一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-《2022屆新高考（全國I卷）地區(qū)數(shù)學(xué)試卷分項解析》 【解析版】

《2022屆新高考（全國工卷）地區(qū)優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)試卷分項解析》

專題4一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（11月卷）

一、單選題

1.（2021?江蘇省泰興中學(xué)高三期中）函數(shù)/（幻=誓區(qū)的部分圖象為（）

2+cosx

【答案】C

【分析】

根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得"X）為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出/（*）的零點不是極值點，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

/（X）為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，排除AB.

3sinx6cosx+3]_

x>0時,/(x)==0,cosx=-

2+cosx(2+cosx)22

???/（x）的零點不是極值點，排除D,

故選：C.

2.（2021?福建師大附中高三期中）設(shè)函數(shù)/（幻=旄1則（）

A.x=-l為/（x）的極大值點且曲線y=/（x）在點（OJ（O））處的切線的斜率為1

B.x=l為f（x）的極小值點且曲線y=/（x）在點（OJ（O））處的切線的斜率為2e

C.x=-l為f（x）的極小值點且曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線的斜率為1

D.x=-l為f（x）的極小值點且曲線y=/（%）在點（0J（O））處的切線的斜率為2e

【答案】C

【分析】

對函數(shù)〃x）求導(dǎo)，求事函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出其極值點，由/（0）=1,可得到在點（0,7（0））處的切

線斜率.

【詳解】

解：因為/(X)=xex,所以f'(x)=ex+xex={x+l)e*,

令廣。)>0,解得x>-l,令/'(x)<0,解得x<—l,

/(%)在(7,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,y)上單調(diào)遞增，

=是函數(shù)/(x)的極小值點，

又一(0)=1，則曲線V=f。)在點(0,7(0))處的切線斜率為1,

故選：C.

3.(2021?河北?高三月考)已知函數(shù)/C^nZlV+x+D+sinx,貝!j/(-x)+/(3x-2)<4的解集為()

A.(y,l)B.(!,+<?)C.(-8,2)D.(2,+00)

【答案】A

【分析】

設(shè)g(x)=/(x)-2=2x、+2x+sinx,然后可得函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，然后不等式

/(—x)+/(3x—2)<4可化為g(—x)<g(-3x+2),然后可解出答案.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x)-2=2x3+2x+sinx,可得函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

g'(x)=6*2+2+cosx>0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

/(t)+/(3x-2)<4n/(-x)-2<(3x-2)+2ng(-x)<-g(3x-2)ng{-x)<g(-3x+2),

所以—x<—3x+2x<1.

故選：A

4.(2021?湖北?高三期中)已知函數(shù)，(耳=工奴3-/+以(。>0且aw1,8>0)的一個極值點為2,則』+■!■

32ab

的最小值為()

A.1B.2

44

8

C.-D.7

5

【答案】B

【分析】

求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，由給定極值點可得“與。的關(guān)系，再借助“1”的妙用求解即得.

【詳解】

對〃x)=ga?_x2+bx求導(dǎo)得：f'^^a^-2x+b,因函數(shù)/(力的一個極值點為2,

則廣(2)=4a-4+b=0,

2

止匕時，b--4a+4,f'(x)=ax2-2x—4。+4=a(x-2)(x4-2)-2(x-2)=a(x-2)(x+2——),

a

i9

因〃。5，即2W2,因此，在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域f(x)值一正一負(fù)，2是函數(shù)〃力的一個極值點，

則有4。+匕=4,又。>0,b>0,

于是得L+L=L(4a+b)(2+3=1(5+2+色)21(5+21曰當(dāng))=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)，即〃=2〃=：時取

ab4ab4ab4\ab4ab3

“一，，

所以上1+1:的最小值為92.

ab4

故選：B

5.(2021.山東日照.高三月考)已知/'(X)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，且對任意的實數(shù)x都有

r(x)=er(2—2x)—/(x),40)=8則不等式〃x)<0的解集是()

A.(-2,4)B.(-oo,0)U(2,+oo)

C.(Y)T)U(2,+OO)D.(-<?,-2)U(4,+OO)

【答案】D

【分析】

構(gòu)造新函數(shù)g(x)=e"(x),求出g'(x)后由導(dǎo)函數(shù)確定g(x),注意可得g(0)=8,從而得出的解析式,然

后解不等式即可.

【詳解】

設(shè)g(x)=e"(x),g(0)=e*7(0)=8,

因為/'(x)=尸(2-2x)-/(x),所以f\x)+f(x)=fx(2-2x),

所以g'(x)=e"(x)+e/(x)=e'(f(x)+f'(x))=2-2x.

因此g(x)=2x—x?+c,g(0)=c=8,所以g(x)=—x?+2x+8,

—x2+2,x+8

/￡W=-----v----

e

不等式f(X)<0即為7+2E<0x2-2x-S>0,解得xv—2或x>4.

e'

故選：D.

\nx+xx>0../、/、

6.(2021.山東德州.高三期中)已知函數(shù)〃力=，-(2x+9l)e，+W0,g(x)="x)一…?若g⑺存在三個

零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

<2C3\

A.0,”B.0,2”

/

/_2\(_3\

C.o,2e《D.0,「5

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，當(dāng)x>0時，g(x)=/(x)-x-a有一個零點，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)xMO時，-(2x+l)e，=a有

兩個實數(shù)根，再研究函數(shù)Mx)=-(2x+l)etxM0即可得答案.

【詳解】

解：因為g(x)存在三個零點，所以方程〃x)=x+a有三個實數(shù)根，

因為當(dāng)x>0時，由/(x)=x+a得lnx=a,解得x=e",有且只有一個實數(shù)根,

所以當(dāng)xVO時，〃x)=x+a有兩個實數(shù)根，即—(2x+l)e*=a有兩個實數(shù)根,

所以令6(工)=一(2犬+1)6*,》40,則〃'(x)=-(2x+3)e*,x?0,

所以當(dāng)》<一]時，〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

-1]—~<x<0tbj*,/f(x)v0,力(x)單調(diào)遞減，

因為X->Y,〃(X)T0,〃(0)=-1,MA"=〃(-|)=2e2>0,

所以〃(x)=-(2x+l)e\x40的圖象如圖所示，

所以一(2x+l)e、=a有兩個實數(shù)根，則a/o,2e.[

故選：B

7.(2022山東德州?高三期中)已知函數(shù)〃x)=x2+l,g(x)=sinr,如圖所示，圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能

是()

y

A.y=/(x)+g(x)-iB.y=/(x)-g(x)-l

c.y=/(x)g(x)D.

【答案】D

【分析】

首先根據(jù)題意得到函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所求函數(shù)為奇函數(shù)，對選項A,B所給的函數(shù)為非奇非偶函數(shù),

故排除A,B；對選項C,利用y=f(x)g(x)的單調(diào)性即可判斷C錯誤.

【詳解】

因為函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以所求函數(shù)為奇函數(shù).

對?選項A,y=/(x)+g(x)-l=x2+sinx,為非奇非偶函數(shù)，故排除A,

對選項B,y=/(x)-g(x)-l=x2-sinx,為非奇非偶函數(shù)，故排除B,

對選項C,設(shè)A(x)=f(x)g(x)=sinx(x2+l),定義域為R,

=sin(-x)[(-x)-+1]=-sinx(x2+1)=,

所以函數(shù)力(x)=f(力8(0=5指了任+1)為奇函數(shù)，

//(x)=cosx(x2+l)+2xsinx,

時，/i,(x)=cosx(x2+l)+2xsinx>0,力(x)為增函數(shù)，

而函數(shù)圖象在先增后減，故C錯誤.

故選：D

8.(2021?山東煙臺?高三期中)已知函數(shù)y=lnx(l<x<e)的圖象上存在點尸，函數(shù)y=+c的圖象

上存在點。，且P、。關(guān)于X軸對稱，則實數(shù)C的取值范圍為()

A1+B1+-1c

-[pi?]-_^T]-[PT-1]DJI，I+豆

【答案】c

【分析】

令〃x)=lnx-gf+c,由題意可知/(x)在1,e上有零點，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的零點即可求解

【詳解】

2

令M=lnx,,y2^-^x+c,

因為必，%上存在關(guān)于*軸對稱的點，

所以In毛=+c),則In/+c=0,

令/(x)=lnx-gx2+c,要使有對稱點，則在e上有零點，

當(dāng)xe時，r(x)>0,〃x)在口上單調(diào)遞增，

當(dāng)e］時,當(dāng)(x)<0,f(x)在［1,e］上單調(diào)遞減,

所—〃i)=T，

X/^=-l-^-+c?-l-07+c,/(^)=l-^e2+c?-2.7+c,

所以〃￡U=/(e)，

要使f(x)在%/(x)而=〃1)之。

e上有零點,

J(xL,=〃e)4。

—NO1],

即.1，^^—<c<—e2-1,

l--e2+c<0-

2

故選：C

9.(2021?山東師范大學(xué)附中高三期中)已知定義域為R的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且

f'(x)=2xe'+f(x),若/⑴=e,則函數(shù)g(x)=/(x)-4的零點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

由r(x)=2xe'+f(x),構(gòu)造函數(shù)上，根據(jù)"l)=e,求得/(x)=xV,進(jìn)而得到g(x)=/心-4,利用

e

導(dǎo)數(shù)法求解.

【詳解】

因為/'(x)=2xex+/(%),

所以廣(x)—/(x)=2xe*,

則(與)'JM)7(X)=2X，

所以第=X?+C,即/(x)=(d+c)e*,

因為〃l)=e,

所以/(l)=(l+c)e=e,解得c=0,

所以=

則g(x)=U,

所以g'(x)=eXx+2),

當(dāng)x<—2或x>0時，g'(x)>0,當(dāng)一2<x<0時，g'(尤)<0，

所以當(dāng)x=-2時，函數(shù)g(x)取得極大值-l)<0,

當(dāng)x=0時，函數(shù)g(x)取得極小值-4<0,

又當(dāng)Xf+co時，g(x)-+oo,

所以函數(shù)g(x)=〃x)-4的零點個數(shù)為1,

故選：B

10.(2021?山東濰坊?高三期中)若函數(shù)/(乃=(/+如+2)?在R上無極值，則實數(shù)。的取值范圍()

A.(-2,2)B.126,2⑹

C.[-262司D.[-2,2]

【答案】D

【分析】

求/'(》)=1+(。+2卜+。+2k*,由分析可得丫=刀2+(4+2戶+4+220恒成立,利用△40即可求得實數(shù)

。的取值范圍.

【詳解】

由/(*)=(丁+ca+2>e"可得

尸(x)=(2x+a〉e*+(f+ax+2)-e'=[x?+(a+2)x+a+2}e],

e*>0恒成立，y=/+(a+2)x+a+2為開口向上的拋物線，

若函數(shù)f(x)=(x2+ar+2)-e’在R上無極值，

則了=丁+(4+2)、+。+22()恒成立，所以△=(a+2『一4(a+2)40,

解得：-2<a<2,

所以實數(shù)。的取值范圍為[-2,2],

故選：D.

11.(2021.山東聊城.高三期中)關(guān)于函數(shù)f(x)=ae*-cosx,刀式一久萬)，下列說法錯誤的是()

A.當(dāng)。=-1時,函數(shù)f(x)在(一匹乃上單調(diào)遞減

B.當(dāng)4=1時，函數(shù)“X)在(一匹1)上恰有兩個零點

C.若函數(shù)/(X)在(一巴乃)上恰有一個極值，則4=0

D.對任意a>0,20恒成立

【答案】D

【分析】

分別在一萬<x〈O和0<x<兀得至IJ/'(x)<0,由此可知A正確；

在平面直角坐標(biāo)系中作出y=，與y=cosx圖象，由圖象可確定B正確；

將問題轉(zhuǎn)化為。=-華在(-萬,乃)上恰有一個解，令g(x)=-當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)可確定g(x)單調(diào)性并得到

ee

其圖象，數(shù)形結(jié)合可確定a=0,C正確；

令a=l,由B中結(jié)論可確定D錯誤.

【詳解】

對于A,f(x)=-e'-cosx,則/'(x)=sinx-e",

當(dāng)一萬<x40時，sinx<0,e*>0,，/'(x)<0,r./(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<x<7i時，sinx<1,el>1,，r(x)<0,r./(x)單調(diào)遞減；

綜上所述：/(x)在(-巴編上單調(diào)遞減，A正確；

x

對于B,/(x)=e'—cosx,令f(x)=0,得：e=cosx；

在平面直角坐標(biāo)系中，作出丫=爐與丫=。。$》的圖象如下圖所示,

y

由圖象可知：當(dāng)-T＜x＜乃時，y="與y=cosx有且僅有兩個不同交點,

二函數(shù)f（x）在（-乃，））上恰有兩個零點，B正確;

對于C,由f(x)=ae*-cosx得：/7(%)=aex+sinx,

若〃x）在（一］，））上恰有?個極值，則（（x）在（-乃㈤上恰有一個變號零點,

即a=-斐在（-乃,萬）上恰有一個解,

令g(x)=-詈(-萬―),則小)=-cosx+sinx

當(dāng)xe卜肛-弓）U（（,左）時,g,（x）＞0；當(dāng)xe（一,總時,

g'(x)<0；

二g（x）在卜巴-,），%，兀上單調(diào)遞增，在（-當(dāng)，?）上單調(diào)遞減,

又g（r）=O，g（O）=O,g（〃）=0,可得g（x）大致圖象如下,

若a=-要在（-乃，乃）上恰有一個解，則a=0,

此時函數(shù)/（x）在（-乃，萬）上恰有一個極值，C正確;

對于D,當(dāng)。=1時，山B選項可知，現(xiàn)€（-萬,0）‘使得e""=cos/,

x

當(dāng)xw（%,0）時,e<cosx.即f（x）=e*-cosxcO,D錯誤.

故選：D.

12.（2021.山東臨沂.高三期中）設(shè)函數(shù)y=/（x）在區(qū)間。上的導(dǎo)函數(shù)為用x）,用x）在區(qū)間。上的導(dǎo)函

數(shù)為g（x）,若在區(qū)間。上，g（為<0恒成立,則稱函數(shù)“X）在區(qū)間。上為"凸函數(shù)''.已知實數(shù)，〃為常數(shù)，

y（x）=《-這-3/，若對滿足|加區(qū)1的任何一個實數(shù)〃?，函數(shù)〃x）在區(qū)間（。力）上都為“凸函數(shù)”，貝姐-〃

的最大值為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

由題設(shè)知對任意帆41,在（口⑼上有g(shù)（x）=x2-znr-6<0恒成立，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)=-g+/-6<0在

-l</w<l匕恒成立求X的范圍，進(jìn)而確定匕-4的最大值.

【詳解】

32

由題設(shè)，/,（x）=y--^--6x,則g（x）=f一如一6,

，對任意,在（。力）上有g(shù)（x）=--爾-6<0恒成立，

令h（m）=-mx+\2-6<0在一14加41上恒成立，

/z(-l)=x2+x-6<0

可得一2<x<2,

/I(1)=X2-X-6<0

：.a>-2,b<2,故方—a的最大值為4.

故選：A

13.（2021?福建省福州第一中學(xué)高三期中）若對任意的王，%,?人物），且占<電，都有紀(jì)詠玉嶼<2,

X2~X\

則加的最小值是（）

13

A.-B.eC.1D.一

ee

【答案】A

【分析】

InX,+2InX.+2[nx+2

己知不等式變形為一一<—!—，引入函數(shù)/(x)=——,則其為減函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出〃x)的減區(qū)間

后可加的最小值.

【詳解】

x.InX)—Inx.一

==

因為0<%v%2，所以由------------v2可得％Jn2,一X,Inxx<2x^-2xt,

工2一工1

Inx2+2Inx+2

XjInx2+2xt<x2Inx1+2x2,艮|]--------<--------.

所以J”x+2在(m,+8)|二是減函數(shù)，

x

「，,.l-(lnx+2)lnx+1

JW=--------2------=--------，

XX

當(dāng)0<x<1時，r(x)>0,〃x)遞增，時，r(x)<0,/(X)遞減，

ee

即〃X)的減區(qū)間是(L+8),

e

所以由題意加的最小值是1.

e

故選：A.

14.(2021?重慶?臨江中學(xué)高三月考)定義方程〃x)=/'(x)的實數(shù)根號叫做函數(shù)f(x)的“躺平點”.若函數(shù)

g(x)=hu,〃(x)=x3-i的“躺平點”分別為a,夕，則a,4的大小關(guān)系為()

A.a>PB.a>pC.a</3D.a</3

【答案】D

【分析】

對g(x)=lnx求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-J研究其單調(diào)性和零點，利用零點存在性定理求出ae(l,e)：同

樣的方法求出尸G(3,4),得到答案.

【詳解】

80)=111%定義域為(0,+(?),g[x)=J,由題意得：lna='，令f(x)=lnx-1，xe(0,+oo),則夕為函數(shù)

f(x)=lnx—的零點，，'(x)=—?—7>0>所以f(x)=lnx—在xe(0,+oo)上.單調(diào)遞增，乂f⑴=—1<(),

XXXX

z(e)=l-l>0,由零點存在性定理,ae(l,e).

另外〃(x)=d-i,h'(x)=3x2,由題意得：『-1=3儼,令s(x)=V—1—3f,則夕為函數(shù)s(x)=d—l—3f

的零點，s'(x)=3f-6x,令s'(x)>0得：x>2或x<0,令s'(x)<。得：0<x<2,所以5(%)=V一1一3f單

調(diào)遞增區(qū)間為(9,0),(2,一)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),s(x)在x=0處取得極大值，s(0)=T<0,在x=2

處取得極小值，故s(x)在(9,2)上無零點，因為函數(shù)在(2,物)上單調(diào)遞增，且s(3)=27-l-27<0,

5(4)=64-1-48>0,山零點存在性定理：4?3,4)

所以

故選：D

log2x-2x,x>0

15.(2021?江蘇泰州?高三期中)函數(shù)/(x)hsin(69X+yL-^<X<0有且僅有2個零點，則正數(shù)。的取值范

圍是()

(47][47]一(471[47一

A.—B.—C.—D.

[33j[33)(33)133」

【答案】B

【分析】

先利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)x>0時，/(x)=bg2X-2x沒有零點，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)研究-乃4x40時,

，(x)=sin(0x+?)有且僅有兩個零點問題，進(jìn)而得答案.

【詳解】

解：當(dāng)x>0時，/(x)=log,x-2x,/'(x)=—-2,令/'(x)=0得

xln22In2

所以當(dāng)0<*<全時，/(力>0,〃x)=log2x-2x單調(diào)遞增，

當(dāng)時,/'(x)<0,〃x)=log,x-2x單調(diào)遞減,

由于X=當(dāng)0<X<1時，/(x)=log,x-2x<0,

21n2In4

所以“X)極大值=/[壺)<°，即當(dāng)x>0時.，〃%)=地2萬—2》沒有零點?

所以當(dāng)-;74x40時，/(x)=sin1<yx+/)有且僅有兩個零點，

冗冗冗

由于一;rWxWO時，-7TC0+—<CDX+—<—,

T[TT7T

所以函數(shù)》=$皿》(-7ra>+—<(ox+—<—)有且僅有兩個零點，

兀47

所以一24<<一萬,解得—<C0<—

「47、

所以正數(shù)0的取值范圍是自向

故選：B

16.(2021?江蘇泰州,高三期中)已知函數(shù)〃x)=e'-eT-2sinx,則關(guān)于x的不等式/(丁-3)+/(2x)<0的

解集為()

A.(—3,1)B.(—1,3)C.3)<J(l,+oo)D.[—1,3]

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意可判斷函數(shù)/(x)=e'-e7-2sinx為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而根據(jù)奇偶性與單調(diào)性解不等式

即可.

【詳解】

解：函數(shù)〃司=/-6-*-2而》的定義域為/?,

f(-x)=e-x-eA-2sin(-x)=ex-e'+2sinx=-/(x),

所以函數(shù)/(%)=e*-e-"-2sinx為奇函數(shù)，

因為/'(x)=ev+e-v-2cosx>2-2cosx>0,

所以函數(shù)/(%)=e'-e-“-2sinx在R匕單調(diào)遞增，

所以f(x2-3)+〃2x)<0=f(x2-3)<-/(2x)=〃-2x),

所以*2一3<-2X，即X2+2X_3<0,解得-3<X<1

所以不等式/任-3)+〃2力<0的解集為(一3,1)

故選：A

17.(2020?河北?唐山一中高三期中)已知/(X)是可導(dǎo)的函數(shù)，且/'(x)<〃x),對于xeR恒成立，則下列

不等關(guān)系正確的是()

A./(l)>ef(O),/(2020)<e2O2°/(0)B./(1)>^(0),/(l)>e2/(-l)

C./⑴<蟲0),/(1)<^2/(-1)D./(l)>ef(O),/(2O2O)>e2rao/(O)

【答案】C

【分析】

構(gòu)造新函數(shù)g(x)=2?,求導(dǎo)后易證得g(x)在R上單調(diào)遞減，從而有g(shù)(l)<g(O),g(2020)<g(0),

e

g(D<g(-l),故而得解.

【詳解】

設(shè)g(x)=卒，

e

則g(x)J(x)”,

e

?.?/'(x)</(x),

g(x)<0,

即g(x)在R上單調(diào)遞減，

g(D<g(0),

即&<平，

ee

即/⑴<e/(0),故選項A不正確；

g(2020)<g(0),

/(2020)/(O)

即f(2020)<e2027(0),故選項D不正確;

g(D<g(-D,

即&<21^2,Bp/(l)<^/(-l).

ee

故選項B不正確；

故選：C.

18.(2021?河北?唐山一中高三期中)己知奇函數(shù)式x)的定義域為(-1e),且/'(X)是./U)的導(dǎo)函數(shù).若對任意

TTTT

xe(-5,0),都有/''(x)cosx+/(x)sinX<0,則滿足/.(6)<2cos(9?/(])的，的取值范圍是()

/7171、_.71兀、/471、

A.(六,？B.(一于一])5§節(jié))

c.(44)D.邑芻

3332

【答案】D

【分析】

令g(x)=3,先判斷函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，再判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(-g,令上單調(diào)遞減，由

cosx22

/(0)<2cos0?/(!),得g(9)<gg),即可求出.

【詳解】

令g(x)=^^，xe(-J,9),

COSX22

???f(x)為奇函數(shù)，y=cosx為偶函數(shù),

g(x)為奇函數(shù).

?.?Vxe(-y,0),有f'(x)cosx+/(x)sinx<0,

3(上也丘學(xué)^<0,

cosX

TT

.?.g(x)在區(qū)間(一萬，o)上單調(diào)遞減，又g(x)為奇函數(shù),

???g(x)在區(qū)間(《，,上單調(diào)遞減，

當(dāng)g),cosx>0,

jr

?.?/(0)<2cos0-/(y))

.f(。):嗎)

cos0c…os—兀

3

〈嗎)，

冗~71

??.一<8<一

32

故選：D

19.(2021?福建寧德?高三期中)當(dāng)x>l時，(4左-1-lnx)x<lnx-x+3恒成立，則整數(shù)k的最大值為()

A.—2B.—1C.0D.1

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為(膽+lnx+3)在(1,內(nèi))上恒成立，Tgg(x)=—+lnx+-,x>l,求得

g，(x)=Y=,令夕(x)=x—Inx—2,求得d(x)>0,單調(diào)。(x)=0在(1，田)上僅有一個實數(shù)根，設(shè)為看,

根據(jù)g'(3)<0,g'(4)<0,得到與e(3,4),將ln%=x°-2代入得到g(x)1nM=/+'-1,%€(3,4),即可求解.

【詳解】

因為當(dāng)x>l時，(4攵一1-lnx)x<lnx-X+3恒成立，

可得&<，(也+lnx+3在(1,E)上恒成立，

4xx

不妨設(shè)g(x)=^+lnx+[,x>l,可得g，(x)=A-：；-2,

令夕(x)=x-lnx-2,可得d(x)=l-4=±」>0,所以9(x)在(L+oo)上單調(diào)遞增，

因為奴1)=-1<(),°(4)>(),所以8(x)=0在(1,轉(zhuǎn))上僅有一個實數(shù)根，設(shè)為%,

所以當(dāng)了€(1,%)時，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(%,*?)時，g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以gaU*=8(%)=^^+1!1%+3,

X。X。

因為8'(3)=^^<0,8'(4)=^^<。，所以/e(3,4)，且%-2+3=0,

99x()

3x—2]

將lnXo=Xo-2代入可得g(x)而n=8(%)=%-2+—+」一=%+——l,xoe(3,4),

X()X。X()

因為/=%+-!--1在(3,4)上單調(diào)遞增，所以松(!，上)，

為34

1713

所以;gO—(臺靜，因為％為整數(shù)，所以％40.

故選：C.

20.(2021?福建省泉州第一中學(xué)高三期中)已知函數(shù)f(x)=log3(9v+l)-x,設(shè)

4==/'°)，C=：^0nio),則“也C的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<a<c

【答案】C

【分析】

/9、/9X

判斷出f(x)奇偶性和單調(diào)性，得b=f=f,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*-X-1,利用導(dǎo)數(shù)求最值得

\J\J

e、>x+l(xwO)判斷尻a的大小，構(gòu)造f(x)=lnx-x+l(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求最值得lnx<x-l(xrl),判斷c、

的大小可得答案.

【詳解】

v

/(x)=log.,(9+l)-x=log3(3,+3-，)(xeR),

.,?/(-x)=log,(3*+3-*)=/(x),〃x)為偶函數(shù)，

令y=3,+3"，設(shè)%々>0,

貝IJX-必=3』一3七+3』一3』=(3』一3不

(OA)+X>_］、

因為占一々>0,西+%>0,3**2>1，所以(3，-3-“多?「0,

所以%>%，所以)，=3"+3一，在(0,田)是增函數(shù)，又f(x)=log3X為增函數(shù)，

所以“X)=log,(3^+3T)在(0,+8)上為增函數(shù)，

/9\/9\

所以人=/一)而=f/歷,

\/\/

由g(x)=F—x—l,得g<x)=e*-l,

當(dāng)x>0時g'(x)>0；當(dāng)x<0時g'(x)<0,所以g(x)Ng(O)=O,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，

所以e*>X+1(XH0),

_291

故￡1°>------F1=—,即力>",

1010

令/(x)=lnx-x+l(x>0),rz(x)=--1=-~-(x>0),

當(dāng)x>l時，(x)〈0；當(dāng)Ovxvl時，'(x)>0,所以f(x)〈(l)=0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，

.1M.1111111.

..InA,<x—1),..In—v-----1——.a>c.

v7101010

綜上力>〃>c.

故選：c.

21.(2021?江蘇?金陵中學(xué)高三期中)設(shè)a=20211n2019,Z?=2020In2020,c=20191n2021,則()

A.a>b>cB.ob>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】A

【分析】

比較大小，轉(zhuǎn)化為比較喘詈，黑當(dāng)大小，構(gòu)造函數(shù)f（x）=半，通過求導(dǎo)判斷/*）的單調(diào)性，可得

20202021x+1

出。泊大??；比較4C大小，轉(zhuǎn)化為比較?黑,喘M，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2V，求導(dǎo)判斷g（x）單調(diào)性，得

20192020x-1

到出Ac大小，即可得出結(jié)論.

【詳解】

11

11tH---Inx

設(shè)〃x)=等,r(*)=「?,

x+\(x+1)-

當(dāng)xe[e2,-H?）時，/,（X）＜O,/（X）在[°2,+8）上單調(diào)遞減,

/(2019)>/(2020),即鬻〉嗡

2021In2019>2020In2020,所以a>b；

[1,

、門i1----Inx

V

以g(x)=E,g'(x)=2

x-1(x-1)

當(dāng)xeGm）時，g'（X）＜0,g（X）在[e[,+8）上單調(diào)遞減,

……），即端〉嗤

2020In2020>2019In2021,所以>>c,

所以”>b>c.

故選：A.

x+l,x<0,

22.（2021?河北?衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）已知/（x）=.八右

smx,0<x<^,

/(Xl)=/(X2)=/(X3),XI<X2<X3>則2玉+2X2+3X3+2的最大值是()

cC5》r.17"

A.3萬B.2+——C7D.1+——

26

【答案】C

【分析】

利用數(shù)形結(jié)合，畫出了（X）的圖像可得馬+毛為定佰，再將2玉+2々+3匕+2轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的函數(shù)，最后利用

求導(dǎo)求出2%+2々+3當(dāng)+2的最大值.

【詳解】

如圖作出〃x）的圖象,

依題意，X]+l=sinx2=sinx3,注意到々+毛="，=sinx3-l,

因此2玉+2X2+3X5+2=￡+2sinx3+2萬,其中不￡(多乃)

設(shè)g(x)=x+2sinx+2;r,g'(x)=l+2cosx,當(dāng)、6(于可卜時g'(x)>0,當(dāng)時g，(x)<0,

因此g(x)在(不等)上單調(diào)遞增，在(年上單調(diào)遞減，

則g(x)€(3〃,6+?,

即2芭+2々+3當(dāng)+2的最大值為5/3+y

故選：C.

23.(2021?廣東福田?高三月考)己知a,h,c￡(0,1)，且/—21n?！?=-----,Z?2—2In/?—1=—,c2—21nc-1=------,

3e7V

貝|J()

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】

令/(x)=f—21nx—l,即可得至lj〃a)=孚，〃b)=L/(c)=—,利用導(dǎo)數(shù)說明〃x)在(0,1)的單調(diào)

性，再令g(x)=lu,利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可得到叱<塔<L從而得到/(c)<”a)<y?,即

x715e

可得解；

【詳解】

解：令/(x)=f-21nx-l,(x>0),所以f(a)=a2-21na-l=浮，f(b)=b2-2\nb-l=-,

/(c)=c2-21nc-l=—,所以r(x)=2x-2=2(x+l)(xl),因為a,6,。€(0,1),所以當(dāng)xe(0,l)時

71XX

/(x)<0,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,令g(x)=W，(x>0),則/(力=上要，所以當(dāng)x?0,e)時,

g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)XW(e,4<?)時,g'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，所以g(x)在x=e處取得極大值即

最大值，g（工心=g（e）=J,因為乃>3>e,所以?<?<一，即/（c）<7（a）</（》），所以c>a>。,

故選：D

二、多選題

Y-4-1

24.（2021?湖北?高三期中）已知函數(shù)/（x）=lnx-^—,下列結(jié)論成立的是（）

X-]

A.函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)無極值

B.函數(shù)〃x）在點A（2J（2））處的切線方程為y=|x+ln2-8

C.函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)有且僅有一個零點

D.函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)有兩個零點占，X?,且西?迎=1

【答案】ABD

【分析】

求出定義域與導(dǎo)函數(shù)可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B；利用函數(shù)單調(diào)性以及零點存在性定理可判斷

C：根據(jù)選項C可判斷D.

【詳解】

A,函數(shù)〃x）=lnxY--4-31定義域為（0,1）11（1,田），

x-1

\1x-l-（x+l）12

/（x）=--------\,、=_+----T>0,

（X-1）2X（X-1）2

，了（"在（0,1）和（1,例）上單調(diào)遞增，則函數(shù)/（同在定義域內(nèi)無極值，故A正確;

B,山小）=?高廣則/⑵

2-|-1

X/（2）=ln2--=-3+ln2,

，函數(shù)〃力在點A（2J（2））處的切線方程為y+3-ln2=|（x-2）

即y=gx+ln2-8,故B正確；

C,,??/（X）在（L+oc）上單調(diào)遞增，

p工（、.e+][e+1—2

又/（e）=Ine-----=1------=----<0,

e-le-1e-1

2\i2e+1△e~+l3

/1片/=ln/一/--_-]=2一一/：—一]=-/：一—1>0,

所以函數(shù)/(X)在(el)存在/,使/(Xo)=lnx。-鋁=0,

X。-1

111八1I

又'T<一<一，即0<一<1,

ex(}e/

即,為函數(shù)〃X)的一個零點，所以函數(shù)“X)在定義域內(nèi)有兩個零點，故C錯誤.

玉)

1

D,由選項C可得占=一,所以x「w=l,故D正確.

故選：ABD

25.(2021?山東泰安?高三期中)已知函數(shù)f(x)=x+2tanx,其導(dǎo)函數(shù)為/(x),設(shè)g(x)=/'(x)cosx,則()

A.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B.f(x)在R上單調(diào)遞增

C.2萬是g(x)的一個周期D.g(x)在(。e)上的最小值為2及

【答案】AC

【分析】

對A：求出f(x)的定義域，再利用奇偶性的定義判斷即可；

對B：利用/。)的導(dǎo)數(shù)可判斷;

對C：計算g(x+2萬)，看是否等于g(x)即可;

對D：設(shè)f=cosx,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可得最值.

【詳解】

f(x)=x+2tanx的定義域是1Ix^|+^Jez|,其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，

且f(-x)=T+2tan(-x)=-x-2tanx=-(x+2tanx)=-f(x),

所以/(x)是奇函數(shù)，所以/(幻的圖象關(guān)于原點對稱，故A項正確；

，2,2

由/*)=x+2tanx,得/'(幻=1+———,貝i」g(/)=f\x)cosx=cosx+----.

cosxcosx

/。)=1+^^>0恒成立，所以“X)在+版■,^+版](%€2)上單調(diào)遞增，并不是在R上單調(diào)遞增,

cos'xk22J

故B項錯誤；

2

由g(x)=cosx+----,得函數(shù)g(x)的定義域是

COSX

2

[xlxw：+A),k￡z|g(x+2;r)=cos(x+2；F)+—zx=cosx+-^―=g(x),IjJjiEfiffi；

[2Jcos(x+27r)COSX

設(shè)，=cosx,當(dāng)時，fw(O,l),

此時〃⑺=g(x)=r+：，fe(O，D，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，〃⑺在(0』)上單調(diào)遞減，

.?.g(x)>〃⑴=3,故D項錯誤.

故選：AC.

26.(2021.福建寧德?高三期中)已知函數(shù)f(x)=e*cosx,則下列有關(guān)/a)的敘述正確的是()

7T

A.在x=0處的切線方程為y=x+IB.在一萬,0上是單調(diào)遞減函數(shù)

C.x=?是極大值點D.在-法上的最小值為0

【答案】ACD

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可判斷B；利用極大值點的

定義可判斷C；利用極值以端點值可判斷D.

【詳解】

/(x)=excosx,/.(x)=excosx-eKsinx="(cosx-sin