微積分 第七版 課件 三、二元函數的全微分

1三

二元函數的全微分本節(jié)學習目標010203掌握二元可微函數的全微分表達式了解二元函數的全微分定義能熟練計算二元函數的全微分一、二元函數的全微分1.定義后.3已知二元函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處及其附近有定義,且兩個一階偏導數值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)皆存在自變量x,y在點(x0,y0)處分別有了改變量Δx,Δy(Δx,Δy不同時為零),相應二元函數改變量為Δz

3并稱自變量改變量Δx,Δy的正比例函數的和

f'x(x0,y0)Δx+f'y(x0,y0)Δy

為二元函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處的全微分值,記作

42.二元函數的全微分與改變量Δz關系

自然提出問題:在什么條件下,二元函數一定可微?53.二元函數可微定理如果二元函數z=f(x,y)的兩個一階偏導數f'x(x,y),f'y(x,y)皆在點(x0,y0)處連續(xù),則二元函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微.定理后.164.二元可微函數若二元函數z=f(x,y)在區(qū)域E(可以是開區(qū)域,也可以是閉區(qū)域或半開區(qū)域)上每一點(x,y)處都可微,則稱二元函數z=f(x,y)在區(qū)域E上可微并稱二元函數z=f(x,y)為區(qū)域E上的二元可微函數二元可微函數z=f(x,y)在區(qū)域E上任意點(x,y)處的全微分值稱為二元可微函數z=f(x,y)的全微分,記作dz=f'x(x,y)Δx+f'y(x,y)Δy7根據§2.7給出的結論:自變量微分等于自變量改變量,因此對于自變量x,y,有dx=Δx,dy=Δy于是得到二元可微函數z=f(x,y)的全微分表達式為dz=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy8二、求二元函數全微分方法求二元可微函數的全微分并不需要新的方法：應該先求出二元可微函數的兩個一階偏導數,再將這兩個一階偏導數分別乘以相應自變量的微分,然后相加,就得到二元可微函數的全微分9例1求二元函數z=ln(x3+y3)的全微分解:計算一階偏導數

10所以全微分

11例2求二元函數z=sinxy2的全微分解:計算一階偏導數z'x=cosxy2·(xy2)'x=y2cosxy2z'y=cosxy2·(xy2)'y=2xycosxy12所以全微分dz=y2cosxy2dx+2xycosxy2dy=ycosxy2·(ydx+2xdy)13例3方程式z2-2yez=x2確定變量z為x,y的二元函數,求全微分dz解:方程式z2-2yez=x2等號兩端皆對自變量x求一階偏導數,有2zz'x-2yezz'x=2x即有(z-yez)z'x=x得到一階偏導數

14方程式z2-2yez=x2等號兩端皆對自變量y求一階偏導數,有2zz'y-2(ez+yezz'y)=0即有(z-yez)z'y=ez得到一階偏導數

15所以全微分

二元可微函數在定義域內點(x0,y0)處的全微分值為全微分的表達式中自變量x,y分別用數x0,y0代入所得到的數值.16例4二元函數z=xey的全微分dz=(

).(a)ey(dx+ydy) (b)ey(dx+xdy)(c)ey(ydx+dy) (