2021-2022學年青島九年級上冊數(shù)學《第1章 圖形的相似》單元測試卷【含答案】

2021-2022學年青島新版九年級上冊數(shù)學《第1章圖形的相似》

單元測試卷

一.選擇題

1.下列圖形一定是相似圖形的是（）

A.任意兩個菱形B.任意兩個正三角形

C.兩個等腰三角形D.兩個矩形

2.下列兩個圖形一定相似的是（）

A.兩個菱形B.兩個矩形

C.兩個正方形D.兩個等腰梯形

3.如圖，在矩形A8CQ中，點E、尸分別在邊A。、QC上，/XABE^/XDEF,AB=6,AE

D.715

4.如圖：點￡＞在△ABC的邊A8上，連接CZ）,下列條件:

①②/AOC=NACB；?AC2=AD'AB-,@AB-CD=AC'BC.

D.4個

5.在一張縮印出來的紙上，一個三角形的一條邊由原圖中的6CH變成了20小則縮印出的

三角形的面積是原圖中三角形面積的（）

D.1

12

6.一個多邊形的邊長分別為2,3,4,5,6,另一個和它相似的多邊形的最長邊為24,則

這個多邊形的最短邊長為（）

A.6B.8C.12D.10

7.能判定△ABC和△△'B'C相似的條件是（)

A.AB__AC

A，B，:A，C

AB_￡

B.AC=AyCz?且/A=NC'

AB_BC

c.A，B，:A'C'?且

AB__AC

D.?且/B=NB'

A，B，:A，C，

8.如圖，平行于BC的直線。E把△ABC分成面積相等的兩部分，則口的值為（）

AB

9.如圖，在△ABC中，D,E分別是邊A2,AC上的點，DE//BC,AD：DB=2：1,下列

結論中錯誤的是（）

而二

D.AD-AB=AE-AC

BDCE

10.如圖，菱形A8C￡>s菱形AEEG,菱形的頂點G在菱形45。。的8C邊上運動,

GF與A3相交于點"，ZE=60°,若CG=3,A〃=7,則菱形A3CO的邊長為（）

BD

G

A.8B.9C.873D.W3

填空題

11.有一張矩形風景畫，長為90c〃z,寬為60。"，現(xiàn)對該風景畫進行裝裱，得到一個新的矩

形，要求其長、寬之比與原風景畫的長、寬之比相同，旦面積比原風景畫的面積大44%.若

裝裱后的矩形的上、下邊襯的寬都為左、右邊襯的寬都為兒孫那么油=.

12.四邊形A8C。和四邊形ABC。,是相似圖形，點A、B、C、￡＞分別與A、B'、C、。對

應，已知BC=3,CD=2.4,B'C=2,那么C'。'的長是.

13.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別

是3和4及x,那么x的值是.

14.如果兩個相似多邊形面積的比為4：9,那么這兩個相似多邊形周長的比是.

15.如圖，直角三角形紙片ABC,4c邊長為lOcvn,現(xiàn)從下往上依次裁剪寬為4c%的矩形

紙條，若剪得第二張矩形紙條恰好是正方形，那么BC的長度是cm.

16.如圖，已知矩形ABCO中，AB=1,在BC上取一點E,沿AE將△ABE向上折疊，使B

點落在上的F點.若四邊形EFDC與矩形A8CD相似,則AD=.

------V------iD

EL

17.如圖，AB1BD,CD1BD,AB=6,CD=4,8D=14.點P在BO上移動，當以P,C,

D為頂點的三角形與AABP相似時，則PB的長為.

18.如圖，等腰AABC中，AB=AC=5,BC=8,點F是邊BC上不與點8,C重合的一個

動點，直線OE垂直平分8兄垂足為O.當△4CF是直角三角形時，BO的長

為.

19.如圖，在平行四邊形A8CZ）中，AB=3,AD=4y/2>AF交8c于E,交0c的延長線

于尸，且CF=1,則CE的長為.

20.如果一條對角線把凸四邊形分成兩個相似的三角形，那么我們把這條對角線叫做這個凸

四邊形的相似對角線，在凸四邊形48CC中，AB=AC=J§,AD=CD=^,點E、點f

分別是邊A。，邊BC上的中點.如果AC是凸四邊形ABC。的相似對角線，那么所的

長等于.

三.解答題

21.如圖，已知△ABOs/viCE,ZABC=50°,ZBAC=60°,求/AEZ）的度數(shù).

22.小強在地面E處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B,此時E4=21米,

CE=2.5米.已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，請計算出教學樓的高度.（根據(jù)光

的反射定律，反射角等于入射角）

23.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點A、8、C、。均在格點上.

(1)在圖①中，PC：PB=.

(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在43上找一點P,使AP=3.

②如圖③，在BQ上找一點P,使

圖①圖②圖③

24.根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相

似四邊形，相似四邊形對應邊的比叫做相似比.

(1)某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確(直

接在橫線上填寫“真”或“假”).

①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；(命題)

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；(命題)

③兩個大小不同的正方形相似.(命題)

(2)如圖，在四邊形A8CZ)和四邊形ABiGOi中，ZABC^ZAiBiC\,NBCD=N

ABBCCD

B1GD1，T~p~=T7r~='r~n~-求證：四邊形ABC。與四邊形AiB|C0i相似.

AjD?D??v?U?

25.如圖1,將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與44紙較長的邊重合，如圖2,將1張

A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙.

(1)A4紙較長邊與較短邊的比為；

(2)A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由.

26.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,。為CB延長線上一點，E為BC延長線上一點,

且滿足

(1)說明：△A。8s/XEAC；

(2)若NB4C=40°,求ND4E的度數(shù).

27.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、8c的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，/F=N

B.

(1)若A8=10,求F￡>的長；

(2)若AC=BC,求證：ACDESADFE.

B

答案與試題解析

選擇題

1.解：A、任意兩個菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，不符合相似的定義，故不

符合題意；

8、任意兩個等邊三角形，對應角相等，對應邊一定成比例，符合相似的定義，故符合題

意；

C、兩個兩個等腰三角形，無法確定形狀是否相等，故不符合題意；

。、兩個矩形，對應角相等，對應邊不一定成比例，故不符合題意.

故選：B.

2.解：A、兩個菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合

題意：

8、兩個矩形，對應角相等，對應邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意；

C、兩個正方形，對應角相等，對應邊一定成比例，一定相似，故符合題意；

。、兩個等腰梯形同一底上的角不一定相等，對應邊不一定成比例，不符合相似的定義,

故不符合題意；

故選：C.

3.解：V/\ABE^ADEF,

.ABAE

??~~~~二一1,

DEDF

；A8=6,AE=9,DE=2,

.69

??,

2DF

解得：DF=3,

:四邊形ABC。是矩形，

AZD=90°,

22=

???EF=VDE+DFV13-

故選：C.

4.解：①NA=N4,ZACD=ZB,

②；NA=NA,ZADC=ZACB,

：./XACD^^ABC,

③：AC2=AZ>A8,

?.?AC—AB,

ADAC

??NA=NA,

/.△ACD^AABC,

④條件不符合，不能判定△ACOS2XABC,

故選：C,

5.解：’??三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了20小

???原三角形與縮印出的三角形是相似比為3：1,

???原三角形與縮印出的三角形是面積比為9：1,

縮印出的三角形的面積是原圖中三角形面積的2,

9

故選：C.

6.解：設這個多邊形的最短邊長為x,

;兩個多邊形相似，

.24_x

??~~，

62

解得，x=8,

故選：B.

7.解：能判定AABC和△4'B'C相似的條件是￡，且ZB=/4；

ADAv

理由是兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

故選：C.

8.解：'：DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

：DE把aABC分成面積相等的兩部分，

??S/DE=S四邊形O3CE，

.SAADE1

,△ABC2

.AD=￡企

“ABV萬2'

故選：c.

9.解:"JDE//BC,ADtDB=2：1,

/./\ADE^/\ABC,

.DE=AD=2_AD=AE

"BC-AB-T而一而，

.SAADE_,2.2-4

??----------(—),

^AABC39

???A、B、C正確，

故選：D.

10.解：連接AC

??,菱形ABCOs菱形AERG,

AZB=ZE=ZAGF=60°,AB=BC,

.'△ABC是等邊三角形，^AB=BC=AC=a,則3"=〃-7,BG=a-3,

：.ZACB=60°,

,?ZAGB=ZAGH+ZBGH=ZACG+ZCAG,

VZAGH=ZACG=6Q°,

：.ZBGH=ZCAGf

?；NB=NACG,

:?叢BGHs叢CAG,

.BG_BH

**AC-CG，

?a-3a-7

???〃2-10a+9=0,

??.〃=9或1(舍棄)，

：.AB=9f

故選：B.

二.填空題

11.解：根據(jù)題意得

60+2b_60

90+2a-90

解得2a—3b,

,：(60+26)(90+2。)=60X90X(1+44%),

整理得30a+45b+ab-594=0,

OQO

把a^—b代入得3Q'—b+45b+—b'b-594=0,

222

整理得序+606-396=0,解得仇=6,歷=-66(舍去)，

.?.Q=±X6=9,

2

.,.46=9X6=54(cm1).

故答案為54c/n2.

a

bb

a

12.解：??,四邊形ABCOs四邊形A8cO',

：.CD：CD'=BC：B'C,

VBC=3,CD=2.4,B'C1=2,

：.CDr=1.6,

故1.6.

13.解：根據(jù)題意，兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，

??,當6和8為直角邊時，根據(jù)勾股定理可知斜邊為10,

解得犬=5;

34x

當6是直角邊，而8是斜邊，那么根據(jù)勾股定理可知另一條直角邊為2板.

=T*解得

3x4

；.x=5或幣,

故5或J7

14.解：：兩個相似多邊形面積的比為4：9,

???兩個相似多邊形周長的比等于2：3,

這兩個相似多邊形周長的比是2：3.

故2：3.

15.解：在圖中標上字母，如圖所示.

根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知：DE//BC,

：./\ADE^/\ACB,

.BC_AC

??應一而‘

ABAD1AD

整理得，AL^-AD-1=0,

±

AD=-^；

2_

由題意得，

2

17.解：設。P=x,則8尸=8￡>-x=14-x,

?.?AB_L8￡>于8,CDLBD于D,

；.NB=ND=90°,

...當膽典時，△ABPS^CQP,即2J4-x

CDDP4x

解得x=孕，

5

BP=14--=8.4；

5

當組里?時，XABPsXPDC,即2]4-x；

DPDCx4

整理得x2-14x+24—0,

解得xi=2,X2=12,

BP=14-2=12,BP=14-12=2,

.?.當8尸為8.4或2或12時，以C、D、P為頂點的三角形與以尸、B、A為頂點的三角

形相似.

故8.4或2或12.

18.解：（1）當乙4人7=90°時，AF1.BC,

'：AB=AC,

：.BF=—BC：.BF=4

2

YOE垂直平分8F,

：BC=8

：.BD=-BF^2.

"：AB=AC

；.BM=CM

在RtZ\AA/C與RtZXF4c中，ZAMC=ZFAC=90°,NC=NC,

△AMCs"4C,

?AC=MC

,EFC-AC

MC

：AC=5,MC=—BC=4

2

：.FC=—

4

9R7

：.BF=BC-FC=8--=—

44

17

：.BD=—BF=—

28

故2或卷.

19.解：,?,四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AB=CD=3fBC//AD,

?：E為BCk一點、,

：.CE//AD9/FEC=NFAD,/FCE=/D,

.-.△FCE^AFDA,

?CE_CF_CF

**AD-DF-CF-<D，

又???CO=3,CF=1,AO=4?,

:.CE=M，

故

20.解：如圖所示：

???4B=AC,AD=CD,AABC^ADAC,

?,?婚=8。乂。，

???AC=?,AD=-|,

：.CB=29

?：AABC^ADAC,

???ZACB=ZCAD,

J.CB//AD,

*：AB=AC9F為BC中點、,

：.AFLCB,BF=CF=1,

：.ZAFC=90°,

?:CB//ADf

：.ZFAE=ZAFC=90o,

???AC=?,

：?AF=版,

o

VAD=4,E為AD中點,

21.解：VZABC=50°,ZBAC=60°,

???NACB=1800-NABC-NB4c=70°,

*.?XNBDsXNCE,

ARAn

ZBAD=ZCAE,

ACAE

ARAC

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC

ADAE9

：.ZBAC=ZDAE,

:.△BACSXDAE,

：./AED=/ACB,

，NAED=70°.

22.解：根據(jù)題意得NAE8=NCE￡>,

VRtAAEB^RtACED,

.AB_AEHnAB_21

??-，K|J，

CDCE1.62.5

解得：AB=13.44.

答：教學樓的高度為13.44〃?.

23.解：(1)圖1中，

?：AB//CD,

.PC=CD=1

故答案為1：3.

②如圖3所示，作點A的對稱點A',

連接4'C,交8。于點P,

點P即為所要找的點，

■:AB//CD,

：.XAPBsXCPD.

24.(1)解：①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等;

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例；

③兩個大小不同的正方形相似，是真命題；

故假，假，真；

(2)證明：如圖，連接B。，BXD\.

-BCCD

'：ZBCD=ZB\C\D\,且~^7=C]DJ

：.ZCDB=ZC\D\B\,ZCiB]￡)i=ZCBD,

..AB_BC_CD

?A/]-BRi飛業(yè)J

BD_AB

,?B7D7-M7,

"/N4BC=/4B￡,

???△A8D?△ABO，

ZA=ZAZADB=Z

I'A1D1B1,

?.?品=鬲二法磊'ZADC=ZA1D1C1^=^'>/ABC=/A閏C”

NBCD=NBCDI，

：.四邊形ABCD與四邊形A\B\C\D\相似.