備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第2講排列與組合

第2講排列與組合課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.排列問題2022新高考卷ⅡT5本講每年必考，主要以實(shí)際問題為情境考查計(jì)數(shù)問題，有時(shí)單獨(dú)命題，以小題為主，有時(shí)作為工具應(yīng)用于概率的計(jì)算，以大題為主，難度中等偏易.預(yù)計(jì)2025年高考仍會(huì)以創(chuàng)新實(shí)際生活情境為載體進(jìn)行命題.組合問題2023新高考卷ⅠT13；2023新高考卷ⅡT3；2020新高考卷ⅠT3排列與組合的綜合應(yīng)用2023全國(guó)卷甲T9；2021全國(guó)卷乙T6；2020全國(guó)卷ⅡT141.排列、組合的定義名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并按照①一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.注意排列有序，組合無序.2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式及性質(zhì)（n，m∈N*，且m≤n）排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，用符號(hào)②Anm從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，用符號(hào)③Cnm公式Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n！（nCnm＝AnmAmm＝n（n－性質(zhì)Ann＝n?。絥×（n－1）×（n－2）×…×2×Anm＝（n－m＋1）AnmCnm＝Cnn－m；說明Cnm＝Cnn－m的應(yīng)用主要是兩個(gè)方面：一是簡(jiǎn)化運(yùn)算，當(dāng)m＞n2時(shí)，通常將計(jì)算Cnm轉(zhuǎn)化為計(jì)算Cnn－m；二是列等式，由C1.5個(gè)相同的球，放入8個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒里至多放一個(gè)球，則不同的放法有（B）A.A85種 B.C85種 C.58種 解析由于球都相同，盒子不同，每個(gè)盒里至多放一個(gè)球，所以只要選出5個(gè)不同的盒子即可.故共有C852.[教材改編]從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是（B）A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的課外讀物選3本分給3位同學(xué)，每人1本，則不同的分配方法種數(shù)為A43.[教材改編]某班舉行了“弘揚(yáng)中華文化”演講比賽，有6人參加，并決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次）.甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從回答分析，6人的名次排列情況可能有（D）A.216種 B.240種 C.288種 D.384種解析由題可知，甲和乙都不是冠軍，所以冠軍有4種可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4種可能性，所以6人的名次排列情況可能有4×4×A44＝3844.[多選]下列說法正確的是（BD）A.所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列B.兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同C.若Cnx＝CnmD.An+1m＝A5.[易錯(cuò)題]計(jì)算C73＋C74＋C85＋C解析原式＝C84＋C85＋C96＝C6.若Cn+13＝Cn3＋Cn4解析∵Cn+13＝Cn3＋Cn4＝Cn+14，∴n研透高考明確方向命題點(diǎn)1排列問題例1有3名男生、4名女生.（1）若排成前、后兩排，前排3人，后排4人，則不同的排列方法總數(shù)為5040.（2）若全體排成一排，女生必須站在一起，則不同的排列方法總數(shù)為576.（3）若全體排成一排，男生互不相鄰，則不同的排列方法總數(shù)為1440.（4）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為3600.（5）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為3720.（6）若全體排成一排，其中甲、乙、丙三人從左到右順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為840.解析（1）分兩步完成，先選3人站前排，有A73種方法，余下4人站后排，有A44種方法，共有A73（2）將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有A44種方法，再將女生全排列，有A44種方法，共有A44（3）先排女生，有A44種方法，然后在女生之間及首尾共5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有A53種方法，共有A44（4）解法一先排甲，有5種方法，其余6人有A66種排列方法，共有5×A66解法二左、右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62種排法，剩下的5人有A55種排法，共有A（5）解法一甲在最右邊時(shí)，其他人可全排列，有A66種方法；甲不在最右邊時(shí)，因?yàn)榧滓膊辉谧钭筮?，所以可從余下?個(gè)位置中任選1個(gè)，有C51種，而乙可從除去最右邊的位置后剩下的5個(gè)位置中任選1個(gè)，有C51種，其余人全排列，有A55解法二7人全排列，有A77種方法，其中甲在最左邊時(shí)，有A66種方法，乙在最右邊時(shí)，有A66種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形（A55種方法），故共有（6）7人全排列，有A77種方法，由于甲、乙、丙的順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為方法技巧求解排列問題的常用方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算.優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置.捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列.插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素的排列空位中.定序問題除法處理定序問題，可先不考慮順序限制進(jìn)行排列，再除以定序元素的全排列.間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化處理.訓(xùn)練1（1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（B）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種解析先將丙和丁捆在一起，有A22種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有A33種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有2種排列方式，所以不同的排列方式共有2A2（2）[2023濟(jì)南市統(tǒng)考]由3個(gè)2，1個(gè)0，2個(gè)3組成的六位數(shù)中，滿足有相鄰4位恰好是2023的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為（B）A.3 B.6 C.9 D.24解析2023用了2個(gè)2，1個(gè)0，1個(gè)3，還余下1個(gè)2，1個(gè)3，故將2023視作一個(gè)整體與余下的1個(gè)2，1個(gè)3全排列，有A33＝6（種）不同的排法.命題點(diǎn)2組合問題例2（1）[多選]從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有（CD）A.若4人全部為男生，則有30種不同的選法B.若4人中男生、女生各有2人，則有30種不同的選法C.若男生中的甲和女生中的乙被選，則有28種不同的選法D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被選，則有140種不同的選法解析4人全部為男生，選法有C64＝15（種），故A錯(cuò)誤；如果4人中男生、女生各有2人，男生的選法有C62＝15（種），女生的選法有C42＝6（種），則4人中男生、女生各有2人的選法有15×6＝90（種），B錯(cuò)誤；如果男生中的甲和女生中的乙被選，在剩下的8人中再選2人即可，有C82＝28（種）不同的選法，故C正確；在10人中任選4人，有C104＝210（種）不同的選法，甲、乙都不在其中的選法有C84＝70（2）[2023新高考卷Ⅰ]某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64種（用數(shù)字作答）.解析解法一由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，有C41C41種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有C41C42種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有C42解法二若學(xué)生從這8門課中選修2門課，則有C82－C42－C42＝16（種）選課方案；若學(xué)生從這8門課中選修3門課，則有C83－C43－C43方法技巧組合問題常見的兩類題型（1）“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由剩下的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取.（2）“至少”與“最多”的問題：解這類題的關(guān)鍵是理解“至少”與“最多”這兩個(gè)詞的含義，通常用直接法或間接法處理，分類復(fù)雜時(shí)，用間接法更容易處理.訓(xùn)練2（1）[2023福州5月質(zhì)檢]“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動(dòng)之一，龍舟比賽的劃手分劃左槳和劃右槳.某訓(xùn)練小組有6名劃手，其中有2名只會(huì)劃左槳，2名只會(huì)劃右槳，2名既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2名劃右槳，則不同的選派方法共有（C）A.15種 B.18種 C.19種 D.36種解析按照從全能者（既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳）中選多少人參與劃左槳分類：①2名全能者中選2人劃左槳，有C22C22＝1（種）不同的選派方法；②2名全能者中選1人劃左槳，有C21C21C32＝12（種）不同的選派方法；③2名全能者中選0人劃左槳，有C22C（2）[2023南京市、鹽城市二模]編號(hào)為1，2，3，4的四位同學(xué)，就座于編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)座位上，每個(gè)座位恰好坐一位同學(xué)，則恰有兩位同學(xué)的編號(hào)和座位編號(hào)一致的坐法種數(shù)為6.解析先選擇兩位同學(xué)坐對(duì)編號(hào)，有C42種方法，余下的兩位同學(xué)只能交叉坐，只有1種方法，故共有C42×1命題點(diǎn)3排列與組合的綜合應(yīng)用角度1有限制條件的排列、組合問題例3（1）[2023沈陽市質(zhì)監(jiān)]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在最中間兩個(gè)位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊(duì)方法共有（C）A.24種 B.36種 C.72種 D.96種解析如圖所示，當(dāng)甲在3的位置時(shí)，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先從這三種中選出一種安排乙、丙，然后在剩下的3個(gè)位置安排余下的3人，所以不同的排隊(duì)方法有C31A22A33＝36（種）；當(dāng)甲在4的位置時(shí)，由對(duì)稱性可知不同的排隊(duì)方法也有36種.123456（2）[2023重慶市名校聯(lián)考]某校從8名教師中選派4名教師去4個(gè)偏遠(yuǎn)地區(qū)支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲與丙同去或者同不去，則不同的選派方案的種數(shù)是600.（用數(shù)字作答）解析分為兩步，第一步，先選4名教師，第一步又分兩類，第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（種）不同的選法；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（種）不同的選法.所以選4名教師，不同的選法有10＋15＝25（種）.第二步，4名教師去4個(gè)偏遠(yuǎn)地區(qū)支教，有A44＝24（種）分配方法.方法技巧有限制條件的排列、組合問題的解題策略（1）先分析每個(gè)限制條件，然后考慮是分類還是分步，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法；（2）采用特殊元素（位置）優(yōu)先原則，即先滿足有限制條件的元素（位置），再考慮其他元素（位置）.角度2分組、分配問題例4（1）有5個(gè)大學(xué)保送名額，計(jì)劃分到3個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)名額，有6種不同的分法.解析一共有5個(gè)保送名額，分到3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，即將名額分成3份，每份至少1個(gè)，（定份數(shù)）將5個(gè)名額排成一列，中間有4個(gè)空，（定空位）即只需在中間4個(gè)空中插入2個(gè)隔板，不同的方法共有C42＝6（種）（2）若將6名教師分到3所中學(xué)任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，則有360種不同的分法.解析先將6名教師分組，共有C61C5再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A33＝6故不同的分法共有60×6＝360（種）.（3）將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少1本的不同分法共有1560種.（用數(shù)字作答）解析把6本不同的書分成4組，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”兩種不同的分組方法.若按“3，1，1，1”的分組方法，則不同的分法共有C63C31若按“2，2，1，1”的分組方法，則不同的分法共有C62C42A22·C21C11A22＝所以不同的分組方法共有20＋45＝65（種）.然后把分好的4組書分給4個(gè)人，分法共有A44＝24（種），所以不同的分法共有65×24＝1560方法技巧分組、分配問題的解題思路是先分組后分配.1.常見的分組整體均勻分組分組后一定要除以Ann（n部分均勻分組若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！.不等分組分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等.注意關(guān)于分組問題，應(yīng)注意無論分成幾組，只要其中某些組中的元素個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象.2.常見的分配（1）相同元素的分配問題，常用“隔板法”求解.（2）不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配.（3）有限制條件的分配問題，采用分類討論法或間接法求解.訓(xùn)練3（1）[多選/2023重慶八中模擬]將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到A，B，C3個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1個(gè)社區(qū)，則下列選項(xiàng)正確的是（BD）A.共有72種安排方法B.若甲、乙被安排在同一個(gè)社區(qū)，則有6種安排方法C.若A社區(qū)需要2名志愿者，則有24種安排方法D.若甲被安排在A社區(qū)，則有12種安排方法解析對(duì)于A選項(xiàng)，將4名志愿者先分為3組，再分配到3個(gè)社區(qū)，所以安排方法種數(shù)為C42C21C11對(duì)于B選項(xiàng)，甲、乙被安排在同一個(gè)社區(qū)，先從3個(gè)社區(qū)中選1個(gè)安排甲與乙，再把剩余2個(gè)社區(qū)進(jìn)行全排列，所以安排方法種數(shù)為C31A22＝對(duì)于C選項(xiàng)，A社區(qū)需要2名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A社區(qū)，再把剩余2名志愿者進(jìn)行全排列，所以安排方法種數(shù)為C42A22＝對(duì)于D選項(xiàng)，甲被安排在A社區(qū)，分為兩種情況，（對(duì)甲安排在A社區(qū)進(jìn)行分類討論，討論A社區(qū)是甲單獨(dú)一人還是甲與另外一人）