋bn）.因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為12由題設(shè)得4（an＋1－bn＋1）＝4（an－bn）＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2所以an＝12[（an＋bn）＋（an－bn）]＝12n＋nbn＝12[（an＋bn）－（an－bn）]＝12n－n訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的首項a1＝4，{an＋1－2an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.（1）證明：數(shù)列{an2n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an（2）在①bn＝an＋1－an，②bn＝log2a2n－12n，③bn已知數(shù)列{bn}滿足 ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解析（1）因為{an＋1－2an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，故an+12n+1－an2n＝1，所以數(shù)列{an2n}是以42＝2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以an2n＝2＋n－1＝n（2）若選條件①bn＝an＋1－an，則bn＝（n＋3）×2n，所以Tn＝4×2＋5×22＋6×23＋…＋（n＋3）×2n，2Tn＝4×22＋5×23＋6×24＋…＋（n＋3）×2n＋1，兩式相減，得－Tn＝4×2＋22＋23＋…＋2n－（n＋3）×2n＋1，所以－Tn＝8＋22×（1－2n－1）1－2－（n＋3）×2n＋1＝4－（n＋2）×2n＋1，所以Tn若選條件②bn＝log2a2n－12n，則bn＝log2（所以bn＋1－bn＝2（n＋1）－1－（2n－1）＝2，b1＝1，所以{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以Tn＝n（1+2n－若選條件③bn＝4nanan+1，則bn＝2n故Tn＝12（12－13＋13－14＋…＋1n+1－1n+2）＝命題點2數(shù)列與其他知識綜合角度1數(shù)列與函數(shù)綜合例2[2023福建寧德一中段考]設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）＝12＋log2x1（1）當(dāng)x1＋x2＝1時，求f（x1）＋f（x2）的值；（2）設(shè)Sn＝f（1n+1）＋f（2n+1）＋…＋f（n－1n+1）＋f（nn（3）對應(yīng)（2）中Sn，已知an＝（1Sn+1）2，其中n∈N*，設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項和，求證：49≤T解析（1）∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）＝12＋log2x∴?x1，x2∈（0，1），且當(dāng)x1＋x2＝1時，f（x1）＋f（x2）＝12＋log2x11－x1＋12＋log2x21－x2＝1＋log2x1x（2）∵11+n＋n1+n＝21+n＋n－11+∴由（1）知f（11+n）＋f（n1+n）＝f（21+n）＋f（n－11+n）＝f（3∵Sn＝f（1n+1）＋f（2n+1）＋…＋f（n－1∴2Sn＝[f（1n+1）＋f（nn+1）]＋[f（2n+1）＋f（n－1n+1）]＋…＋[f（nn+1）＋f（3）∵an＝（1Sn+1）2＝（1n2+1）2∴Tn＝432＋442＋45∵an＞0，∴Tn＜Tn＋1，∴{Tn}是遞增數(shù)列，∴Tn≥T1＝a1＝49，又an＝4（n+2）2＜4（n+2∴Tn＝432＋442＋452＋…＋4（n+1）2＋4（n+2）2＜2（12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n－1n+2＋1n∴49≤Tn＜5方法技巧數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解題策略（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象等進行研究.（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，一般要利用數(shù)列的有關(guān)公式對式子化簡變形.注意數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，要靈活運用函數(shù)的思想方法求解.訓(xùn)練2（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x＋1）＝2f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）＝sinπx.當(dāng)x∈[0，＋∞）時，將函數(shù)f（x）的極大值點從小到大依次記為a1，a2，a3，…，an，…，并記相應(yīng)的極大值為b1，b2，b3，…，bn，…，則數(shù)列{an＋bn}的前9項和為11032解析當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）＝sinπx，此時a1＝12，b1＝1.由于f（x＋1）＝2f（xf（x）＝2f（x－1）.當(dāng)x∈[1，2）時，x－1∈[0，1），則f（x－1）＝sin（x－1）π，所以f（x）＝2sin（x－1）π，此時a2＝32，b2＝……當(dāng)x∈[n－1，n）時，x－（n－1）∈[0，1），所以f（x）＝2n－1sin[x－（n－1）]π，此時an＝2n－12，bn＝2令cn＝an＋bn，則c1＋c2＋c3＋…＋c9＝（12＋32＋52＋…＋172）＋（1＋2＋22＋…＋28）＝812＋29（2）設(shè)曲線y＝xn＋1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn.令an＝lgxn，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－lg（n＋1）.解析因為y＝xn＋1（n∈N*），所以y'＝（n＋1）xn，當(dāng)x＝1時，y'＝n＋1，所以曲線y＝xn＋1在點（1，1）處的切線方程為y－1＝（n＋1）（x－1），令y＝0，則x＝nn+1，即xn＝nn+1，an＝lgxn＝lgn－lg（n＋1），則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lgn－lg（n＋1）＝－lg（n角度2數(shù)列與不等式綜合例3[2023天津高考]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＋a5＝16，a5－a3＝4.（1）求{an}的通項公式和∑i＝2（2）已知{bn}為等比數(shù)列，對于任意k∈N*，若2k－1≤n≤2k－1，則bk＜an＜bk＋1.（i）當(dāng)k≥2時，求證：2k－1＜bk＜2k＋1；（ii）求{bn}的通項公式及其前n項和.解析（1）設(shè){an}的公差為d，由a2＋a5所以{an}的通項公式為an＝3＋2（n－1）＝2n＋1.a2n－1＝2×2n－1＋1＝2n＋1，a2n－1＝2（2n－1）＋從a2n－1到a2n－1共有2n－1－2n－1＋所以∑i＝2n－12n－1ai＝（2n+1+2n+1－1）×2n－12＝（2n+2×2n）×2n－12＝3×（2）（i）因為當(dāng)2k－1≤n≤2k－1時，bk＜an＜bk＋1，所以當(dāng)2k≤n＋1≤2k＋1－1時，bk＋1＜an＋1＜bk＋2，可得an＜bk＋1＜an＋1.由（1）知{an}為遞增數(shù)列，所以若2k－1≤n≤2k－1，則a2k－1≤an≤a2k－1，得2k＋1≤a同理可得2k＋1＋1≤an＋1≤2k＋2－1.故可得2k＋1－1＜bk＋1＜2k＋1＋1，所以2k－1＜bk＜2k＋1.綜上，當(dāng)k≥2時，2k－1＜bk＜2k＋1.（ii）由題意知{bn}是q≠1的正項等比數(shù)列，設(shè){bn}的通項公式為bn＝p·qn（p＞0，q＞0且q≠1），由（i）知，2n－1＜bn＜2n＋1，即2n－1＜p·qn＜2n＋1，則有1－12n＜p·（q2）n＜1①當(dāng)q2＞1，即q＞2?n0∈N*，使得p·（q2）n0＞2，與p·（q2②當(dāng)0＜q2＜1，q≠1，即0＜q＜2且q≠1?n1∈N*，使得p·（q2）n1＜12，與p·（q2故q＝2.因為2n－1＜bn＜2n＋1，所以bn＝2n.設(shè){bn}的前n項和為Sn，則Sn＝2（1－2n）1方法技巧1.數(shù)列與不等式的綜合問題的解題策略（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性或者借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性求解.（2）對于與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題，要靈活選擇不等式的證明方法，有時需構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值來證明.2.放縮技巧（1）對1n2（n∈N①1n2＞1n2＋②1n2＜1n2－n＝1n③1n2＜1n2－1＝12（1④1n2＜1n2－14＝（2）對12n（n∈N①12n＞1n＋n②12n＜1n＋n訓(xùn)練3[2021浙江高考]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an1＋an（n∈N*），記數(shù)列{an}的前n項和為SnA.32＜S100＜3 B.3＜S100＜C.4＜S100＜92 D.92＜S100解析因為a1＝1，an＋1＝an1+an（n∈N*），所以an＞0，a2＝12，所以S1