華東理工大學(xué)本科生線性代數(shù)第八冊(cè)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第八冊(cè)）學(xué)院____________專(zhuān)業(yè)____________班級(jí)____________學(xué)號(hào)____________姓名____________任課教師____________6.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型1.設(shè)矩陣與合同，則下述選項(xiàng)準(zhǔn)確的是（）.()；()；()；()與有相同特征值.解：.提醒：與合同即存在可逆矩陣，使得，故.2．設(shè)二次型,則此二次型的矩陣,二次型的秩為_(kāi)_____,二次型的正交變換標(biāo)準(zhǔn)型為_(kāi)__________________.解：，，.提醒：二次型的秩就是二次型的矩陣的秩，也是其標(biāo)準(zhǔn)型中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)（注：標(biāo)準(zhǔn)型不唯一）。因此求二次型的秩有兩種主意，1)直接求二次型的矩陣的秩，2）先求的特征值，有幾個(gè)非零特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），二次型的秩就是幾.設(shè)實(shí)二次型其中，則二次型的矩陣為_(kāi)________.解：.提醒：的值是一個(gè)數(shù)，即，故有。而為對(duì)稱(chēng)矩陣.若元(>2)實(shí)二次型的正交變換標(biāo)準(zhǔn)型為，則______，矩陣的跡為_(kāi)____.解：0,.提醒：的特征值為，按照易得.若二次型的秩為2，則參數(shù)的值為_(kāi)____，表示的曲面為_(kāi)_________.解：3,橢圓柱面.提醒：二次型的矩陣的秩為2，故，由此可求得=3。再求出的特征值為，即標(biāo)準(zhǔn)型為，由此知為橢圓柱面。已知二次型（a>0）通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣.解：二次型的矩陣為，且，由即得。有三個(gè)不同的特征值1,2,5,故對(duì)應(yīng)這三個(gè)特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。分離求出屬于這三個(gè)特征值的特征向量,,并把它們單位化，得正交變換矩陣為.7.已知二次曲面方程可以通過(guò)正交變換化為橢圓柱面方程。求a,b的值和正交矩陣P.解:由與相似，故，=0，進(jìn)而得.代入后分離求出的線性無(wú)關(guān)的特征向量,,,并把它們單位化，可得正交變換矩陣為.6.2正定二次型與正定矩陣1.設(shè)n階方陣都正定，則下述結(jié)論不準(zhǔn)確的是（）.（A）正定；（B）正定；（C）正定；（D）正定.解：B.未必對(duì)稱(chēng)，故不正定.2．與“實(shí)二次型（其中）是正定的”等價(jià)的是______.（A）對(duì)隨意，恒有；（B）二次型的負(fù)慣性指數(shù)為零；（C）存在可逆陣，使得；（D）的特征值均不小于零.解：C.若用<0表示為負(fù)定矩陣，則下述結(jié)論準(zhǔn)確的是().（A）若<0，則<0;（B）若<0，則<0;（C）若<0，則對(duì)隨意與同階的可逆陣都有<0;（D）若<0，則其中至少有一個(gè)<0.解：C.提醒：按照慣性定理可知第三個(gè)選項(xiàng)成立.事實(shí)上,<0等價(jià)于,又等價(jià)于，等價(jià)于<0.4.設(shè)是正定二次型，則的取值范圍是__________.解：.提醒：按照二次型矩陣的各階順序主子式大于零求解.5.設(shè)為一個(gè)三階矩陣，其特征值為-1，-1，2，則當(dāng)滿(mǎn)意______條件時(shí)，為正定二次型,此時(shí)的規(guī)范型為_(kāi)____________.解：,.提醒：由的特征值為-1，-1，2知的特征值為又為正定二次型，其特征值必須所有都大于零，故得.6.設(shè)二次型經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型，證實(shí)：二次型經(jīng)相同的正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型．證實(shí)：＝＝（）＋（）＝．7.設(shè)二次型，試用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并研究當(dāng)取何值時(shí)，為負(fù)定二次型．解：按照上一題的結(jié)論，我們只需先求出二次型的正交變換矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型。經(jīng)計(jì)算得二次型的矩陣的特征值為-2,-2,4.對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為.經(jīng)施密特正交化，單位化可得所求的正交變換矩陣為,而在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為．故有：在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為．二次型為負(fù)定二次型，即,,故有（也可用順序主子式來(lái)解）.8.設(shè)為一個(gè)n元實(shí)二次型，為A的特征值，P為正交矩陣，且.試證實(shí)：（1）；（2）在時(shí)取到的最大值就等于A的最大特征值.證實(shí)：1）令，則，故，又，故1）得證.2）令，顯然，代入得．由1)得，故在時(shí)取到的最大值就等于A的最大特征值（同理取，知在