浙江省名校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、選擇題：本題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．2．?dāng)?shù)列1，，，，…的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．3．已知直線：，：，若，則m的值為（）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或34．已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面，，則下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若且，則5．已知點(diǎn)和圓Q：，則以PQ為直徑的圓與圓Q的公共弦長是（）A． B． C． D．6．江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬米，若水面上升5米，則水面寬為（）A．米 B．米 C．米 D．30米7．在正三棱臺(tái)中，，，則異面直線OC與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．8．如圖，是由一系列直角三角形拼接而成的幾何圖形，已知，記，，…，的長度構(gòu)成的數(shù)列為，則的整數(shù)部分是（）A．87 B．88 C．89 D．90二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)和不選的得0分．9．已知向量，，則下列正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影向量為10．若正項(xiàng)數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q，其前n項(xiàng)和為，則下列正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．若是遞減數(shù)列，則 D．若，則11．如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為，，則（）A．A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為常數(shù) B．在直線l上存在點(diǎn)P，使C．A，O，三點(diǎn)共線 D．在直線l上存在點(diǎn)P，使得的重心在拋物線上12．在正三棱錐中，SA，SB，SC兩兩垂直，，點(diǎn)M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，AC在平面內(nèi)，記直線BM與平面所成角為，則當(dāng)該三棱錐繞AC旋轉(zhuǎn)時(shí)的取值可能是（）A．53° B．60° C．75° D．89°非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則______．14．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，若是數(shù)列的前n項(xiàng)積，當(dāng)取最大值時(shí)，______．15．已知某圓錐底面直徑與母線長之比為，其內(nèi)切球半徑為1，則此圓錐的體積等于______．16．已知雙曲線C的漸近線方程為，兩頂點(diǎn)為A，B，雙曲線C上一點(diǎn)P滿足，則______．四、解答題：共6大題，共70分，其中第17題10分，第18題~第22題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若、、成等比數(shù)列，求k的值．18．已知圓C的圓心在直線上，且過，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）已知l：，若直線l與圓C相切，求實(shí)數(shù)m的值．19．如圖，已知斜三棱柱，底面是正三角形，，，點(diǎn)N是棱的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面ANB的夾角的余弦值．20．已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，且．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為，，且，求證：直線l過定點(diǎn)．21．已知數(shù)列滿足，．（Ⅰ）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（Ⅱ）若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．22．已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點(diǎn)A，B．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）是雙曲線上一點(diǎn)，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設(shè)直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍．2023學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考參考答案高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科首命題：柯橋中學(xué)次命題兼審校：麗水中學(xué)審核：瑞安中學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．C2．A3．B4．C5．D6．D7．B8．B8．解析：由題意知，且，，…，都是直角三角形，所以，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，∵，∵，即，所以所求整數(shù)部分都是88，故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9．ACD10．ABC11．CD12．AB12．當(dāng)BM與平面平行時(shí)，；由最小角定理，直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)的線所成角中最小的角，所以小于等于BM與AC所成的角，分別取SC，SA的中點(diǎn)M，N，連接MN，BM，BN．在中，，，得，故．因?yàn)?，，而，所以．故選：AB．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．214．615．16．16．解析：不妨設(shè)雙曲線C的方程為，A，B為左右頂點(diǎn)．設(shè)，因?yàn)椋?，化簡得：，則，解得，所以，作軸于D．．四、解答題（共6大題，共70分，其中第17題10分，第18題~第22題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由，，所以，解得，所以，則．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，又、、成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，則，又，則即，得，，所以圓C的半徑，所以圓C的方程是（或）．方法二：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則AB的中垂線方程為．則，解得，所以圓心C的坐標(biāo)為，所以圓C的半徑，所以圓C的方程是（或）．（Ⅱ）設(shè)圓心C到直線的距離為d，由題意可得，平方整理后可得，解得或．19．解析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)M，連接AM，，，，∵三棱柱中，，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴面，∴．（Ⅱ）方法一：連接MN，在中，，，，即，即．如圖建系，，，，有，，設(shè)面ABN的法向量為，則，解得面ABN的一個(gè)法向量，面的一個(gè)法向量，∴，所以平面與平面ANB的夾角的余弦值為．（Ⅱ）方法二：連接MN，在中，，，，即，即．作于F，連BF．因?yàn)槠矫鍭MN，平面AMN，所以，又，所以平面BMF，平面BMF，所以，所以為二面角的平面角．在中，，得．則，所以．所以平面與平面ANB的夾角的余弦值為．20．解析：（Ⅰ）由題意得：，解得，或（舍去），所以拋物線C的方程為．（Ⅱ）方法一：（1）當(dāng)直線l斜率存時(shí)，設(shè)直線l：，，，則，消去x，整理得，則，，，而，整理得，所以，所以直線l：，所以直線l過定點(diǎn)．（2）當(dāng)直線l斜率不存時(shí)，設(shè)直線l：，則，，則，得，所以直線l：，則點(diǎn)在直線l上．綜上：直線l過定點(diǎn)．（Ⅱ）方法二：設(shè)，，則，則，直線l的方程為，則，所以直線l過定點(diǎn)．21．解析：（1）當(dāng)時(shí)，則，得，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．所以，則，所以，，兩式相減得，所以．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以數(shù)列單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又由，可得，所以，即，則，所以，易知為遞增數(shù)列，且，所以，即：．22．解析：（Ⅰ）由題意得：，解得，所以雙曲線的方程為．（Ⅱ）方法一：設(shè)直線AP：，，則，消y得：，得：，又因?yàn)樵陔p曲線上，滿足，即，所以，即．同理設(shè)直線BP：，，可得，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕汛腚p曲線方程得，解得，則點(diǎn)．設(shè)與的外接圓的半徑分別