山東省青島市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)

青島二中20232024學(xué)年第一學(xué)期12月份階段練習(xí)高二試題（數(shù)學(xué)）時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線(xiàn)：與直線(xiàn)：垂直，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.0 B.或0 C.0或 D.2.與橢圓：共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（）A.7 B.12 C.15 D.314.求圓心在直線(xiàn)上，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A.240 B.180 C.120 D.606.若數(shù)列滿(mǎn)足，，則滿(mǎn)足不等式的最大正整數(shù)為（）A.28 B.29 C.30 D.317.細(xì)心的觀眾發(fā)現(xiàn)，2023亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式運(yùn)動(dòng)員出場(chǎng)的地屏展示的是8副團(tuán)扇，分別是梅蘭竹菊松柳荷桂．“梅蘭竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大國(guó)風(fēng)范“．團(tuán)扇是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的一個(gè)重要組成部分，象征著團(tuán)結(jié)友善．花瓣型團(tuán)扇，造型別致，扇作十二葵瓣形，即有12個(gè)相同形狀的弧形花瓣組成，花瓣的圓心角為，花瓣端點(diǎn)也在同一圓上，12個(gè)弧形花瓣也內(nèi)切于同一個(gè)大圓，圓心記為O，若其中一片花瓣所在圓圓心記為C，兩個(gè)花瓣端點(diǎn)記為A、B，切點(diǎn)記為D，則不正確的是（）A.在同一直線(xiàn)上 B.12個(gè)弧形所在圓的圓心落在同一圓上C. D.弧形所在圓的半徑BC變化時(shí)，存在8.雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)過(guò)且與雙曲線(xiàn)C左支交于點(diǎn)P，原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A B. C.2 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知首項(xiàng)為正數(shù)等比數(shù)列的公比為，曲線(xiàn)，則下列敘述正確的有（）A.若為圓，則B.若，則離心率為2C.離心率為D.是雙曲線(xiàn)且其漸近線(xiàn)方程為10.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足，，，則（）A. B.C.對(duì)任意的正整數(shù)，有 D.使得的最小正整數(shù)為404711.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（）A. B.當(dāng)奇數(shù)時(shí)，C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前項(xiàng)和小于12.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)的一條直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列D當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．14.已知圓：，直線(xiàn)，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，最短弦長(zhǎng)______________.15.英國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·艾利斯提出用音分來(lái)精確度量音程，音分是度量不同樂(lè)音頻率比的單位，也可以稱(chēng)為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位.一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為.若，則_________16.已知，分別為雙曲線(xiàn)：的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B在x軸的上方，A、B兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離之和為，若，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是_____________________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知頂點(diǎn)，邊上的高所在直線(xiàn)方程為，邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為.（1）求直線(xiàn)的方程：（2）求的面積.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值，并指出取何時(shí)取得最小值.19.數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.已知拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離是.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)與C交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.已知數(shù)列中，，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，其中，若對(duì)任意，總有成立，求的取值范圍.22.設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)分別為、.（1）求橢圓方程；（2）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q，若的面積是面積的倍，求直線(xiàn)的方程；（3）如圖過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)K作動(dòng)圓的切線(xiàn)分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，是否存在圓使得為直角三角形?若存在，求出圓的半徑；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.青島二中20232024學(xué)年第一學(xué)期12月份階段練習(xí)高二試題（數(shù)學(xué)）時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線(xiàn)：與直線(xiàn)：垂直，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.0 B.或0 C.0或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)垂直列方程，從而求得的值.【詳解】由于，所以，解得或.故選：C2.與橢圓：共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，求出的值即焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義、平方關(guān)系求出的值即可求解.【詳解】由題意不妨設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即橢圓與所求雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)為，由雙曲線(xiàn)的定義可知，所以，所以所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（）A.7 B.12 C.15 D.31【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列，等差中項(xiàng)等知識(shí)求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，從而求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，依題意，則，，，解得，則，所以.故選：D4.求圓心在直線(xiàn)上，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由題意可知圓心也在直線(xiàn)上，聯(lián)立即可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得半徑，從而即可得解.【詳解】由題意圓心也在過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上，而該直線(xiàn)方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心坐標(biāo)為，半徑為點(diǎn)與圓心的距離，故所求圓的方程為.故選：A.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A.240 B.180 C.120 D.60【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算來(lái)求得正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，.故選：A6.若數(shù)列滿(mǎn)足，，則滿(mǎn)足不等式的最大正整數(shù)為（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.【詳解】依題意，數(shù)列滿(mǎn)足，，，所以，也符合，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，由，解得，所以的最大值為.故選：B7.細(xì)心的觀眾發(fā)現(xiàn)，2023亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式運(yùn)動(dòng)員出場(chǎng)的地屏展示的是8副團(tuán)扇，分別是梅蘭竹菊松柳荷桂．“梅蘭竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大國(guó)風(fēng)范“．團(tuán)扇是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的一個(gè)重要組成部分，象征著團(tuán)結(jié)友善．花瓣型團(tuán)扇，造型別致，扇作十二葵瓣形，即有12個(gè)相同形狀的弧形花瓣組成，花瓣的圓心角為，花瓣端點(diǎn)也在同一圓上，12個(gè)弧形花瓣也內(nèi)切于同一個(gè)大圓，圓心記為O，若其中一片花瓣所在圓圓心記為C，兩個(gè)花瓣端點(diǎn)記為A、B，切點(diǎn)記為D，則不正確的是（）A.在同一直線(xiàn)上 B.12個(gè)弧形所在圓的圓心落在同一圓上C. D.弧形所在圓的半徑BC變化時(shí)，存在【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系逐個(gè)判斷即可.【詳解】已知外圈兩個(gè)圓的圓心都為，令最外面圓半徑為，花瓣所在圓半徑為，對(duì)于A：因?yàn)榇髨A與小圓內(nèi)切且切點(diǎn)為，所以切點(diǎn)與兩個(gè)圓心共線(xiàn)，即在同一條直線(xiàn)上，A正確；對(duì)于B：由兩圓內(nèi)切可知為定值，所以12個(gè)弧形的圓心在同一圓上，B正確；對(duì)于C：因?yàn)?2個(gè)弧形花瓣也內(nèi)切于同一個(gè)大圓，所以，C正確；對(duì)于D：由得，所以，又，所以，所以，所以恒成立，D錯(cuò)誤，故選：D8.雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)過(guò)且與雙曲線(xiàn)C左支交于點(diǎn)P，原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意首先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出，又，所以可依次求得，又，再由平方關(guān)系可得，又，所以結(jié)合直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義以及余弦定理可得方程，結(jié)合平方關(guān)系離心率公式運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示：，垂足為點(diǎn)，由題意，又，所以，，又因?yàn)樵c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，解得，又，所以由余弦定理，整理得，又，所以，即，解得，從而所求離心率為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合、雙曲線(xiàn)的定義以及解三角形知識(shí)即可順利求解，綜合性比較強(qiáng).二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，曲線(xiàn)，則下列敘述正確的有（）A.若為圓，則B.若，則離心率為2C.離心率為D.是雙曲線(xiàn)且其漸近線(xiàn)方程為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，若為圓，則，求出得出結(jié)果；對(duì)于B，為等軸雙曲線(xiàn)，求其離心率即可；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求其離心率即可；對(duì)于D，故曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，求其漸近線(xiàn)方程.【詳解】對(duì)于A，首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，曲線(xiàn)，若為圓，則，所以，所以，即曲線(xiàn)為圓心為，半徑為的圓，故正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以與互為相反數(shù)且不為0，故為等軸雙曲線(xiàn)，故曲線(xiàn)的離心率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，數(shù)列為遞減數(shù)列，，所以曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故的離心率為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，與異號(hào)，故曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)為，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足，，，則（）A. B.C.對(duì)任意的正整數(shù)，有 D.使得的最小正整數(shù)為4047【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，由于，所以或.若，則，則矛盾，所以，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.由于，所以的最小值為，即，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，由于，所以，所以，所以，由于，且，所以當(dāng)時(shí)，，綜上所述，使得的最小正整數(shù)為，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD11.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（）A. B.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前項(xiàng)和小于【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)“歐拉函數(shù)”的定義對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由列表分析可知，對(duì)于，“不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)”為：不超過(guò)的奇數(shù)，則，則，，所以是等比數(shù)列，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，有列表分析可知，對(duì)于，“不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)”為：從到中，除掉的倍數(shù)，則，則，，所以是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD12.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)的一條直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線(xiàn)的定義可判斷A項(xiàng)，聯(lián)立直線(xiàn)AB方程與拋物線(xiàn)方程求得、，進(jìn)而可求得可判斷B項(xiàng)，由直角三角形性質(zhì)及拋物線(xiàn)的定義可判斷C項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，計(jì)算可得，可得，運(yùn)用等面積法、直角三角形性質(zhì)及基本不等式可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如圖所示，由拋物線(xiàn)定義可知，若，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：如圖所示，當(dāng)時(shí)，為正三角形，所以直線(xiàn)的傾斜角為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由可得，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)垂直于，垂足分別為，作的中點(diǎn)N，如圖所示，由選項(xiàng)B可知，又因?yàn)?，所以，由拋物線(xiàn)定義可知，所以，所以M為的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如圖所示，設(shè)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，則，由B項(xiàng)可知，由選項(xiàng)C可知，所以，所以，所以，又因，所以，且，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】將變?yōu)?，利用累加法即可求得答?【詳解】由題意可知數(shù)列中，，，故，所以，故答案為：14.已知圓：，直線(xiàn)，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，最短弦長(zhǎng)______________.【答案】【解析】【分析】先求得直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)，然后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求得最短弦長(zhǎng).【詳解】直線(xiàn)，即，由，解得，設(shè)，由于，所以在圓內(nèi)，圓的圓心為，半徑，當(dāng)時(shí)，最短，，所以的最小值為.故答案為：15.英國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·艾利斯提出用音分來(lái)精確度量音程，音分是度量不同樂(lè)音頻率比的單位，也可以稱(chēng)為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位.一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為.若，則_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可由指數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知，1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一個(gè)音頻率為，所以，故，因?yàn)椋?，所以，解?故答案為：.16.已知，分別為雙曲線(xiàn)：的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B在x軸的上方，A、B兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離之和為，若，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是_____________________.【答案】【解析】【分析】設(shè)是的中點(diǎn)，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】設(shè)，依題意，設(shè)的中點(diǎn)為，由于，所以，所以，，由于，所以，所以，所以或，由于在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，所以，兩式相減并化簡(jiǎn)得，，若，則不符合題意，舍去.若，則，所以，所以漸近線(xiàn)方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是，則在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，由此可以構(gòu)建中點(diǎn)和斜率的關(guān)系式；另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是點(diǎn)差法，利用點(diǎn)差法可以減少運(yùn)算量，可以快速求得問(wèn)題的答案.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知頂點(diǎn)，邊上的高所在直線(xiàn)方程為，邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為.（1）求直線(xiàn)方程：（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)的方程.（2）先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式求得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】邊上的高所在直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】邊上中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，由解得，即.設(shè)，則，所以，解得，即.，到的距離為，所以三角形的面積為.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值，并指出取何時(shí)取得最小值.【答案】（1）（2）的最小值為，對(duì)應(yīng)或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求得.（2）利用，求得取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的值，進(jìn)而求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由，解得，所以當(dāng)或時(shí)取得最小值，且的最小值為.19.數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意直接由以及時(shí)，即可求解.（2）發(fā)現(xiàn)數(shù)列是“差比數(shù)列之積”的形式，所以直接選擇用錯(cuò)位相減法、等邊數(shù)列求和公式法運(yùn)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也有成立，綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，所以由題意，所以，，兩式相減得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.20.已知拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離是.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與C交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線(xiàn)的方程并與準(zhǔn)線(xiàn)方程求得，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、弦長(zhǎng)公式、對(duì)鉤函數(shù)等知識(shí)來(lái)求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義有，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】，拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)為，依題意可知直線(xiàn)與軸不重合，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，，所以，由于垂直平分，所以直線(xiàn)的方程為，令得，則，，，所以.21.已知數(shù)列中，，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，其中，若對(duì)任意，總有成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義證得數(shù)列是等比數(shù)列，先求得，進(jìn)而求得.（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，利用商比較法求得的最大值，從而列不等式來(lái)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】依題意，，且，所以，則，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】，依題意，，且對(duì)任意，總有成立，所以，，當(dāng)時(shí)取得最小值.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以