高考數(shù)學一輪復習 第九章 概率、統(tǒng)計與算法 第1講 抽樣方法、總體分布的估計分層演練直擊高考 文-人教版高三數(shù)學試題

第1講抽樣方法、總體分布的估計1．(2018·南通調(diào)研測試)某中學共有學生2800人，其中高一年級970人，高二年級930人，高三年級900人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，抽取280人進行體育達標檢測，則抽取高二年級學生人數(shù)為________．[解析]設高二年級抽取n人，則eq\f(n,930)＝eq\f(280,2800)，故n＝93人．[答案]932．某校數(shù)學教研組為了解學生學習數(shù)學的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調(diào)查．已知高二被抽取的人數(shù)為13，則n＝________．[解析]由已知條件，抽樣比為eq\f(13,780)＝eq\f(1,60)，從而eq\f(35,600＋780＋n)＝eq\f(1,60)，解得n＝720.[答案]7203.對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是________．[解析]由題意知各數(shù)為12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位數(shù)是46，眾數(shù)是45，最大數(shù)為68，最小數(shù)為12，極差為68－12＝56.[答案]46，45，564．(2018·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(一))某電商聯(lián)盟在“雙11”狂歡節(jié)促銷活動中，對11月11日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知13時到14時的銷售額為4.5萬元，則10時到13時的銷售額為________萬元．解析：設10時到13時的銷售額為x萬元，由題圖可知13時到14時的銷售額與10時到13時的銷售額的比值為eq\f(0.10,0.15＋0.40＋0.25)＝eq\f(1,8)，又13時到14時的銷售額為4.5萬元，所以eq\f(4.5,x)＝eq\f(1,8)，解得x＝36，所以10時到13時的銷售額為36萬元．答案：365．(2018·無錫模擬)若一組樣本數(shù)據(jù)8，x，10，11，9的平均數(shù)為10，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為________．[解析]因為平均數(shù)＝eq\f(8＋x＋10＋11＋9,5)＝10，所以x＝12，從而方差為s2＝eq\f(1,5)(4＋4＋0＋1＋1)＝2.[答案]26．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．如圖是根據(jù)哈爾濱三中學生社團某日早6點至晚9點在南崗、群力兩個校區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，南崗、群力兩個校區(qū)濃度的方差較小的是________校區(qū).[解析]方差較小即兩者比較時數(shù)據(jù)比較集中，從莖葉圖知，南崗校區(qū)數(shù)據(jù)集中，而群力校區(qū)數(shù)據(jù)分散的很明顯，故南崗校區(qū)濃度的方差較?。甗答案]南崗7．(2018·鷹潭模擬改編)某市共有400所學校，現(xiàn)要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20所學校作為樣本，調(diào)查學生課外閱讀的情況．把這400所學校編上1～400的號碼，再從1～20中隨機抽取一個號碼，如果此時抽得的號碼是6，則在編號為21到40的學校中，應抽取的學校的編號為________．[解析]根據(jù)系統(tǒng)抽樣的條件，可知抽取的號碼為第一組的號碼加上組距的整數(shù)倍，所以為號20＋6＝26號．[答案]268．(2018·江蘇省名校高三入學摸底卷)已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5m的方差為2，那么相對應的另一組數(shù)據(jù)2，4，6，8，10解析：1，2，3，4，5m的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝2＋m，方差s2＝eq\f(（－m－1）2＋m2＋（1－m）2＋（－m＋2）2＋（4m－2）2,5)＝2，而2，4，6，8，10m的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))1＝4＋2m，方差seq\o\al(2,1)＝4×eq\f(（－m－1）2＋m2＋（1－m）2＋（－m＋2）2＋（4m－2）2,5)＝4×2＝8.答案：89．(2018·宿遷調(diào)研)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示，則7個剩余分數(shù)的方差為________．解析：由題圖可知去掉的兩個數(shù)是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝eq\f(36,7).答案：eq\f(36,7)10．在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，已知a2＝2a1，且樣本容量為300，[解析]因為小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且a2＝2a1所以樣本的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，且公比為2，所以a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，所以a1＝eq\f(1,15)所以小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為300×8a1[答案]16011．一次數(shù)學模擬考試，共12道選擇題，每題5分，共計60分，每道題有四個可供選擇的答案，僅有一個是正確的．學生小張只能確定其中10道題的正確答案，其余2道題完全靠猜測回答．小張所在班級共有40人，此次考試選擇題得分情況統(tǒng)計表如下：得分(分)4045505560百分率15%10%25%40%10%現(xiàn)采用分層抽樣的方法從此班抽取20人的試卷進行選擇題質(zhì)量分析．(1)應抽取多少張選擇題得60分的試卷？(2)若小張選擇題得60分，求他的試卷被抽到的概率．[解](1)得60分的人數(shù)為40×10%＝4.設抽取x張選擇題得60分的試卷，則eq\f(40,20)＝eq\f(4,x)，則x＝2，故應抽取2張選擇題得60分的試卷．(2)設小張的試卷為a1，另三名得60分的同學的試卷為a2，a3，a4，所有抽取60分試卷的方法為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6種，其中小張的試卷被抽到的抽法共有3種，故小張的試卷被抽到的概率為P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).12．甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)根據(jù)計算結(jié)果，估計一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些．[解](1)eq\o(x,\s\up6(-))甲＝eq\f(1,10)(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，eq\o(x,\s\up6(-))乙＝eq\f(1,10)(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(-)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(-)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(-)))2]可求得seq\o\al(2,甲)＝3.0，seq\o\al(2,乙)＝1.2.(3)由eq\o(x,\s\up6(-))甲＝eq\o(x,\s\up6(-))乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當；又因為seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定．1．(2018·徐州模擬)某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為________．[解析]因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴．[答案]12002．(2018·北京海淀區(qū)模擬)某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測試，則第一分廠應抽取的件數(shù)為________；由所得樣品的測試結(jié)果計算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時、980小時、1030小時，估計這個企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為________小時．[解析]第一分廠應抽取的件數(shù)為100×50%＝50；該產(chǎn)品的平均使用壽命為1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.[答案]5010153．某公司300名員工2016年年薪情況的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，員工中年薪在1.4～1.6萬元的共有________人．[解析]由頻率分布直方圖知年薪低于1.4萬元或者高于1.6萬元的頻率為(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4到1.6萬元間的頻率為1－0.76＝0.24，所以300名員工中年薪在1.4到1.6萬元間的員工人數(shù)為300×0.24＝72(人)．[答案]724．某班有48名學生，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學的分數(shù)登記錯了，甲實得80分，卻記了50分，乙實得70分，卻記了100分，更正后平均分和方差分別是________．[解析]因為甲少記了30分，乙多記了30分，故平均分不變，設更正后的方差為s2，則由題意可得：s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化簡整理得s2＝50.[答案]70，505．某學校為準備參加市運動會，對本校甲、乙兩個田徑隊中30名跳高運動員進行了測試，并采用莖葉圖表示本次測試30人的跳高成績(單位：cm)，跳高成績在175cm以上(包括175cm)定義為“合格”，跳高成績在175cm(1)如果用分層抽樣的方法從甲、乙兩隊所有的運動員中共抽取5人，則5人中“合格”與“不合格”的人數(shù)各為多少？(2)若從甲隊178cm(包括178cm)以上的6人中抽取2人，則至少有一人在186cm[解](1)根據(jù)莖葉圖可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”．用分層抽樣的方法，則5人中“合格”與“不合格”的人數(shù)分別為2人、3人．(2)甲隊178cm(包括178cm)以上的6人中抽取2人的基本事件為(178，181)，(178，182)，(178，184)，(178，186)，(178，191)，(181，182)，(181，184)，(181，186)，(181，191)，(182，184)，(182，186)，(182，191)，(184，186)，(184，191)，(186，191)其中都不在186cm以上的基本事件為(178，181)，(178，182)，(178，184)，(181，182)，(181，184)，(182，184)，所以都不在186cm以上的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，由對立事件的概率公式得，至少有一人在186cm以上(包括186cm)的概率為1－P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).6．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數(shù)．[解](1)由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在[0，0.5)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.