湖南省長(zhǎng)沙市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

年春季八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科入學(xué)練習(xí)問(wèn)卷考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分120分，時(shí)量120分鐘．一、單選題（共10小題，每小題2分．共20分）1．現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的方塊字中有些也具有對(duì)稱性．下列美術(shù)字是軸對(duì)稱圖形的是（）A．誠(chéng) B．信 C．友 D．善2．要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（）A． B． C． D．3．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．4．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．5．下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，3，3 B．2，3，4 C．6，8，9 D．5，12，136．已知：，則p，q的值分別為（）A．5，3 B．5，－3 C．－5，3 D．－5，－37．若，則的值為（）A．20 B．25 C．30 D．358．某工廠計(jì)劃x天內(nèi)生產(chǎn)120件零件，由于采用新技術(shù)，每天增加生產(chǎn)3件，因此提前2天完成計(jì)劃，列方程為（）Α． B． C． D．9．若，則的值是（）A． B． C． D．10．如圖，已知在等邊中，，，若點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有最小值時(shí)，最小值為（）A． B． C．10 D．12二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．點(diǎn)A（－3，2）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．12．?dāng)?shù)0．0000046用科學(xué)記數(shù)法表示為：_______．13．分解因式：_______．14．若，則xy＝_______．15．如圖，小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端6m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處2m，則旗桿的高度為_______m．16．如果關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是_______．三、解答題（共9小題．17、18、19每題6分，20、21每題8分，22、23每題9分，24，25每題10分，共72分）17．計(jì)算：．18．先化簡(jiǎn)．再求值：，其中19．解方程：．20．某校為了解疫情期間學(xué)生在家上網(wǎng)課的學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了該校部分學(xué)生對(duì)其學(xué)習(xí)效果進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖。（1）此次調(diào)查的樣本容量為______，學(xué)習(xí)效果“較差”的部分對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為______；（2）補(bǔ)全條形圖；（3）請(qǐng)估計(jì)該校3000名學(xué)生疫情期間網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)。21．如圖．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是過(guò)點(diǎn)A的一直線，且B，C在AE的兩側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求證：（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．22．某公司計(jì)劃購(gòu)買A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人搬運(yùn)材料，已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)30kg材料，且A型機(jī)器人搬運(yùn)1000kg材料所用的時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)800kg材料所用的時(shí)間相同。（1）求A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少材料；（2）該公司計(jì)劃采購(gòu)A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人共20臺(tái)，要求每小時(shí)搬運(yùn)材料不得少于2800kg，則至少購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人多少臺(tái)？23．在△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)F在AC邊上，連接EF，使∠FED＝∠B，若，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作，交邊AC于G，點(diǎn)G是AF中點(diǎn)，求證：△ADG是等邊三角形．24．若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x、y、z滿足：若其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x、y、z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”。例如：因?yàn)?、、的倒?shù)能夠滿足，所以數(shù)組－、、構(gòu)成“和諧三數(shù)組”（1）下列三組數(shù)構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的有______；（填序號(hào)）①1、2、3；②1、、；③、、．（2）若、、構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實(shí)數(shù)的值；（3）若非零實(shí)數(shù)、、構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，且滿足以下三個(gè)條件：①；②點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為；③不等式恒成立。求實(shí)數(shù)的取值范圍．25．如圖，在△ABC中，，AB＝5，BC＝3，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB，求出此時(shí)的值；（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上，求的值；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．參考答案：1．D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐一進(jìn)行分析即可得.【詳解】A.不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B.不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；C.不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；D.是軸對(duì)稱圖形，符合題意，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟知“平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形”是解題的關(guān)鍵.2．A【分析】根據(jù)分式的分母不為0可得關(guān)于x的不等式，解不等式即得答案．【詳解】解：要使分式有意義，則，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟知分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法，積的乘方，合并同類項(xiàng)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故選項(xiàng)B正確，符合題意；C、，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；D、和不是同類項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．4．D【分析】先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，然后再進(jìn)行二次根式的加法運(yùn)算即可.【詳解】原式===5，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則以及二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.5．D【分析】本題考查勾股定理逆定理．根據(jù)一個(gè)三角形的兩短邊的平方和等于第三邊的平方，這個(gè)三角形是直角三角形，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；故選D．6．D【分析】此題可以將等式左邊展開和等式右邊對(duì)照，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可得到p、q的值．【詳解】由于=2x2-6x+x-3=2x2-5x-3=，則p=-5,q=-3,故答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求解是關(guān)鍵．7．B【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，利用完全平方公式展開，將和的值代入計(jì)算即可求出的值．【詳解】解：∵，∴∵，，∴，故選：B．8．B【分析】根據(jù)相等關(guān)系：現(xiàn)在每天生產(chǎn)的零件數(shù)=原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件數(shù)+3，即可列出方程．【詳解】由題意，原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件數(shù)為：個(gè)，采用新技術(shù)后每天生產(chǎn)的零件數(shù)為：個(gè)，根據(jù)等量關(guān)系得方程：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】本題主要考查了已知式子的值、求代數(shù)式的值，靈活對(duì)已知等式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．由可得，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選D．10．D【分析】過(guò)作，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離垂線段最短即可得到過(guò)B作交于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)．【詳解】解：過(guò)作，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，∵到直線的距離垂線段最短，∴過(guò)B作交于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)，最短距離為，∵是等邊三角形，，，∴，故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是作出圖形找到最小距離點(diǎn)．11．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法解答即可．【詳解】解：0.0000046=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．13．【分析】此題考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．14．6【詳解】解：根據(jù)根號(hào)下為非負(fù)數(shù)由和可判斷．故x=2.則y=3.所以xy=6【點(diǎn)睛】本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的掌握．根據(jù)根號(hào)下為非負(fù)數(shù)，而x-2與2-x為相反數(shù)可推斷出x-2=0為解題關(guān)鍵．15．8【分析】根據(jù)旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)出旗桿的高度，再利用勾股定理解答即可；【詳解】解：設(shè)旗桿的高為米，則繩子長(zhǎng)為

米，由勾股定理得：，解得；答：旗桿的高度是8米；故答案為：816.解得：且，【分析】此題主要考查了分式方程的解，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【詳解】解：∵有正數(shù)解，∴，則，，去分母，得，，移項(xiàng)合并，得，，∵方程的解是正數(shù)，∴，解得：且，【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)二次根式，合并同類二次根式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．18．2a2+2ab，1【分析】先根據(jù)平方差公式與完全平方公式計(jì)算整式的乘法，再合并同類項(xiàng)即可得到化簡(jiǎn)的答案，再把代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：原式＝＝當(dāng)a＝﹣1，b=時(shí)，原式＝=1【點(diǎn)睛】本題考查的是平方差公式與完全平方公式的應(yīng)用，整式的乘法運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，掌握完全平方公式與平方差公式是解題的關(guān)鍵．19．【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程的方法求解即可，注意要檢驗(yàn)．【詳解】由去分母得，化簡(jiǎn)得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．20．(1)100，18°(2)見解析(3)900名【分析】（1）由學(xué)習(xí)效果“很好”的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用乘以“較差”人數(shù)所占比例即可得；（2）根據(jù)四種學(xué)習(xí)效果的人數(shù)之和等于被調(diào)查的總?cè)藬?shù)求出“一般”的人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)所占比例即可得．【詳解】（1）解：此次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（名，故樣本容量為：；學(xué)習(xí)效果“較差”的部分對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為，故答案為：100，18°．（2）學(xué)習(xí)效果“一般”的人數(shù)為：（名，補(bǔ)全圖形如下：（3）聽課效果一般的學(xué)生所占百分比為，由樣本估計(jì)總體得：該校聽課效果一般的學(xué)生人數(shù)為：（名）．答：該校聽課效果一般的學(xué)生人數(shù)為900名．【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?1．（1）見解析；（2）BD=5．【分析】（1）利用AAS判定△ABD≌△CAE；（2）因?yàn)锽D=AE，AD=CE，AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．【詳解】（1）證明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，（2）因?yàn)樗訠D=AE，AD=CE因?yàn)镈E=3，CE=2所以AE=AD+DE=CE+DE=2+3=5所以BD=AE=5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．22．（1）A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)150千克材料，B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)120千克材料；（2）至少購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人14臺(tái)．【分析】（1）設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克材料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x+30）千克材料，根據(jù)A型機(jī)器人搬運(yùn)1000kg材料所用的時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)800kg材料所用的時(shí)間相同建立方程求出其解即可得；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人a臺(tái)，根據(jù)每小時(shí)搬運(yùn)材料不得少于2800kg列出不等式進(jìn)行求解即可得．【詳解】（1）設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克材料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x+30）千克材料，根據(jù)題意，得，解得：x=120，經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是所列方程的解，當(dāng)x=120時(shí)，x+30=150，答：A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)150千克材料，B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)120千克材料；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人a臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型機(jī)器人（20﹣a）臺(tái)，根據(jù)題意，得150a+120（20﹣a）≥2800，解得a≥，∵a是整數(shù)，∴a≥14，答：至少購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人14臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)句，找準(zhǔn)等量關(guān)系以及不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判斷三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）首先根據(jù)和三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用得到，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）首先根據(jù)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用，證明出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；（3）連接，首先由得到，然后證明出，進(jìn)而得到，，證明出是等邊三角形，【詳解】（1）解：∵，，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解∵，，，∴．，，，．在和中，，∴，∴，，∴．∵，∴；（3）∠EDG=∠EFG=90且DE=EF∴∠GDF=∠GFD∴DG=GF=AG∴是等邊三角形，24．【答案】(1)②③(2)或；(3)-1＜m＜2【分析】此題考查了新定義問(wèn)題，二次根式及分式的運(yùn)算，分類討論思想是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)和諧三數(shù)組”的定義挨個(gè)求出倒數(shù)，再求其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是否等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，如果有一個(gè)滿足題意即為“和諧三數(shù)組”；（2）倒數(shù)為，的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，由、、構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，分三種情況進(jìn)行討論求解即可；（3）由，可得，再由點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，可得，再求解即可．【詳解】（1）解：①，，，1、2、3不能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；②，1、、能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；③的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，，、、能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；三組數(shù)中構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的有②③，故答案為：②③；（2）解：倒數(shù)為，的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，、、構(gòu)成“和諧三數(shù)組”①當(dāng)時(shí)，解得：；②當(dāng)時(shí)，解得：；（t+1不等于0）③當(dāng)時(shí)，解得：；綜上可知，實(shí)數(shù)的值為或；（3）解：，∴c=-a-b點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，=1+2x+2x2=2（x+）2+∴n2=解不等式得-1＜m＜225．(1)當(dāng)t=時(shí)，PA=PB；(2)t的值為或12；(3)t為1或10或10.6或9.5時(shí)，△BCP為等腰三角形．【分析】（1）設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA=PB，此時(shí)PA=PB=t，PC=4-t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到t的值；（2）過(guò)P作PE⊥AB，設(shè)CP=x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理，列方程式進(jìn)行解答即可；（3）分類討論：當(dāng)CP=CB時(shí)，△BCP為等腰三角形，若點(diǎn)P在AC上，根據(jù)AP的長(zhǎng)即可得到t的值，若點(diǎn)P在AB上，根據(jù)P移動(dòng)的路程易得t的值；當(dāng)PC=PB時(shí)，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP=AB=2.5，易得t的值；當(dāng)BP=BC=3時(shí)，△BCP為等腰三角形，易得t的值．【詳解】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得AC=，連接BP，如圖所示：當(dāng)PA=PB時(shí)，PA=PB=t，PC=4t，在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，即（4t）2+32=t2，解得：t=，∴當(dāng)t=時(shí)，PA=PB；（2）解：