2020-2021大學《高等代數(shù)》期末課程考試試卷B1（含答案）

(D)-1.

2020-2021《高等代數(shù)》期末課程考試試卷5設A8是滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則(A).

(A)A的列向量組線性相關,8的行向量組必線性相關:

B1(B)A的列向量組線性相關,B的列向量組必線性相關;

(C)A的行向量組線性相關,B的行向量組必線性相關:

專業(yè)：考試日期：所需時間：120分鐘(D)A的行向量組線性相關,B的行向量組必線性相關.

總分：100分閉卷

一、選擇題(5分義5)二、填空題(5分X5)

1設A為用XM型矩陣，8為力X也型矩陣，E為m階單位矩陣，若AB=E,則()A「4、

A、秩r(A)=m,秩r(B)=mB、秩r(A)=m,秩r(B)=n

6設A為3階矩陣，|A|=-2,把A按行分塊為A二4,則行列式3A

C、秩r(A)=n,秩r(B)=mD、秩r(A)=n,秩r(B)=n

4,A

2設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是(A).

(A)%一%，％一%%一?；‘1231、

2-1^2

點(B)%+%%+43，/+q：7設A=0113,且4得秩為3,

教1-104

(C)a-2a,a-2a,a-2a)：

x2233<2025,

(D)%+2%%+2%%+2囚.

3線性方程組Ax=6的系數(shù)矩陣式4x5矩陣，且A的行向量線性無關，則錯誤的命題是

8設％=(如，…，％,)7?=1「?,八”〃)是〃維實向量，且.,…,4,線性無關，已知

(D).

(A)齊次方程組A0=0只有零解；。11a}n

夕=他,…也),是線性方程組："：工=0的非零解，判斷向量組小???,?/

(B)齊次方程組A，Av=0必有非零解：a…4”

(C)對任意的方，方程組Ar=b必有無窮多解：的線性相關性.

(D)對任意的匕，方程組=h必有唯一解.

【解】根據(jù)定義來判斷.設(如…,a,1)S=O,這里.由題意，

U02、

4設4=01-1,矩陣B滿足A8=A-28-E,則忸一同=().BT

a：P=0,則pai=0.由(1,…,外,月)s=0得廣'($烏+…+srar+%⑼=0,即

J0b

1+…+七夕見+$小夕夕)=0.所以耳+心丁夕=。，sr+[=0.又因為名,…,6.線

(A)y;

性無關，=???=力=0.所以向量組生,月的線性無相關.

(R)-2：M

9判斷二次型/(內,％2，毛)=5X：+￥+5.@+4斗馬_8%七_4%2七是否正定(1)方法一：數(shù)學歸納法證明。=5+l)a".

’52-4、4=1時，D[=2a,

【解】/所對應的矩陣為21-2,它的順序主子式

L-25,假設kW〃-1時，+則當后=〃時,

52-4￡),=2aD_-crD_=-a2(?-l)aM-2=(〃+l)a〃.

,,52n1n2

|5|>0,>0,21一2>0.所以/正定.

1-4-25方法二：遞推法.

由己,=27。,1―〃。-2,得到

2-皿-=叫=a(D^-aD^)

10已知平面上三條不同直線的方程分別為ax+2by+3c=0,bx+2勺+3a=0,=/(0T-叫-3)=…=優(yōu)"(2-叫)=。".

所以，

cx+2ay+3b=0,試證明這三條直線交于一點的充要條件是a+b+c=0.

nx2

D”=a"+a(a~+aDfl_2)=2a"+aDn_2

,,2n

=...=(n-2)優(yōu)+aD2=+a'"0=(〃+\)a.

(2)當awO時，D產(chǎn)0,方程組有唯一解.內=--------=-------

5+1)。

r(A\b)=n-\,所以方程組有無窮多解，通解為

三、解答題.(10分X5)

「2。1

2/\

a2a1不

0

11設〃元線性方程組AY=6,其中A二12

4’24-6、

已知4=12-3,貝以"=

J8-12,

(1)證明行列式|A|=(〃+1)4”：

【解】

(2)當。為何值時，該方程組有唯一解，并求為；

(3)當。為何值時，該方程組有無窮多解，并求通解.

【解】

14已知4階矩陣4=（%,%,4，4），其中%，％，為線性無關，1=2。2-4，如果

萬=1+%+4+%，求方程組Ar=/7的通解.

2-3)=-84【解】方法一：

既然4=1+%+4+%，即/=四+%+%+%=（%，4,4，%）（11?I）「?所

所以A"=(-8)"TA>

以是包二夕的一個特解.又因為%，%%線性無關，a[=2a2-a3,r（A）=3,其基

%

r

注:如果一個矩陣A的秩是1,則它可以分解成兩個矩陣的乘積，即A=/（瓦b24）,礎解系的維數(shù)是1.囚=24-%=（四，4，％，4）（1-210）=0,

小

彳=（1-210）是基礎解系.所以方程組At=/?的通解為工=攵€+〃.

/X

4

同時，儲=乂,其中左二（bb.）a,試證之。

422方法二：將q=2%-4帶入方程組Ax=p=a{+a2+a3+a4,其中

r

x=(x)x2x3x1),得到(24+七-3)%+(-芯+$)4+(七一1)。4=0.既然

13已知向量組I=（%,4，。3），■=（%4，％，％），川=（%4。3，%）,如果各向量，2

2x1+x2-3=0100、5

12

線性無關，所以，_芭+玉=0，即-1010=0.所以

組的秩分別為3,3,4.證明：向量組％,%，4，%-%的秩為4.X3

七一1二0\0001,X0Z

kX4y

【證明】方法一：既然I的秩為3,則％，4,令線性無關，1I的秩為3,則%4，％%

工=(0301).+攵(1-210)r,ksR.

線性相關.所以《可以由岡,％,火線性表示，設％=x}al+￡。2+玉%,所以

f\007

（01,12，。3，。5-04）=（6，02，。3，。5一（司。|十七=2+"3%））=（%，。2，03，。5）:;;'

J）001

所以向量組4的秩為蟲

用配方法化二次型/（』,七,七）=2￥也一6七七