2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題06 半角模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）（原卷版+解析）

專題06半角模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，M、N是斜邊AB上的兩點，且∠MCN＝45°，AM＝3，BN＝5，則MN＝．2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，點M、N在邊BC上，且∠MAN＝45°，CN＝5，MN＝．3．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E是BC邊上的任意兩點，且∠DAE＝45°．（1）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，請在圖（1）中畫出△ACF．（2）在（1）中，連接EF，探究線段BD，EC和DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．（3）如圖2，M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且BM+DN＝MN，試求∠MAN的大?。?．（1）如圖①，正方形ABCD①中，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點C，使DG＝BE，連接EF、AG，求證：EF＝FG；（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的長．5．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．（1）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到（如圖1）時，求證：BM+DN＝MN；（2）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請直接寫出你的猜想．（不需要證明）6．把一個含45°的三角板的銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，然后把三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線CB、DC于點M、N．（1）當(dāng)三角板繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：MN＝BM+DN．（2）當(dāng)三角板繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，試判斷線段MN、BM、DN之間具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點M、N在邊BC上，且∠MAN＝60°．若BM＝2，CN＝3，則MN的長為．8．△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，點D、E在直線BC上．（1）如圖1，D、E在BC邊上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求證：BD＝AD；（2）如圖2，D、E在BC邊上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度數(shù)．（3）如圖3，D在CB的延長線上，E在BC邊上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，則CD的值為．專題06半角模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，M、N是斜邊AB上的兩點，且∠MCN＝45°，AM＝3，BN＝5，則MN＝．【答案】【解答】解：將△CBN逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到三角形ACR，連接RM則△CRA≌△CNB全等，△RAM是直角三角形∴AR＝BN＝5，∴MN＝RM＝＝故答案是：2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，點M、N在邊BC上，且∠MAN＝45°，CN＝5，MN＝．【答案】13【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB＝30，把△ACN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABD，連接MD，如圖所示：則∠ABD＝∠C＝45°，BD＝CN＝5，∠DAN＝90°，AD＝AN，∴∠DBM＝45°+45°＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAD＝∠MAN，在△AMD和△AMN中，，∴△AMD≌△AMN（SAS），∴MD＝MN，設(shè)MD＝MN＝x，則BM＝BC﹣MN﹣CN＝25﹣x，在Rt△DBM中，由勾股定理得：BD2+BM2＝MD2，即52+（25﹣x）2＝x2，解得：x＝13，∴MN＝13；故答案為：13．3．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E是BC邊上的任意兩點，且∠DAE＝45°．（1）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，請在圖（1）中畫出△ACF．（2）在（1）中，連接EF，探究線段BD，EC和DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．（3）如圖2，M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且BM+DN＝MN，試求∠MAN的大?。窘獯稹拷猓海?）完成圖形，（2）連接EF，由旋轉(zhuǎn)可知，AF＝AD，CF＝BD，∠DAF＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠FAE＝45°，在△DAE和△FAE中，，∴△DAE≌△FAE（SAS），∴EF＝DE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，∴EF2＝EC2+FC2，∴DE2＝EC2+BD2；（3）將△ADN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠D＝90°，∴E，B，M三點共線，∵BM+DN＝MN，∴ME＝MN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SSS），∴∠MAE＝∠MAN＝45°．4．（1）如圖①，正方形ABCD①中，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點C，使DG＝BE，連接EF、AG，求證：EF＝FG；（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的長．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△△FAG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如圖，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝2，CN＝3，∴MN2＝22+32，∴MN＝．5．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．（1）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到（如圖1）時，求證：BM+DN＝MN；（2）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請直接寫出你的猜想．（不需要證明）【解答】解：（1）猜想：BM+DN＝MN，證明如下：如圖1，在MB的延長線上，截取BE＝DN，連接AE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．證明如下：如圖2，在DC上截取DF＝BM，連接AF，△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN6．把一個含45°的三角板的銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，然后把三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線CB、DC于點M、N．（1）當(dāng)三角板繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：MN＝BM+DN．（2）當(dāng)三角板繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，試判斷線段MN、BM、DN之間具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．【解答】（1）證明：延長MB到H，使BH＝DN，連接AH，如圖（1），∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，在△ABH和△ADN中，，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠HAB+∠BAM＝45°，∴∠HAM＝∠NAM，在△AMH和△AMN中，，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MH＝MN，即HB+MB＝MN，∴MN＝BM+DN；（2）解：MN＝DN﹣BM．理由如下：在DN上截取DH＝BM，如圖（2），與（1）一樣可證明△ADH≌△ABM，∴AH＝AM，∠DAH＝∠BAM，∵∠MAN＝45°，∴∠DAH+∠BAN＝45°，∴∠HAN＝45°，∴∠HAN＝∠NAM，在△ANH和△AMN中，，∴△ANH≌△AMN（SAS），∴NH＝MN，而DN＝DH+HN，∴BM+MN＝DN，即MN＝DN﹣BM．7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點M、N在邊BC上，且∠MAN＝60°．若BM＝2，CN＝3，則MN的長為．【答案】【解答】解：如圖，△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△APC，連接PN，過點P作BC的垂線，垂足為D，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°∵△ABM≌△APC，∴∠B＝∠ACP＝30°，PC＝BM＝2，∠BAM＝∠CAP，∴∠NCP＝60°，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM+∠NAC＝∠NAC+∠CAP＝60°＝∠MAN，又∵AM＝AP，AN＝AN，∴△MAN和△PAN中，∴△MAN≌△PAN（SAS），∴MN＝PN，∵PD⊥CN，∠NCP＝60°，∴CD＝PC＝1，PD＝CD＝∴DN＝CN﹣CD＝3﹣1＝2，∴PN＝＝故答案為：．8．△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，點D、E在直線BC上．（1）如圖1，D、E在BC邊上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求證：BD＝AD；（2）如圖2，D、E在BC邊上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度數(shù)．（3）如圖3，D在CB的延長線上，E在BC邊上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，則CD的值為．【解答】（1）證明：∵AD2+AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∵∠BAC＝α＝120°，∴∠BAD＝α﹣∠DAC＝30°，∵∠AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴BD＝AD．（2）解：如圖（2），將△AEC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到△AE′B，∴AE′＝AE，∠ABE′＝∠C，BE′＝CE，∠EAC＝∠E′AB，∵∠BAC＝150°，∠DAE＝75°，∴∠BAD+∠EAC＝75°，∴∠BAD+∠E′AB＝75°，即∠E′AD＝75°，∴∠E′AD＝∠EAD，又∵AD＝AD，AE＝AE′，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE′＝DE，∠E′DA＝∠EDA，∵ED2+BD2＝CE2，∴E′D2+BD2＝BE′2，∴BDE′＝90°，∴∠E′DA＝∠EDA＝45°，∵∠BAC＝150°，AB＝AC，∴，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝45°﹣15°＝30°，故∠B