2021年中考數(shù)學(xué)09 動態(tài)幾何（解析版）

專題09動態(tài)幾何2021屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項練習(xí)（解析版）

1.在四邊形ABCD中，AD〃BC,且AD>BC,BC=6cm,P、Q分別從A、C同時出發(fā)，P以Icm/s

的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運動，幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形？

【試題解答】解：設(shè)t秒后，四邊形APQB為平行四邊形,

則AP=t,QC=2t,BQ=6-2t,

；AD〃BC所以AP〃BQ,

根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

知：AP=BQ即可,

即：t=6-2t,

t=2,

當t=2時，AP=BQ=2<BC<AD,吻合，

綜上所述，2秒后四邊形ABQP是平行四邊形.

2.如圖，點￡是矩形ABCD中CO邊上一點，ABCE沿座折疊為ABFE,點尸落在AD上.

D

BL

（1）求證：AAEFsADFE；

（2）若sin"FE=；,求tan/EBC的值；

AP

（3）設(shè)=是否存在k的值，使A/W尸與△BEE相似？若存在，求出k的值；若不存在,

BC

請說明來由.

【試題解答】（1）證明：???四邊形ABCO是矩形，

ZA=ZD=ZC=90°,

?；ABCE沿BE折疊為ABFE,

；?ZBFE=ZC=90°,

ZAFB+/DFE=9Q。,

又ZAFB+ZABF=90°,

/?ZABF=ZDFE.

AAEFsADFE;

DE1

（2）解：在RtADEF中,sinZDFE=——=-,

EF3

設(shè)Z）E=a,EF=3a,DF=JE產(chǎn)+。爐=2缶，

■:ABCE沿BE折疊為4BFE,

：.CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,NEBC=NEBF,

又?:^ABFS/XDFE,

.EFDF也

??---=----=----,

BFAB2

——EF>/2

??tanZ-EBF=-----=——,

BF2

Jy

tanNEBC=tanZEBF=—；

2

（3）存在，Z邛時，△ABF與△BEE相似

來由：當△ABFsAFBE時,N2=/4.

VZ4=Z5,N2+N4+N5=90。，

???N2=N4=N5=30。，

.AB___73

,?----—cos3Q0o=—,

BF2

BC=BF,

②當AABRs△比3時，Z2=Z6,：N4+N6=90°,，N2+N4=90°,這與

N2+N4+N5=90°相抵悟,

不成立.

綜上所述，k邛時，△ABR與△班E相似.

3.如圖，在平面直角坐標系X。，中，極點為"的拋物線G：丁=依2-bx（aVO）經(jīng)由點A和x軸上

的點、B,AO=QB=2,ZAOB=120°.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）聯(lián)結(jié)AM，求SMAOM；

（3）將拋物線C,向上平移得到拋物線G,拋物線G與X軸分別交于點E、E（點E在點F的左側(cè)）,

參加VMB尸與AAOM相似，求所有吻合前提的拋物線G的表達式.

【試題解答】解：（1）過A作軸，垂足為，,

：0B=2,.?.8（2,0）

ZAOfi=120°

ZAOH=60°,ZHAO=30°.

,/04=2,

OH=—OA=1.

2

在RsAHO中,OH2+AH2=O^,

'?AH=V22—I2=V3?

；?A（T,-百）

‘拋物線G：y=ar2+區(qū)經(jīng)由點AB.

4a-20=0

?二可得：,r—,

a—b=73

\也

a=-----

3

解得：｛二

,2V3

b=-----

13

2G

這條拋物線的表達式為y=--%2+-----X;

33

y

M

H'----.r

\

(2)過M作A/G，x軸，垂足為G,

.??+竽T-

；?極點A/是,得MG=

設(shè)直線AM為y=kx+b,

11,2也

=-k+bk=-------

3

把代入得,百,解得「

=k+b,y/3

7b=------

IT3

六直線AM為y=—x--

33

令y=0,解得x=；

二直線AM與x軸的交點N為-,0

S7AoM=goN,MG-；ON.AH與+=^-

MG、h

；?在RNBGM中,tanZMBG=—=—,

BG3

???ZMBG=30°.

AZM8F=150°.由拋物線的軸對稱性得：MO=MB,

：.ZMBO=ZMOB=150°.

ZAOB=\20°,

/.ZAOM=150°

；?ZAOM=AMBF.

*OMBMiOMBF

，當7MBF與AAOM相似時,有-----=----或-----=----

OABF-OABM

BF

即或F-

2月'

2一BF~

3

2

/.8尸=2或8尸=—.

3

；?尸(4,0)或(1,0)

設(shè)向上平移后的拋物線C,為：y=一是X?+還x+k,

33

8百

當F(4,0)時,

亍

拋物線G為：y2，+巫x+也

333

當產(chǎn)［4,（）］時,

27

，拋物線G為：L務(wù)+竽X+噂.

622百T622G16G

綜上：拋物線。2為y=----X'+----x+----或？=-----x+---x+----

3333327

4.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在用AABC中，NA=90。，AB^AC,

點。、E分別在邊AB、AC上，AD-AE,毗鄰。E、DC,點M、P、N分別為DE、

DC、8c的中點，且毗鄰PM、PN.

察看料想

（1）線段PM與PN"等垂線段”（填“是”或“不是”）

料想論證

（2）AADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，毗鄰BO,CE,試判斷與PN是否

為“等垂線段”，并說明來由.

拓展延伸

（3）把AADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若4）=4,AB=10,請直接寫出PM與PN的積的最

大值.

AA

【試題解答】(1)是；

VAB=AC,AD=AE

：.DB=EC,ZADE=ZAED=ZB=ZACB

???DE〃BC

:.ZEDC=ZDCB

:點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點

，PM〃EC,PN〃BD,PM=-EC,PN=-BD

22

:.PM=PN,ZDPM=ZDCE,NPNC=NDBC

,/ZDPN=ZPNC+ZDCB

ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZACD+ZDCB+ZB=180°-90°=90°

線段PM與PN是“等垂線段”；

(2)由旋轉(zhuǎn)知N孤O=NC4E

VAB-AC,AD=AE

A4BDAAC￡(SAS)

???ZABD=ZACE,BD=CE

操縱三角形的中位線得PN=-BD,PM=-CE,

22

，PM=PN

由中位線定理可得PM/ICE,PNUBD

：.ZDPM=ZDCE,4PNC=ZDBC

,/ZDPN=ZDCB+4PNC=ZDCB+ZDBC

ZMPN=ZDPM+ADPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC

ABAC=90°

???ZACB+ZABC=90

■■NMPN=90

PM與PN為“等垂線段”；

（3）PM與PN的積的最大值為49；

由（1）（2）知，PM=PN=>BD

2

，B￡）最大時，PM與PN的積最大

，點。在84的耽誤線上，如圖所示：

BD=AB+AD=14

，PM=7

PM?PN=PM2=49-

5.數(shù)軸上點A示意的有理數(shù)為20,點8示意的有理數(shù)為-10,點P從點4出發(fā)以每秒5個單位長度

的速度在數(shù)軸上往左運動，到達點B后立即返回，返回過程中的速度是每秒2個單位長度，運動至

點4中斷，設(shè)運動時間為t（單位：秒）.

（1）當仁5時，點尸示意的有理數(shù)為.

（2）在點尸往左運動的過程中，點尸示意的有理數(shù)為（用含r的代數(shù)式示意）.

（3）當點P與原點間隔5個單位長度時，t的值為.

【試題解答】（1）由題意得：A6=20-（-10）=30,

點P從點A運動到點B所需時間為g=m=6（秒），

點P從點B返回，運動到點A所需時間為—=—=15（秒）,

22

則當f=5<6時，幺=5x5=25,

是以，點P示意的有理數(shù)為20-25=-5,

故答案為：-5；

（2）在點P往左運動的過程中，PA=5t,

則點P示意的有理數(shù)為20—57,

故答案為：20-51；

（3）由題意，分以下兩種情況：

①當點P從點A運動到點B,即0W1W6時，

由（2）可知，點P示意的有理數(shù)為20-5/,

貝420-5*5,

即20—5r=5或20—5/=—5,

解得。=3或t=5,均吻合題設(shè)；

②當點P從點B返回，運動到點A,即6</§5吐

PB=2?-6),

點P示意的有理數(shù)為2?-6)-10=2，-22,

則|2r—22|=5,

即2r—22=5或力-22=—5,

解得?=13.5或/=8.5,均吻合題設(shè)；

綜上，當點P與原點間隔5個單位長度時，，的值為3或5或8.5或13.5時，

故答案為：3或5或8.5或13.5.

6.如圖，△ABC中，ZACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿

折線A-B-C-A運動，設(shè)運動時間為t(t>0)秒.

(1)AC=cm；

(2)若點P恰好在NABC的角平分線上,求此時t的值；

(3)在運動過程中，當t為何值時，AACP為等腰三角形.

【試題解答】(1)由題意根據(jù)勾股定理可得：AC=VAB2-5C2=A/102-82=6(cm)

故答案為6；

(2)如圖，點P恰好在ZABC的角平分線上，過P作PD±AB于點D,

則可設(shè)PC=xcm,此時BP=(8-x)cm,DP=PC=xcm,AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm,

.,.在RTABDP中，BD?+PD?=BP?，BP42+x2=(8-x)2,解之可得：x=3,

BP=8-3=5cm,；.P運動的路程為：AB+BP=10+5=15cm,

(3)可以對ZACP的腰作出會商得到三種情況如下:

①如圖，AP=AC=6cm,止匕時t=-=3s；

2

②如圖，PA=PC,此時過P作PDJ_AC于點D,則AD=3,PD=4,AAP=5,

此時t=9=2.5s；

2

③如圖，PC=AC=6cm,則BP=8-6=2cm,

則P運動的路程為AB+BP=10+2=12cm.此時t=—=6s,

2

綜上所述，在運動過程中，當t為2.5s或3s或6s時，AACP為等腰三角形.

7.已知，在平面直角坐標系中，AB_Lx軸于點B,A(a,b)滿足Ja_6+|。-4|=0,平移線段AB使

點A與原點重合，點B的對應(yīng)點為點C.OA/7CB.

(1)填空：a=,b=,點C的坐標為

(2)如圖1,點P(x,y)在線段BC上，求x,y滿足的關(guān)系式;

(3)如圖2,點E是OB一動點，以O(shè)B為邊作NBOG=NAOB交BC于點G,連CE交OG于點F,當

點E在OB上運動時，--------------的值是否產(chǎn)生轉(zhuǎn)變？若轉(zhuǎn)變，請說明來由；若不變，要求出

ZOEC

其值.

【試題解答】解：(1)；JF+2—4|=0,

.卜一6二0

?,jb—4=05

a=6

/.〈,

Z?=4

AB=4,OB=6,

由平移得：。。=4,且C在y軸負半軸上，

??.C(0,-4),

故答案為：6,4,(0,-4)；

(2)如圖，過點P分別作PM，x軸于點M,PN_Ly軸于點N,毗鄰OP.

?.認8心軸于點民且點A,p,C三點的坐標分別為：(6,4),(x,y),(O,T),

，OB=6,OC=4,PM=—y,PN=x,

?1-S.BOC=S.POC+S.8=g℃?PN+goB?PM=gx4x+；x6x(—y)

=2x-3y,

而SROC=_OB?OC=-x6x4=12,

AB"22

/.2x-3y=12,

???x，y滿足的關(guān)系式為：2x—3y=12,

NOFC+NFCG

(3)的值不變,值為2.

NOEC

來由如下：?.?線段0C是由線段AB平移得至I],

：.OA//CB,,

：.NAOB=/OBC,

又?.,/BOG=NAOB,

NBOG=/OBC,

根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得ZOGC-2ZOBC,ZOFC=ZFCG+ZOGC,

ZOEC=ZFCG+ZOBC,

：.ZOFC+ZFCG=2ZFCG+2ZOBC=2(ZFCG+ZOBC)=2ZOEC,

ZOFC+ZFCG2ZOEC。

-----——=———=2；

ZOECZOEC

ZOFC+ZFCG

所以:的值不變，值為2.

ZOEC

8.綜合實踐

初步探討：

如圖，已知NAOB=60。，在NAOB的平分線OM上有一點C,將一個120。角的極點與點C重合，它

的兩條邊分別與直線OA、OB訂交于點D、E.

(1)當NDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(如圖1),請料想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系

為;

解決問題：

(2)當NDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，(1)中的結(jié)論是否成立？并說明

來由；

(3)當NDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向耽誤線訂交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明;

若不成立，線段OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系為；

拓展應(yīng)用：

(4)當NDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時，請料想四邊形CDOE的周長與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明

來由：

【試題解答】：(1)；0M是NAOB的角平分線，

.\ZAOC=ZBOC=—ZAOB=30°,

2

VCD±OA,

ZODC=90°,

ZOCD=60°,

ZOCE=ZDCE-ZOCD=60°,

在Rt/iOCD中，OD=OC?cos30o=立OC,

2

同理：OE=^OC,

2

;.OD+OE=6OC；

(2)(1)中結(jié)論仍然成立，來由：

過點C作CF±OA于F,CG±OB于G,

，ZOFC=ZOGC=90°,

ZAOB=60°,

.\ZFCG=120°,

同Q)的方式得，OF=@OC,OG=BOC,

22

.,.OF+OG=73OC,

VCF±OA,CG±OB,且點C是NAOB的平分線OM上一點,

；.CF=CG,

ZDCE=120°,ZFCG=120°,

ZDCF=ZECG,

.,.△CFD^ACGE,

DF=EG,

OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,

OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,

.".OD+OE=^OC；

(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE-OD=&OC,

來由：過點C作CFLOA于F,CGLOB于G,

/OFC=NOGC=90。，

ZAOB=60°,

ZFCG=120°,

同Q)的方式得，OF=^OC,OG=^OC.

22

.,.OF+OG=73OC,

VCF1OA,CGIOB,且點C是NAOB的平分線OM上一點,

；.CF=CG,VZDCE=120°,ZFCG=120°,

ZDCF=ZECG,

.'.△CFD^ACGE,

；.DF=EG,

.".OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,

.\OE-OD=V3OC.

(4)由(1)可得OD+OE=V5OC,CD+CE=OC

OD+OE+CD+CE=(V3+D0C,

故四邊形CDOE的周長為（73+DOC.

9.AABC是等邊三角形，點。在BCL,點、E,尸分別在射線AB,AC±,且

DA=DE=DF.

（1）如圖1,當點。是8C的中點時，則/田尸=°；

（2）如圖2,點。在BC上運動（不與點8,C重合）.

①判斷NEC下的大小是否產(chǎn)生改變，并說明來由；

②點。關(guān)于射線AC的對稱點為點G,毗鄰BG,CG,CE.依題意補全圖形，判斷四邊形BECG

的形狀，并證明你的結(jié)論.

【試題解答】（1）???點D是等邊△ABC的邊BC的中點，

.\ZDAB=ZDAC=—ZBAC=30°,

2

DA=DE,

NAED=NBAD=30°,

ZADE=180°-ZBAD-ZAED=120°,

同理：NADF=120。,

，NEDF=360°-NADE-NADF=120°,

故答案為：120；

(2)①不產(chǎn)生改變，來由如下：

,/AABC是等邊三角形，

za4c=60。.

DA=DE=DF.

，點A,E,尸在覺得。圓，長為半徑的圓上，

二NEDF=2NBAC=120。.

②補全圖形如下：四邊形BECG為平行四邊形，證明如下:

由①知，ZEZ)F=120°,

,/ABDE+/BED=60°,ZBDE+ZCDF=60°,

???/BED=/CDF.

在△CD/7和ABED中，

NDCF=ZEBD

<ZCDF=ZDEA,

DF=ED

：.AC￡>F三ABED(AAS).

，CD=BE.

點。和點G關(guān)于射線AC對稱，

，CD=CG,ZDCG=2ZACD=120°=ZEBD.

:.BE=CG,且BE//CG.

，四邊形8ECG為平行四邊形.

10.如圖，數(shù)軸上，點A示意的數(shù)為-7,點B示意的數(shù)為-1,點C示意的數(shù)為9,點。示意的

數(shù)為13,在點B和點C處各折一下，得到條“折線數(shù)軸”，我們稱點4和點。在數(shù)上相距20個長度

單位，動點P從點A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點Q從點。出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”

的負方向運動，它們在“水平路線''射線和射線CO上的運動速度一樣均為2個單位/秒，“上坡

路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到8速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2

倍.設(shè)運動的時間為，秒，問：

（1）動點尸從點A運動至D點需要時間為秒；

（2）P、。兩點到原點。的間隔一樣時，求出動點P在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；

（3）當。點到達終點A后，立即調(diào)頭加速去追P,“水平路線''和"上坡路段”的速度均提高了1個單位/

秒，當點。追上點P時，直接寫出它們在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù).

【試題解答】（1）?.?點A示意的數(shù)為-7,點B示意的數(shù)為一1,點C示意的數(shù)為9,點D示意的數(shù)

為13,

AB=6,BC=IO,CD=4,

???動點P從點A運動到點D所需時間為-+—+-=3+10+2=15（秒），

212

故答案為：15；

(2)由題意，分以下六種情況：

①當點P在AB,點Q在CD時，

點P示意的數(shù)為-7+2/,點Q示意的數(shù)為13—2/,

???點P、Q到原點的間隔一樣，

.-.-7+2r+(13-2r)=0,

此方程無解；

②當點P在AB,點Q在CO時，

9-4p-^

點P示意的數(shù)為-7+21點Q示意的數(shù)為=17—今，

???點P、Q到原點的間隔一樣,

.?.-7+2r+(17-旬=0,

解得t=5,

此時點P示意的數(shù)為3,不在AB上，不符題設(shè)，舍去；

③當點P在B0,點Q在CO時，

點P示意的數(shù)為=點Q示意的數(shù)為9-4p-1j=17-4r,

???點P、Q到原點的間隔一樣,

.?.r-4+(17-4r)=0,

13

解得r=—,

3

此時點P示意的數(shù)為不在BO上，不符題設(shè)，舍去；

3

④當點P、Q相遇時，點P、Q均在BC上，

點P示意的數(shù)為T+—=點Q示意的數(shù)為9-4k-1U17-4r,

???點P、Q到原點的間隔一樣,

.?1-4=17—4f,

解得f=

此時點P示意的數(shù)為點Q示意的數(shù)為均吻合題設(shè);

⑤當點P在0C,點Q在OBO寸，

點P示意的數(shù)為-l+U-|Ur-4,數(shù)為9-4^--

點Q不意的=17—今，

???點P、Q到原點的間隔一樣,

.“-4+（17-旬=0,

13

解得/,

3

此時點P示意的數(shù)為點Q示意的數(shù)為-（，均吻合題設(shè);

⑥當點P在0C,點Q在BA時，

點P示意的數(shù)為一1+|[-1）=「一4,點Q示意的數(shù)為一1一2（，-3-彳）=8-2/,

???點P、Q到原點的間隔一樣,

.4+(8-21)=0,

解得r=4,

此時點Q示意的數(shù)為0,不在BA上，不符題設(shè)，舍去；

綜上，點P示意的數(shù)為』或

53

(3)?.?點Q到達點A所需時間為-+—+-=7.5(秒)，此時點P到達的點是

242

-7+3x2+(7.5-3)xl=3.5,

點P到達點C所需時間為2+^=13(秒),此時點Q到達的點是-7+2x3+2x(13—7.5-2)=6,

???點Q在CD上追上點P,此時點P示意的數(shù)為9+213)=2517,點Q示意的數(shù)為

—7+6+10+3?！?.5—2-5)=3f—34.5,

.?⑵-17=3/—34.5,

解得/=17.5,

此時點P示意的數(shù)為18,點Q示意的數(shù)為18.

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點。為對角線8。的中點，點P從點A出發(fā)，沿

折線-OC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，當點P與點A不重合時，過點P作

PQ_LA8于點。，覺得尸。邊向右作正方形P0MN,設(shè)正方形PQMN與八鉆。重疊部分圖形的面

積為S(平方單位)，點P運動的時間為t(秒).

(1)求點N落在BD上時/的值.

(2)直接寫出點。在正方形PQMN內(nèi)部時r的取值范疇.

(3)當點P在折線4)一。。上運動時，求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）直接寫出直線ON平分ABC。面積時，的值.

【試題解答】（1）如圖1所示,

由題意可知，當點N落在BD上時，

因為四邊形PQMN是正方形，所以AP=PN=r,

又因為在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,

所以O(shè)P=3—r,在AOPN和SW中，

因為/PDN=ZADB,ZDPN=ZDAB=90°,

DPPN

所以ADPNSADAB,則一=—,

DAAB

所以土【=」，解得/=—,

347

12

所以當點N落在BD上時，的值為一.

7

12

故答案為：￡二一.

7

（2）①如圖2,

圖2

點0剛落在正方形PQA/N上.

因為點。是矩形ABC。對角線30的中點，

所以MN在矩形ABC。的一條對稱軸上，

所以=所以，=4—"解得t=2.

②如圖3,點。和點尸重合,

圖3

此時P點運動的間隔為AD+DO,

因為AD=3,4?=4,所以60=JAD2+AB?=J32+42=5,

所以。0=工8。=—,

22

所以此時，=4。+。0=3+』=一.

22

綜上所述，當點。在正方形PQA/N內(nèi)部時，，的取值位于上述兩個臨界位置之間，即f的取值范

疇為2</<U?

7

故答案為：2<，<U.

7

12

(3)①由(1)可知，當0<fW一時，正方形PQMN和A4BD的重疊部分即為正方形PQMN,所

7

以此時S=/.

4Q)MB

圖1

12

②當一＜T3時，點P在A￡＞上，

7

設(shè)PN與BD交于前G,MN與BD交于點、F,

此時正方形PQMN和小鉆￡)的重疊部分為五邊形PGFMQ,

此時S=sPQMN—SAGNF-

同(1),可知ADPGs^DAB,AFMB^ADAB,

因為AP=AM=t,AD-3,AB=4,

所以O(shè)P=3-f,BM=4-f,

,DPPGFMBM

所cr以i——=——，——=——.

DAABDABA

-3TPGFM

所以k=一，——

43

所以PG=4——t,FM=3--t,

34

所以GN=PN-PG=f-14-&f

NF=MN—FM=r-(3--zL-/-3,

I4J4

所以%；心=；6從加=苴3一4)(1—3),

?S

整理得S=-上產(chǎn)+7f—6.

24

A(Q)圖5M13

③當時，點p在DOk,

2

設(shè)MN與BD交于點、F,則S=SpFMQ=S&PQB-SbFMB?

因為AD=3,BD=5,所以PD=f—3,所以尸3=8—九

同（1）,bPQBskDAB,所以必=儂=生，

DAABDA

所以T=^=等，所以。^:備一），PQ=1（8T）,

431

所以"8=。8—。加=1（8—。—《（8—/）=《（8—0,

FMBM

又因為AFMBSADAB,所以——=——，

DABA

所以五加_二（8一‘），所以尸"=1_（8—/）,

亍=1一20

11134131

所以5=5必08_5"皿=不?0-08_不產(chǎn)〃?加8=不?不（8_/）?三（8一/）一不?而（8_，）?三（8_，）,

99

整理得S=—（8T）.

40v7

12I?2511

綜上所述，當0<fW—時，s=/；當—</V3時，S=----廠+7/-6；當3<，工一時，

77242

S=—（8-/）2.

40、）

t?3

11

（4）設(shè)直線DN與交于點E,

3

因為直線ON平分ABCD的面積，BE=CE=±

2

①如圖7,點P在AD上，過點E作于點

DPPN

則ADPNsgHE,所以——=——,

DHHE

因為AP=PN=t,DP=3-t,EH=BA=4,

3T24

所以3t,解得t=—.

~^-=-11

②如圖8,點尸在。。上，毗鄰OE.

D

C

E

Q

圖8

因為E、。分別為BC、3。的中點，

所所以E。ABCD的一條中位線，

所以O(shè)E//CD,所以。E=，C￡>=2,

2

又因為PN//CD,所以PN//OE,

DPPN

所以ADPNs及）OE,所以——=—,

DO0E

53

因為DP=t-3,。。=jPN=PQ=W（8T）

（由（3）②知）,OE=2,

3

_3￡（8T）

所以z三=J—,解得/=￥.

527

2

③如圖9,P在0。上，

設(shè)OE與0c交于點S,毗鄰QE,交PQ于R.

同②，OE/ICD,且0￡=LCD=2,

2

所以所以？-=—=-,

CSCD2

又因為OC=OD=),所以。S=」-0C=3,

21+26

所以SC=—,又因為PN//OE(同②)，

3

SPPN

所以ASPNSASOE,所以一=—，

SOOE

因為OP=，-A。—。。=1一口，

2

19_

197一’PN

所以SP=OS—OP=又一t,所以三一=——

352

6

所以PN專一葭

又因為PQ//BC,所以△ORPS^OEC,

H

OPPR1_2PR333

所以—，所以所以PQ=yf_歷,

OCCE53，

22

33333n

所以尸Q=PR+RQ=PH+3E=T—而+5=y—