2021年中考數(shù)學復習 題型7 幾何探究題

題型七幾何探究題

?類型1與全等三角形有關的探究

1.[2019江蘇泰州]如圖，線段/以8,射線3d8/為射線/上一點，以"為邊作正方形APCD,且

點C〃與點8在"兩側，連接以在加上取一點夕使/用1。=/協(xié)2連接"并延長交朋于點

網點少與點48不重合）.

⑴求證:

⑵判斷CF與四的位置關系，并說明理由;

⑶求△懸尸的周長.

⑴證明：：,四邊形/皈為正方形，

；.CP=AP,/APD=/CPD43°、

又PE=PE,

.：△/右儂△儂

⑵江工仍

理由：儲必

?：/EAP=/ECP.

：/EAP=NBAP,

?：/BAP=/ECP.

；/ECP+/CMPWQ；ZAMF=ZCMP,

：.NAMF+/BAP0?！?

.：/加290°,

.\CFVAB.

(3)解:如圖，過點。作CVJ_絲垂足為點K則四邊形MCV是矩形，

.\CN=BF,BN=CF.

易知NOW+z"陽40°,/PAB+NAPB馮U°,

???/CPN=￡PAB.

又.??AP=CP,/B=/CNP0O°,

?：△0C忸△?!空

.'.CN=PBiPN=AB.

,??△AE24CEP、

.'.AE=CEt

?:C.^uAE+EF+AF

二CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB+BF+AF

24846.

2.如圖⑴，點。為線段/!〃上一點，過點〃作〃于點。，且CO=0D,息3為線段"上一點，且

如=面,點分別是阿加的中點，連接0M、0N,MN.

⑴求證：水?=做

(2)試判斷△航加的形狀，并說明理由；

⑶如圖(2),若4％2,點."在應的延長線上，求跖的面積.

c

圖（1）圖（2）

⑴證明：

.\AAOC=ABOD^°.

?；OA=OB、OC=OD、

工△AOC^XBOD、

.\AC=BD.

（2）△.伏2V是等腰直角三角形.

理由：丁點分別為A&BD的中點2Aoe=/DOBW°、

?：OJf-lfC^AC,ON二gBD,

22

.：OM=ON,ZC=/MOC,AD=ANOD.

???△AOC^XBOD、

ZZC-ZP,

???ZMOO/NOD,

J/MOC+/CON=/NOD+/CON馮金°、

即/加（290°,

?：△例邠是等腰直角三角形.

（3）解：//C=/D/OBD+/D馮/OBD=4CBM、

"C+/CBMt。：

"CMB當,

/.DMLAC.

易知〃於4km彳〃'二1,

；.M\=近,

3.[2020福建]如圖,△///是由△/1回繞點/I按逆時針方向旋轉90。得到的，且點8的對應點〃恰

好落在回的延長線上，四星相交于點P.

⑴求/叱的度數(shù).

⑵尸是￡C延長線上的點，且N0*=N為C

①判斷分'和"的數(shù)量關系，并證明；

證:絲

PFCF

(1)解:由旋轉的性質可知,45=4〃,/切如90°、XABg/\ADE.

.:在肌2\/助中,/8=/力的=45°,

.；NADE=NBH5°,

.：/BDE=/ADB+/ADE幫°.

⑵①DF=PF.

證明油旋轉的性質可知,“'引￡/0公90°,

.:在Rt/\ACE4?,ZACE^ZAEC=45°.

：4CDF=2CAD、/ACE=2ADBM°,

.：NADB+/CDF=ZACE+N即AFDP=AFPD,

；.DF=PF.

②iff明:如圖，過點尸作PH"ED交〃尸于點H,

H

EPDH

PFHF

:NDPF=NADE+/DEPW5°+4DEP、/DPF=/ACE+/DAC工5°+ZDAC,

；.NDEP=NDAC.

又；/CDF=/DAC,

.：/DEP=/CDF,/HPF=/CDF.

又:FP=FD/F=/F、

；.NIPP2[\CDF、

.：HF=CF,；.DH=PC.

4.[2020山東濟寧]如圖,在菱形ABCD中,AB=AC,息"'在邊區(qū)上，點G在邊CDEBE=CG,AF平分

/必G,點〃是線段?（尸上一動點（與點A不重合），連接EH,GH.

⑴求證:圖△/函

（2）當4?=12,止4時.

連接誠求△&；〃的周長的最小值；

②若點〃是4C的中點，是否存在直線。〃將△?1龍分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積

與四邊形的面積比為1；3.若存在,請求出空的值;若不存在,請說明理由.

(1)證明：：?四邊形,4池為菱形,

.\AB=BC.

又;AB=A&

.：△/回是等邊三角形，

ZACD=ZACB^O°=/B.

又;BE=CG,AB=A&

:.XABE會XACG、

.\AE=AG.

:工尸平分/￡46,

?：NEAH=4GAH.

在△4以和XAGH中,ZEAH=/GAH,AH=AH,

.：△期白△/陽

⑵解:⑦：?△43△/幽.：EH=HG,

；.DH+HG=DH+EH,

.:當三點共線時，勿/+%的值最小,即此時△467/的周長最小.

如圖(1),連接屹過點〃作DM1BC,交火的延長線于點M.

圖⑴

由(1)得,⑦+N/flM20°,

.：/〃加50°,

.：/龍獷=30°,

/.ai^CD=f>,

2

.".DM-JcD2-CM2^6V3.

?.?BC=AB=\2,CG=BE^,

,:必吻=8,

；.EM=EC+CM=\A,

.：DE^JDM2+EM2^1V19,

「△”C〃的周長的最小值為4>/19+8.

濰在.

當OH與篋相交時,如圖⑵，設交點為A；

BEFC

圖⑵

則S、N盛:S四邊形制枚=1；3,

??S△小?S&AECX,4.

又丁點〃為力「的中點，

,:點4是熊的中點,

.'.ON//EC,

.AHAO1

*'AFAC2

當3/與6c相交時，如圖⑶，設交點為K、

，SMOC??4.

又丁點〃為的中點,

.:點4為的中點，

.9.OK//AE,

..A-H-E-K.

AFEF

TBEABC=ABA2,

.\EC=^y.'.EK^EC=\.

過點G作GPLBC,交理的延長線于點右連接FG.

VZBCD=12O°,

?：NG67M800-12047-60°,

/.ZCGP=^0°,

.\CG=2CP.

???CG=BEA

?：CP2???GP2g

丁AE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

；.l\AEF^l\AGF、

.\EF=FG.

設價n%=x,貝ijFCA-xm.

在Rl△■；P中,根據(jù)勾股定理，得FP+GP=M,

即(10-x)<28)=R

解得才需，

.廠廠28,AHEK45

??序二，??赤石苫方

5

綜上寫的值為萍素

④類型2與相似三角形有關的探究

5.如圖，在△加「中，/，刃卻以上力1點￡為△居「內一點，滿足/4FLN跳0435。，點〃是邊BC的

⑴求證:

(2)求證:%'J"C

⑶若心1,求△力應'的面積.

⑴證明：TAB=AC,AB工AC,

?：N/3N5°，，/ECB+/ECA=^°.

又/心+N￡4C=180°-135°N5°,

???/ECB=/EAC.

又???/BEC=/CEA=\35：

；?XAECsl\CEB.

⑵證明:如圖，延長仍至點也使得短/=8次連接CM.

?：XAECsXCEB、

,空型道四_&

CEACCE

由N0"=18O°-NBECN5。第RI,易得N￡K/90。.

：?〃,￡分別為以;血/的中點，

.'.DE//CM,

.：NDEC=/ECMWO。，即DELEC.

⑶解:易知/砸儂45°ZABE+/EBC25°,

"ABE=/BCE.

又丁/AEB瑪60°-4AEC-/BEC挈°二/DEC,

?：△力紡s△陽

42Dr

:竺空空詆二AE』DE=y[i.

DECECD-BC

2

??.△AECs/xCEB、

.AECE

'9CEBE收

；.BE$('E=y[i?V2/l￡=2/4￡=2V2,

；?丸海上AE,BEN

6.[2020淮北一模]⑴如圖⑴，在Rt△川%'中,NG90°,47盟的以分別平分N。氏/煙，過點P

作DE//AB交/C于點D,交成'于點E.

狂戲證:點尸是線段膜的中點;

酬證:加泳?BA.

⑵如圖⑵，在Rt△力比"中,NCK0。，/8=13,比刁2,利平分/力宛過點尸作DE〃AB變〃、于點〃，交

8c于點￡若點P為線段應■的中點，求/〃的長度.

⑴證明:①:必平分

.：/ABP=/CBP.

:DE"AB、

；./ABP=4EPB,

.??/CBP=/EPB、

，BE=PE.

同理可得DP^DA.

VDE//AB,

.CECD

CBCA

又VCA=CB,

：.CE=CD、

.：BE=AD,

；.PE=PD,

.：點戶是線段應1的中點.

②由②易AABP=AEBP=AEPB^ACBA.

:AP平分NCAB,

.'/PAB^/CAB.

2

???CA=CB,

???/CBA=4CAB,

，/ABP=/EBP二4EPB=/PAB、

?,■△ABP^APBE、

.BABP

■?一~,

BPBE

???BP=BE/BA.

⑵解:過點〃作“'的平行線，交歐于點C交4?于點G,如圖.

B

DA

在Rt△然ff中,/C=J132-122

-5.

VFG//AC.Pl)//AG,

；./PFE=/8Q°，四邊形/Q少是平行四邊形，

.,.PG=AD.

\'PE=PD,PF//CD,

是△改力的中位線，

;.EF=FC,PF3CD.

2

由⑴可知BE=EP.

設4%%=x,則m=5.,.：鈣(5-犬).

VDE//AB,

.CDCE

'9CACBf

.CDCA5

"CECB12'

.：優(yōu)專6?*5-x),

.：EF卻-4EP=BE=BC-(吟x.

在Rl△￡7?y中,sin/￡77■噌三?啜.

-5-

又ZEPF=/ED-EDC=sinN"(一|,

.5-xJ.2

??2x13,

.65

..x=—,

37

.:修竺.

37

7.[2020湖北武漢]問題背景如圖(1),已知△々/。-△/班求證:

嘗試應用如圖⑵，在和△/應'中，/胡C=/%￡=90°,NABC=NADE4Q°,4。與場相交于

點五.點〃在6c邊上需^^求興的值；

拓展創(chuàng)新如圖⑶，點D是LABC內一點,NBAD=NCBDW:NBDCRO°，力歷4,4>2百,直接寫出

4〃的長.

圖⑶

問題背景證明：：a

—,ZBAC=ZDAE,

ADAE

.:空型力%/

ACAE1

???XABD^XACE.

嘗試應用解:連接工,設劭則ADmBD-ai.

易得.：空生，

ADAE

.AB_AD

*9ACAE'

又/BAC=/DAE、

"BAD二』CAE、

,,ZCEsXABD、

.CE4c遍

BDAB31

33

.也也T

,,有一落

3

：?NADE=/ABC,ZABC=/ACEt

?：/ACE=/ADE4G0.

又/AFD=/EFC,

:?△ADFSXECF、

,DF

??CFCE?J?

拓展創(chuàng)新解的長為傷.

解法提示:過點〃作力〃的垂線交川?于點火連接CM.

易證△物9c

DAB^°,

CM—MD-V3,ZW-Z

；.CM喋4/AMC=/AMD+NDMC=NAMD+/DAB馮Q：

.：/"=JAC2-CM2享

.\AD=AM'COS/MADM.

8.[2020浙江寧波]【基礎鞏固】

⑴如圖⑴，在、中，點〃為相上一點，連接CD/ACD=NB.求證:初刃〃?仍

【嘗試應用】

(2)如圖⑵，在口4及力中，點K為用上一點，點廠為切延長線上一點，連接BF、EF、NBFE=/A.若

郎可止3,求4?的長.

【拓展提高】

⑶如圖⑶,在菱形力及力中，點E是48上一點，點尸是△/歐內一

鼠陽//ACACNEF/ED吟ZBAD,AE=2,〃六5，求菱形ABCD的邊長.

⑴證明：：2力切=/4/4=/4

；?XADCS/\ACB、

ADAC

，二ACFD?AB.

ACAB

⑵解：丁四邊形被力是平行四邊形,

.\AD=BC^A=Z.C.

又???/BFE=/A、

；?/BFE=/C

又V/FBEu/CBF、

???4BFEs叢BCF,

.BFBE.BF216

??一二—,??BC二——

BCBFBE3

.：A1)=BC里.

3

⑶解:如圖，分別延長伊a'相交于點G.

「四邊形4式》是菱形，

.\AB〃DC,NBA吟/BAD.

又VAC//EF,

.：四邊形為平行四邊形,

；.AC=EG,CG=AE,ZEAC=4G.

:NEDF^NBAD,

；.NEDF=NBA&

"EDF=/G.

又；NDEF=/GED、

.?.△EDFSREGD、

DEEF

DE^El-'EG.

EGDE

又:EG=ACn,EF,

；.DR/EP、

；.DE電EF.

又..吧圾事

DFEF

；.DG=\[iDF4近、?.DC=DG-CG』近2

即菱形,1股力的邊長為5V2-2.

④類型3與全等、相似三角形有關的探究

9.[2020浙江杭州]如圖，在正方形ABCD中宙、少在回邊上，連接好;二的少的平分線與切邊交于

點G,與8c的延長線交于點片設嶗=蟲4和）.

EB

⑴若/仿=2,4=1,求線段〃1的長.

⑵連接EG,若EGVAF,

①東證:點6'為"邊的中點.

②求，的值.

⑴解:因為在正方形ABCD中,/〃〃BC,

所以/物后NE

因為“'平分/力￡

所以NDAF=NEAF,

所以/&?,=//＜；

所以EA=EF.

因為a=1,BC=AB-1，所以BE=EC=\.

在RtZ\/應■中,由勾股定理猾EA0

所以CF=EF-EC=EA-EO底

⑵④E明:由（1）可知以呻又因為EGA.AF,

所以AG=GF.

又因為NAGD=/FGC,ZDAG=ZF,

所以△物四△。石.

所以DG=CG,

所以點。為切邊的中點.

②解:不妨設g,則AD^,CG=\.

由（漪CF=AD=2.

易證△月7cs△前乙所以王空士

CGCF2

所以員7怖所以8好，

所以/

EB3

10.[2020安慶模擬]如圖，菱形4及力的邊長為4,￡尸分別是邊/氏/〃上的動點，螭出/物〃=120°,

連接CE,CF,AC與交于點G.

⑴求證:△儂/△力必

證:/咫

葬a=1,求蕓的值.

EG

4-7T-------7n

R'

⑴證明：:四邊形,4曾為菱形，

???AB=B心/CAD]BAD儂；AD〃BC,

/.ZB=1800-ZBAD^O°,

?：/爐/?！?\/施是等邊三角形，

?：BC=AC.

又VBE=AF1

/.△BEg/XAFC.

⑵@E明:由⑴知△“注是等邊三角形，

???EOF&/BCE=/ACF、4BEC=/AFC,4ACB鼻0°、

?:/ACF+/ECG=/BCE+/ECG儂°,

?：△￡《尸為等邊三角形，

.\ZCEF=&O0,

?：ZABC=/BAC=NCEF$G°.

又/AEG+NCEF+/BECA8Q°,/AEG+/BAC+NAGE工8。

"AGE=/BEC,

.'.ZAGE=ZAFC

②解:過點石作￡￥〃比交"于點也

「?/AEM=/ABC=NBAC=60°.EM//AD.

.[△"Qs△"陽△力￡1/是等邊三角形，

.GF_AF

'"EGEM'

7BE=AFAAB工,

???EM=AE4,

.GFAF1

EGEM3

11.[2020合肥二模]如圖,在4/紀中,.4仁1比；垂足為點&點￡為邊然上一點，應1=儂點〃為邊州

上一點，切=四,連接力〃交或’于點F.

⑴求證:/四

⑵求證:初好?EC,

⑶若CG-2AG,AD^,AF,BC^>,5R力￡的長.

⑴證明：：?陟陽

.：4EBC=^C.

?；AG1BD、BG=GD,

；.AB=AD,

"ABIANADB.

:/ABD=2ABE+4EBC,NADB=NDAC+/C,

.：ZABE=ZDAC,WAABE=ZEAF.

⑵證明：:NAEF=/BEA/EAF=NABE,

.：XAEFsXBEA、

.AE_EF_

'"BE'AE'

.".AS=EF-EB.

:EB=EC,

，AR=EF?EC.

(3)解:如圖，設BE交/G于點/連接DJ,DE.

易知/G垂直平分線段做

■:/JBD=』C,

?:4JDB=乙&

/.DJ//AC,

???4AEF=4DJF.

VAD=2AF.

,\AF=DF.

又/AEFVDJR4AFE=/DFJ,

?：△/出△〃/7,

，EF=FJ,AE=DJ,

?：四邊形4〃於是平行四邊形,

.'.DE//AG.

VAGLBQ

.'.EDLBC.

又：'EB二EC、

???BD=DC3BR

22

士

4

又：.⑶/網―嚙號喘

?力娛

又；/JGDRQ°,

?；DJ*p+DG2=&)2+6)2q.

二心/〃不

12.[2020馬鞍山模擬]如圖,在矩形ABCD中,E是邊6c上一點，連接何過點。作DF_LAE于點F.

⑴如圖（1）,若求證:△"4

⑵若四的,4分8,且￡為比的中點.

④Z口圖⑵，連接字求sin/〃CF的值；

⑴證明：：,四邊形4灰券是矩形，

.：N6=90°,AI)//EC,；.NDAF=4AEB.

:DFLAE,；.2AFD=/B壬Q°,

又AE=DA,.,.XABE&XDFA.

⑵解:④圖⑴，過點Z7作FH1CD于燕即九4〃于點J.

圖⑴

:?四邊形ABCD是矩形，.:CD=AB$,BC=AD?/B邯°.

:?點/為仇、的中點，

.：BE=EC2.

」.AEHBE2+AB2V42+62=2A/13.

:NDAF=ZAEB/B=/AFD4Q°,

??.△ABEs/\DFA,

ABBE_AE.64_2V13

DFAFAD'**DFAF8

.16-/13

.T,/1IZ/?=------

13

易知四邊形力是矩形,

；.DI曰斗竺受

AD13'

.：FH=DJ=\DF2-F『J（筆^）2-（汐^|,CH-C1）T）H弋卷鴻,

；.CFNFH2+舊-J（F）2+（,）2=6,

②如圖(2),延長DF交%的延長線于點K.

圖⑵

由明T知4斤2瓜,"

二―/3竺

13

???/KEF=/AEB、/EFK:/ABE幫：

.：XKEFs

AEBE

KE,10V13

??2VI3"4,?"7：F?:CK-KE+EC馮.

:AD〃CK、：./XADNS△（：!（扎；竺生

AMAD8

13.[2020合肥瑤海區(qū)二模]如圖,在等邊三角形A8C中,8D=C￡連接龐交于點F.

⑴求出/力心的度數(shù)；

⑵求證：4C?DF=BD?BP,

⑶連接)當"?!〃時，求證:劭力以

A

⑴解：丁△力仇、是等邊三角形,

，AB=BC,/ABC=/BCEXO°.

又7BD二CE,

.'.△AB哈ABCE,

???/BAD=/CBE、

???/AFE=/BAF+/ABF=/CBE+/ABF=/ABC=^G°.

(2)證明:由(1)知/BAD=/DBF.

又???/ADB=/BDF、???AABD^/\BFD、

,DFBF

?，訪~AB'

VAB=ACt

—,EPAC*DF=BD?BF.

BDAC

(3)證明：

方法一:如圖，過點「作CG1BE交應.的延長線于點G,

則NCGQ90°.

:CF1AD,

.：/仍7=90°.

由⑴知,/月陷60。,

.■.ZCFG=S0°,

.".ZFCG^O:CG±CF.

2

又VZACB=GO°,

."ECG=/DCF.

又??2EGC=/DFS

1.△CEGsACDF、

.CE_CG_1

??CDCF2

又：?BD=CE,

:.BD3CD.

2

方法二:連接小

:公N力繆-60°、/FAE:/CAD、

?'.△AEFSAADC,

.AEAF

*'ADAC'

.?.A一E=A—D.

AFAC

又???/DAE=NCAF,

??■△AEMAAFC,

.\^AED=^AFC^°,

"DEC秘：

"EDC挈。~60°30°,

??,CE支CD.

2

又?.?BD=CE,

.：BD&CD.

2

M.[2020蕪湖模擬]如圖⑴，在△被7中，入430°,AC=BC,D為46上一點，連接以將切繞點C

順時針旋轉90°至態(tài)連接AE.

⑴求證:/\比陵△〃￡■；

⑵如圖（2）,連接若CD=20、AE=\、求仍的長；

⑶如圖⑶，若點尸為/〃的中點，連接EB,CF,求證：CF1EB.

圖(1)圖(2)圖(3)

⑴證明:由旋轉可得上次工反%90°=/〃耳

.：/BCD=/ACE.

又；AC=BC、

工△BCD^XACE.

⑵解:易知△〃女7是等腰直角三角形，

.\DE-y[2CD=A.

由（1）可知BD=AE=1,NCAE=NB25°=ZCAB,

.：N￡4〃R0°,

」.AD=^DE2-AE2心-12-V15,

.：AB=AD+BD-辰+L

⑶證明:如圖，設CF與跖交于點〃，過點（、作C入然于點a貝ijAG^AB.

:8=90°、AC=BC、

?"吟"即漆?

:,點尸為題的中點,

.'.FA-AD,

2

.：FG^AGAF-AB-AD^-（AB-AD\-BD.

222、72

由⑴可得即=4￡

二月。2/1/：；即空」，

2AE2

.CGFG

''AB^AE'

又7/CGF=/BAE挈：

工△CGFSXBAE、

???NFCG=/ABE.

??2FCG+/CFG耶：

???/ABE+/CFG=?）°、

.:/BOF馮。：

?：CFLEB.

15.[2020合肥蜀山區(qū)模擬]如圖，在△/勿中,//微90。心B&CD是四邊上的中線，點后為線段

切上一點（不與點重合），連接班；過點￡作用的垂線交〃,的延長線于點月交BC于點、6,連接

BF.

⑴求證:△CT^s△啊

（2）求/￡77?的度數(shù)；

⑶求票的值.

⑴證明：；NACBWQ°,EF1BE,

；./FCG=NBEG幫°.

又/CGF=/EGB、???ACFGsREBG.

⑵解:由⑴得△CFGs△EBG,

.CGJG.CG_EG

??EGBG'??FGBG'

又?:/CGE=/FGB,

；?ACGEs△FGB、,二/EFB:/ECG?

：3是四邊上的中線、AC=BC,

.：NACD=/BCD45°,.：".

⑶解:如圖，過點/作FH1DC交火的延長線于點〃

由⑵知，/牙＞45°:/斷W5°=/EFB,

?：EF=BE.

易得CDLAB.

:NFEH+NDEB90°、NEBD+/DEB*Q°,

；.乙FEH=2EBD.

在△四和△硼中，

DFEH=UEBD,

DEHF=OBDE=90°,

.EF=BE,

.：△FEM△EBD、；.FH=ED.

:NFCH=』ACD45°,NC7加=90°,

.:乙CFHR&°=/FCH,；.CH=FH.

在RtAOT/41,CF-V2/7Z

；.CF=&D￡帶當.

16.[2020安慶模擬]如圖（1）,在正方形ABCD中點笈廠分別在邊陽⑺上，且BE=DF,AE,AF分秒交BD

于點G,H.

⑴求證:any/

(2)連接應如圖(2),若EF=BG.

。^證:力。?AH=AF,DR

JAB二AD,NABC=/ADC

又??,BE=DF、

工△ABF^XADF、工4BAE=/DAF.

又TAB=AD,/ABD=/ADB,

?：4ABGq叢ADII,?：BG=DIL

⑵明:如圖,連接小

???BC=DC,BE=DF,

.\CE=CF,

又r/G90°,

.：/陽工5°=/DBC、

???EF〃BD.

又?:EF;BG、

?：四邊形砥/是平行四邊形,

???GF〃BE"AD.

又二八〃,：籌券專

VEF//BD,

AGAH

-__^AD-AH=AF-DF.

AEAF}

解法提示:由⑵色冽黑黑

ADAF^AH+HFHF

DFAHAHAH'

-H-F--A-D-1.,

AHDF

設CE=x,BE=yMDF=GF二BE=y、DG$y,DH=BG二EF』x、AD=Cl^^

/.GH-DGDH-y/lyV2v.

VGF//AD,

?:△GFHsXDAH、

.GFGH

**ADDH1

,y_y[2y-y[2x

*'x+yy[2x，

.\y-xy-^=^,

?”外

解得￡號（負值不合題意，已舍去）,

?HFAD.%+y.痔1

''AHDFyy2

17.[2020滁州模擬舊知，在△/6C中,/小。90。.

⑴如圖(1),分別過4c兩點作經過點8的直線的垂線，垂足分別為MN

正:監(jiān)%：

②若△/,監(jiān)s△/6C求證:

⑵如圖⑵，點〃是。延長線上的一點，應工能四刃氏/3；5,求堂的直

圖(1)圖(2)

⑴①il明：：2/16廣90:;2ABM+/CBN當Q°.

VAMLBM,

/.NABM+NBAM=9Q°,.：NBAM=NCBN.

又ZAMB=NBNC畛Q°,.：AAMBs△BNC.

例E明:如圖(1),過點6作優(yōu)于點Q.

圖⑴

:'△4物SZU6C

；.NBAM=/BAC.

在△/M和△物Q中，

UBAM=UBAQ,

UAMB=LL4QB=90°,

.AB=AB,

.：△?!儂△胡Q

,,.AQ=AM.

同理可證CQ=CN,

.\AC=AQ+CQ=AM+CN.

⑵解:如圖⑵，過點4作4gL跖于點G；過點，'作CH1BE交所的延長線于點H.

圖⑵

又'."DEVEB,

；.CH〃AG〃DE、；.阻出之.

GHAC5

在RI△/仇'中，第

.AB4

"BC3"

由(1)0M知4Ds△附

?AG_空94

—BHCHBC3*

VAE=ABtAG±BE,?：EG=GB.

ri..EGM

’GH飛

.：EG：BG：BHA；3；2.

設ZfG=3a,貝IjBG$a、EB4a、BHCa.

,?GB4.3a4,9

CH3CH34

由勾股定理得BC-y/BH2+CH2

4

.EB6a_24V145

??BC145?

18.[2020貴州遵義]如圖，在邊長為4的正方形可初中，點E為對角線兒;上一動點。點￡與點A,C

不重合)，連接DE,作件工座'交射線BA于點￡過點￡作物V〃勿分別交O),AB于點MA；作射線DF

交射線。于點G

DMC

⑴求證:￡尸二〃￡

⑵當AF=2時，求GE的長.

⑴證明：丁四邊形/灰力是正方形,"是對角線，

???/ECB=/ECMN50.

???MN〃Ba/BCM幫°"00°,

"MEC=/ECB=%:/DME=/ENF畛0°,

.??MC=ME.

易知MN=CB=CI)t.'.DM=EN.

'.'DELEF,?:/DEM+/FEN挈°.

又/EDM+/DEM3°/EDM=4FEN.

在△〃花和△￡二尸中，

UEDM=UFEN,

DM=EN,

DDME=OENF,

.\/\DME^/\ENFy.\EF=DE.

⑵解:分點/」在線段,4〃上和線段BA的延長線上兩種情況討論.

①^點/；在線段/夕上時，如圖⑴所示，由⑴知△。修△￡，/

.\ME=NF,

易知四邊形VWK是矩形，

?：MC=BN.

又,.?FN=ME=MC、AB=A、AF2

.-.BN=MC=NF=\,

rZ￡ir=90。，/1.'CEE.

\'AF//m.：△DGCs△FGA,.*號—2.

又:AC=AG+GCEAB40,

②當點q在線段BA的延長線上時，如圖(2)所示，

同色河'得,月仁外：

:AF畛,ABa,.：BF工,

.".A\=F\-FA^BF^=\.

2

；AB=BCA/B￥°,.：JC^1V2.

VAF//??,.：△GAFs△CCD,

.：竺必即"一￡^,二"=4迎.

CDGC4AG+4V2

易得NE=ANA,/ENA馮0°,

/.AE^,.,.GE=GA+AE^y[2.

綜上，面1的長為手或5夜.

19.[2020四川成都]在矩形ABCD的以邊上取一點夕將△腔沿應翻折，使點，、恰好落在4〃邊

上點尸處.

⑴如圖⑴，若比之剛求/煙'的度數(shù)；

(2)如圖(2),當力作5,且AF>FD=\0時，求用的長；

⑶如圖⑶，延長/與//跖的平分線交于點WBM交4。于點川當A戶％W/7時，求”的值.

M

A\iD

M\D

D

E

圖⑴圖⑵圖⑶

解:(1)由折疊的性質得BC=BF、NEBF=/EBC.

:BCNBA,；.BF=BCWBA,

Z