例談與棱錐相關(guān)的三視圖解題思路獲獎(jiǎng)科研報(bào)告論文

例談與棱錐相關(guān)的三視圖解題思路獲獎(jiǎng)科研報(bào)告論文摘要：三視圖是高中數(shù)學(xué)新課程新增內(nèi)容之一，也是高考熱點(diǎn)題型。關(guān)于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據(jù)給定幾何體判斷或補(bǔ)畫(huà)視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進(jìn)而計(jì)算它的面積或體積。

關(guān)鍵詞：解題思路

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三視圖是高中數(shù)學(xué)新課程新增內(nèi)容之一，也是高考熱點(diǎn)題型。關(guān)于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據(jù)給定幾何體判斷或補(bǔ)畫(huà)視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進(jìn)而計(jì)算它的面積或體積。

筆者在分析第二種考查形式時(shí)發(fā)現(xiàn)，有一種和棱錐相關(guān)的題型，學(xué)生理解不到位，且各種參考答案講解不夠詳細(xì)，導(dǎo)致學(xué)生一知半解。因此本文的目的是通過(guò)研究高考題，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題詳細(xì)分析，以期學(xué)生透徹領(lǐng)悟其中的緣由。

這類(lèi)題最大特點(diǎn)有二：第一，給出三視圖求原幾何體的面積或體積；第二，主視圖和左視圖都是三角形，而俯視圖為三角形或四邊形。

在分析此類(lèi)題目前，有必要搞清楚幾個(gè)概念。

必備知識(shí)

1、三視圖

從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí)，看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖。視圖分為三種：

2、投影

上面提到的投影是正投影，為此我們先理解什么是投影，什么又是正投影。

①投影：光照射在物體上，在其后面屏幕上形成的物體的影子就是物體的投影。

③三視圖解題中，關(guān)鍵是理解線(xiàn)的投影規(guī)律

3、三視圖中的幾種關(guān)系

①三種視圖之間的關(guān)系

②三視圖與原幾何體的關(guān)系

例談解題思路

題型一求體積

例1（2012高考·全國(guó)課標(biāo)，7）如圖，在網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

A.6B.9

C.12D.18

【分析】①此題主視圖、左視圖都是三角形，故原幾何圖形是棱錐。已學(xué)知識(shí)可知，棱錐的體積，故求原幾何體體積的關(guān)鍵是確定底面積和高。②因?yàn)楦┮晥D是原幾何體底面輪廓，故原幾何體底面積③因?yàn)橹饕晥D、左視圖的高是原幾何體的高，原幾何體的高④故，原題選B.

【小結(jié)】①棱錐求體積，關(guān)鍵找底面積和高，即；②由俯視圖+“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”口訣聯(lián)合得出；③與主視圖、左視圖高相等

練習(xí)1（2009高考，遼寧，理15文16）

設(shè)某個(gè)幾何體的三

視圖如下（尺寸的

長(zhǎng)度單位為m），

則該幾何體的

體積為_(kāi)__m?.

【提示】①底面三角形的高（寬）和左視圖寬相等即為3，；②和左視圖高相等為2；③

題型二求表面積

例2（2012高考·北京，7）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）

【分析】求面積關(guān)鍵要確定原幾何體形狀，即通

過(guò)三視圖畫(huà)出原幾何體。（為了方便，俯視圖標(biāo)字母后如圖8）

首先，確定原幾何體底面形狀。主視圖和左視圖均為三角形，故原幾何體是棱錐，且棱錐的底面輪廓就是俯視圖三角形輪廓，即原幾何體是三棱錐，其底面輪廓為△ABC，如圖9所示

②然后，找出頂點(diǎn)P的位置，三棱錐形狀就確定了。由俯視圖可知△ABC內(nèi)只有一條線(xiàn)，則頂點(diǎn)在一定在點(diǎn)D或C的正上方（否則，俯視圖投影不可能存在線(xiàn)段DC，讀者可以舉反例驗(yàn)證）；又左視圖為直角三角形，且直角在左邊，故頂點(diǎn)一定只能在點(diǎn)D正上方（如果頂點(diǎn)P不在D的正上方，則就在C正上方，其左視圖一定不是題中的形狀，讀者可自行舉例驗(yàn)證）。因此原幾何體如圖10所示，再反過(guò)來(lái)驗(yàn)證其三視圖是否如圖所示，最終確定是圖10

圖10中，顯然PD⊥平面ABC，線(xiàn)段DC即PC

在底面上的投影，亦即和圖8中俯視圖上的線(xiàn)段DC是同一條。由主視圖可知，DA=2，DB=3，PD=4（三棱錐的高等于主視圖高）

此題即轉(zhuǎn)換成，已知一個(gè)三棱錐P-ABC中，

DA=2，DB=3，BC=4，PD=4，且AB⊥BC，PD⊥

平面ABC，求此三棱錐的面積

⑤分別求每個(gè)面面積，再相加得，，

即答案選B.

【小結(jié)】此類(lèi)題解題關(guān)鍵

首先，找原幾何體，俯視圖為底面形狀

然后，由俯視圖、主視圖、側(cè)視圖找頂點(diǎn)

A.俯視圖內(nèi)有多條線(xiàn)段：頂點(diǎn)在內(nèi)部線(xiàn)段交點(diǎn)正上方（如圖11所示，頂點(diǎn)一定在點(diǎn)D正上方）

B.俯視圖內(nèi)有一條線(xiàn)段：頂點(diǎn)只有兩種情況

（如圖12，頂點(diǎn)一定在點(diǎn)D或者B的正上方）

C.俯視圖內(nèi)無(wú)線(xiàn)段：頂點(diǎn)在三角形頂點(diǎn)上

（如圖13，頂點(diǎn)一定在點(diǎn)A或B或C的正上方）

頂點(diǎn)確定后，逆向驗(yàn)證該猜想是否正確。

再根據(jù)三個(gè)視圖的關(guān)系，弄清楚各邊數(shù)量關(guān)系

由三視圖求表面積就變成已知一個(gè)棱錐和已

知條件，求其表面積的題型

練習(xí)2（2009.海南，寧夏，11）一個(gè)棱錐的三視

圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm?）為（）

【分析】①由圖可知，原幾何體是三棱錐，底面

是邊長(zhǎng)為6的等腰直角三角形

②如圖15，是俯視圖標(biāo)字母后的圖。因?yàn)槿切蝺?nèi)部只有一條線(xiàn)段，因此三棱錐頂點(diǎn)一定在點(diǎn)D或B的正上方；又結(jié)合主視圖和左視圖可知，頂點(diǎn)不可能在點(diǎn)B正上方，因此一定在點(diǎn)D正上方。

原幾何體如圖16中，PD⊥平面ABC，PD=4（三

棱錐高等于主視圖高），AB=BC=6，△ABC為等腰直角三角形；DG⊥BC，且DG=3，同理可知DH=3。題轉(zhuǎn)化成已知上面的條件，求該三棱錐全面積

終選擇答案A

練習(xí)3（2011高考北京）某四面體三視圖如圖17所

示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（）

【分析】觀察俯視圖，三角形內(nèi)部無(wú)線(xiàn)段，故三棱錐頂點(diǎn)一定在三角形三頂點(diǎn)正上方。右分析主視圖和側(cè)視圖可知，如圖18所示，頂點(diǎn)只能在點(diǎn)A正上方，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=4，BC=3，且AB⊥BC。分析得△