2022屆北京市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（北京市高考研討資料）

《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》

專題一分段函數(shù)2課時

專題二不等式恒(能)成立問題3課時

專題三函數(shù)的單調(diào)性2課時

專題四函數(shù)的極值和最值2課時

專題五函數(shù)的零點2課時

課題分段函數(shù)(第一課時)

教學(xué)目1.分段函數(shù)(不含參數(shù))的概念及表示

標2.分段函數(shù)(不含參數(shù))的圖象和性質(zhì)(值域、零點、單調(diào)性等)；

3.分類討論和數(shù)形結(jié)合思想

重點分段函數(shù)(不含參數(shù))的概念及表示

難點分類討論和數(shù)形結(jié)合思想在研究分段函數(shù)中的應(yīng)用

教學(xué)內(nèi)2'Y<1

【例題1】已知函數(shù)/5)=?';則/(/(0))=_______；

容/(X)

-log2

的值域為_______.

過程間析：/(0)=2"=1,

畫出該函數(shù)的圖象：

/(l)=-log21=0；

當(dāng)x<l時，/(x)=2'e(0,2),

當(dāng)xNl時，/(x)=-log2x<0,

所以f(x)的值域為(—,2)-2-10IK23

小結(jié)：復(fù)習(xí)分段函數(shù)的概念，明

確分段函數(shù)的定義域、值域的含

義。能利用分類討論和數(shù)形結(jié)合日向方法研究分段函數(shù)的值域。

2rr<l

【變式練習(xí)1］已知函數(shù)/(%)=?\則方程/。)=1的解為

-log2X,X..1,

答案：0

?'r<1

【變式練習(xí)2］已知函數(shù)/*)=?:若實數(shù)則

-log,

"(a+1)-/(a)|的取值范圍是_______.

答案：(0,1］

【變式練習(xí)2-1】將條件”改為a<0、acR,

分別是何答案？

答案：依次為。1]；口,2)；(0,2)

2'r<1

【變式練習(xí)2-2]已知函數(shù)〃尤)=「''若

-log,X,X..1,

1/3+1)-八切>1恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案：(0,1)

Y<0

【例題2】已知函數(shù)/(x)=c；一八，若/(幻>/(一%),貝1」實數(shù)》的

2x+3,x〉0

取值范圍是.

過程簡析：

方法1：當(dāng)x>0時，2x+3>(-x)2,得一l<x<3,故0<%<3；

當(dāng)x=0時，/(0)=/(-0),舍；

當(dāng)x<0時，X2>-2x+3?解得x<-3時>1故％<-3

綜上，實數(shù)x的取值范圍是(3,-3)U(0,3).

方法2：圖象法。

x~X<0

【變式練習(xí)1]己知函數(shù)/(x)=c'[八，若/(X)>/(-X),則實

-2x-3,x>0

數(shù)x的取值范圍是.

過程簡析：(對比三種方法)

方法1：分類討論；

方法2：圖象法；

方法3：分析函數(shù)的單調(diào)性，知該函數(shù)是定義域R上的減函數(shù)，所

以實數(shù)x的取值范圍是(-8,0).

■X2X<0

【變式練習(xí)2】已知函數(shù)/(x)=c'Jc，若/(/一3)>/(2X),

-2x-3,x>0

則實數(shù)x的取值范圍是.

答案：(7,3)

【作業(yè)設(shè)計】

1.若函數(shù)〃x)=[,則函數(shù)y=/(x)-i的零點是.

答案：0或立

2.已知函數(shù)=若實數(shù)相以一2,0],則|f(x)-f(-1)1在

x--2x,x>0

區(qū)間[孫加+2]上的最大值的取值范圍是()

A.[1,4]B.[2,4]

C.[1,3]D.[1,2]

答案：D

V<0

3.已知函數(shù)/(x)=，「Z若〃2-馬>/(必則實數(shù)X的取值

ln(x+l),x>0

范圍是

A.(-oo,-l)U(2,+oo)B.(-oo,-2)U(l,+co)

c.(-1,2)D.(-2,1)

答案：D

x24-2a,x<1,#=°

4.已知實數(shù)函數(shù)/(幻=，'若

-x,x>\.

則實數(shù)”的取值范圍是

A.[-2,-l]u(0,+<?)B.[-2,-1]

C.(-8,0)D.(0,+oo)

答案：A

課題分段函數(shù)(第二課時)

教學(xué)目標分段函數(shù)(含有參數(shù))的圖象性質(zhì)

重點1.根據(jù)分段函數(shù)(含有參數(shù))的圖象和性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)求

參數(shù)范圍；

2.分類討論和數(shù)形結(jié)合思想

難點分段函數(shù)的綜合應(yīng)用

教學(xué)內(nèi)容(a-l)x+3a-4,(xK0)

【例題1】已知且。工1,函數(shù)/(?=

優(yōu),*>0)

為增函數(shù)，則。的取值范圍是

A.(0,1)B.(1,+s)C.園D.加

。一1>0

過程簡析：函數(shù)為增函數(shù)，所以需滿足，a>1.\l<a<—9a的

3a-4<a°

取值范圍是1]].故選：C

'(。一l)x+3a-4,(x?0)

【變式練習(xí)1]已知4>0且awl，/5)=<滿足

[優(yōu)，(x>0)

對任意實數(shù)，戶吃，都有人切一/⑺>01

龍立，則。的取值范圍是

演一.維

)

A.(0,1)B.(l,+8C.fl,1D.

答案：C

【變式練習(xí)2］已知”>0且awl,則“a>l”是“函數(shù)

（。一l）x+3。-4,（xWO）rz上

A?。S”>。）是增函數(shù)”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分而必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

(a-l)n+3a-4,(〃<3)

【變式練習(xí)3］已知且"1,數(shù)列4一%—1)2,(〃〉3)

為遞增數(shù)列，則。的取值范圍是一—

小

答案：1<

3

【例題2】已知函數(shù)/⑴1二+2門4。，

，若函數(shù)/（X）為減函數(shù)，

［-2x,x>a.

則〃的取值范圍是_________.

答案：,么WT

1+2*,xWa,若/⑺有2個零點，

【變式練習(xí)1］已知函數(shù)/（幻=<

-2x,x>a,

則〃的取值范圍是________.

答案：,7>-2

x；+2x,…，若有2個零點，

【變式練習(xí)2】已知函數(shù)/Xx）一

-2x,x>a,

則〃的取值范圍是_______.

答案：,7>-2

x2+2x,x<a,_e-、心日

【變式練習(xí)3】已知函數(shù)/（幻=；右。=0,則,f(x)的取

2x,x>a,

小值為________?

答案：-1

：+2L若/（x）無最小值，則〃

【變式練習(xí)4】已知函數(shù)/（》）=<

2x,x>a,

的取值范圍是—_____?

答案：<--

【作業(yè)設(shè)計】

(?-2)x(x>2)

1.設(shè)函數(shù)”x）hCY“小是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)〃的

⑸-l（x<2）

取值范圍為（)

B.(13'

A.(-00,2)—00,一

8_

C.(0,2)D.

答案：B

；"一則"a40"是“函數(shù)/（X）在10,+<?）上單調(diào)遞

2.已知函數(shù)/?=?

x~,x<a,

增”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A

3：儲"，函數(shù)〃X）恰有2個零點,

3.已知函數(shù)〃x）=

則2的取值范圍是

A.(fl]U(4,+℃)B.(1,3]U(4,+8)

C.(1,3)UF4,4W)D.(F,DU(4,+8)

答案：B

，—._.f-x2-2x,x<m

4已.1A知函數(shù)/(zx)=〈

x-^,x>m

①當(dāng)〃?=0時，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為__________;

②如果函數(shù)AM恰有兩個零點，那么實數(shù)機的取值范圍為

答案:①3,②[-2,0)U[4,同

5.設(shè)函數(shù)f(x)={J;

^[x-a)[x-2a)yx>\.

①若4=1,則/(X)的最小值為；

②若“X)恰有2個零點，則實數(shù)〃的取值范圍是.

答案:①—1，②34a<1或人2.

課題不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍

(第一課時)

教學(xué)目1.以一元二次不等式為例，復(fù)習(xí)不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍的基

標本思路和步驟

2.辨別量詞，明確“恒成立”和“能成立”的區(qū)別

重點不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍的基本思路和步驟

難點對“分離變量”的認識

教學(xué)內(nèi)復(fù)習(xí)引入：一元二次不等式恒成立(能成立)問題

容(1)關(guān)于x的不等式N+3+4>0恒成立，則實數(shù)加的取值范圍為

(2)關(guān)于x的不等式*2+,依+4<0有解，則實數(shù)切的取值范圍為

過程簡析：

(1)由題意△<(),即加2—i6<0=T<m<4;

(2)由題意A>0,即根2_]6>0=>根<-4或相>4.

【例題1】已知對任意xG[l,2],不等式小+,姓+4〉0都成立，則實

數(shù)m的范圍為.

過程簡析：

解法1：①△<()時，符合條件；

②時，只需

mm

~2或一萬

(八2)>0[/(1)>0

解得m>-4

解法2：①-^22時，只需f⑵>0

②《41時，只需/(1)>0

③l<-y<2H.只需/(-y)>0

解得m>-4

解法3：xe[1,2]時，x2+〃rx+4>0恒成立

4

即x+—>一〃[恒成立

X

?4

因為xe[l,2],所以x,-eR+

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=2即x=2時取“=”

x

所以只需4>-w

故〃7>-4

思考：你認為哪種方法更簡捷？

【變式練習(xí)1]若將xe[l,2]改為xe[-l,2],你會選擇哪種方法？

【變式練習(xí)2】存在尤01,2],使爐++4〉0成立，則實數(shù)〃?的范

圍為.

答案：m>—5

【變式練習(xí)3】已知對任意xd[l,2),不等式N+煙+4〉。都成立，

則實數(shù)機的范圍為.

答案：m>-4

【例題2】已知兩函數(shù)yU)=2%2—3x—%伏為實數(shù)),g(x)=x—1.

若對任意xe[-3,3],都有於)<g(x)成立，求k的取值范圍.

過程簡析：對任意》氣-3,3],都有40<g(x)，

即對任意xd[-3,3],都有2N—4x—女+1<0

2

令人(尤)ulr—4%一々+1,*0-3,3],只需h(x)max<0

解得心>31.

【變式練習(xí)1】已知兩函數(shù)_Ax)=2%2—3x—%伏為實數(shù))，

g(x)=x—1.若存在xG[-3,3],使於)<g(x)成立,求。的取值范圍.

答案：k>~\

【變式練習(xí)2]已知兩函數(shù),/(x)=2x2—3x—Z伏為實數(shù))，

g(x)=x—1.若對任意送(一3,3),都有fix)<g(x)成立，求k的取值范圍.

答案：后31

【作業(yè)設(shè)計】

1.已知函數(shù)/*)=2加-+]4i+《4，其中〃￡/?.當(dāng)時，如果存在小￡尺，

使得〃不)<0,試求〃的取值范圍；

12

答案：ae(-oo,—)u(—,4-oo).

2.若存在x￡R,使得.產(chǎn)丁一成立,求實數(shù)機的取值范圍.

x--2x+3

答案：m>—2.

3.已知函數(shù)/")=/一3d-9x+l(xeR).若f(x)-2a+1N0對l/xe[-2,4]恒

成立，實數(shù)。的取值范圍是.

答案：

2

4.已知函數(shù)/(X)=%3+以2+陵在X=—§與X=1時都取得極值.

(1)求服人的值與函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對xs[T,2],不等式〃x)<c2恒成立，求c的取值范圍.

答案：(1)a=~,b=-2,單調(diào)遞增區(qū)間為卜巴-gj和(1,+00),單調(diào)

遞減區(qū)間為卜|，1);

(2)。<-1或c>2.

5.設(shè)函數(shù)九)=2x3—%?+12x+8c,

(1)若對任意xW[O,3],都有?r)Vc2成立，求c的取值范圍；

(2)若對任意x￡(0,3),都有/U)Vc2成立，求c的取值范圍.

答案：(1)y,T)U(9,+孫(2)S，T]U[9,+8).

課題不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍

(第二課時)

教學(xué)目標3.以一元二次不等式為例，復(fù)習(xí)不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍的

基本思路和步驟

4.常見的多變量問題及處理方式

重點不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍的基本思路和步驟

難點雙變量不等式恒(能)成立

教學(xué)內(nèi)容【例題1】已知函數(shù)/(x)=2x2—3x—Z(%為實數(shù)),g(x)=x-1.若對任意

孫及口-3,3],都有於i)<g(X2)成立，求「的取值范圍.

過程簡析：fix)=2x2—3x~k,[-3,3]>g(x)=x~1,[-3,3]

只需/(X)max<g(x)min，解得k>31.

【變式練習(xí)1】已知函數(shù)/)=2/—3工一人(左為實數(shù)),g(x)=x—l.若對

任意Xie[-3,3],存在及@[-3,3],使於i)<g(“2)成立,求上的取值范

圍.

答案：只需人X)max<g(X)max,解得攵>25.

思考：你還可以提出哪些問題？請嘗試解決。

【變式練習(xí)1-1]已知函數(shù)?x)=2x2—3x—%(上為實數(shù)),g(x)=x—1.若

存在XIC[-3,3],使對任意檢七[-3,3],於i)<g(%2)成立,求人的取值

范圍.

23

答案：只需./(X)min<g(x)min，角牛得k>--.

8

【變式練習(xí)1-2】已知函數(shù)?x)=2i2—3x—左(女為實數(shù)),g(x)=x-1.若

存在XI,X26[-3,3],使加l)<g(X2)成立，求左的取值范圍.

25

答案：只需./(X)min<g(x))niax,解得%>—?—

8

【變式練習(xí)2】已知函數(shù)式x)=2x2一日一25伏為實數(shù)),g(x)=x—28.若

對任意㈤,尤2口1,3],都有段|)<g(X2)成立，求女的取值范圍.

過程簡析：y(x)=2x2—kx—25,xW[l,3],g(x)=x-1,xG[1,3]

只需/(X)max<g(x)min，即/(X)max<-27.

方法1:分類討論

[/(1)<-2720

方法2：只需;;”解得上>與.

，/⑼<-2/3

【變式練習(xí)2-1】已知函數(shù)次的=2%2—自一25(%為實數(shù)),g(x)=x—28.若

存在為￡口,3],使對任意及千口,3],段i)<g(X2)成立,求人的取值范

圍.

過程簡析：只需_/(X)min<g(X)min，即7(X)min<—27.

方法1：分類討論求人X)min

方法2:只需存在龍￡[1,3],使人幻<一27成立.

即存在》6[1,3],使女〉2(》+!)，故只需Q4

X

說明：對比不同方法，體會優(yōu)化性，滲透變型意識，培養(yǎng)思維的靈

活性。

【例題2】已知1勺合3時，不等式〃優(yōu)2—〃優(yōu)―1〈—〃z+5恒成立，求

"2的取值范圍.

過程簡析：m<^.

【變式練習(xí)】已知1SY3時，不等式〃優(yōu)2—蛆一1V—'^+5恒成立,

求x的取值范圍.

過程簡析：不等式mx?一〃比一iv一m+5恒成立

即不等式（/一1+1）m<6恒成立，

令J(m)=(x2—x+l)m,1<777<3

/(I)<6

只需《

/(3)<6

答案:

【作業(yè)設(shè)計】

1.設(shè)函數(shù)/。）=/+（1-g+”2,若不等式/（司2-2對于實數(shù)

ae[T,l]時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

答案：{1}

2.設(shè)/（幻=沔，80）=以+5-2〃（。>0）,若對于任意辦?0,1],總存在

X+1

/目0,1],使得8（%）=/（%）成立，則〃的取值范圍是

A.[|<4]B.[4,+oo）

C.（o,|]D.[|收）

答案：A

3.已知函數(shù)/（x）=2x+。，g（x）=lnx-2x,如果對任意的再,

丫白，都有/&）4g（毛）成立,則實數(shù)。的取值范圍是.

答案:（-co,ln2-8]

4已.知函數(shù)〃x)=q-/,ga)=x2-2x-l.若對任意不€1,2，都存在

x2eg,2滿足〃xJ-g(N)21,則實數(shù)”的取值范圍是()

A.[2e2,+oo)B.[2e2-2,+oo)C.手，+8D.

_/

答案：B

5.已知函數(shù)/(幻=%2,g(x)=1--m.

\2?

(1)當(dāng)XG[-1,3]時,求/(x)的值域；

(2)若對Vxe[0,2],g(x)..l成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(3)若對氣€[0,2],ax2G[-l,3],使得g&),,“占)成立,求實數(shù)機

的取值范圍.

3

答案：(1)[0,9]；(2)m,,一一；(3)

4

6.已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16%一后，g(x)=2x3+5x2+4x,其中％為實

數(shù).

(1)對任意xe[-3,3],都有〃x)Wg(x)成立，求k的取值范圍；

(2)存在xe[-3,3],使/(x)4g(x)成立,求人的取值范圍；

(3)對任意冷W?-3,3],都有/a)vg(xj,求k的取值范圍.

答案：(1)%"5；(2)Jl>-7；(3)Jt>141.

7.(選做)已知〃>0,函數(shù)/(x)=f-奴+3,g(x)='+2若對于任

ax

意不<1,3],總存在々e[l,3],使得〃xJ>g(X2)成立，求。的取值范

圍是________.

答案：卜冬2).

課題不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍

(第三課時)

教學(xué)目不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍的綜合問題

標

重點不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍的一般思路和步驟

難點不等式恒(能)成立求參數(shù)范圍的綜合應(yīng)用和方法的選取

教學(xué)內(nèi)【例題1】已知函數(shù)犬尤)=^+加一X.

容(1)當(dāng)。=1時,討論式X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)尤K)時，人工心；/+1,求a的取值范圍.

過程簡析：(1)當(dāng)。=1時，/(.x)=ex+.x2-x,/'(.v)=ex+2.X-1,

由于/"(x)=/+2>0,故/(X)單調(diào)遞增，注意到r(0)=0,故：當(dāng)

xe(-oo,0)時，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,+oo)時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

(2)方法一：於)4等價于(gd一面:2+*+])6-*0.

設(shè)函數(shù)g(x)=(^x3-ax2+x+l)e-A(x>0),

則g\x)==~^x(x—1a—l)(x—2)e-x.

(1)若2。+10，即ag—

則當(dāng)x￡(O,2)時，g，(x)>0.所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，而g(0)=l,故

當(dāng)尤G(0⑵時，g(x)>L不符合題意.

(ii)若0<2a+l<2,BP則當(dāng)%e(0,2a+l)U(2,+oo)時，

g'(x)<0;當(dāng)x￡(2a+l,2)時,g'(x)>0.

所以g(x)在(0,2a+l),(2,+s)上單調(diào)遞減，在(2a+1,2)上單調(diào)遞增.由

7—e2

于g(0)—1,所以g(x)Sl,當(dāng)且僅當(dāng)g(2)—(7—4a)e2勺,即色4.

所以當(dāng)4%<2時，g(*L

117—/1

(iii)若2a+1>2,即a>^則g(x)<(—x3+%+1)€一，,由于0￡[-----,—),

29242

故由(ii河得(gd+x+De-wi.

故當(dāng)時，g(x)SL綜上，a的取值范圍是/j，”)，

方法二：+1得，e'+ar2—啟*+1,其中x>0,

①當(dāng)x=0時，不等式為后1,顯然成立，符合題意；

、131

e'—/x-1

②當(dāng)x>0時，分離參數(shù)a得，a>—-----------,

]2

e'―2好_》一](x—2)(e'------x—1)

記g(x)=-，則g'(X)=-----------M-------，

令7;(x)=er—%—尤一1(后0),則/?'3)=ex—x—1,令心：)=/z'(x),后0,

f(x)=ex-l>0,故7f(x)單調(diào)遞增，"(X巨"(0)=0,

故函數(shù)/?(x)單調(diào)遞增，/?(%)>/?(0)=0,由。(x)K)可得e，一%一%—1三0

恒成立，

故當(dāng)x￡(0,2)時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xW(2,+oo)時，g，(x)<0,

7—e2

g(X)單調(diào)遞減，因此，[g(X)]max=g(2)=1—,

綜上可得，。的取值范圍是

4

【例題2】已知函數(shù)/(x)=e*-a(x+l).

(1)若曲線)，=f(x)在(0,/(()))處的切線斜率為0,求。的值；

⑵若/(%)20恒成立，求a的取值范圍.

過程簡析：⑴r(x)=e“—a(xeH),由題意廣(0)=0,所以a=I.

(2)①當(dāng)a=0時，/(彳)=6*>0恒成立，符合題意；

②當(dāng)a>0時，f\x)=ex-a,

令f'(x)>。得x>Ina,所以/'(x)在(Ina,+8)上單調(diào)遞增；

令f\x}<。得x<Ina,所以/1(x)在(-co,Ina)上單調(diào)遞減；

要使若/(x)20恒成立，

只需f(x)min=/(Ina)=a-a(\na+l)>0

解得0<a〈l

1--1

③當(dāng)a<0時，/(一一D=e"-l<0,不合題意；

a

綜上，可得。

【作業(yè)設(shè)計】

1.已知函數(shù))x)=1+：''.

⑴若函數(shù).穴X)在區(qū)間(a,a+g)上存在極值，求正實數(shù)。的取值范圍；

(2)如果當(dāng)定1時，不等式_/(x)一擊K)恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

答案：(D(；，l)

(2)原不等式可化為當(dāng)位1時，狂(x+Dd+Mx)恒成立,

X

令g(x)=('+1)(1+山X)=]+]11r/幻(啟]),貝Ijg，(?=”

X人

再令/?(x)=x—Inx(x>l),則〃(x)=l—5K),所以//(x)>//(l)=1,得

g，(x)>0,所以g(x)為增函數(shù)，

故g(x)漣(1)=2,故長2,即實數(shù)k的取值范圍是(-00,2].

2.已知/(無)=以2-2lneR,若對任意的x>0都有

2-y(x)W2(a-l)x恒成立,求整數(shù)a的最小值。

答案：2

3.已知函數(shù)/U)=e「i—ar+lnx(aGR).

(1)若函數(shù)_Ax)在》=1處的切線與直線版一y=0平行，求a的值；

(2)若不等式?r)21nx-a+\對一切尤e[l,+8)恒成立，求實數(shù)“

的取值范圍.

答案：(l)/(x)=&'1—1)—2—a=3,??ci——1,

經(jīng)檢驗a=-1滿足題意，.?.a=-1,

(3).*x)Knx~a+1可化為ev1—ar+tz—1>0>

令夕(x)=e*?—or+a—1,則當(dāng)+oo)時，貝乃而侖0,

(p\x)=ex'—a,

①當(dāng)國)時,"(x)>0,.??s(x)在［1,+oo)上單調(diào)遞增,

，夕(x)min=夕(1)=1—a+a—1=0K)怛成“，

?*-a<0符合題意.

②當(dāng)a>0時，令“'(x)=0,得x=lna+l.

當(dāng)x￡(—8,Ina+1)時，"(x)<0,

當(dāng)xW(lna+l,+s)時，(p'(x)>Q,

，磯X)在(一oo,Ina+1)上單調(diào)遞減，在(Ina+l,+s)上單調(diào)遞增.

當(dāng)Ina+lWl即0<。1時,S(x)在口，+oo)上單調(diào)遞增，

9(X)min=貝1)=0N0恒成立，

/.0?7<1符合題意.

當(dāng)lna+l>l,即a>l時，s(x)在［1,lna+1)上單調(diào)遞減，在(lna+1,

+oo)上單調(diào)遞增，

.,.9(x)min=s(ln。+1)<磯1)=0與s(x)K)矛盾.故a>l不符合題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為{攻區(qū)1}.

課題函數(shù)的單調(diào)性

(第一課時)

教學(xué)目標1.鞏固求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；

2.鞏固討論含參函數(shù)的單調(diào)性的方法；

重點求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

難點含參函數(shù)單調(diào)性的討論

教學(xué)內(nèi)容【例題1］求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)/(X)=lnx-2x(2)/(x)=(x-2)e*-x

過程簡析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是

定義域一求導(dǎo)一解方程一列表一下結(jié)論。其中導(dǎo)函數(shù)在其零點兩邊的

符號可借助于相應(yīng)的函數(shù)的圖象確定。

：(1)首先,f(x)的定義域為(0,"o)，

因為f(x)=lnx-2x,所以r(x)=」-2=^—―,

XX

由尸(x)=0得^~—=0,解得x=，

x2

了變化時，r(x)j(x)的變化如下表:

X嗎)q,+s)

2

f'(x)+0—

/(x)/

由上表知，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,；),單調(diào)減區(qū)間為(；,”).

(2)因為/(x)=(x-2)e*-x

所以尸(x)=(x-l)e、+尤—1=(x—l)(e*+1)

由廣(幻=0得(x-l)(e*+l)=0,解得x=l

列表(略)得：

/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(l,y);單調(diào)減區(qū)間為(-8,1).

【變式練習(xí)】求f(x)=(x-2貯-白?+x的單調(diào)區(qū)間

答案：〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(—,0),(1,+oo);單調(diào)減區(qū)間為(0,1).

【例題2】求函數(shù)/(x)=ex(x2-ax+a\aeR)的單調(diào)區(qū)間.

過程簡析：含參函數(shù)單調(diào)性的討論，通常要考慮以下幾個方面的

變化，(1)定義域；(2)導(dǎo)函數(shù)r(0是否有零點；(3)對尸(x)的

零點左右兩邊符號的影響；(4)零點之間的大小.

12

解：因為/(x)=e(x-ax+a)(aGR),

所以/'(犬)=cx(x2-ax+a+2x-a)=ev[x2-(a-2)x]

由「(幻=0，解得x==。-2

當(dāng)q=2時，/(x)=e'(x-l)2N0在R恒成立

所以廣(X)的單調(diào)增區(qū)間為(-<?,+<?);,

當(dāng)a>2時，a-2>0,列表(略)得：

f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(7,0),3-2,內(nèi))；單調(diào)減區(qū)間為(0M-2).

當(dāng)a<2時，a-2<0,列表(略)得：

/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(TOM-2),(0,zo)；單調(diào)減區(qū)間為(a-2,0).

【變式練習(xí)】求函數(shù)=g加-x(acR)的單調(diào)區(qū)間：

解：因為/(%)=：加-x(awR),所以((元)=加-1

當(dāng)時，f{x}=ax2-l<0,所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-oo,+oo).

當(dāng)a>0時，由廣。)=0得》=土也，

a

列表(略)得:/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(無,+8),(Y0,_邁)；單調(diào)減區(qū)

aa

間為(-也，巫).

aa

【作業(yè)設(shè)計】

1.函數(shù)/(》)=-$3+爐+3X-2的單調(diào)減區(qū)間為

(A)(-00,-1),(3,+O0)(B)(-00,-3),(1,+oo)(C)(-1,3)(D)(-3,1)

答案：A

2.函數(shù)/(x)=ln(2x-l)-x的單調(diào)增區(qū)間為

(A)(一|)(B)(|,|)(C)(5)(D)(1,1)

答案：B

3.求函數(shù)/(x)=2lnx-；x2+x的單調(diào)區(qū)間.

簡解：/(X)的定義域為(0,e)，/(處=42)(土+1),

X

由尸(x)=0得x=2,列表(略)得:

f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2);單調(diào)減區(qū)間為(2,y0).

4.已知函數(shù)/(x)=21nx+gar2_(2a+i)x(aN0).討論/(X)的單調(diào)性.

簡解：首先〃x)的定義域為(0,戶)，/，a)=(x_2)(辦-1),

X

當(dāng)4=0時，八X)=H,

X

fix')的單調(diào)增區(qū)間為(ro,2);單調(diào)減區(qū)間為(2,+00).

當(dāng)“0時，由/")=0,得心型竺心=0,解得x=2,或r」

xa

當(dāng)”;時，/'(X)20在(0,+00)上恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)八2)=0,

所以/⑴在(0,+oo)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a/時，/⑶的單調(diào)增區(qū)間為(YO,2),(Lx);

2a

單調(diào)減區(qū)間為(2」).

a

當(dāng)〃>_［時J(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ro」),(2,xo)；單調(diào)減區(qū)間為(±2).

2aa

課題函數(shù)的單調(diào)性(第二課時)

教學(xué)目鞏固已知含參函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題的求解方法

標

重點兩種方法--子集關(guān)系和導(dǎo)函數(shù)恒非負(非正)--的選擇

難點導(dǎo)函數(shù)恒非負或非正的求解。

教學(xué)內(nèi)【例題3】

容(1)已知f(x)=?+3X2-9X+2在(“M+1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)已知/(x)=lnx+x27nx在(o,+oo)上是增函數(shù)，求m的取值范圍；

過程簡析：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的一般思路是

(1)用集合間的關(guān)系：y=/(x)在(加,〃)上單調(diào)，則區(qū)間(加,〃)是相應(yīng)單

調(diào)區(qū)間的子集；

(2)用y=/(x)在(加⑷上為增(減)函數(shù)等價于ra)N。(ra)>o),

且廣(不)在(私九)的任一非空子集上，廣⑴不恒為零。

解：(1)因為/(月=%3+3/一9妻+2,

22

所以f(x)=3x+6X-9=3(X+3)(x-1)

由ff(x)>0得3(x+3)(x-l)>0,解得x<-3<x>1

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,-3),(1,w)

由題意得：(a,。+1)q(-00,-3),或3〃+1)c(1,-KX))

所以a+14-3或7之1,故a的取值范圍為(YO,-4]3L+0°).

(2)因為/(x)=lnx+/-/nx,所以/'(x)=2+2x？

x

因為x>0,所以1+2x22、仁=2應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng)』=2x,即戶立時取

xVxx2

等號，所以廣(幻22及-機，由題意知/(x)20在(0,+oo)上恒成立，

令20-粗20,有機42&,所以m的取值范圍是(70,20].

【變式練習(xí)】

(1)若函數(shù)/(x)=gd+?Ax-]在R上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求。的

取值范圍；

(2)若f(x)=e*(x-⑷在(-1,2)上不具有單調(diào)性,求m的取值范圍

答案：

(1)(-1,1);(2)(0,3).

【作業(yè)設(shè)計】

13

5

1.若函數(shù),穴外二尹—/2+OX+4的單調(diào)遞減區(qū)間為[—1,4],則實數(shù)

a的值為.

答案：-4

2.設(shè)函數(shù)/(》)=3X2-91內(nèi)在區(qū)間3-1,4+1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a

的取值范圍是.

答案：(1⑵

3.已知/(?，V+/+工一在①^^上是增函數(shù)，求。的取值范圍.

簡解：,r(x)=x2+2^4-1,由題意得,當(dāng)xe(0,go)時，廣(%)N0恒成立

//(^)^0<=>x+-+2^>0，g(x)=x+—+2a的最小值為g())=2+2a,

XX

所以a的取值范圍

4.(2009年)設(shè)函數(shù)/(x)=x*(七0).

(I)求曲線y=/(x)在點(0J(0))處的切線方程;

(II)求函數(shù)人外的單調(diào)區(qū)間；

(III)若函數(shù)/(為在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求攵的取值范圍。

答案：(I)x-y=0;

(II)當(dāng)％>0時，減區(qū)間為(ro,->；增區(qū)間為(-，+oo)

當(dāng)Z;<0時，減區(qū)間為(-%田)；增區(qū)間為(-00,-：)

(III)%的取值范圍為[-1,0)50,1].

課題函數(shù)的極值、最值

(第一課時)

教學(xué)目1.鞏固用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值的一般步驟；

標2.會討論含參函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題；

3.會根據(jù)函數(shù)值變化趨勢，確定函數(shù)最值.

重點用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值的一般步驟，求函數(shù)在閉區(qū)間上最值問題.

難點根據(jù)函數(shù)值變化趨勢，確定函數(shù)最值。

教學(xué)內(nèi)【例11求函數(shù)〃司=工3-/_*+1的極值。

容

過程簡析：此例的目的是訓(xùn)練學(xué)生的求極值的一般步驟。

答案：當(dāng)工=-g時，/(X)取得極大值，為/(-g)=||；當(dāng)x=l時，/(X)取得極小

值，為f(l)=0.

【變式練習(xí)】已知/(x)=d+3加+版+/在x=_i處有極值0,貝lja+b的值

為c

解：/(jOuBf+Gav+b,

1,。=2,

八T)=°'解得。=

由題意得或'

/⑴=0,解巧b=3b=9,

當(dāng)。=1,匕=3時，/(x)=3f+6x+3=3(x+1/NO,

??.?/U)在R上單調(diào)遞增，???/u)無極值,

所以。=1,6=3不符合題意，當(dāng)。=2,0=9時，經(jīng)檢驗滿足題意.

。=11.

【例2］求/(x)=(x-|)e'在［0,1］上的最大值和最小值.

過程簡析：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，需要說明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,

再從極值和端點處的值中取得最大值和最小值.

解：因為/(xKx—gw,所以廣(x)=(x」)e*,

由1(x)=0得x=L

x變化時，廣(x)J(x)的變化如下表:

(0$2_5)

X021

f'M+0—

_3e

/(%)/

~2~2

所以，在m處取得最大值’為今在T處取得最小值，為

【變式練習(xí)】已知函數(shù)〃x)=(x-幻e，，求/(x)在區(qū)間［0,1］上的最小值.

過程簡析：2011(18)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，討論的要點是“極值

點是否在開區(qū)間內(nèi)”.

簡解:f'M=(x-k+l)e,因為xe［O,l］,所以(x-Z+l)e(l-4,2-幻，

當(dāng)441時，尸(x)20在［0,1］上恒成立，f(x)在［0,1］上為增函數(shù),f(x)在x=0處

取最小值，為-k;

當(dāng)％22時，_f(x)40在［0,1］上恒成立，/(x)在［0,1］上為減函數(shù)，/⑶在x=l處

取最小值，為(l-Qe;

當(dāng)1<A<2時，列表得：f(x)在x=A-l處取最小值，為-ei.

【例3】(選用)

問：函數(shù)/(x)=e，(x2一2x)是否存在最值,說明理由.

解：因為f(x)=e*(x2-2x),所以r(x)=e，(f_2)

由f\x)=0得e*(d-2)=0,解得x=±&

列表(略)得：人》)在》=-夜處取得極大值，為世②；在光=夜處取得極小

值，為Ie版(1-壺).

因為xe(-8,-0)時，/(?=/(犬-2》)>0,當(dāng)z(-血,+8)時，/a)>e^(l-72),

所以/(x)在x=0處取得最小值，為e&(1-0).

而Xf+8時，f(x)f+8,故/(x)無最大值.v

OKx

【變式練習(xí)】問：函數(shù)f(x)=,*+2是否是最大值和1/M，說明理由.

x