2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高三上冊(cè)第一次調(diào)研數(shù)學(xué)模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高三上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)模擬試題本試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1．試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B鉛筆涂在答題卡上，第Ⅱ卷用黑色鋼筆、簽字筆在答題卡上作答；2．質(zhì)量監(jiān)測(cè)時(shí)間120分鐘，全卷滿分150分．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．的實(shí)部為 D．的虛部為3．在中，點(diǎn)D是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則，的值分別是（

）

A．2， B．2， C．2， D．4，5．在數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)與之間插入一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)，記構(gòu)成的新數(shù)列為，若，則前65項(xiàng)的和為（

）A． B．-13 C． D．-146．冬季是流感高發(fā)期，其中甲型流感病毒傳染性非常強(qiáng)．基本再生數(shù)與世代間隔是流行病學(xué)基本參考數(shù)據(jù)．某市疾控中心數(shù)據(jù)庫(kù)統(tǒng)計(jì)分析，可以用函數(shù)模型來(lái)描述累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)隨時(shí)間t，（單位：天）的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長(zhǎng)率與基本再生數(shù)和世代間隔T之間的關(guān)系近似滿足，根據(jù)已有數(shù)據(jù)估計(jì)出時(shí)，．據(jù)此回答，累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)增加至的3倍至少需要（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天7．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作，K為垂足．設(shè)，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，圓，若直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與圓存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．某校舉行演講比賽，6位評(píng)委對(duì)甲、乙兩位選手的評(píng)分如下：甲：7.5

7.5

7.8

7.8

8.0

8.0乙：7.5

7.8

7.8

7.8

8.0

8.0則下列說(shuō)法正確的是（

）A．評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的平均數(shù)低于對(duì)乙評(píng)分的平均數(shù)B．評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的方差小于對(duì)乙評(píng)分的方差C．評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的40%分位數(shù)為7.8D．評(píng)委對(duì)乙評(píng)分的眾數(shù)為7.810．下列說(shuō)法正確的是（

）A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件B．“，”是“”的充要條件C．設(shè)，，則“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件11．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)．的內(nèi)切圓圓心為，與分別相切于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)存在兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．當(dāng)時(shí)，若，則的最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．設(shè)數(shù)列滿足，，且，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則．15．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為．直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為．16．已知A，M，N是棱長(zhǎng)為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本題10分）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，(1)求的面積；(2)求線段的長(zhǎng).18．（本題12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（本題12分）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，且，，，為中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，求的值．20．（本題12分）2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開(kāi)展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)若從成績(jī)低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；(3)首輪競(jìng)賽成績(jī)位列前的學(xué)生入圍第二輪的復(fù)賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)（記為）.21．（本題12分）已知橢圓的離心率為，斜率為2的直線l與x軸交于點(diǎn)M，l與C交于A，B兩點(diǎn)，D是A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)．當(dāng)M與原點(diǎn)O重合時(shí)，面積為．(1)求C的方程；(2)當(dāng)M異于O點(diǎn)時(shí)，記直線與y軸交于點(diǎn)N，求周長(zhǎng)的最小值．22．（本題12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在曲線上的點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．?dāng)?shù)學(xué)試卷答案解析

本試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1．試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B鉛筆涂在答題卡上，第Ⅱ卷用黑色鋼筆、簽字筆在答題卡上作答；2．質(zhì)量監(jiān)測(cè)時(shí)間120分鐘，全卷滿分150分．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，結(jié)合并集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，由，所以，故選：C2．復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．的實(shí)部為 D．的虛部為【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，即可求得其模以及實(shí)部和虛部，以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】因?yàn)?，故，則，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，B錯(cuò)誤；的實(shí)部為，C正確；的虛部為，D錯(cuò)誤，故選：C．3．在中，點(diǎn)D是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；方法二：設(shè)是等腰直角三角形，且，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，從而得到方程組，求出答案.【詳解】方法一：如圖，由題意得，，故；方法二：不妨設(shè)是等腰直角三角形，且，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)，故，所以，解得，故．故選：D．4．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則，的值分別是（

）

A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求，的值即可.【詳解】設(shè)的周期為，則由圖像知，所以，則，因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以，得，因?yàn)椋?故選：B5．在數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)與之間插入一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)，記構(gòu)成的新數(shù)列為，若，則前65項(xiàng)的和為（

）A． B．-13 C． D．-14【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列中及其后面項(xiàng)的和為，求解.【詳解】解：數(shù)列為：，，設(shè)及其后面項(xiàng)的和為，則，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.所以前65項(xiàng)的和為，故選：A.6．冬季是流感高發(fā)期，其中甲型流感病毒傳染性非常強(qiáng)．基本再生數(shù)與世代間隔是流行病學(xué)基本參考數(shù)據(jù)．某市疾控中心數(shù)據(jù)庫(kù)統(tǒng)計(jì)分析，可以用函數(shù)模型來(lái)描述累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)隨時(shí)間t，（單位：天）的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長(zhǎng)率與基本再生數(shù)和世代間隔T之間的關(guān)系近似滿足，根據(jù)已有數(shù)據(jù)估計(jì)出時(shí)，．據(jù)此回答，累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)增加至的3倍至少需要（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】B【分析】先求得，然后根據(jù)“的3倍”列方程，化簡(jiǎn)求得需要的時(shí)間.【詳解】依題意，，且時(shí)，，即，所以，，令，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，所以至少需要天.故選：B7．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作，K為垂足．設(shè)，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，求得關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)的取值范圍求得的取值范圍.【詳解】如圖，在平面ADF內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作，垂足為，連接．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)，，所以．

設(shè)，則．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，，平面ABD，所以平面ABC，又平面，所以．又因?yàn)椋?，，平面DKH，所以平面，所以，即．在中，，，因?yàn)楹投际侵苯侨切危?，所以，．因?yàn)椋?，所以，得．因?yàn)椋?，所以．故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線面垂直、面面垂直轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，要從線面垂直得到面面垂直，需要“經(jīng)過(guò)一個(gè)平面的垂線”；要從面面垂直得到線面垂直，則需要“在一個(gè)平面內(nèi)，垂直于交線”，在答題過(guò)程中，要注意使用正確的符號(hào)語(yǔ)言.8．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，圓，若直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與圓存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意首先得出旋轉(zhuǎn)后的直線為，然后由直線與圓的位置關(guān)系列出不等式即可求解.【詳解】連接，設(shè)（即以軸正方向?yàn)槭歼叄瑸榻K邊的角），由題意對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，存在，使得，則直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，即，因?yàn)樵谥本€上，所以滿足設(shè)，所以，即所在直線方程為，而圓的圓心，半徑分別為，若直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與圓存在公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是求出旋轉(zhuǎn)后的直線，從而即可順利得解.二、多選題9．某校舉行演講比賽，6位評(píng)委對(duì)甲、乙兩位選手的評(píng)分如下：甲：7.5

7.5

7.8

7.8

8.0

8.0乙：7.5

7.8

7.8

7.8

8.0

8.0則下列說(shuō)法正確的是（

）A．評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的平均數(shù)低于對(duì)乙評(píng)分的平均數(shù)B．評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的方差小于對(duì)乙評(píng)分的方差C．評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的40%分位數(shù)為7.8D．評(píng)委對(duì)乙評(píng)分的眾數(shù)為7.8【答案】ACD【分析】由平均數(shù)、方差、百分位數(shù)、眾數(shù)的概念及求法分別求解判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的平均數(shù)，評(píng)委對(duì)乙評(píng)分的平均數(shù)，所以，故A正確；選項(xiàng)B，由A知，兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)均約為，且縱向看，甲組數(shù)據(jù)與乙組數(shù)據(jù)僅一組數(shù)據(jù)不同，其余數(shù)據(jù)相同，又甲組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差明顯大于乙組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，且差距較大，故與平均數(shù)比較，甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度明顯大些，即評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的方差大于對(duì)乙評(píng)分的方差，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由不是整數(shù)，則評(píng)委對(duì)甲評(píng)分的40%分位數(shù)為從小到大第個(gè)數(shù)據(jù)，即：，故C正確；選項(xiàng)D，評(píng)委對(duì)乙評(píng)分中最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)為，故D正確.故選：ACD.10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件B．“，”是“”的充要條件C．設(shè)，，則“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件【答案】AC【分析】對(duì)于A，利用象限角，求得角的范圍，可判定充分性，取，驗(yàn)證必要性即可；對(duì)于B，考查時(shí)，的取值范圍，可判定必要性不成立；對(duì)于C，根據(jù)集合，的關(guān)系即可判定；對(duì)于D，根據(jù)條件求得的取值范圍即可判斷.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，則,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角，所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，為第一象限角，則，為第二象限角，即必要性不成立，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，成立，則充分性成立；當(dāng)時(shí)，或，,故必要性不成立，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，而，則，故則“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，,則，則，故充分性成立，當(dāng)時(shí)，，則，則成立，所以“”是“”的充要條件，故D錯(cuò)誤，故選：AC.11．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)．的內(nèi)切圓圓心為，與分別相切于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)求解，再結(jié)合三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】橢圓：，則，所以，又，所以點(diǎn)再橢圓上，連接，

則，故A不正確；由橢圓的定義可得，又的內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓半徑，由于，所以，故，故C正確；又，所以，則，所以，故D正確；又，所以，又，所以，即，故B正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)存在兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．當(dāng)時(shí)，若，則的最小值為【答案】BC【分析】對(duì)A選項(xiàng)：由極值點(diǎn)的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得；對(duì)B選項(xiàng)：結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得；對(duì)C選項(xiàng)：結(jié)合單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有成立，求出最小值即可得；對(duì)D選項(xiàng)：采用同構(gòu)法可確定，再將多變量化為單變量后結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：，若函數(shù)存在兩個(gè)極值，則函數(shù)必有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即若函數(shù)存在兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，令，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；故B正確；對(duì)C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，則存在，使不等式成立，等價(jià)于存在，使不等式成立，則當(dāng)時(shí)，有成立，由當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，故，即實(shí)數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，由B、C可知，、均為定義域上的增函數(shù)，由，，故有，，由，則，即，故，又，故，令，則，令，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞增，故無(wú)最小值，即無(wú)最小值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，其中D選項(xiàng)中涉及到多變量問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路是根據(jù)已知中的等量關(guān)系，將多變量轉(zhuǎn)化為單變量的問(wèn)題，從而將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題的求解.三、填空題13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由二項(xiàng)式定理得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合，得到，得到的系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)公式為，令得，，此時(shí)，令得，，此時(shí)，故的系數(shù)為故答案為：14．設(shè)數(shù)列滿足，，且，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，得到為等差數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，結(jié)合累加法，得到，求得，再利用裂項(xiàng)求和，求得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，，可得，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，也成立，所以，所以，所以，所以.故答案為：.15．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為．直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)橢圓的定義求出，再在中，利用余弦定理求出的關(guān)系即可得解.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形，則，由，得，因?yàn)?，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，即橢圓的離心率.故答案為：.16．已知A，M，N是棱長(zhǎng)為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得結(jié)合夾角的定義可得，可得其最大值；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可知，可得其最小值.【詳解】正方體表面上任意兩點(diǎn)間距不超過(guò)體對(duì)角線長(zhǎng)度，則，故，而，故，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，取，重合為時(shí)，則，取得最大值；由對(duì)稱性，設(shè)在下底面，，，由在下底面知，當(dāng)且僅當(dāng)也在下底面時(shí)取等，此時(shí)共面時(shí)，設(shè)中點(diǎn)為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等，又因?yàn)?，可得，例如，，則；所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（共70分）17．（本題10分）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，(1)求的面積；(2)求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）解法1：在中根據(jù)余弦定理求出，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求，在中勾股定理求即可；解法2：由求得.【詳解】（1），而.（2）解法1：，，在中，，在等腰中，，Rt中，，.解法2：，由得，,即，解得.18．（本題12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法和等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式可得，結(jié)合即可求解；（2）由（1）知，利用分組求和法計(jì)算即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，，所以，由于，則是以首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，.驗(yàn)證時(shí)滿足通項(xiàng)公式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知.設(shè)的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，設(shè)的前項(xiàng)和為，則.因?yàn)椋?9．（本題12分）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，且，，，為中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先連接，根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再利用面面垂直的判定定理證明平面平面.（2）設(shè),再利用向量法求二面角的平面角，再列方程得到，即得的值．【詳解】（1）證明：連接，

是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是矩形，，，，又，，平面，平面，又平面，平面平面．（2）以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，又平面，為平面的一個(gè)法向量，，二面角的大小為，，解得．．20．（本題12分）2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開(kāi)展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)若從成績(jī)低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；(3)首輪競(jìng)賽成績(jī)位列前的學(xué)生入圍第二輪的復(fù)賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)（記為）.【答案】(1)人(2)(3)【分析】（1）利用分層抽樣的定義求解即可；（2）利用平均數(shù)公式求解即可；（3）根據(jù)題意設(shè)入圍復(fù)賽的成績(jī)的臨界值為，則，求出的值即可.【詳解】（1）成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為（人），成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為（人），則按分層抽樣方法從成績(jī)低于60分的同學(xué)中抽取5人，成績(jī)低于50分的人數(shù)為（人）.故5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)為2人；（2）由，得，則平均數(shù)，故該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為分；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知：的頻率為，的頻率為，所以入圍復(fù)賽的成績(jī)一定在，可知入圍復(fù)賽的成績(jī)的臨界值為，則，解得，故估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)?yōu)榉?21．（本題12分）已知橢圓的離心率為，斜率為2的直線