2023-2024學(xué)年長沙市一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷附答案解析

-2024學(xué)年長沙市一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷2024.01一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知空間向量且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D3．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度4．如圖，在矩形中，，分別為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．已知下列四組陳述句：①：集合；：集合；②：集合；：集合；③；；④：；：．其中是的必要非充分條件的有（

）A．①② B．③④ C．②④ D．①③6．向量，，那么向量在上的投影向量為（

）A． B．C． D．7．瀏陽市在全國先行探索高質(zhì)量發(fā)展建設(shè)共同富裕示范區(qū)，若全市年平均增長率以來計(jì)算，全市生產(chǎn)總值翻一番需要經(jīng)過（

）（四舍五入，）A．7年 B．8年 C．9年 D．10年8．函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①；②；③，則等于（

）A． B． C． D．二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列各組向量中，不能作為基底的是（

）A．，B．，C．，D．，10．衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學(xué)基地，村口的大水車，是一道獨(dú)特的風(fēng)景.假設(shè)水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心O距離水面2米，水輪每60秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中）開始計(jì)時(shí)，則（

）A．點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米C．在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有15秒的時(shí)間，點(diǎn)P距水面超過2米D．點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為11．若a，，，則下列說法正確的有（

）A．的最小值為4B．的最大值為C．的最小值為D．的最大值是12．設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．的取值范圍是B．的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)C．的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)D．在上單調(diào)遞減三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)滿足，又當(dāng)時(shí)，，則.14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為15．若，則.16．借助信息技術(shù)計(jì)算的值，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)的底數(shù)越來越小，而指數(shù)越來越大，隨著越來越大，會(huì)無限趨近于（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.根據(jù)以上知識(shí)判斷，當(dāng)越來越大時(shí)，會(huì)趨近于.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明或演算步驟.17．函數(shù)（的一條對(duì)稱軸為直線）.（Ⅰ）求;（Ⅱ）用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在上的簡圖．18．已知，，.（1）求與的夾角和的值；（2）設(shè)，，若與共線，求實(shí)數(shù)m的值.19．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；（2）將的函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值.20．對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x)，如果存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)＝x0，那么稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知f(x)＝ax2＋1.（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，且x1＜2＜x2.①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②設(shè)g(x)＝loga[f(x)－x]，求證：g(x)在(a，＋∞)上至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).21．2022年2月24日,俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭，至今戰(zhàn)火未熄.2023年10月7日巴以又爆發(fā)沖突.與以往戰(zhàn)爭不同的是，無人機(jī)在戰(zhàn)場(chǎng)中起到了偵察和情報(bào)收集，攻擊敵方目標(biāo)和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色.某無人機(jī)企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資萬元，現(xiàn)加大對(duì)無人機(jī)研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名且，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為萬元.(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請(qǐng)問是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍;若不存在,說明理由.22．已知函數(shù)（為自然底數(shù)）.(1)判斷的單調(diào)性和奇偶性；（不必證明）(2)解不等式；(3)若對(duì)任意，，不等式都成立，求正數(shù)的取值范圍.1．B【分析】解不等式化簡集合A，求出函數(shù)的值域化簡集合B，再利用并集的定義求解即得.【詳解】解不等式，得，即，而，則，所以.故選：B2．A【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，得到方程組，無解；C選項(xiàng)，設(shè)，得到方程組，無解；D選項(xiàng)，計(jì)算出，設(shè)，得到方程組，無解.【詳解】A選項(xiàng)，，所以A，B，D三點(diǎn)共線，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，則，即，無解，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，即，無解，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，設(shè)，即，即，無解，D錯(cuò)誤.故選：A3．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則直接判斷即可.【詳解】，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長度即可.故選：B.4．C【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則和四邊形法則，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意：又所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量的加法法則，熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，對(duì)向量用其它向量表示有很大的作用，屬基礎(chǔ)題.5．D【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系以及不等式的性質(zhì)判斷求解即可.【詳解】①若，則不一定相等，不是充分條件，若，則一定成立，是必要條件，所以是的必要非充分條件，故①符合題意；②若集合，則集合，反之也成立，所以是的充要條件，故②不符合題意；③由得不到，由能得到，所以是的必要非充分條件，故③符合題意；④根據(jù)不等式的性質(zhì)由可得，但由得或，即由得不到，所以是的充分不必要條件，故④不符合題意；故選:D.6．A【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、投影向量的計(jì)算公式即可求解．【詳解】因?yàn)?，，所以，則在上的投影向量的模為，則在上的投影向量為.故選：A．7．C【分析】由題意可得，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】若某年生產(chǎn)總值為，則年后生產(chǎn)總值為，若市生產(chǎn)總值翻一番，則有，即，故全市生產(chǎn)總值翻一番需要經(jīng)過大約9年.故選：C.8．A【分析】結(jié)合題意，結(jié)合賦值法得到、、直到得到，結(jié)合函數(shù)在上為非減函數(shù)，即可得.【詳解】令，由，可得，又，故，由，故，令，則，即，令，有，令，有，令，有，令，有，令，有，令，有，令，有，令，有，令，有，令，有，由，且，又函數(shù)在上為非減函數(shù)，故.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于結(jié)合非減函數(shù)的性質(zhì)，通過賦值法逐步得到，從而得到.9．ACD【分析】分別判斷四個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)向量是否共線得到答案.【詳解】對(duì)于A，，，由零向量與任意向量共線，可知兩個(gè)向量不能作為基底；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，所以兩個(gè)向量不共線，可以作為基底；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，可知兩個(gè)向量共線，故不可以作為基底；對(duì)于D，由，，得：，可知兩個(gè)向量共線，故不能作為基底；故選：ACD10．ABD【分析】先根據(jù)題意求出點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式，再從解析式出發(fā)求解ABC選項(xiàng).【詳解】如圖所示，過點(diǎn)O作OC⊥水面于點(diǎn)C，作OA平行于水面交圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PB⊥OA于點(diǎn)B，則因?yàn)樗喢?0秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，故轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（），且點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中）開始計(jì)時(shí)，t（秒）后，可知，又水輪半徑為4米，水輪中心O距離水面2米，即m，m，所以，所以，因?yàn)閙，所以，故，D選項(xiàng)正確；點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)，令，解得：（s），A正確；令，解得：，，當(dāng)時(shí)，（s），B選項(xiàng)正確；，令，解得：，故有30s的時(shí)間點(diǎn)P距水面超過2米，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故答案為：ABD11．BCD【分析】利用基本不等式依次判斷即得.【詳解】由a，，，可得，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以，同理，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，即的最大值為，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故C正確；對(duì)于D，由題可得，，∴，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，即的最大值是，故D正確.故選：BCD.12．AB【分析】對(duì)于A,確定，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定，求得參數(shù)范圍；對(duì)于B，C，采用整體代換思想，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，確定，計(jì)算的范圍，從而確定在上單調(diào)性.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有4個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故A正確；又由以上分析可知，函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，且，則在上，出現(xiàn)兩次最大值，此時(shí)函數(shù)的大致圖象如圖示：即在上兩次出現(xiàn)最大值1，即取時(shí)，取最大值，故的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)，故B正確；由于當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，由于是否取到不確定，故的圖象與直線在上的交點(diǎn)可能是1個(gè)或2個(gè)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定單調(diào)遞減.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合型余弦函數(shù)的解析式中參數(shù)的確定以及零點(diǎn)以及最值和單調(diào)性問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要能綜合應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)靈活解答，關(guān)鍵是整體代換思想的應(yīng)用.13．【分析】由可得函數(shù)的周期為，可得，即可得解.【詳解】由，故函數(shù)的周期為，，有，即，故，即，故.故答案為：.14．【分析】利用正切型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】對(duì)于函數(shù)，由，可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.15．【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式，倍角公式求解即可.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡求值，屬于中檔題.16．【分析】由，結(jié)合題意可得，當(dāng)越來越大時(shí)，會(huì)無限趨近于，會(huì)無限趨近于，即可得解.【詳解】，由越來越大時(shí)，會(huì)無限趨近于，故越來越大時(shí)，會(huì)無限趨近于，則會(huì)無限趨近，又越來越大時(shí)會(huì)無限趨近于，故會(huì)無限趨近于，故會(huì)無限趨近于.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將轉(zhuǎn)化為，通過越來越大，會(huì)無限趨近于，可得越來越大，亦會(huì)無限趨近于.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）圖象見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的一條對(duì)稱軸為直線，可得，再由，即可求出結(jié)果.（Ⅱ）用描點(diǎn)連線的方法可直接作出函數(shù)圖象.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸為直線，所以，因此，又，所以（Ⅱ）函數(shù)在上的簡圖如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.18．（1）與的夾角為，；（2）.【分析】（1）根據(jù)求出，根據(jù)數(shù)量積關(guān)系求出夾角，求出模長；（2）根據(jù)共線定理必存在使得：，求解參數(shù).【詳解】（1），，，，，所以，所以與的夾角為，；（2）由（1）可得：與不共線，，，若與共線，則必存在使得：，所以，得.【點(diǎn)睛】此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)數(shù)量積關(guān)系求向量夾角和模長，利用平面向量基本定理結(jié)合向量共線求參數(shù)的值.19．（1），（2）【解析】（1）首先化簡，再求函數(shù)的周期和最大值；（2）平移后的函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則是函數(shù)的對(duì)稱軸，求參數(shù)的取值范圍。【詳解】解：（1）由題意：由此可得：，（2）由題意可知：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)和利用函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍，意在考查公式的靈活應(yīng)用和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.20．（1）－1和；（2）①；②證明見解析.【分析】（1）直接利用不動(dòng)點(diǎn)的定義，解方程f(x)＝x即可；（2）①根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，ax2－x＋1＝0的兩根滿足x1＜2＜x2，利用零點(diǎn)存在定理得到a(4a－1)＜0，求參數(shù)的范圍；②設(shè)p(x)＝ax2－x＋1，根據(jù)題意說明設(shè)p(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根m、n，不妨設(shè)m<n,從而判斷；記h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，判斷1是方程g(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；說明h(x)的圖象在[n，]上的圖象是不間斷曲線，利用函數(shù)的單調(diào)性，推出g(x)在(a，＋∞)上至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).【詳解】（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝－2x2＋1.方程f(x)＝x可化為2x2＋x－1＝0，解得x＝－1或x＝，所以f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為－1和.（2）①因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，所以方程f(x)＝x，即ax2－x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，記p(x)＝ax2－x＋1，則p(x)的零點(diǎn)為x1和x2，因?yàn)閤1＜2＜x2，所以a·p(2)＜0，即a(4a－1)＜0，解得0＜a＜.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為②因?yàn)間(x)＝loga[f(x)－x]＝loga(ax2－x＋1).方程g(x)＝x可化為loga(ax2－x＋1)＝x，即因?yàn)?＜a＜，△＝1－4a＞0，設(shè)p(x)＝ax2－x＋1，所以p(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)p(x)＝ax2－x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，不妨設(shè)m＜n.因?yàn)楹瘮?shù)p(x)＝ax2－x＋1圖象的對(duì)稱軸為直線x＝，p(1)＝a＞0，＞1，p()＝1＞0，所以1＜m＜＜n＜.記h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，因?yàn)閔(1)＝0，且p(1)＝a＞0，所以x＝1是方程g(x)＝x的實(shí)數(shù)根，所以1是g(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，因?yàn)?＜a＜，所以＞4，h()＝a－1＜a4－1＜0，且h(x)的圖象在[n，]上的圖象是不間斷曲線，所以x0∈(n，)，使得h(x0)＝0，又因?yàn)閜(x)在(n，)上單調(diào)遞增，所以p(x0)＞p(n)＝0，所以x0是g(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，綜上，g(x)在(a，＋∞)上至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.21．(1)100(2)存在，【分析】（1）由條件“調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資”建立不等關(guān)系可求解；（2）根據(jù)條件①②建立不等關(guān)系，假設(shè)存在實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，由基本不等式及一次函數(shù)求最值可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資為