2020-2021學(xué)年度第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研高一數(shù)學(xué)模擬試題

2020-2021學(xué)年度高一年級第二學(xué)期期中調(diào)研模擬

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,設(shè)向量1=(0,2)，b=(2,2)，則°

A?同=|b|?,(a-b)//b^--/與b的夾角為.D.白一1a

3

2.非零向量士甘滿足：舊_幣=|升3.(g-b)=0-貝股一髀，夾角的大小為()

A-135°B-120°C60。D-45°

3.已知函數(shù)，、，則"s的值不可能是()

f(x)=sinx-sin(x+J)-^W

、、B.工C.0D.2

22

4.下列各式中，值為百的是()

A.B..

工+tam5

2sin2——2cos2-

1212i-tani51

C?sinl5sin75,D?cos15'-V3sinl5,

51在AABC中a,b,c分別是A,B,C的對邊，八c、i右c=3且sinA+sinB=2、用sinAsinB，

cos(A+B)=--

2

則AABC的面積為0

A，3V5B，3^%D.2

S4

6.在斜SBC中,設(shè)角A，B,C的對邊分別為a,b,c,己如asinA+bsinB-csinC=4bsinBcosC'

CD是角C的內(nèi)角平分線，且CD=b-則cosC=（）

A.B.C,D.

1321

8436

7-已知直角△ABCzABC=90D,AB=121BC=8,D,E分別是AB,AC的中點，將&ADE沿

著直線DE翻折至APDE，形成四棱錐p_BCED）則在翻折過程中，①乙DPE=zBPC;②PE1BC;

③PDLEC；④平面PDEL平面PBC，不可能成立的結(jié)論是（）

A.①②③B.①②C③①D.①②④

8.在棱氐為I的正方體ABCD-A,B1clD,中，ACnBD=CTE是線段氏c（由端點）上的一動點

①0EJ.BDJ

②0E〃面AiQD；

③三棱錐A]_BDE的體積為定值;

④0E與A2cl所成的最大角為90。?

上述命題中正確的個數(shù)是。

A.1B.2C.3D.4

二'多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有項選錯得。分.

9.已知函數(shù),、，則的值可能是（）

f（x）=sinx-sin（x+=）-；W

A.B.C.0D.2

10.已知a,b,c分別為周ABC內(nèi)角A，B，C的對邊,COS?A-cos?B-cos2c=cosAcosB+cosC-cos2B)

且c=b，則下列結(jié)論中正確的是()

A.B.

C=-C=^

33

C.AABC面積的最大值為.D.△ABC面積的最大值為這

44

11.已知i為虛數(shù)單位，則下列選項中正確的是()

A,復(fù)數(shù)工=3+4i的模|z|=5

B.若復(fù)數(shù)z=3+4i，則乞(即復(fù)數(shù)z的共柜復(fù)數(shù))在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

C.若復(fù)數(shù)(m?+3m—4)+(m?—2m—24)i是純虛數(shù)，則m=1或m=—4

D.對任意的復(fù)數(shù)Z,都有z220

12.在四面體ABCD中，4ABC是邊長為?的正二角形,=60。，一*面角D_AB-c的大小為60。

則下列說法正確的是()

A-AB1CD

B.四面體ABCD的體積V的最大值為廣

退

2

C.棱CD的長的最小值為丫紂

D.四面體ABCD的外接球的表面積為

三n

9

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為.

(7$2011

14.已知a，0s，且匕噸_0)=；則2時一

15.在“BC中，已知而=2而P為線段AD上的一點，且滿足而二郎+m屈'若"BC的面積

為2、序/則|國的最小值為.

=—

16.

在正三棱柱ABC-A[B2cl中，已知AB=1D在棱BB^上，且BD=「則AD與平面所成

的角的正弦值為，平面ACD與ABC所成二面角的余弦值為.

(本小題第一空2分，第二空3分)

四'解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知向JH記=("geosX,-cosx)，n=(-2asinx,2acosx)'具中aHO,

⑴若芯，且|記++=|記—求1t的值；

-xe(-=,0)cos(x+》

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=IS?3+3a+b當(dāng)時，是否存在整數(shù)ab使得f(x)的值域為

[-VX2]?若存在，請求出a,b的值；若不存在，請說明理由?

18.(本小題滿分12分)

如圖，三棱錐p-ABC中，PA1平面ABC,PA=AC=2，BC=祗，々BAC=60"D是PA的

中點，E是CD的中點，點F在PB上，_一

PF=3FB

（1）證明：平面PAB_L平面PBC；

（2）證明：EF〃平面ABC；

（3）求二面角B-CD-A的正弦值.

19.（本小題滿分12分）

在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求出滿足條件的復(fù)數(shù)z,以及0.

cZtco復(fù)平面上表的點在直線x+y+2=0上③Z2+z7=-2.

①三＜0②12322

已知復(fù)數(shù)4=i+i，z?=a+2『（a酣），------＞若1】J求復(fù)數(shù)z,以及憶「

-=—F-

20.（本小題滿分12分）

某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計如圖所示，AB為地面，CD,CE為路燈燈桿,

CD1AB'2,在E處安裝路燈，且路燈的照明張角1t已知CD=4m,CE=2nr

Z.DCE=—zMEN=

（1）當(dāng)M,D重合時，求路燈在路面的照明寬度MN；

（2）求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.

21.（本小題滿分12分）

已知X。，是函數(shù)的兩個相鄰的零點.

+-f(x)=cos2(u)x--)—sin?3X(3>0)

6

求的值;

⑴嗡

（2）若對任意7n，都有f（x）_mw（F求實數(shù)m的取值范圍.

xs[——?0]

若關(guān)于X的方程L在上有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍.

m⑼^f（x）-m=lxe[。印

22.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐p_ABCD中，PA,平面ABCD,在直角

梯形ABCD中，AD〃B（?々BAD=90°，BC=2AD，E

為線段BC的中點

（1）求證：平面PDE平面PAD；

（2）在線段PB上找一點F,使得EF〃平面PCD,則滿足題意的F點是否存在？若存在，求出點

F的位置；若不存在，請說明理由.

（3）若Q是PC中點，AB=PDC=72,PA=2TBC=2EC=2,求三棱錐p-ABQ的體積?

2020-2021學(xué)年度高一年級第二學(xué)期期中調(diào)研模擬

數(shù)學(xué)學(xué)科試題?參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

題號12345678

答案DADBBADD

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有項選錯得0分.

題號9101112

答案ABCBCABBCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13—114._3n15-216'V6V21

44,7

(閱卷提醒：第16小題笫一空2分，第二空3分)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.?fn+n|=|m-n|.%(m+n)2=(m-即記,E=0'

vm=(V3cosx-cosx)，n=(-2asinx,2acosx)

/.-2aV5sinxcosx_2acos2x=O'艮［百sinxcosx+cos2x=0，

???COSX6(0,1)'

xe(-50)

V3sinx+cosx=0，即、叵

tanx=-----

3

cos(x+-)=-cosx——sinx(--)=

\，22222k2y4

(2)由題忌，f(x)=m-n+3a+b=-2>/3asinxcosx-2acos2x+3a+b

=—>/3asin2x—a(l+cos2x)4-3a+b=_2asin(2/+器)+2a+b,

'xe[53'2x+：e仔，爭'sin(2x+》e[-L學(xué)’

①當(dāng)a=0時，f(x)=b，值域不可能為[-VJ,2]，

②當(dāng)a>0時，f(x)e[2a-VJa+b,4a+b「又f(x)的值域為[一、石，2r

2a-V3a+b=-V3,4a+b=2'解得a=Lb=-2，符合題意-

③當(dāng)a<0時，f(x)e[4a+b,2a-V3a+b]，又f(x)的值域為[一、序，2]

二2a-VJa+b=2,4a+b=-y/3'解得a=-1,b=4—y/3'不合就思，

綜上，存在整數(shù)a=i,b=_2使得f(x)的值域為[—75,2]?

18?解：⑴在AABC中’由余弦定理得BC2=AB2+AC2—2AB,ACCOSNBAG

即AB2-2AB+1=0，解得AB=1，二AB?+BC2=AC2，則zABC=90?！﨎CJ.AB。

因為PA,平面ABC,BCu平面ABC，所以PA_LB（?

?-?PAnAB=BTPA、ABU平面「AB'...BC_L平面0AB.

...BCu平面PBC，...平面pBC_L平面PAB；

（2）證法一：過點F作FA〃/PA交AB于點M,取AC的中點N,連接MN、EN.

..點E為CD的中點，N為AC的中點，.?.EN〃.AO,

EN=jAD

又D是PA的中點，E是CD的中點，點F在PB上，_一，且FA〃/PA,

PF=3FB

.—ADC'G〃EN且FM3

42

所以四邊形MFEN為平行四邊形，EF〃MN,

...EFc平面ABC,MNu凡上面ABC,EF；：3P面ABC；

法二：取AD中點G,連接GE、GF,

p

...G、E分別為AD、CD的中點，

...GE《平面ABC,ACu平面ABC,r.GE〃平面ABC.

“G為AD的中點，D為PA的中點，，則PG=3AG，

AAG=iAD=iPA-

24

...PF=3FV即PF=3FB，E/，?SME

AGBF

???GFC平面ABC,AB(Z平面ABC，；.GF〃平面ABC.

因為GEcGF=G，GE、GFU平面GEF,所以平面GEF〃平面ABC,

..EFu平面GEF,所以EF//平面ABC；

（3）過點B作BH,AC，垂足為H,在平面BCD內(nèi)過點B作BO,DU垂足為°，

vPA，平面ABC,BHu平面ABC,...BH±pA.

???BHJ.AC，PAnAC=A，PA、pcu平面PAC，...BHj_平面PAC,

???CDu平面0AC,CD_LBH'

CD_LBO'BOnBH=B'B°、BHU平面B°H’.,CD產(chǎn)面BOH.

：OHu平面B°H,...OHj.CD，則NBOH為二面角B一CD-A的平面角，

由等面積法可得

BH=ABBC

AC2

?；BC_L平面「AB,BDU平面PAB，...BC_LBD，

在RtABCD中，BC=V3'BD=VAD2+AB2=jCD=VAD2+AC2=V5-

由等面積法得一,則

口八BCBDV30vl.

-—

BU=CrnD=二5s-inz.DBCOUH=—BH?工=4

BOvlQ4

因此，二面角B-CD-A的正弦值為；一.

19.解：方案一：選條件①,

因為ZLl+i，所以言4(1+i)(a+i)(i-1+(a+l)i

(a—i)(a+t)a24-1

由于，所以,1々0，解得2__1

手。（a

所以22=—1+291

z

從而

z=2i^=^±L=^±=l+i

Z^+Z22i—33

團(tuán)=j針+*攀

方案二：選條件②,

因為4=l+i,z2=a+2i,(aeR),所以"z2=(1+i)(a+2i)=a-2+(a+29

在復(fù)平面上表示Z'Z?的點為(a—2,a+2),

依題意可知(a-2)+(a+2)+2=0，得a=-「

所以馬=一1+2『1?1_z,+zj

Z-Z*z2-ztz2

從而，

7_ZQ_7+1_TT1_1?：

L————?1

ZJ+ZJ31-33

I^=M+12=V-

方案三：選條件③，

因為z2=a+2『所以％=a-

由Z2+石'=2a=-2，得a=-1

所以Z2=-l+2i,&!,Z1+Z/

—=--十---=--------

ZZ]Z?Z]Zj

從而，

z=^-=—==i=2i=i+i

團(tuán)認(rèn)丫+1?=季

20.解：(])當(dāng)MD重合時,

由余弦定理知，ME=DE=VCD2+CE2-2CD-CE-cosz.DCE=

所以

CD2+DE2-CE2

coszCDE-2CDDE-

因為，所以方

△CDE+zEMN=\sinzEMN=cosrCDE=箸

因為cos4EMN>(F所以,-------------V5i;

cosz.EMN=V1—sin2z.EMN=—

14

因為，所以..

zMEN=李sinzENM=sin(乎-乙EMN)

=sinTcosrEMN-cos^sinzEMN=苦

二在AEMN中，由正弦定理可知，

MNEM

sinzMENsinz.ENM

解得l

MN=—

2

r“易知E到地面的距離,、

h=4+2sing-9=5m

由三角形面積公式可知，

S&EMN=1-MN5=iEMEN.sinf

所以

a=EM.EN

又由余弦定理可知，

MN2=EM2+EN2-2EM-EN-cos->EM-EN

3

當(dāng)且僅當(dāng)F加M一=F"N時，等號成立，所以MN2>^MN

V3

解得「

MN>—

3

答：（1）路燈在路面的照明寬度為、m

（八照明寬度MN的最小值為_

---m

3

21.解:l+C°S(23X-fi1-C0S23X

⑴f(x)=

111

=-[cos(2o)x--)+cos2u)x]

=38s2u)x+—sin2u)x)+cos2u)x]

1V33

=-(—sin2u)x+-COS2(DX)

V31V3

=—(-sin2u)x+—cos2u)x)

yf3n

=-2-sin(2u)x+-).

由題意可知，f（x）的最小正周期T=K

2n'乂丁3>O'???3=V

:，;~~;=T(

[23|

???f(x)=/sin